Étude Topographique

Tolérance de Fermeture d’un Nivellement

Topographie : Calcul de la Tolérance de Fermeture d'un Nivellement

Calcul de la Tolérance de Fermeture d'un Nivellement

Contexte : La Précision, Clé de Voûte de la Topographie

En topographie, le nivellement permet de déterminer des altitudes avec une grande précision. Lors d'un nivellement en boucleAussi appelé nivellement fermé. Le cheminement part d'un point connu, passe par plusieurs points à mesurer, et revient au point de départ. Cela permet un contrôle de la qualité des mesures. (ou fermé), on part d'un point d'altitude connue pour y revenir après avoir mesuré plusieurs autres points. Théoriquement, on devrait retrouver exactement l'altitude de départ. En pratique, de petites erreurs inévitables s'accumulent. La différence entre l'altitude de départ et l'altitude de retour calculée est appelée l'erreur de fermetureDifférence entre l'altitude connue du point de départ et l'altitude recalculée de ce même point à la fin d'un cheminement fermé. Formule : \(f = \text{Alt}_{\text{calculée}} - \text{Alt}_{\text{connue}}\). Pour valider le travail, cette erreur doit être inférieure à une toléranceErreur maximale admissible pour un travail topographique. Elle dépend de la précision de l'instrument et de la longueur du cheminement. légale ou réglementaire.

Remarque Pédagogique : Ce contrôle est non négociable. Il garantit la fiabilité des mesures altimétriques qui sont cruciales pour tout projet de construction (pentes d'écoulement, fondations, routes, etc.). Un nivellement non contrôlé ou hors tolérances est un travail inutilisable.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la notion de nivellement par cheminement fermé.
  • Calculer une erreur de fermeture altimétrique.
  • Déterminer la longueur totale d'un cheminement.
  • Calculer la tolérance réglementaire en fonction de la longueur.
  • Comparer l'erreur à la tolérance pour valider ou invalider un levé.

Données de l'étude

Un géomètre effectue un nivellement ordinaire en boucle partant du repère A, d'altitude connue, et y revenant. Les mesures sont consignées dans le tableau ci-dessous.

Schéma du Cheminement
A B C D L AB = 310m L BC = 290m L CD = 420m L DA = 380m

Données :

Tronçon Dénivelée (\(\Delta H\)) Longueur (L)
A → B +1.254 m 310 m
B → C -0.831 m 290 m
C → D +2.107 m 420 m
D → A -2.538 m 380 m
  • Altitude du point de départ : \(\text{Alt}_{\text{A}} = 124.500 \, \text{m}\)
  • Type de nivellement : Nivellement ordinaire. La tolérance est donnée par la formule \( T = 20 \, \text{mm} \sqrt{L_{\text{km}}} \), où L est la longueur totale du parcours en km.

Questions à traiter

  1. Calculer la longueur totale du cheminement en kilomètres.
  2. Calculer l'erreur de fermeture altimétrique (\(f\)) du cheminement.
  3. Calculer la tolérance de fermeture (\(T\)) pour ce cheminement.
  4. Comparer l'erreur à la tolérance et conclure sur la validité du nivellement.

Correction : Calcul de la Tolérance de Fermeture d'un Nivellement

Question 1 : Longueur Totale du Cheminement

Principe :
L total = 310m 290m 420m 380m

La longueur totale du cheminement est simplement la somme des longueurs de chaque tronçon mesuré. Le résultat doit être converti en kilomètres pour le calcul de la tolérance.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La conversion en kilomètres est une étape simple mais cruciale. Une erreur ici fausserait complètement le calcul de la tolérance et la conclusion finale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ L_{\text{total}} = L_{\text{AB}} + L_{\text{BC}} + L_{\text{CD}} + L_{\text{DA}} \]
Donnée(s) :
  • \(L_{\text{AB}} = 310 \, \text{m}\)
  • \(L_{\text{BC}} = 290 \, \text{m}\)
  • \(L_{\text{CD}} = 420 \, \text{m}\)
  • \(L_{\text{DA}} = 380 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} L_{\text{total}} &= 310 + 290 + 420 + 380 \\ &= 1400 \, \text{m} \\ &= 1.4 \, \text{km} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Oubli d'un tronçon : Toujours vérifier que toutes les longueurs des tronçons ont été additionnées. Un oubli est vite arrivé sur des cheminements longs.

