Problème de bornage : La surface contestée
Contexte : Litige foncier entre les parcelles 102 et 103 (Commune de Rouvroy).
Dans le cadre d'une opération de Bornage AmiableOpération contradictoire fixant définitivement la limite séparative entre deux propriétés privées contiguës (Art. 646 Code Civil)., un désaccord technique survient entre deux riverains : M. Dupont (propriétaire de la parcelle 102) et Mme Martin (propriétaire de la parcelle 103).
Les titres de propriété et les plans de bornage antérieurs définissent une limite rectiligne parfaite entre deux bornes anciennes (A et B), reconnues et non contestées par les parties. Cependant, une clôture grillagée ancienne (représentée par le point P) existe sur le terrain et ne semble pas alignée avec cette droite théorique AB.
En tant que Géomètre-Topographe, votre mission est de quantifier l'empiétement potentiel en calculant la superficie de la zone triangulaire (ABP) formée par cet écart. Ce calcul permettra de déterminer si l'écart est négligeable (dans la ToléranceMarge d'erreur technique acceptable liée à la précision des instruments de mesure.) ou s'il nécessite une rectification juridique.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental en BTS Géomètre-Topographe. Il mobilise vos compétences en calculs planimétriques (coordonnées rectangulaires Lambert) et surtout votre capacité d'analyse critique pour distinguer une simple erreur de mesure d'un problème foncier réel.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer une distance planimétrique à partir des coordonnées rectangulaires (X, Y) issues d'un levé.
- Calculer une surface polygonale (ici triangulaire) par la méthode analytique des coordonnées (produits en croix).
- Analyser un résultat technique en le confrontant à une tolérance normalisée pour formuler une conclusion juridique fiable.
Données de l'étude
Pour mener à bien cette expertise, vous disposez d'un extrait du carnet de terrain numérique. Les coordonnées sont exprimées en système local plan (métrique), compatible avec une projection Lambert 93 locale.
Carnet de Coordonnées (Extrait)
| Point | Nature & Description | Abscisse X (m) | Ordonnée Y (m) |
|---|---|---|---|
| A | Borne OGE (En grès, tête carrée, existante) | 10.00 | 10.00 |
| B | Borne OGE (En grès, tête carrée, existante) | 50.00 | 15.00 |
| P | PiquetMatérialisation temporaire ou précaire d'une limite (bois ou fer). de clôture (angle du grillage) | 30.00 | 18.00 |
Schéma de situation (Vue en plan)
| Variable Mathématique | Symbole | Valeur Nominale | Unité |
|---|---|---|---|
| Abscisse du point A | \(X_{\text{A}}\) | 10.00 | \(\text{m}\) |
| Ordonnée du point A | \(Y_{\text{A}}\) | 10.00 | \(\text{m}\) |
| Tolérance admissible (Surface) | \(T_{\text{s}}\) | 10.00 | \(\text{m}^2\) |
Questions à traiter
- Calculer la distance théorique \(D_{\text{AB}}\) entre les deux bornes afin de vérifier la cohérence avec le titre de propriété.
- Calculer la superficie \(S\) du triangle ABP (la surface contestée) en utilisant les coordonnées.
- Conclure : En comparant la surface calculée à la tolérance de \(10 \text{ m}^2\), l'écart est-il significatif ? Quelle conséquence pour le bornage ?
Les bases théoriques : Topométrie Fondamentale
Pour résoudre ce problème de géométrie plane, nous faisons appel à des concepts essentiels de mathématiques appliquées à la topographie. Ces formules sont la base de tout logiciel de DAO (Dessin Assisté par Ordinateur) comme AutoCAD ou Covadis.
Principe 1 : Distance Euclidienne (Pythagore Généralisé)
Dans un repère orthonormé (O, X, Y), la distance entre deux points est l'hypoténuse du triangle rectangle formé par les différences de coordonnées \(\Delta X\) et \(\Delta Y\).
Calcul de Distance Planimétrique
Où :
- \((X_{\text{B}} - X_{\text{A}})\) représente le déplacement Est-Ouest (\(\Delta X\)).
- \((Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}})\) représente le déplacement Nord-Sud (\(\Delta Y\)).
Principe 2 : Surface par Coordonnées (Formule des Trapèzes)
Pour calculer la surface d'un polygone fermé quelconque (triangle, quadrilatère, etc.) à partir des coordonnées de ses sommets, on utilise la méthode analytique des "produits en croix". Cette méthode correspond géométriquement à la somme algébrique des aires des trapèzes formés par chaque segment sous l'axe des abscisses.
Formule de la Double Surface (2S)
Pour un triangle ABP :
Important : Le résultat final \(S\) est la moitié de cette somme. Le signe (+ ou -) dépend du sens de parcours des sommets (horaire ou trigonométrique), c'est pourquoi on prend toujours la valeur absolue pour une surface foncière.
