Étude Topographique

Vérification de la Tolérance de Fermeture Linéaire

Topographie : Vérification de la Tolérance de Fermeture Linéaire

Vérification de la Tolérance de Fermeture Linéaire

Contexte : Le Jugement Final du Levé

Après avoir calculé les fermetures en X et Y (\(f_x\), \(f_y\)), qui représentent l'erreur de fermeture sur chaque axe, il est nécessaire de les combiner pour obtenir une valeur unique : la fermeture linéaire totaleDistance directe entre le point de départ et le point d'arrivée d'un cheminement fermé. C'est la longueur du vecteur d'erreur, calculée par le théorème de Pythagore., notée \(f_T\). Cette valeur représente la distance "à vol d'oiseau" entre le point de départ et le point d'arrivée du cheminement. C'est cette distance que l'on compare à une toléranceErreur maximale admissible pour une opération donnée. Si l'erreur mesurée dépasse la tolérance, les mesures doivent être refaites. réglementaire ou de projet pour décider si la précision globale du levé est acceptable.

Remarque Pédagogique : Cette étape est le point culminant de la vérification d'un cheminement. Elle synthétise toutes les petites erreurs accumulées (angulaires et en distance) en un seul chiffre facile à interpréter. La décision "Accepté" ou "Refusé" qui en découle a des implications directes sur la suite des opérations et la fiabilité du plan final.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la fermeture linéaire totale (\(f_T\)) à partir de ses composantes \(f_x\) et \(f_y\).
  • Calculer la tolérance planimétrique (\(T_p\)) en fonction de la longueur du parcours.
  • Comparer la fermeture à la tolérance pour porter un jugement sur la qualité du levé.
  • Comprendre la notion de précision relative.

Données de l'étude

Un levé topographique d'un cheminement fermé a produit les résultats suivants après calcul des coordonnées partielles :

Vecteur de Fermeture
Y X Départ Arrivée fᴛ fₓ fᵧ

Données calculées :

  • Fermeture en X : \(f_x = +0.06 \, \text{m}\)
  • Fermeture en Y : \(f_y = -0.08 \, \text{m}\)
  • Périmètre total du cheminement : \(\Sigma D = 584.91 \, \text{m}\)

Tolérance applicable :

  • La tolérance planimétrique pour ce type de levé est de \(T_p = 0.03 \sqrt{\Sigma D}\) (en mètres).

Questions à traiter

  1. Calculer la fermeture linéaire totale \(f_T\).
  2. Calculer la tolérance planimétrique \(T_p\).
  3. Comparer la fermeture totale à la tolérance et conclure sur la validité du levé.

Correction : Vérification de la Tolérance de Fermeture Linéaire

Question 1 : Calcul de la Fermeture Linéaire Totale \(f_T\)

Principe :
fₓ fᵧ fᴛ

Les fermetures \(f_x\) et \(f_y\) sont les deux côtés d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse est la fermeture linéaire totale \(f_T\). On utilise simplement le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de ce vecteur d'erreur total.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Alors que \(f_x\) et \(f_y\) nous donnent l'erreur décomposée sur les axes, \(f_T\) nous donne une valeur unique et tangible : la distance "à vol d'oiseau" entre le point où l'on aurait dû arriver (le départ) et le point où l'on est réellement arrivé. C'est cette distance totale que l'on compare à la tolérance.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ f_T = \sqrt{f_x^2 + f_y^2} \]
Donnée(s) :
  • \(f_x = +0.06 \, \text{m}\)
  • \(f_y = -0.08 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} f_T &= \sqrt{(0.06)^2 + (-0.08)^2} \\ &= \sqrt{0.0036 + 0.0064} \\ &= \sqrt{0.0100} \\ &\mathbf{= 0.10 \, m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Le carré d'un négatif : Une erreur fréquente est d'oublier que le carré d'un nombre négatif est positif. Assurez-vous que \((-0.08)^2\) devient bien \(+0.0064\) dans votre calcul.

Le saviez-vous ?

La valeur de \(f_T\) est toujours positive, car c'est une distance. Même si \(f_x\) et \(f_y\) sont négatifs, leurs carrés seront positifs, et la racine carrée du résultat le sera aussi.

FAQ en rapport avec la question :
La fermeture totale dépend-elle de l'ordre des points ?

Non, absolument pas. Que l'on parcoure le cheminement dans le sens horaire ou anti-horaire, la distance finale entre le point de départ et le point d'arrivée sera la même. Seuls les signes de \(f_x\) et \(f_y\) seront inversés, mais \(f_T\) restera identique.

Résultat : La fermeture linéaire totale est \(f_T = 0.10\) m (soit 10 cm).

