Étude Topographique

Nivellement par Rayonnement autour d’une Station

Exercice : Nivellement par Rayonnement

Nivellement par Rayonnement autour d’une Station

Contexte : Le Nivellement par RayonnementMéthode de topographie permettant de déterminer les altitudes de plusieurs points depuis une unique station par des mesures d'angles et de distances..

Un géomètre-topographe doit réaliser le lever topographique d'un terrain en vue d'un projet d'aménagement. Pour cela, il stationne son tachéomètreInstrument de topographie qui mesure les angles horizontaux, les angles verticaux et les distances. au point S, d'altitude connue. Il vise ensuite successivement quatre points (P1, P2, P3, P4) en relevant pour chacun les mesures présentées dans le carnet de terrain ci-dessous.

Remarque Pédagogique : Cet exercice pratique vous permettra de maîtriser la chaîne de calculs complète du nivellement trigonométrique, une méthode fondamentale en topographie pour déterminer l'altitude de points multiples depuis une seule station.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le principe du nivellement indirect trigonométrique.
  • Savoir calculer une distance horizontale et une dénivelée à partir d'une distance inclinée et d'un angle zénithal.
  • Calculer l'altitude de points levés à partir d'une station de référence connue.

Données de l'étude

Les données suivantes ont été collectées sur le terrain depuis la Station S.

Informations sur la Station
Caractéristique Notation Valeur
Altitude de la Station S \(Z_S\) 150.000 m
Hauteur de l'instrument (tourillons) \(H_i\) 1.650 m
Hauteur du prisme (réflecteur) \(H_v\) 1.800 m
Schéma de principe du lever
Station S P1 P2 P3 P4
Carnet de terrain (mesures brutes)
Point Visé Angle Horizontal (gon) Angle Zénithal (gon) Distance Inclinée (m)
P1 35.125 95.825 45.321
P2 120.500 102.120 62.875
P3 250.915 98.200 38.950
P4 340.220 105.650 55.150

Questions à traiter

  1. Pour chaque point visé (P1 à P4), calculer la distance horizontale (\(D_h\)) par rapport à la station S.
  2. Pour chaque point, calculer la dénivelée (\(DN\)) entre le sol au point S et le sol au point visé.
  3. En déduire l'altitude de chaque point P1, P2, P3 et P4.
  4. Présenter tous les résultats finaux dans un tableau récapitulatif.

Les bases du Nivellement Trigonométrique

Le nivellement par rayonnement, aussi appelé nivellement trigonométrique, est une méthode de nivellement indirect. Il permet de déterminer l'altitude d'un point en mesurant une distance et un angle vertical depuis une station de référence. Les calculs reposent sur les relations trigonométriques dans un triangle rectangle formé par la station, le point visé et la verticale.

1. Formules de base (angles en grades/gons)
La décomposition de la distance inclinée (\(D_i\)) mesurée par l'instrument en ses composantes horizontale (\(D_h\)) et verticale (\(\Delta H\)) se fait à l'aide de l'angle zénithal (\(V_z\)).

\[ D_h = D_i \times \sin(V_z) \]
\[ \Delta H_{\text{inst-prisme}} = D_i \times \cos(V_z) \]

2. Calcul de l'altitude d'un point
Pour obtenir l'altitude finale du point visé, il faut prendre en compte l'altitude de la station (\(Z_S\)), la hauteur de l'instrument (\(H_i\)) et la hauteur du prisme (\(H_v\)). La dénivelée entre les points au sol est : \(DN = H_i + \Delta H_{\text{inst-prisme}} - H_v\). L'altitude du point P est donc :

\[ Z_P = Z_S + H_i + D_i \times \cos(V_z) - H_v \]

Correction : Nivellement par Rayonnement autour d’une Station

Question 1 : Calculer la distance horizontale (\(D_h\))

Principe

Le concept physique est la projection orthogonale. L'instrument mesure une distance en ligne droite jusqu'au prisme (la distance inclinée, \(D_i\)), mais pour établir un plan, nous avons besoin de sa projection sur un plan parfaitement horizontal. C'est la distance horizontale (\(D_h\)), comme si on voyait le terrain depuis le ciel.

Mini-Cours

La mesure (\(D_i\), \(V_z\)) forme un triangle rectangle avec la distance horizontale (\(D_h\)) et la dénivelée instrument-prisme (\(\Delta H\)). L'angle zénithal \(V_z\) est l'angle par rapport à la verticale. Dans ce triangle, \(D_h\) est le côté opposé à l'angle au sommet (l'axe des tourillons). La trigonométrie nous enseigne que le côté opposé est égal à l'hypoténuse (\(D_i\)) multipliée par le sinus de l'angle (\(V_z\)).