Principe 3 : La Notion de Tolérance
En topographie, aucune mesure n'est "parfaite". Il existe toujours une incertitude liée à l'appareil, à l'opérateur et aux conditions atmosphériques. La tolérance \(T\) est la limite au-delà de laquelle une erreur est considérée comme inacceptable ou une différence comme réelle (et non due au hasard).
Règle de décision
Correction : Problème de bornage
Question 1 : Calcul de la distance \(D_{\text{AB}}\)
Principe
Nous cherchons à valider la géométrie de base du terrain. La distance entre les bornes A et B, calculée à partir de leurs coordonnées certifiées, doit correspondre à la distance mentionnée sur le titre de propriété pour s'assurer qu'il n'y a pas eu de mouvement de bornes.
Mini-Cours : Les projections
En France, nous utilisons la projection Lambert 93. C'est une projection conique conforme qui conserve les angles mais déforme légèrement les distances. Cependant, à l'échelle d'une parcelle (quelques dizaines de mètres), on considère le repère comme parfaitement cartésien (plat) et orthonormé.
Remarque Pédagogique
Contrôle de cohérence : Avant même de calculer, observez les coordonnées. X passe de 10 à 50 (écart 40m). Y passe de 10 à 15 (écart 5m). La distance doit être forcément supérieure à la plus grande des composantes (40m), mais proche de celle-ci car l'autre composante est faible.
Normes et Précision
Selon l'arrêté de 2003 sur les classes de précision, pour un levé foncier urbain (Classe de précision 3cm), les distances sont généralement données au centimètre près (2 décimales), voire au millimètre.
Formule(s)
Théorème de Pythagore
Hypothèses
Nous supposons que :
- Les coordonnées fournies sont définitives (issues d'un procès-verbal antérieur).
- Le terrain est considéré plan pour ce calcul (distance horizontale \(D_{\text{h}}\)).
Donnée(s)
| Point | Abscisse X | Ordonnée Y |
|---|---|---|
| A | 10.00 | 10.00 |
| B | 50.00 | 15.00 |
Astuces Calculatrice
Sur votre calculatrice, utilisez la fonction Pol(dX, dY) (Polaire) si elle existe. Elle vous donne directement la distance \(r\) et le gisement \(\theta\). Sinon, calculez d'abord les carrés pour éviter les erreurs de parenthèses.
Situation Initiale (Géométrie du segment)
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul des Deltas (Différences)
Pour déterminer la longueur du segment projeté sur les axes, nous calculons les différences de coordonnées entre le point d'arrivée (B) et le point de départ (A) :
Ces valeurs correspondent aux côtés du triangle rectangle dont le segment AB est l'hypoténuse.
Étape 2 : Application numérique complète
Nous appliquons ensuite le théorème de Pythagore en élevant ces différences au carré, en les additionnant, puis en prenant la racine carrée de la somme :
La valeur brute obtenue est environ 40.3112... mètres. Conformément aux usages en topographie pour ce type de levé, nous arrondissons le résultat au centimètre le plus proche.
Schéma (Résultat)
Réflexions
Le résultat \(40.31\) est très proche de \(40.00\), ce qui est logique car l'angle de la limite par rapport à l'axe X est faible. La cohérence est validée.
Points de vigilance
Erreur fréquente : Ne jamais additionner simplement les deltas ! \(\sqrt{A^2 + B^2} \neq A + B\). Par exemple, \(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\), alors que \(3+4=7\).
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- Toujours faire \((Arrivée - Départ)\) pour les deltas (important pour les gisements, moins pour les distances car le carré annule le signe).
- L'unité finale est le mètre (m).
Le saviez-vous ?
Cette distance est dite "réduite à l'horizon". Si le terrain était en pente forte, la distance mesurée au ruban (suivant la pente) serait plus grande que 40.31 m.
FAQ
Pourquoi ne pas mesurer directement sur le plan ?
La mesure graphique (à la règle sur un plan papier) est imprécise à cause de l'échelle et de la déformation du papier. Le calcul numérique sur les coordonnées est la seule méthode juridiquement incontestable ("exacte").
A vous de jouer
Si le point B avait pour coordonnées (50.00 ; 10.00), soit un \(\Delta Y = 0\), quelle serait la distance ?
📝 Mémo
Distance = Hypoténuse. \(\text{Dist}^2 = \Delta X^2 + \Delta Y^2\).
Question 2 : Calcul de la Surface S (Triangle ABP)
Principe
Nous devons calculer la superficie exacte du triangle formé par les points A, B et P. Plutôt que d'utiliser la formule \(Base \times Hauteur / 2\) (difficile car nous n'avons pas la hauteur), nous utilisons la méthode des coordonnées, universelle en topographie pour n'importe quel polygone.
