Étude Topographique

Nivellement trigonométrique avec hauteur de prisme

Topographie : Nivellement Trigonométrique avec Hauteur de Prisme

Nivellement trigonométrique avec hauteur de prisme

Contexte : La précision du point visé

Lors d'un levé topographique, il est rare de pouvoir viser directement le point dont on cherche l'altitude. Le plus souvent, on vise un réflecteurAussi appelé prisme. Cible spéciale qui renvoie le signal laser de la station totale vers son point d'origine, permettant une mesure de distance très précise. (ou prisme) tenu sur une canne, elle-même posée sur le point. La mesure de l'instrument nous donne donc l'altitude du centre du prisme. Pour obtenir l'altitude du point au sol, il est impératif de soustraire la hauteur de la canne porte-prisme. Cet exercice détaille ce calcul essentiel pour passer de la mesure brute à l'altitude finale correcte.

Remarque Pédagogique : Cet exercice met en lumière l'importance des corrections instrumentales. Une mesure brute n'est jamais le résultat final en topographie. Il faut toujours prendre en compte les hauteurs de l'instrument et du prisme. Une erreur sur ces hauteurs se répercute directement sur l'altitude finale, d'où la nécessité de les mesurer avec soin.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer une dénivelée brute entre un instrument et un prisme.
  • Corriger la dénivelée brute avec la hauteur de l'instrument pour obtenir l'altitude du prisme.
  • Appliquer la correction de hauteur de prisme pour obtenir l'altitude du point au sol.
  • Maîtriser la formule complète du nivellement trigonométrique indirect.
  • Comprendre la chaîne de calcul depuis la mesure brute jusqu'au résultat final.

Données de l'étude

Un géomètre doit déterminer l'altitude exacte d'un repère métallique P scellé dans un muret. Il installe sa station totale au point S, d'altitude connue. Un aide place une canne porte-prisme sur le repère P.

Schéma de la mesure
Station S Point P ht = 1.58 m hp = 2.00 m Dh = 78.15 m

Données connues :

  • Altitude de la station S : \(Alt_S = 45.120 \, \text{m}\)
  • Hauteur de l'instrument : \(h_t = 1.580 \, \text{m}\)
  • Hauteur de la canne porte-prisme : \(h_p = 2.000 \, \text{m}\)

Mesures vers le prisme :

  • Distance horizontale : \(D_h = 78.15 \, \text{m}\)
  • Angle vertical : \(V = 98.24 \, \text{gon}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la dénivelée brute (\(\Delta H_{\text{brute}}\)) entre l'axe des tourillons et le centre du prisme.
  2. Calculer l'altitude du centre du prisme (\(Alt_{\text{prisme}}\)).
  3. En déduire l'altitude finale du repère P (\(Alt_P\)).

Correction : Nivellement Trigonométrique avec Hauteur de Prisme

Question 1 : Dénivelée Brute (\(\Delta H_{\text{brute}}\))

Principe :
Dh ΔH_brute 100-V

La dénivelée brute est la différence de hauteur entre l'axe de l'instrument et le centre du prisme visé. Elle est calculée en utilisant la distance horizontale et l'angle vertical mesuré, formant ainsi un triangle rectangle.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La visée est légèrement montante (angle V < 100 gon), on s'attend donc à une dénivelée brute positive. Si la visée était descendante (V > 100 gon), la dénivelée serait négative.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta H_{\text{brute}} = D_{\text{h}} \times \tan(100 - V) \]
Donnée(s) :
  • Distance horizontale \(D_{\text{h}} = 78.15 \, \text{m}\)
  • Angle vertical \(V = 98.24 \, \text{gon}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{brute}} &= 78.15 \times \tan(100 - 98.24 \, \text{gon}) \\ &= 78.15 \times \tan(1.76 \, \text{gon}) \\ &= 2.16 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Précision des angles : Les angles verticaux sont souvent mesurés avec une grande précision (4 décimales en grades). Il est important de conserver cette précision dans les calculs intermédiaires pour ne pas fausser le résultat final, qui est souvent donné au millimètre près.