Remarque Pédagogique

Visualisez toujours ce triangle rectangle. La distance inclinée (\(D_i\)) est l'hypoténuse, elle est donc toujours la plus grande valeur (sauf si la visée est parfaitement horizontale, auquel cas \(D_h = D_i\)). C'est un excellent moyen de vérifier rapidement la cohérence de votre résultat : \(D_h\) doit toujours être inférieure ou égale à \(D_i\).

Normes

Il n'y a pas de norme réglementaire pour cette formule de base, mais elle est le fondement de tous les manuels de topographie et des algorithmes implémentés dans les stations totales, conformément aux bonnes pratiques de la géomatique.

Formule(s)

Formule de la distance horizontale

\[ D_h = D_i \times \sin(V_z) \]
Hypothèses
  • L'instrument est parfaitement calibré.
  • On néglige la courbure de la Terre et la réfraction atmosphérique, ce qui est acceptable pour des portées de moins de 200 mètres.
Donnée(s)

Pour chaque point, nous utilisons les données suivantes du carnet de terrain :

  • Point P1 : \(D_i = 45.321 \text{ m}\), \(V_z = 95.825 \text{ gon}\)
  • Point P2 : \(D_i = 62.875 \text{ m}\), \(V_z = 102.120 \text{ gon}\)
  • Point P3 : \(D_i = 38.950 \text{ m}\), \(V_z = 98.200 \text{ gon}\)
  • Point P4 : \(D_i = 55.150 \text{ m}\), \(V_z = 105.650 \text{ gon}\)
Astuces

Pour un angle \(V_z\) proche de 100 gon (visée quasi-horizontale), la valeur de \(\sin(V_z)\) est très proche de 1. La distance horizontale \(D_h\) sera donc très légèrement inférieure à la distance inclinée \(D_i\). C'est une vérification mentale rapide et efficace.

Schéma (Avant les calculs)
Triangle de la visée
DhΔHDiVzZénith
Calcul(s)

Calcul pour le point P1

\[ \begin{aligned} D_{h1} &= 45.321 \text{ m} \times \sin(95.825 \text{ gon}) \\ &= 45.281 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul pour le point P2

\[ \begin{aligned} D_{h2} &= 62.875 \text{ m} \times \sin(102.120 \text{ gon}) \\ &= 62.631 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul pour le point P3

\[ \begin{aligned} D_{h3} &= 38.950 \text{ m} \times \sin(98.200 \text{ gon}) \\ &= 38.942 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul pour le point P4

\[ \begin{aligned} D_{h4} &= 55.150 \text{ m} \times \sin(105.650 \text{ gon}) \\ &= 54.520 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vue en plan des distances horizontales
SP1 (45.3m)P2 (62.6m)P3 (38.9m)P4 (54.5m)
Réflexions

L'analyse des résultats montre que le point P2 est le plus éloigné de la station en plan, tandis que P3 est le plus proche. Cette information est la base de la création de la carte ou du plan du site, définissant la position relative des objets au sol.

Points de vigilance

Le point de vigilance principal pour ce calcul est l'unité de l'angle. Assurez-vous que la calculatrice est en mode Grades (gon). Une erreur courante est d'effectuer le calcul en Degrés, ce qui conduirait à un résultat complètement erroné.

Points à retenir

Retenez la formule fondamentale \(D_h = D_i \times \sin(V_z)\) et la compréhension qu'elle convertit une distance de pente en une distance "carte", c'est-à-dire une distance projetée sur le plan horizontal.

Le saviez-vous ?

L'utilisation du 'gon' ou 'grade' (où un angle droit vaut 100 gon) a été promue en France après la Révolution pour décimaliser les angles, tout comme le système métrique pour les longueurs et les poids. Bien que les degrés restent plus courants dans le monde, le gon est encore très utilisé par les géomètres français et européens.

FAQ
Pourquoi ne pas utiliser l'angle horizontal dans ce calcul ?

L'angle horizontal donne la direction (l'azimut) du point, mais pas sa distance par rapport à la station. Il sert au positionnement X,Y sur le plan, tandis que l'angle vertical est utilisé pour le Z (altitude) et la distance horizontale.

Résultat Final
Les distances horizontales sont : P1=45.281m, P2=62.631m, P3=38.942m, P4=54.520m.
A vous de jouer

Si un point P5 a une distance inclinée mesurée de 80.000 m et un angle zénithal de 92.000 gon, quelle est sa distance horizontale ?

