Étude Topographique

Vérification du Cheminement de Nivellement

Vérification de Fermeture d'un Cheminement de Nivellement

Vérification d'un Cheminement de Nivellement Encadré

Contexte : Le Nivellement Direct et ses Vérifications

Le nivellement direct est l'ensemble des opérations permettant de déterminer des altitudes à l'aide d'un niveau et d'une mire. Pour assurer la fiabilité des mesures, surtout sur de longues distances, les topographes réalisent des cheminementsSuite de mesures de dénivelées entre des points successifs pour déterminer les altitudes. qui partent d'un point d'altitude connue (point de départ) et se terminent sur un autre point d'altitude également connue (point d'arrivée). Ce type de cheminement est dit "encadré". La vérification de la "fermeture" permet de quantifier l'erreur de mesure accumulée et de la comparer à une tolérance réglementaire avant de procéder à la compensation des altitudes.

Remarque Pédagogique : Cette procédure est fondamentale en topographie. Elle garantit que les erreurs de mesure inévitables (lecture sur la mire, tassement du trépied, etc.) restent dans des limites acceptables pour la qualité des travaux (génie civil, construction, etc.).

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la notion de cheminement de nivellement encadré.
  • Savoir calculer l'erreur de fermeture altimétrique.
  • Calculer la tolérance réglementaire en fonction de la longueur du cheminement.
  • Décider si un cheminement est acceptable ou doit être refait.
  • Appliquer une compensation simple pour ajuster les altitudes mesurées.

Données de l'étude

Un topographe a réalisé un cheminement de nivellement direct pour déterminer l'altitude de deux points intermédiaires (Pt. 1 et Pt. 2) entre deux repères connus (Rep. A et Rep. B).

Schéma du Cheminement de Nivellement
Rep. A Alt = 45.125 m Rep. B Alt = 46.580 m Pt. 1 Pt. 2 ΔH₁ = +2.345 m ΔH₂ = -1.112 m ΔH₃ = +0.218 m

Données disponibles :

  • Altitude de départ (Rep. A) : \(45.125 \, \text{m}\)
  • Altitude d'arrivée (Rep. B) : \(46.580 \, \text{m}\)
  • Le nivellement est de type "ordinaire". La tolérance est donc de \( T = \pm 20 \, \text{mm} \sqrt{L_{\text{km}}} \).
  • La longueur totale du cheminement (L) est de \(1.2 \, \text{km}\).

Carnet de nivellement :

De Vers Dénivelée mesurée (ΔH)
Rep. A Pt. 1 +2.345 m
Pt. 1 Pt. 2 -1.112 m
Pt. 2 Rep. B +0.218 m

Questions à traiter

  1. Calculer l'erreur de fermeture altimétrique (\(f_{\text{alt}}\)).
  2. Calculer la tolérance réglementaire (\(T\)) pour ce cheminement.
  3. Comparer la fermeture à la tolérance et conclure sur la validité du cheminement.
  4. Si le cheminement est accepté, calculer la compensation à appliquer à chaque dénivelée.
  5. Calculer les altitudes compensées des points 1 et 2.

Correction : Vérification du Cheminement de Nivellement

Question 1 : Calcul de l'erreur de fermeture

Normes et Principes

L'erreur de fermeture est la différence entre la dénivelée totale mesurée (la somme des dénivelées partielles) et la dénivelée théorique (la différence entre les altitudes connues des points d'arrivée et de départ). C'est un principe de contrôle fondamental en topographie.

Remarque Pédagogique

Point Clé : Cette étape est la plus importante. Elle permet de juger de la qualité globale des mesures avant d'aller plus loin. Si la fermeture est mauvaise, tous les calculs suivants sont inutiles car les mesures de base sont fausses.

Visualisation du Principe
ΔH Théorique (AltB - AltA) Σ ΔH Mesurées f_alt = -4mm
Formule(s) utilisée(s)
\[ f_{\text{alt}} = \sum \Delta H_{\text{mesurées}} - (\text{Alt}_{\text{arrivée}} - \text{Alt}_{\text{départ}}) \]
Calcul(s)

D'abord, on somme les dénivelées mesurées :

\[ \sum \Delta H_{\text{mesurées}} = (+2.345) + (-1.112) + (+0.218) = +1.451 \, \text{m} \]

Ensuite, on calcule la dénivelée théorique :

\[ \text{Alt}_{\text{B}} - \text{Alt}_{\text{A}} = 46.580 - 45.125 = +1.455 \, \text{m} \]

Enfin, on calcule la fermeture :

\[ \begin{aligned} f_{\text{alt}} &= 1.451 - 1.455 \\ &= -0.004 \, \text{m} \\ &= -4 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Points de Vigilance

Signe des Dénivelées : Soyez extrêmement attentif aux signes + et - lors de la somme. Une seule erreur de signe faussera entièrement le calcul.