Le saviez-vous ?

Dans les logiciels de topographie modernes, ce calcul est automatisé, mais comprendre le principe manuel reste essentiel pour interpréter correctement les résultats et détecter des anomalies.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi utiliser les kilomètres ?

Parce que les formules de tolérance réglementaires sont établies avec cette unité. C'est une convention pour standardiser les calculs de précision à travers différents projets et pays.

Résultat : La longueur totale du cheminement est de 1.4 km.

Question 2 : Erreur de Fermeture Altimétrique (f)

Principe :
Altitude f = -8mm

Dans un cheminement fermé, la somme de toutes les dénivelées devrait être nulle. Toute valeur non nulle représente l'erreur de fermeture. Elle est la somme algébrique des dénivelées mesurées.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le signe de l'erreur est important. Une erreur négative (-8 mm) signifie que l'altitude calculée du point A en fin de boucle est 8 mm plus basse que son altitude réelle de départ. La correction à appliquer à chaque dénivelée sera donc de signe opposé à l'erreur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ f = \sum \Delta H = \Delta H_{\text{AB}} + \Delta H_{\text{BC}} + \Delta H_{\text{CD}} + \Delta H_{\text{DA}} \]
Donnée(s) :
  • \(\Delta H_{\text{AB}} = +1.254 \, \text{m}\)
  • \(\Delta H_{\text{BC}} = -0.831 \, \text{m}\)
  • \(\Delta H_{\text{CD}} = +2.107 \, \text{m}\)
  • \(\Delta H_{\text{DA}} = -2.538 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} f &= (+1.254) + (-0.831) + (+2.107) + (-2.538) \\ f &= 3.361 - 3.369 \\ f &= -0.008 \, \text{m} \\ f &= -8 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Attention aux signes ! Une erreur d'addition avec les dénivelées positives et négatives est la source d'erreur la plus fréquente dans ce calcul.

Le saviez-vous ?

Cette erreur de fermeture est aussi appelée 'écart de fermeture'. Elle contient la somme de toutes les petites erreurs aléatoires de lecture sur la mire et de mise en station de l'instrument.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passerait-il si on parcourait la boucle dans l'autre sens ?

La valeur de l'erreur de fermeture serait identique, mais de signe opposé. En partant de A vers D, C, B puis A, chaque dénivelée changerait de signe, et la somme finale serait donc de +8 mm.

Résultat : L'erreur de fermeture est de \(f = -8 \, \text{mm}\).

Question 3 : Tolérance de Fermeture (T)

Principe :
T = 20 x L (km)

La tolérance est l'erreur maximale autorisée. Elle est calculée à l'aide de la formule réglementaire qui dépend du type de nivellement et de la longueur totale du parcours en kilomètres.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La formule de tolérance n'est pas linéaire. L'erreur permise n'est pas directement proportionnelle à la distance, mais à sa racine carrée. Cela signifie que pour des parcours très longs, l'exigence de précision relative augmente.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ T = 20 \, \text{mm} \sqrt{L_{\text{km}}} \]
Donnée(s) :
  • Longueur totale \(L_{\text{km}} = 1.4 \, \text{km}\)
  • Coefficient pour nivellement ordinaire : 20 mm
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} T &= 20 \times \sqrt{1.4} \\ T &\approx 20 \times 1.183 \\ T &\approx 23.66 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités et Racine : Ne pas oublier la racine carrée ! Et s'assurer que la longueur L est bien en kilomètres avant de l'injecter dans la formule.

Le saviez-vous ?

Le coefficient (ici 20 mm) dépend de la classe de précision du nivellement. Pour des travaux de très haute précision, comme le suivi de déformation d'un barrage, ce coefficient peut descendre à 1 ou 2 mm/√km.

FAQ en rapport avec la question :
D'où vient cette formule ?

Elle est empirique, c'est-à-dire qu'elle est issue de l'expérience et de statistiques sur un grand nombre de chantiers. Elle modélise bien la façon dont les erreurs aléatoires (qui ne vont pas toujours dans le même sens) s'accumulent sur un parcours.