Question 2 : Calculer la dénivelée (\(DN\))

Principe

Le concept physique est de déterminer la différence de hauteur verticale entre le sol au point de la station S et le sol au point visé P. On ne peut pas la mesurer directement, on la calcule en passant par les hauteurs des instruments et la dénivelée entre l'axe de l'instrument et l'axe du prisme.

Mini-Cours

Le calcul se décompose : on part du sol en S, on "monte" de la hauteur de l'instrument (\(+H_i\)), on applique ensuite la dénivelée calculée entre l'instrument et le prisme (\(\Delta H = D_i \times \cos(V_z)\)), qui peut être positive (montée) or négative (descente), et enfin on "descend" de la hauteur du prisme pour arriver au sol en P (\(-H_v\)).

Remarque Pédagogique

La plus grande source d'erreur ici est la confusion des signes. Dessinez un petit croquis rapide pour chaque visée : si le point P est plus bas que S, la dénivelée DN doit être négative. L'angle zénithal vous le confirmera : si \(V_z > 100\) gon, le cosinus est négatif, indiquant une visée "plongeante".

Normes

Bien que la formule soit de la physique de base, les tolérances pour les travaux de nivellement (exigences de précision) sont souvent définies dans des normes telles que l'ISO 17123-2 pour les niveaux.

Formule(s)

Formule de la dénivelée

\[ DN = H_i + D_i \times \cos(V_z) - H_v \]
Hypothèses
  • La canne du prisme est tenue parfaitement verticale (à l'aide d'une nivelle sphérique).
  • Les hauteurs \(H_i\) et \(H_v\) ont été mesurées avec précision et sans erreur.
Donnée(s)

Nous utilisons les données fixes de la station et les mesures de chaque point :

  • Données fixes : \(H_i = 1.650 \text{ m}\), \(H_v = 1.800 \text{ m}\)
  • Point P1 : \(D_i = 45.321 \text{ m}\), \(V_z = 95.825 \text{ gon}\)
  • Point P2 : \(D_i = 62.875 \text{ m}\), \(V_z = 102.120 \text{ gon}\)
  • Point P3 : \(D_i = 38.950 \text{ m}\), \(V_z = 98.200 \text{ gon}\)
  • Point P4 : \(D_i = 55.150 \text{ m}\), \(V_z = 105.650 \text{ gon}\)
Astuces

Si \(H_i = H_v\), la formule se simplifie. De plus, si la visée est parfaitement horizontale (\(V_z=100\) gon), alors \(\cos(V_z)=0\), et la dénivelée est simplement \(DN = H_i - H_v\). C'est un bon cas particulier pour vérifier sa compréhension.

Schéma (Avant les calculs)
Calcul de la Dénivelée Sol-Sol
TourillonsPrismeSol SSol P+Hi-HvΔHDN
Calcul(s)

Application numérique pour chaque point visé :

Calcul pour le point P1

\[ \begin{aligned} DN_1 &= 1.650 + 45.321 \times \cos(95.825) - 1.800 \\ &= 1.650 - 1.885 - 1.800 \\ &= -2.035 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul pour le point P2

\[ \begin{aligned} DN_2 &= 1.650 + 62.875 \times \cos(102.120) - 1.800 \\ &= 1.650 - 5.546 - 1.800 \\ &= -5.696 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul pour le point P3

\[ \begin{aligned} DN_3 &= 1.650 + 38.950 \times \cos(98.200) - 1.800 \\ &= 1.650 - 1.102 - 1.800 \\ &= -1.252 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul pour le point P4

\[ \begin{aligned} DN_4 &= 1.650 + 55.150 \times \cos(105.650) - 1.800 \\ &= 1.650 - 8.245 - 1.800 \\ &= -8.395 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Profil des dénivelées
Niveau Sol Station SP1 (-2.0m)P2 (-5.7m)P3 (-1.3m)P4 (-8.4m)
Réflexions

Toutes les dénivelées sont négatives. Cela signifie que tous les points P1 à P4 sont situés plus bas que le point de station S. Le point P4 est celui qui présente la plus forte dénivellation, il est donc le plus bas par rapport à S.

Points de vigilance

Le point de vigilance le plus critique est la mesure et la saisie précises de la hauteur de l'instrument (\(H_i\)) et de la hauteur du prisme (\(H_v\)). Une erreur de 1 cm sur l'une de ces mesures se traduira directement par une erreur de 1 cm sur toutes les altitudes calculées.

Points à retenir

La maîtrise de la formule de la dénivelée est cruciale. Retenez le cheminement logique : Sol S -> Instrument -> Prisme -> Sol P, en appliquant les bonnes opérations (\(+H_i\), \(+\Delta H\), \(-H_v\)).