Le saviez-vous ?

Les stations totales modernes compensent automatiquement l'inclinaison de l'axe de l'instrument. Si l'appareil n'est pas parfaitement horizontal ("calé"), des capteurs internes mesurent l'inclinaison et corrigent les angles horizontaux et verticaux pour donner les valeurs comme si l'instrument était parfait.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi ne pas utiliser la distance inclinée ?

On pourrait utiliser la distance inclinée (\(D_i\)) avec la formule \(\Delta H_{\text{brute}} = D_i \times \cos(V)\). Ici, l'énoncé donne directement la distance horizontale (\(D_h\)), ce qui est courant car les instruments modernes la calculent et l'affichent souvent. Utiliser \(D_h\) et tan est donc plus direct dans ce cas.

Résultat : La dénivelée brute est \(\Delta H_{\text{brute}} = 2.16 \, \text{m}\).

Question 2 : Altitude du Prisme (\(Alt_{\text{prisme}}\))

Principe :
Niveau 0 Alt_S ht ΔH_brute Alt_prisme

L'altitude du centre du prisme est calculée en partant de l'altitude connue de la station S. On "monte" d'abord de la hauteur de l'instrument (\(h_t\)) pour arriver à l'axe des tourillons, puis on applique la dénivelée brute (\(\Delta H_{\text{brute}}\)) que l'on vient de calculer.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Ce calcul donne l'altitude d'un point intermédiaire qui n'existe que dans l'espace : le centre optique du prisme. C'est une étape essentielle mais ce n'est pas le résultat final recherché, qui est l'altitude du point au sol.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Alt_{\text{prisme}} = Alt_S + h_t + \Delta H_{\text{brute}} \]
Donnée(s) :
  • Altitude de la station \(Alt_S = 45.120 \, \text{m}\)
  • Hauteur de l'instrument \(h_t = 1.580 \, \text{m}\)
  • Dénivelée brute \(\Delta H_{\text{brute}} = 2.16 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} Alt_{\text{prisme}} &= 45.120 + 1.580 + 2.160 \\ &= 48.860 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Ne pas oublier \(h_t\) : Une erreur fréquente est d'oublier d'ajouter la hauteur de l'instrument, et d'ajouter directement la dénivelée brute à l'altitude de la station. Il faut toujours se souvenir que la visée part de l'instrument, pas du sol.

Le saviez-vous ?

Le centre optique d'un prisme (le point qui est réellement mesuré) n'est pas toujours au centre physique du verre. Il existe une "constante de prisme" (souvent 0 ou -30 mm) qui corrige ce décalage. Les instruments modernes permettent de renseigner cette constante pour qu'elle soit appliquée automatiquement.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passe-t-il si la dénivelée brute est négative ?

La formule reste exactement la même. Si \(\Delta H_{\text{brute}}\) était négative (visée descendante), on l'ajouterait simplement à \(Alt_S + h_t\), ce qui reviendrait à une soustraction. Par exemple, \(45.120 + 1.580 + (-1.50) = 45.200 \, \text{m}\).

Résultat : L'altitude du centre du prisme est \(Alt_{\text{prisme}} = 48.860 \, \text{m}\).

Question 3 : Altitude du Repère P (\(Alt_P\))

Principe :
Prisme Point P Alt_prisme - hp

C'est la dernière étape de correction. On connaît l'altitude du centre du prisme, mais le point qui nous intéresse est le repère P sur lequel la canne est posée. Pour trouver son altitude, il suffit de soustraire la hauteur de la canne porte-prisme (\(h_p\)) à l'altitude du prisme.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La hauteur du prisme est une source d'erreur fréquente. L'aide-opérateur peut mal lire la hauteur sur la canne, ou ne pas la tenir parfaitement verticale. Pour des mesures de haute précision, on utilise des cannes avec des niveaux à bulle pour garantir leur verticalité.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Alt_P = Alt_{\text{prisme}} - h_p \]
Donnée(s) :
  • Altitude du prisme \(Alt_{\text{prisme}} = 48.860 \, \text{m}\)
  • Hauteur du prisme \(h_p = 2.000 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} Alt_P &= 48.860 - 2.000 \\ &= 46.860 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Addition vs. Soustraction : Il faut bien soustraire la hauteur de prisme. L'altitude du point au sol est toujours plus basse que celle du prisme qui est posé dessus. Une erreur d'inattention peut conduire à additionner \(h_p\), ce qui fausserait gravement le résultat.