FAQ de l'Étape
Que signifie une fermeture négative ?

Une fermeture négative (-4 mm) signifie que la somme des dénivelées mesurées est *inférieure* à la dénivelée théorique. Autrement dit, le cheminement "n'est pas monté assez". La compensation devra donc être positive pour corriger ce manque.

Résultat Question 1 : L'erreur de fermeture est de -4 mm.

Question 2 : Calcul de la tolérance

Normes et Principes

La tolérance est une limite d'erreur maximale fixée par des normes (ici, pour un nivellement ordinaire). Elle dépend de la précision de l'instrument et de la longueur du cheminement. La formule \( T = k \sqrt{L} \) est empirique et universellement admise ; elle modélise le fait que les erreurs aléatoires s'accumulent avec la racine carrée de la distance.

Remarque Pédagogique

Point Clé : La tolérance n'est pas une valeur absolue. Elle définit une "fourchette" d'erreur acceptable. Un bon topographe ne se contente pas d'être dans la tolérance, il vise la plus petite erreur de fermeture possible.

Visualisation du Principe
L = 1.2 km √ k = 20mm × T = ±22 mm
Formule(s) utilisée(s)
\[ T = \pm 20 \, \text{mm} \sqrt{L_{\text{km}}} \]
Calcul(s)
\[ \begin{aligned} T &= \pm 20 \sqrt{1.2} \\ &\approx \pm 20 \times 1.0954 \\ &\approx \pm 21.91 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Points de Vigilance

Unité de L : La formule spécifie que la longueur L doit être en kilomètres (km). Une erreur fréquente est d'utiliser la longueur en mètres, ce qui fausse complètement le calcul de la tolérance.

FAQ de l'Étape
Pourquoi la tolérance augmente-t-elle avec la distance ?

Les petites erreurs aléatoires inévitables à chaque mesure (lecture, mise en station) ont tendance à s'accumuler. Plus le cheminement est long, plus il y a de mesures, et donc plus le potentiel d'accumulation d'erreurs est grand. La formule avec la racine carrée (\(\sqrt{L}\)) modélise cette accumulation statistique des erreurs aléatoires.

Résultat Question 2 : La tolérance est d'environ ±22 mm.

Question 3 : Comparaison et Conclusion

Normes et Principes

La règle de décision est simple et binaire : la valeur absolue de l'erreur de fermeture doit être inférieure ou égale à la tolérance calculée. Si \( |f_{\text{alt}}| \le T \), le travail est accepté. Sinon, il doit être rejeté et les mesures refaites.

Remarque Pédagogique

Point Clé : Cette comparaison est l'étape de validation finale. C'est un jugement professionnel basé sur un calcul simple : le jeu en vaut-il la chandelle ? L'erreur est-elle assez petite pour l'usage prévu ? La tolérance donne la réponse réglementaire.

Visualisation du Principe
0 +T (+22mm) -T (-22mm) f = -4mm
Comparaison
\[ |f_{\text{alt}}| = |-4 \, \text{mm}| = 4 \, \text{mm} \] \[ T = 22 \, \text{mm} \] \[ 4 \, \text{mm} \le 22 \, \text{mm} \Rightarrow \text{Accepté} \]
Points de Vigilance

Valeur Absolue : N'oubliez pas de comparer la valeur absolue de la fermeture. Le signe de la fermeture est crucial pour la compensation, mais pour la comparaison à la tolérance, seule son amplitude compte.

FAQ de l'Étape
Et si la fermeture était de -25 mm ?

Dans ce cas, \(|f_{\text{alt}}| = 25\) mm. Comme \(25 \, \text{mm} > 22 \, \text{mm}\), la fermeture serait supérieure à la tolérance. Le cheminement serait alors rejeté. Il faudrait retourner sur le terrain pour refaire les mesures, car une faute importante a probablement été commise.

Conclusion : L'erreur de fermeture est inférieure à la tolérance. Le cheminement de nivellement est accepté.

Question 4 : Calcul de la compensation

Normes et Principes

Une fois le cheminement accepté, l'erreur de fermeture doit être répartie sur l'ensemble des mesures pour "corriger" les altitudes. La méthode la plus simple est une répartition uniforme : on divise l'opposé de la fermeture par le nombre de dénivelées mesurées. Cela suppose que l'erreur s'est produite de manière égale à chaque étape.