Résultat : La tolérance de fermeture pour ce cheminement est d'environ 24 mm.

Question 4 : Conclusion sur la Validité

Principe :
T = 24mm |f| = 8mm

Pour que le levé soit accepté, la valeur absolue de l'erreur de fermeture doit être inférieure ou égale à la tolérance calculée.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette comparaison finale est le jugement de l'opérateur. C'est l'étape qui donne un sens à tous les calculs précédents et qui engage la responsabilité du géomètre sur la qualité de son travail.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ |f| \leq T \]
Donnée(s) :
  • Erreur de fermeture \(|f| = 8 \, \text{mm}\)
  • Tolérance \(T \approx 24 \, \text{mm}\)
Comparaison :
\[ \begin{aligned} |f| &= |-8 \, \text{mm}| = 8 \, \text{mm} \\ T &\approx 24 \, \text{mm} \\ \text{On a bien } & 8 \, \text{mm} \leq 24 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Ne pas comparer les signes : La comparaison se fait toujours sur la valeur absolue de l'erreur, car c'est l'amplitude de l'erreur qui compte, pas sa direction (positive ou négative).

Le saviez-vous ?

Même si un levé est accepté, il n'est pas 'parfait'. L'étape suivante est la 'compensation', qui consiste à répartir l'erreur de fermeture sur toutes les mesures pour la rendre nulle et obtenir les altitudes les plus probables.

FAQ en rapport avec la question :
Et si l'erreur était de 24.1 mm ?

Même pour 0.1 mm, le levé serait techniquement hors tolérance et devrait être refusé. En pratique, l'opérateur peut vérifier ses calculs avant de décider de refaire les mesures sur le terrain.

Conclusion : Puisque \(|f| \leq T\), le nivellement est conforme et les mesures sont acceptées.

Simulation Interactive de Tolérance

Faites varier la longueur du parcours et le type de nivellement pour voir comment la tolérance admissible évolue. Entrez votre erreur de fermeture pour la comparer.

Paramètres du Nivellement
Comparaison Erreur / Tolérance

Le Saviez-Vous ?

Les tolérances de nivellement sont souvent fixées par des réglementations nationales ou des cahiers des charges spécifiques à un projet. En France, elles sont définies par un arrêté qui date de 1980, toujours en vigueur pour les principes de base !

Foire Aux Questions (FAQ)

Que fait-on si le nivellement est hors tolérance ?

Si \(|f| > T\), le travail est refusé. Il faut alors rechercher la faute. Cela peut être une erreur de lecture, de calcul, un point qui a bougé, ou un problème d'instrument. Le plus souvent, le géomètre doit refaire entièrement le cheminement pour garantir la qualité du résultat.

Comment répartit-on la correction si le levé est accepté ?

Si le levé est accepté, l'erreur de fermeture \(f\) doit être "compensée", c'est-à-dire répartie sur toutes les mesures pour la ramener à zéro. La méthode la plus courante est la répartition proportionnelle à la longueur des tronçons. Chaque dénivelée est corrigée d'une valeur \(c_i = -f \times (L_i / L_{\text{total}})\).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double la longueur d'un cheminement, la tolérance est :

2. Une erreur de fermeture de +12 mm est trouvée pour une tolérance de 15 mm. Que concluez-vous ?

Glossaire

Nivellement
Ensemble des opérations topographiques permettant de mesurer des différences d'altitude (dénivelées) et de déterminer l'altitude de points.
Cheminement Fermé (ou en boucle)
Un parcours de nivellement qui part d'un point d'altitude connue et y revient après avoir mesuré d'autres points. C'est une méthode d'auto-contrôle.
Erreur de Fermeture (f)
Différence entre l'altitude connue du point de départ et son altitude recalculée à la fin de la boucle. Elle représente l'erreur globale accumulée.
Tolérance (T)
Erreur maximale admissible pour un type de travail donné. Si l'erreur de fermeture est supérieure à la tolérance, le travail doit être refait.
Calcul de la Tolérance de Fermeture d'un Nivellement

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