Le saviez-vous ?

Certaines cannes porte-prisme sont télescopiques et graduées. L'aide-opérateur doit s'assurer de lire la bonne graduation correspondant à la hauteur à laquelle le prisme est fixé, une autre source d'erreur humaine potentielle !

FAQ en rapport avec la question :
Peut-on calculer l'altitude finale en une seule formule ?

Oui, absolument. La formule complète qui regroupe toutes les étapes est : \(Alt_P = Alt_S + h_t + (D_h \times \tan(100 - V)) - h_p\). Décomposer le calcul en étapes permet cependant de mieux comprendre le processus et de vérifier plus facilement les résultats intermédiaires.

Résultat : L'altitude finale du repère P est de 46.860 m.

Simulation Interactive du Calcul

Faites varier les paramètres de la mesure pour observer l'impact sur l'altitude finale.

Paramètres de Mesure
Altitude du Prisme
Altitude Finale du Point P
Composition de l'Altitude

Pour Aller Plus Loin : Le Nivellement par Cheminement

De proche en proche : Pour déterminer l'altitude de plusieurs points très éloignés les uns des autres, on utilise un "cheminement altimétrique". On part d'un point connu S, on mesure l'altitude d'un point intermédiaire P1. Puis, on déplace la station en P1 pour mesurer l'altitude d'un nouveau point P2, et ainsi de suite. Chaque calcul est un nivellement trigonométrique comme celui de cet exercice. Les erreurs peuvent s'accumuler, c'est pourquoi ces cheminements sont souvent "fermés" (on revient au point de départ pour vérifier la cohérence) et "compensés" par des calculs statistiques.

Le Saviez-Vous ?

Le nivellement de très haute précision, utilisé pour surveiller les déformations de barrages ou de volcans, peut atteindre une précision inférieure au millimètre. Pour cela, les géomètres utilisent des instruments spécifiques (niveaux numériques de précision), des mires en Invar (un alliage qui ne se dilate pas avec la température) et des protocoles de mesure très stricts pour éliminer toutes les sources d'erreur.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si on ne connaît pas l'altitude de la station S ?

Si l'altitude de S est inconnue, on ne peut pas calculer l'altitude "absolue" de P. Cependant, on peut toujours calculer la dénivelée (\(\Delta H\)) entre S et P. On pourrait alors donner à S une altitude arbitraire (par exemple, 100.000 m) et calculer toutes les autres altitudes dans ce système local.

La hauteur de l'instrument est-elle toujours la même ?

Non, elle dépend de la manière dont l'opérateur a installé son trépied. Elle doit être mesurée avec un mètre ruban à chaque nouvelle installation de l'instrument (chaque "station"). Oublier de la mesurer est une faute professionnelle !

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si l'opérateur oublie de soustraire la hauteur du prisme (\(h_p\)), l'altitude calculée pour le point P sera :

2. Dans la formule finale \(Alt_P = Alt_S + h_t + \Delta H_{\text{brute}} - h_p\), quel terme est généralement le plus grand en valeur absolue ?

Glossaire

Canne porte-prisme
Perche graduée et généralement télescopique, munie d'un niveau à bulle, sur laquelle on fixe un réflecteur. Elle permet de positionner le réflecteur précisément au-dessus d'un point au sol.
Réflecteur (ou prisme)
Cible spéciale composée de miroirs qui a la propriété de renvoyer un rayon lumineux (laser) exactement dans sa direction d'origine. C'est ce qui permet aux stations totales de mesurer des distances.
Altitude
Élévation verticale d'un point par rapport à une surface de référence, généralement le niveau moyen de la mer (le géoïde).
Nivellement trigonométrique avec hauteur de prisme

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