Remarque Pédagogique

Point Clé : La compensation est l'opposé de l'erreur. Si vous avez mesuré "trop" (fermeture positive), la compensation est négative pour enlever un peu à chaque mesure. Si vous avez mesuré "pas assez" (fermeture négative), la compensation est positive pour rajouter un peu partout.

Visualisation du Principe
f = -4mm - ( ) / n C = +1.3mm
Formule(s) utilisée(s)
\[ C_i = - \frac{f_{\text{alt}}}{n} \]

Où \(C_i\) est la compensation par dénivelée et n est le nombre de dénivelées.

Calcul(s)
\[ \begin{aligned} C_i &= - \frac{-4 \, \text{mm}}{3} \\ &\approx +1.333 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Points de Vigilance

Signe de la Compensation : L'erreur la plus critique ici est d'oublier d'inverser le signe de la fermeture. \( C = -f_{\text{alt}} \). Une erreur sur ce signe faussera toutes les altitudes finales.

FAQ de l'Étape
Pourquoi ne pas appliquer toute la compensation sur une seule dénivelée ?

Répartir l'erreur est une convention basée sur le principe que les erreurs aléatoires se sont produites tout au long du cheminement. Mettre toute la correction sur une seule mesure serait arbitraire et statistiquement peu probable, sauf si l'on a une bonne raison de penser qu'une faute a été commise sur une portée spécifique.

Résultat Question 4 : Il faut ajouter une compensation d'environ +1.3 mm à chaque dénivelée mesurée.

Question 5 : Calcul des altitudes compensées

Normes et Principes

Les altitudes finales sont calculées de proche en proche à partir du point de départ connu, en utilisant les dénivelées mesurées auxquelles on ajoute la compensation calculée. C'est l'aboutissement du processus de nivellement, produisant des altitudes finales cohérentes et fiables.

Remarque Pédagogique

Point Clé : Le calcul final des altitudes est la raison d'être de tout le processus. La vérification à la fin (retomber sur l'altitude du Rep. B) est une étape cruciale pour confirmer que l'ensemble de vos calculs est correct.

Visualisation du Principe
Alt Pt.N + ΔH' = Alt Pt.N+1
Calcul(s)

On recalcule les dénivelées compensées (en mètres) :

\[ \begin{aligned} \Delta H'_{\text{1}} &= 2.345 + 0.00133 = +2.3463 \, \text{m} \\ \Delta H'_{\text{2}} &= -1.112 + 0.00133 = -1.1107 \, \text{m} \\ \Delta H'_{\text{3}} &= 0.218 + 0.00133 = +0.2193 \, \text{m} \end{aligned} \]

Puis on calcule les altitudes compensées :

\[ \begin{aligned} \text{Alt}_{\text{Pt.1}} &= \text{Alt}_{\text{A}} + \Delta H'_{\text{1}} = 45.125 + 2.3463 = 47.4713 \, \text{m} \\ \text{Alt}_{\text{Pt.2}} &= \text{Alt}_{\text{Pt.1}} + \Delta H'_{\text{2}} = 47.4713 - 1.1107 = 46.3606 \, \text{m} \end{aligned} \]

Vérification finale :

\[ \begin{aligned} \text{Alt}_{\text{B}} &= \text{Alt}_{\text{Pt.2}} + \Delta H'_{\text{3}} \\ &= 46.3606 + 0.2193 \\ &= 46.5799 \, \text{m} \\ &\approx 46.580 \, \text{m} \end{aligned} \]

Arrondis : La petite différence (0.1 mm) avec l'altitude connue de B est due aux arrondis du calcul de la compensation. En pratique, on gère les arrondis (souvent en ajustant la dernière compensation) pour que la dernière altitude calculée corresponde exactement à l'altitude connue du point final.

FAQ de l'Étape
L'altitude du Pt.1 est-elle maintenant "parfaite" ?

Non, elle est "mieux estimée" et cohérente avec les points de départ et d'arrivée. La compensation répartit l'erreur la plus probable, mais l'altitude finale contient toujours une incertitude résiduelle. C'est la meilleure estimation possible compte tenu des mesures.

Résultat Question 5 : Les altitudes compensées sont :
Altitude Pt. 1 = 47.471 m
Altitude Pt. 2 = 46.361 m

Tableau Récapitulatif Interactif

Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.