Question 2 : Calcul de la Tolérance Planimétrique \(T_p\)

Principe :

On calcule d'abord la longueur totale du cheminement en sommant les longueurs de chaque côté. Ensuite, on applique la formule de tolérance fournie. Enfin, on compare la fermeture totale calculée (\(f_T\)) à cette tolérance (\(T_p\)) pour juger de la qualité du levé.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La tolérance n'est pas une valeur fixe. Elle est fonction de la longueur du parcours. Cela signifie qu'on accepte une erreur absolue un peu plus grande pour un très long cheminement que pour un très court, car les occasions d'accumuler de petites erreurs sont plus nombreuses. C'est la précision relative qui compte.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ T_p = 0.03 \sqrt{\Sigma D} \]
Donnée(s) :
  • Périmètre total : \(\Sigma D = 584.91 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} T_p &= 0.03 \times \sqrt{584.91} \\ &= 0.03 \times 24.185 \\ &\mathbf{= 0.73 \, m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

La bonne formule de tolérance : Les formules de tolérance varient selon les cahiers des charges (travaux publics, cadastre, etc.). Le coefficient (ici 0.03) et la dépendance (parfois en fonction du nombre de sommets \(n\)) peuvent changer. Il est crucial d'utiliser la formule spécifiée pour le projet.

Le saviez-vous ?

La dépendance à la racine carrée de la longueur (\(\sqrt{\Sigma D}\)) vient de la théorie des erreurs aléatoires. On suppose que les petites erreurs de mesure se combinent de manière quadratique, et non linéaire. C'est le même principe que la "marche de l'ivrogne".

FAQ en rapport avec la question :
D'où vient le coefficient 0.03 ?

Ce coefficient est empirique et dépend de la classe de précision du levé. Un levé de haute précision pourrait avoir un coefficient de 0.01 ou moins, tandis qu'un levé de reconnaissance pourrait avoir un coefficient plus élevé. Il est fixé par les normes professionnelles ou les spécifications du projet.

Résultat : La tolérance planimétrique est \(T_p = 0.73\) m.

Question 3 : Conclusion sur la Validité du Levé

Principe :
Tolérance Tₚ (0.73 m) fᴛ (0.10 m) ACCEPTÉ

La conclusion est une simple comparaison. Si l'erreur commise (\(f_T\)) est inférieure ou égale à l'erreur maximale autorisée (\(T_p\)), le levé est considéré comme valide et peut être utilisé. Dans le cas contraire, il est rejeté et les mesures doivent être refaites.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette décision binaire (Accepté/Refusé) est la responsabilité du topographe. Elle garantit que les plans et les calculs qui découleront de ce levé respecteront le niveau de qualité requis par le client ou le projet. Un levé accepté peut ensuite être "compensé" pour répartir l'erreur de fermeture.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{Si } f_T \le T_p \Rightarrow \text{Levé Acceptable} \] \[ \text{Si } f_T > T_p \Rightarrow \text{Levé à Rejeter} \]
Donnée(s) :
  • Fermeture totale calculée : \(f_T = 0.10 \, \text{m}\)
  • Tolérance calculée : \(T_p = 0.73 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ 0.10 \, \text{m} < 0.73 \, \text{m} \]
Points de vigilance :

Ne pas compenser un levé refusé : Il est mathématiquement possible de compenser n'importe quelle erreur, même une très grande. Cependant, cela n'a aucun sens technique. La compensation est faite pour répartir de petites erreurs aléatoires, pas pour masquer une faute grossière (erreur de lecture, de saisie, etc.). Un levé hors tolérance doit impérativement être vérifié et refait.

Le saviez-vous ?

Les systèmes GPS modernes de haute précision (RTK) effectuent ces vérifications en temps réel. L'appareil indique en permanence la précision estimée de la position (par exemple, "Précision H: 1.2 cm, V: 2.0 cm"). Si cette précision ne respecte pas les exigences du projet, le point n'est pas enregistré.

FAQ en rapport avec la question :
La tolérance est-elle la même pour tous les types de travaux ?

Non, absolument pas. Un levé pour une étude préliminaire aura une tolérance beaucoup plus large qu'un levé pour l'implantation d'un pont ou d'un bâtiment, où les précisions requises sont de l'ordre du millimètre.

Résultat : La fermeture totale (0.10 m) est inférieure à la tolérance (0.73 m). Le levé est donc acceptable.

Simulation : Calculateur de Fermeture Totale

Entrez les fermetures en X et Y pour calculer la fermeture totale et la visualiser.

Paramètres de Fermeture
Fermeture Totale (fᴛ)
Visualisation du Vecteur Fermeture

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un cheminement a une fermeture \(f_x = +3\) cm et \(f_y = -4\) cm. Quelle est sa fermeture totale \(f_T\) ?

2. Si la fermeture totale \(f_T\) est supérieure à la tolérance \(T_p\), que doit faire le topographe ?

Glossaire

Fermeture Planimétrique (\(f_x, f_y\))
Écart entre le point de départ et le point d'arrivée d'un cheminement fermé, décomposé sur les axes X et Y. Idéalement, \(f_x = \Sigma \Delta X = 0\) et \(f_y = \Sigma \Delta Y = 0\).
Fermeture Linéaire Totale (\(f_T\))
Distance directe entre le point de départ et le point d'arrivée. C'est la longueur du vecteur d'erreur, calculée par \(f_T = \sqrt{f_x^2 + f_y^2}\).
Tolérance Planimétrique (\(T_p\))
Fermeture linéaire totale maximale admissible pour qu'un levé soit considéré comme valide.
Calcul de la Fermeture Linéaire Totale

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