Mini-Cours : La méthode des trapèzes
Cette méthode consiste à projeter chaque sommet sur l'axe des Y (ou des X). Cela forme des trapèzes sous chaque segment du contour. En additionnant et soustrayant judicieusement les aires de ces trapèzes (selon le sens de parcours), on obtient l'aire du polygone.
Formule développée : \(2S = \sum X_i (Y_{\text{suiv}} - Y_{\text{prec}})\).
Remarque Pédagogique
Organisation : Pour éviter les erreurs de signe qui sont fatales avec cette méthode, il est vivement conseillé de présenter les calculs sous forme de tableau cyclique.
Normes
Dans le cadastre français, les contenances (surfaces) sont exprimées en \(ares\) (a) et \(centiares\) (ca). \(1 \text{ a} = 100 \text{ m}^2\) et \(1 \text{ ca} = 1 \text{ m}^2\).
Formule(s)
Formule Analytique
Hypothèses
Les limites entre les points A, B et P sont considérées comme des segments de droite parfaits.
Donnée(s)
| Point | X | Y |
|---|---|---|
| A | 10.00 | 10.00 |
| B | 50.00 | 15.00 |
| P | 30.00 | 18.00 |
Astuces
Pour le calcul, imaginez que les points forment une boucle fermée : A -> B -> P -> A.
Pour le point A, le "précédent" est P et le "suivant" est B.
Pour le point B, le "précédent" est A et le "suivant" est P.
Le Triangle à calculer (Polygone fermé)
Calculs détaillés
Détail du calcul des termes (Tableau Algorithmique)
Pour chaque ligne, on prend le \(X\) du point courant et on le multiplie par la différence des \(Y\) (Suivant - Précédent).
| Point (i) | \(X_i\) | Calcul du \(Y\) \((Y_{i+1} - Y_{i-1})\) | Produit partiel (2S) |
|---|---|---|---|
| A | 10.00 | \(Y_{\text{B}} - Y_{\text{P}} = 15 - 18 = -3\) | \(10 \times (-3) = \mathbf{-30}\) |
| B | 50.00 | \(Y_{\text{P}} - Y_{\text{A}} = 18 - 10 = +8\) | \(50 \times 8 = \mathbf{400}\) |
| P | 30.00 | \(Y_{\text{A}} - Y_{\text{B}} = 10 - 15 = -5\) | \(30 \times (-5) = \mathbf{-150}\) |
Somme et Résultat Final
Une fois tous les produits partiels calculés dans la dernière colonne du tableau, nous devons en faire la somme algébrique (en respectant les signes) :
Ce résultat intermédiaire de 220 correspond à la 'Double Surface' (2S). Pour obtenir la superficie réelle du triangle, il reste une dernière étape indispensable. Nous divisons simplement la double surface par 2 pour obtenir l'aire finale :
La surface géométrique du triangle formé par l'écart de la clôture est donc exactement de 110 mètres carrés.
Schéma (Résultat)
Réflexions
La surface est positive, ce qui indique que nous avons tourné dans le sens trigonométrique (anti-horaire). Une valeur de 110 m² pour un simple écart de clôture semble très importante, cela suggère un problème majeur.
Erreur mortelle : Oublier de diviser par 2 à la toute fin ! C'est l'erreur la plus classique qui fausse tout le diagnostic.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- La formule des trapèzes est valable pour n'importe quel polygone (3, 4, 100 sommets).
- Toujours prendre la valeur absolue du résultat final.
Le saviez-vous ?
Cette méthode est exactement celle utilisée par les logiciels internes des stations totales (tachéomètres) pour afficher la surface sur le terrain en temps réel.
FAQ
Et si les points A, B et P étaient alignés ?
Si les points étaient alignés, ils ne formeraient pas un triangle mais une ligne plate. La surface calculée serait alors exactement de 0 m².
A vous de jouer
Supposons que P soit parfaitement aligné entre A et B, à la position (30.00 ; 12.50). Quelle serait la surface calculée ?
📝 Mémo
Surface = Somme des (X * Différence des Y) / 2.
Question 3 : Analyse de l'écart et Conclusion
Principe
Le calcul n'est qu'un outil. Le rôle du géomètre est d'interpréter le résultat. Nous devons comparer la surface calculée (la réalité du terrain) à la tolérance (la marge d'erreur admissible) pour décider si la clôture est bien placée ou non.
Mini-Cours : Conformité et Tolérance
La tolérance est une valeur seuil.
- Si Écart < Tolérance : On considère que l'écart est dû au "bruit" de mesure. La limite est juridiquement respectée.