Paramètre Valeur Calculée
Erreur de fermeture (\(f_{\text{alt}}\)) Cliquez pour révéler
Tolérance (\(T\)) Cliquez pour révéler
Décision Cliquez pour révéler
Altitude finale Pt. 1 Cliquez pour révéler
Altitude finale Pt. 2 Cliquez pour révéler

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : Un autre cheminement de nivellement de précision a une longueur de 0.8 km. La tolérance pour ce type d'ouvrage est de \( T = \pm 12 \, \text{mm} \sqrt{L_{\text{km}}} \). L'erreur de fermeture mesurée est de +15 mm. Le cheminement est-il acceptable ?

Simulation Interactive de la Fermeture

Variez les paramètres de mesure et de longueur pour voir leur influence sur l'acceptation du cheminement.

Paramètres de Simulation
Fermeture (f_alt)
Tolérance (T)
Statut
Visualisation : |Fermeture| vs Tolérance

Pièges à Éviter

Signe de la fermeture : Une erreur fréquente est de se tromper dans le signe de la fermeture (\( \sum \Delta H - (\text{Alt}_{\text{fin}} - \text{Alt}_{\text{début}}) \)). Cela inverse le signe de la compensation et fausse toutes les altitudes finales.

Compensation proportionnelle : Dans cet exercice, nous avons utilisé une compensation uniforme. En pratique, pour plus de rigueur, la compensation est souvent proportionnelle à la longueur de chaque portée de nivellement, considérant que les erreurs sont plus importantes sur les plus longues distances.

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

1. Cheminement fermé

Et si le cheminement revenait à son point de départ (Rep. A = Rep. B) ? On parle de "cheminement fermé". Dans ce cas, la dénivelée théorique est nulle (\(\text{Alt}_{\text{fin}} - \text{Alt}_{\text{début}} = 0\)). La formule de la fermeture se simplifie : \( f_{\text{alt}} = \sum \Delta H_{\text{mesurées}} \). Le reste de la procédure (tolérance, compensation) est identique.

2. Nivellement trigonométrique

Pour de très longues distances ou des terrains très accidentés, on peut déterminer les dénivelées avec un tachéomètre (nivellement trigonométrique) plutôt qu'un niveau. Les calculs de fermeture et de compensation sont similaires, mais les sources d'erreurs et les tolérances sont différentes car elles dépendent de la précision des mesures d'angles et de distances.

Le Saviez-Vous ?

Les altitudes en France sont rattachées au système NGF-IGN69 (Nivellement Général de la France). Le point fondamental, "l'altitude zéro", est défini par le marégraphe de Marseille et correspond au niveau moyen de la mer Méditerranée observé entre 1885 et 1897.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la compensation est-elle l'opposé de la fermeture ?

L'erreur de fermeture représente l'excès ou le défaut de la mesure. Si la somme des dénivelées est trop grande (fermeture positive), il faut la réduire. La compensation doit donc être négative pour corriger cet excès. On applique donc l'opposé de la fermeture (\(-f_{\text{alt}}\)) pour ramener la somme des dénivelées compensées à la valeur théorique exacte.

Que faire si mon cheminement est hors tolérance ?

Il n'y a pas d'autre choix que de refaire les mesures sur le terrain. Une erreur hors tolérance indique une faute (erreur de lecture, mire mal tenue, point visé incorrect) ou des conditions de mesure trop mauvaises (vent, réfraction atmosphérique). Tenter de compenser une erreur trop grande conduirait à des altitudes finales non fiables.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un cheminement fermé (départ et arrivée sur le même point) a une somme des dénivelées de +8 mm. La fermeture est de :

2. Si l'erreur de fermeture est de -6 mm et qu'il y a 3 dénivelées, la compensation uniforme à appliquer à chaque dénivelée est de :

Glossaire

Cheminement de Nivellement
Opération qui consiste à déterminer les altitudes de points en mesurant des dénivelées successives le long d'un parcours.
Cheminement Encadré
Un cheminement qui part d'un point d'altitude connue et se termine sur un autre point d'altitude également connue.
Erreur de Fermeture
Différence entre la dénivelée totale mesurée et la dénivelée théorique (connue) entre les points de départ et d'arrivée. Elle quantifie l'erreur globale des mesures.
Tolérance
Marge d'erreur maximale admissible pour une série de mesures. Si la fermeture dépasse la tolérance, les mesures doivent être refaites.
Compensation
Processus de répartition de l'erreur de fermeture sur les différentes mesures pour obtenir des altitudes finales cohérentes.
Les Instruments et leur Utilisation - Exercice d'Application
Calculatrice
Calculateur de Fermeture
Calculateur de Tolérance
×

Calculatrice

×

Calculateur de Fermeture

×

Calculateur de Tolérance

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