Le saviez-vous ?

Lors d'un nivellement de haute précision sur de longues distances, les topographes doivent tenir compte de la courbure de la Terre et de la réfraction atmosphérique. Le rayon laser ne se déplace pas en ligne droite mais suit une légère courbe, ce qui peut induire des erreurs de plusieurs centimètres par kilomètre.

FAQ
Que se passe-t-il si j'utilise une hauteur de prisme différente pour un point ?

Il est crucial de le noter. La formule doit être appliquée avec la bonne valeur de \(H_v\) pour ce point spécifique. Mélanger les hauteurs de prisme sans le noter est une source majeure de fautes grossières en topographie.

Résultat Final
Les dénivelées sont : P1=-2.035m, P2=-5.696m, P3=-1.252m, P4=-8.395m.
A vous de jouer

Avec \(H_i=1.650\)m et \(H_v=1.800\)m, calculez la dénivelée DN pour un point avec \(D_i = 60.000\) m et \(V_z = 108.000\) gon.

Question 3 : En déduire l'altitude de chaque point

Principe

Le concept est celui du "transport d'altitude". On propage une information connue (l'altitude de la station S) à de nouveaux points en lui ajoutant la différence de hauteur (la dénivelée) que l'on vient de calculer.

Mini-Cours

Les altitudes sont généralement rattachées à un système de référence national, comme le NGF-IGN69 en France, qui définit le "niveau zéro" (niveau moyen de la mer à Marseille). Le point de station S est un point dont l'altitude dans ce système est connue, c'est un "repère de nivellement". Chaque nouvelle altitude calculée est donc elle aussi rattachée à ce même système de référence.

Remarque Pédagogique

Pensez-y comme si vous montiez des escaliers. Vous connaissez l'altitude du premier étage (\(Z_S\)). La dénivelée (\(DN\)) vous indique de combien de marches vous êtes monté ou descendu. L'addition des deux vous donne l'altitude de votre étage final (\(Z_P\)).

Normes

Les altitudes finales doivent toujours être référencées à un datum spécifique (par exemple, NGF-IGN69). Les projets officiels de cartographie et de construction exigent cette traçabilité à une norme nationale.

Formule(s)

Formule de l'altitude d'un point

\[ Z_P = Z_S + DN \]
Hypothèses

Nous supposons que l'altitude de départ de la station S est parfaitement connue et exempte d'erreur pour les besoins de cet exercice. En réalité, ce point de départ a lui-même une incertitude associée.

Donnée(s)

Nous utilisons l'altitude de la station et les dénivelées calculées à l'étape précédente :

  • Altitude de station : \(Z_S = 150.000 \text{ m}\)
  • Dénivelée P1 : \(DN_1 = -2.035 \text{ m}\)
  • Dénivelée P2 : \(DN_2 = -5.696 \text{ m}\)
  • Dénivelée P3 : \(DN_3 = -1.252 \text{ m}\)
  • Dénivelée P4 : \(DN_4 = -8.395 \text{ m}\)
Astuces

Effectuez toujours une vérification finale. L'altitude finale a-t-elle un sens dans le contexte de la dénivelée ? Si DN est négative, \(Z_P\) doit être inférieure à \(Z_S\). Cette simple vérification permet de détecter les erreurs de signe.

Schéma (Avant les calculs)
Transport d'altitude
Zs = 150.000Zp = ?DN
Calcul(s)

Calcul de l'altitude du point P1

\[ \begin{aligned} Z_{P1} &= Z_S + DN_1 \\ &= 150.000 \text{ m} + (-2.035 \text{ m}) \\ &= 147.965 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de l'altitude du point P2

\[ \begin{aligned} Z_{P2} &= Z_S + DN_2 \\ &= 150.000 \text{ m} + (-5.696 \text{ m}) \\ &= 144.304 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de l'altitude du point P3

\[ \begin{aligned} Z_{P3} &= Z_S + DN_3 \\ &= 150.000 \text{ m} + (-1.252 \text{ m}) \\ &= 148.748 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de l'altitude du point P4

\[ \begin{aligned} Z_{P4} &= Z_S + DN_4 \\ &= 150.000 \text{ m} + (-8.395 \text{ m}) \\ &= 141.605 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Profil des Altitudes finales
Altitude Station S (150.000 m)P1 (147.965m)P2 (144.304m)P3 (148.748m)P4 (141.605m)Niveau de référence (ex: 140.000 m)
Réflexions

Les résultats nous donnent une image 3D de la forme du terrain. Le point P3 est le plus haut parmi les points mesurés, et P4 est le plus bas. Cette plage d'altitudes (de 141.605m à 148.748m) donne une idée de la pente du terrain et est essentielle pour les calculs de terrassement dans un projet de construction.