- Si Écart > Tolérance : L'écart est significatif. Il y a "discordance". Cela implique une action : déplacement de la clôture ou modification des limites juridiques (échange de terrain).
Remarque Pédagogique
Ne soyez pas un simple calculateur. Un chiffre (110) ne veut rien dire sans contexte (10). C'est la comparaison qui crée l'expertise.
Normes
Les tolérances dépendent de l'époque du plan, de la précision des anciens appareils (chaîne d'arpenteur vs GPS) et de la nature du terrain (urbain dense vs rural).
Formule(s)
Critère de Décision
Hypothèses
La tolérance de 10 m² est donnée comme une contrainte stricte dans l'énoncé.
- Tolérance fixe = 10 m²
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Surface Calculée (Réalité) | 110 m² |
| Tolérance Admissible (Seuil) | 10 m² |
Astuces
Si la valeur trouvée est 10 fois supérieure à la tolérance (comme ici), il n'y a aucun doute possible. Ce n'est pas une "petite" erreur de mesure.
Visualisation de la Comparaison
Analyse
Nous confrontons maintenant la réalité du terrain (Surface mesurée) à la contrainte technique (Tolérance). Posons l'inégalité et procédons à la comparaison directe :
Inégalité constatée
Le signe '>>' indique que la surface est largement supérieure à la tolérance. L'inégalité n'est pas vérifiée dans le sens de la conformité. La surface calculée est 11 fois supérieure à la tolérance accordée.
Schéma (Diagnostic)
Réflexions
L'écart est trop important pour être une simple erreur technique. La clôture a probablement été posée au mauvais endroit, ou la borne a bougé (bien que l'énoncé dise "bornes reconnues"). C'est un litige foncier.
Points de vigilance
Vocabulaire : Ne dites pas "le voisin a volé du terrain". Utilisez des termes neutres : "empiétement constaté", "discordance entre l'état des lieux et les titres".
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- Calculer n'est pas une fin en soi, c'est l'analyse qui compte.
- La tolérance est la clé de la décision.
Le saviez-vous ?
Si la clôture est là depuis plus de 30 ans sans contestation, la "Prescription Acquisitive" (ou Usucapion) pourrait permettre au voisin de devenir propriétaire de ce bout de terrain, malgré votre calcul !
FAQ
Que doit-on faire maintenant ?
Il faut informer les clients. Soit on déplace la clôture, soit M. Dupont achète les 110 m² à Mme Martin pour régulariser la situation.
A vous de jouer
Si la surface calculée avait été de 8 m² (avec une tolérance de 10 m²), quelle serait la conclusion ? (Tapez 1 pour Conforme, 0 pour Non-Conforme)
📝 Mémo
Calculer -> Comparer -> Conclure.
Schéma Bilan de l'Exercice
Ce schéma résume visuellement l'ensemble de l'expertise foncière réalisée.
📝 Grand Mémo : Le Bornage
Points clés méthodologiques pour le géomètre-topographe :
-
🔑
Point Clé 1 : La Matérialisation vs Le Droit
Une clôture, un mur ou une haie sont des indices ("limites de possession"). Seules les bornes définies par un PV de bornage ("limites juridiques") font foi. -
📐
Point Clé 2 : Rigueur du Calcul
La méthode des coordonnées est incontournable. Elle permet de calculer n'importe quelle surface, quelle que soit sa forme, avec une précision millimétrique. -
⚠️
Point Clé 3 : La Tolérance
En topographie, l'égalité parfaite n'existe pas. Tout résultat doit être accompagné d'une analyse de tolérance avant de conclure. -
💡
Point Clé 4 : Responsabilité
Valider les coordonnées des bornes existantes (contrôle de distance) est une obligation avant tout calcul de surface litigieuse.
🎛️ Simulateur : Déplacez le piquet P
Modifiez la position X et Y du piquet de clôture (P) pour voir évoluer la surface contestée et vérifier la tolérance en temps réel.
Position du Piquet P (Grillage)
📝 Quiz final : Droit et Technique
1. Quelle est la valeur probante d'une borne OGE par rapport à une clôture ?
2. Si la méthode des coordonnées donne un résultat négatif (-110 m²), que fait-on ?
📚 Glossaire
- Bornage
- Opération contradictoire définissant la limite entre deux terrains privés.
- Gisement
- Angle horizontal formé par une direction et le Nord Lambert (sens horaire).
- Lambert 93
- Système de projection cartographique officiel pour la France métropolitaine.
- Planimétrie
- Représentation en deux dimensions (X, Y) des détails du terrain, sans tenir compte de l'altitude.
- Tolérance
- Erreur maximale admissible entre deux mesures indépendantes pour qu'elles soient considérées comme concordantes.
Le Saviez-vous ?
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