Points de vigilance

Attention à la propagation des erreurs. Une erreur de calcul sur la dénivelée à la question 2 se répercutera directement et intégralement sur le calcul de l'altitude finale. Une double vérification est toujours une bonne idée.

Points à retenir

Le calcul d'altitude est l'étape finale qui combine une référence connue avec une différence mesurée. L'idée de base est \(Z_{\text{inconnu}} = Z_{\text{connu}} + \Delta Z_{\text{connu} \rightarrow \text{inconnu}}\).

Le saviez-vous ?

Le "niveau de la mer" n'est pas une surface plane, mais une surface complexe appelée géoïde, qui ondule en fonction des variations de la gravité terrestre. C'est cette surface équipotentielle qui sert de véritable référence zéro pour les altitudes.

FAQ
Que faire si je n'ai pas l'altitude de ma station ?

Si l'altitude de S est inconnue, vous pouvez lui donner une valeur arbitraire (par exemple, 100.000 m). Toutes les altitudes que vous calculerez seront alors "relatives" à ce point, mais les dénivelées entre les points P1, P2, etc., resteront parfaitement justes.

Résultat Final
Les altitudes finales sont : \(Z_{P1}\)=147.965m, \(Z_{P2}\)=144.304m, \(Z_{P3}\)=148.748m, \(Z_{P4}\)=141.605m.
A vous de jouer

Si une station S' a une altitude de 212.500m et que la dénivelée calculée vers un point P' est de +3.250m, quelle est l'altitude de P' ?

Question 4 : Tableau récapitulatif des résultats

Synthèse des calculs

Ce tableau regroupe l'ensemble des résultats calculés aux questions précédentes pour offrir une vision claire et synthétique du levé topographique.

Point Visé Distance Horizontale (\(D_h\)) Dénivelée (\(DN\)) Altitude (Z)
P1 45.281 m -2.035 m 147.965 m
P2 62.631 m -5.696 m 144.304 m
P3 38.942 m -1.252 m 148.748 m
P4 54.520 m -8.395 m 141.605 m

Point de Vigilance : Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "Grades" (ou "Gons") pour les calculs trigonométriques. Une erreur de mode d'angle (degrés ou radians) est la source d'erreur la plus commune dans cet exercice.

Outil Interactif : Simulateur de Dénivelée

Utilisez les curseurs pour faire varier la distance inclinée et l'angle zénithal et observez en temps réel l'impact sur la distance horizontale et la dénivelée. Les hauteurs \(H_i\) et \(H_v\) sont celles de l'exercice (1.650m et 1.800m).

Paramètres d'Entrée
50.0 m
102.0 gon
Résultats Calculés
Distance Horizontale (\(D_h\)) -
Dénivelée (sol-sol) (\(DN\)) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. La formule pour calculer la distance horizontale \(D_h\) à partir de la distance inclinée \(D_i\) et de l'angle zénithal \(V_z\) est :

2. En topographie, la "hauteur des tourillons" (\(H_i\)) correspond à :

3. Si un angle zénithal mesuré est exactement de 100 gon, cela signifie que la visée est :

4. Quelle information n'est PAS directement nécessaire pour calculer l'altitude d'un point par rayonnement ?

5. Une erreur de 2 cm sur la mesure de la hauteur du prisme (\(H_v\)) entraînera :

Glossaire

Nivellement par Rayonnement
Méthode de topographie permettant de déterminer les altitudes de plusieurs points depuis une unique station par des mesures d'angles verticaux et de distances. Aussi appelé nivellement trigonométrique ou indirect.
Angle Zénithal (\(V_z\))
Angle vertical mesuré depuis la direction du zénith (la verticale "vers le haut") jusqu'à la ligne de visée. Une visée parfaitement horizontale correspond à un angle zénithal de 100 grades (gon) ou 90 degrés.
Tachéomètre / Station Totale
Instrument de géomètre qui intègre des cercles de lecture d'angles (horizontal et vertical) et un mesureur de distance électronique (MDE), permettant d'obtenir toutes les mesures nécessaires en une seule visée.
Nivellement par Rayonnement autour d’une Station

D’autres exercices d’instruments topographique:

Nivellement par Cheminement
Nivellement par Cheminement

Nivellement par Cheminement Nivellement par Cheminement Contexte : Le Nivellement DirectEnsemble des opérations topographiques permettant de déterminer des altitudes ou des dénivelées avec un niveau et une mire.. Une équipe de topographes doit déterminer avec...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *