Étude Topographique

Nivellement par Cheminement

Nivellement par Cheminement

Nivellement par Cheminement

Contexte : Le Nivellement DirectEnsemble des opérations topographiques permettant de déterminer des altitudes ou des dénivelées avec un niveau et une mire..

Une équipe de topographes doit déterminer avec précision les altitudes de trois nouveaux points (B, C, D) sur un chantier. Pour ce faire, ils réalisent un cheminement fermé en partant d'un Repère de NivellementPoint stable, matérialisé sur le terrain, dont l'altitude est connue avec une grande précision. (RN A) dont l'altitude est connue et certifiée. Ils effectuent une série de lectures à l'aide d'une lunette de niveauInstrument optique qui fournit une ligne de visée horizontale pour mesurer les différences de hauteur. et d'une mireRègle graduée que l'on place verticalement sur un point pour effectuer une lecture., puis referment la boucle en revenant sur le point de départ A pour vérifier la qualité de leurs mesures.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est un cas pratique fondamental en topographie. Il vous apprendra la méthode complète pour calculer des altitudes, contrôler la précision des mesures, et garantir la fiabilité des données, une compétence essentielle pour tout technicien ou ingénieur.

Objectifs Pédagogiques

  • Maîtriser le calcul d'altitudes brutes à partir de lectures sur mire.
  • Savoir calculer l'erreur de fermeture d'un cheminement nivelé.
  • Déterminer si la précision est acceptable en comparant la fermeture à la tolérance réglementaire.
  • Apprendre à compenser l'erreur de fermeture pour obtenir les altitudes définitives.

Données de l'étude

Les lectures ont été consignées dans un carnet de nivellement. Le point de départ est le Repère A.

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Altitude du Repère A (RN A) 152.480 m
Type de cheminement Fermé en boucle
Nombre de stations 4
Schéma du cheminement nivelé
A (RN) B C D St1 St2 St3 St4
Carnet de lectures
Station Point Visé Lecture Arrière (LAr) [m] Lecture Avant (LAv) [m]
St1A1.845-
St1B-1.232
St2B2.011-
St2C-0.985
St3C1.570-
St3D-2.113
St4D0.896-
St4A-2.004

Questions à traiter

  1. Calculer les dénivelées entre les points successifs (\(\Delta H_{\text{AB}}, \Delta H_{\text{BC}}, \Delta H_{\text{CD}}, \Delta H_{\text{DA}}\)).
  2. Calculer les altitudes brutes (non compensées) des points B, C, D et l'altitude du retour sur A.
  3. Déterminer l'erreur de fermeture (f) du cheminement.
  4. La tolérance pour ce type de travail est donnée par \( T = \pm 20 \text{ mm} \cdot \sqrt{N} \) (où N est le nombre de stations). Le travail est-il acceptable ?
  5. Calculer les altitudes compensées définitives des points B, C et D.

Les bases sur le Nivellement Direct

Le nivellement direct par cheminement est la méthode la plus précise pour déterminer les altitudes. Elle repose sur la mesure de la différence de hauteur (dénivelée) entre deux points.

1. Principe de la dénivelée
Depuis une station de l'instrument (le niveau), la dénivelée (\( \Delta H \)) entre un point arrière A et un point avant B est la différence entre la Lecture Arrière (LAr) sur la mire posée en A et la Lecture Avant (LAv) sur la mire posée en B. \[ \Delta H_{\text{AB}} = \text{LAr}_{\text{A}} - \text{LAv}_{\text{B}} \] L'altitude du point B est alors : \[ \text{Altitude}_{\text{B}} = \text{Altitude}_{\text{A}} + \Delta H_{\text{AB}} \]

2. Principe du cheminement fermé
Pour contrôler les erreurs, on effectue un parcours qui revient à son point de départ. En théorie, la somme de toutes les dénivelées d'un parcours fermé devrait être nulle. En pratique, il subsiste une petite erreur appelée "erreur de fermeture". \[ f = \sum \Delta H = \sum \text{LAr} - \sum \text{LAv} \]

Correction : Nivellement par Cheminement

Question 1 : Calculer les dénivelées entre les points successifs

Principe

Le concept physique est la mesure de la distance verticale entre deux points. Un niveau optique matérialise un plan de visée parfaitement horizontal. La différence entre les lectures sur une mire tenue verticalement sur chaque point donne directement cette distance verticale, appelée dénivelée.

Mini-Cours

La méthode employée est le "nivellement direct par le milieu". On installe le niveau à peu près à mi-distance entre le point de départ (visée arrière) et le point d'arrivée (visée avant). Cette procédure minimise les erreurs dues à la courbure de la Terre et à la collimation de l'instrument.

Remarque Pédagogique

Pensez à la formule comme "ce que j'ai" (le point arrière, connu) moins "ce que je cherche" (le point avant). Le signe du résultat est crucial : une dénivelée positive indique une montée, une dénivelée négative indique une descente.

Normes

Bien qu'il n'y ait pas de norme "officielle" pour une simple soustraction, les bonnes pratiques de la topographie exigent une tenue rigoureuse du carnet de terrain, avec des colonnes dédiées pour LAr et LAv, afin d'éviter toute confusion.

Formule(s)

Formule générale de la dénivelée

\[ \Delta H = \text{Lecture Arrière (LAr)} - \text{Lecture Avant (LAv)} \]
Hypothèses

Pour ce calcul, on admet que : l'axe principal du niveau est bien horizontal lors des lectures, et la mire est tenue parfaitement verticale sur les points visés.

Donnée(s)

On utilise les lectures du carnet de terrain pour chaque station.

StationLAr (m)LAv (m)
St11.8451.232
St22.0110.985
St31.5702.113
St40.8962.004
Astuces

Pour éviter les erreurs d'inattention, on peut regrouper les lectures par station dans son calcul. Sur le terrain, une double lecture (fil niveleur et fils stadimétriques) permet de se contrôler immédiatement.

Schéma (Avant les calculs)
Principe de la mesure d'une dénivelée
ABNiveauLArLAvΔH
Calcul(s)

Calcul de la dénivelée AB (\(\Delta H_{\text{AB}}\))

\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{AB}} &= 1.845 - 1.232 \\ &= +0.613 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de la dénivelée BC (\(\Delta H_{\text{BC}}\))

\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{BC}} &= 2.011 - 0.985 \\ &= +1.026 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de la dénivelée CD (\(\Delta H_{\text{CD}}\))

\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{CD}} &= 1.570 - 2.113 \\ &= -0.543 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de la dénivelée DA (\(\Delta H_{\text{DA}}\))

\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{DA}} &= 0.896 - 2.004 \\ &= -1.108 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Schéma du cheminement avec dénivelées
ABCD+0.613m+1.026m-0.543m-1.108m
Réflexions

Les signes des résultats sont cohérents avec une progression altimétrique : on monte de A à C (dénivelées positives), puis on redescend de C à A (dénivelées négatives).

Points de vigilance

La principale source d'erreur est l'inversion des lectures LAr et LAv dans la formule. Notez toujours clairement sur votre carnet quelle lecture correspond à quel point.

Points à retenir

La dénivelée est le bloc de construction fondamental du nivellement. Maîtriser sa formule et la signification de son signe est la première étape indispensable.

Le saviez-vous ?

Les premières formes de niveaux, utilisant des rigoles remplies d'eau, étaient déjà utilisées par les Égyptiens pour la construction des pyramides, garantissant l'horizontalité parfaite de leurs fondations.

FAQ

Pourquoi la Lecture Arrière est-elle parfois plus petite que la Lecture Avant ?

Cela se produit lors d'une descente. Si le point avant est plus bas que le point arrière, la mire y sera plus "haute" par rapport au plan de visée, donnant une lecture (LAv) plus grande. La soustraction LAr - LAv donnera bien une dénivelée négative.

Résultat Final
Les dénivelées calculées sont : \(\Delta H_{\text{AB}} = +0.613 \text{ m}\), \(\Delta H_{\text{BC}} = +1.026 \text{ m}\), \(\Delta H_{\text{CD}} = -0.543 \text{ m}\), et \(\Delta H_{\text{DA}} = -1.108 \text{ m}\).
A vous de jouer

Depuis une station, un topographe lit LAr = 2.341 m sur un point P1 et LAv = 0.876 m sur un point P2. Quelle est la dénivelée de P1 à P2 ?

Question 2 : Calculer les altitudes brutes

Principe

Le concept physique est la définition d'une altitude comme une hauteur par rapport à une surface de référence (souvent le niveau moyen des mers). En partant d'un point d'altitude connue, on "transporte" cette référence en ajoutant ou soustrayant successivement les dénivelées mesurées.

Mini-Cours

En France, le système de référence officiel est le NGF-IGN69, dont le "zéro" est déterminé par le marégraphe de Marseille. Tous les repères de nivellement (RN) sont rattachés à ce système. Le calcul d'altitudes consiste à rattacher les nouveaux points à un de ces repères connus.

Remarque Pédagogique

C'est un calcul en chaîne : l'altitude que vous venez de calculer devient la donnée d'entrée pour le point suivant. Une erreur au début se propage tout le long du cheminement. La rigueur et la vérification sont donc essentielles.

Normes

Les méthodes de calcul des altitudes sont universelles. Cependant, les normes de la topographie imposent des vérifications, comme le cheminement en boucle, pour s'assurer que les erreurs de calcul ou de mesure sont détectées.

Formule(s)

Formule générale de calcul d'altitude

\[ \text{Altitude}_{\text{Point Suivant}} = \text{Altitude}_{\text{Point Précédent}} + \Delta H \]
Hypothèses

On suppose que l'altitude du point de départ (RN A) est parfaitement exacte et ne contient aucune erreur. Les calculs sont effectués avec les dénivelées "brutes", c'est-à-dire sans aucune correction à ce stade.

Donnée(s)

On utilise l'altitude de départ et les dénivelées de la question 1.

  • Altitude de A = 152.480 m
  • \(\Delta H_{\text{AB}} = +0.613 \text{ m}\)
  • \(\Delta H_{\text{BC}} = +1.026 \text{ m}\)
  • \(\Delta H_{\text{CD}} = -0.543 \text{ m}\)
  • \(\Delta H_{\text{DA}} = -1.108 \text{ m}\)
Astuces

Utilisez une calculatrice avec mémoire ou un tableur pour éviter de retaper les résultats intermédiaires, ce qui est une source fréquente d'erreurs. Gardez toujours 3 décimales (le millimètre) dans les calculs de nivellement.

Schéma (Avant les calculs)
Cheminement avec altitude de départ
A (152.480)B (?)C (?)D (?)
Calcul(s)

Altitude brute du point B

\[ \begin{aligned} \text{Altitude}_{\text{B}} &= \text{Altitude}_{\text{A}} + \Delta H_{\text{AB}} \\ &= 152.480 + 0.613 \\ &= 153.093 \text{ m} \end{aligned} \]

Altitude brute du point C

\[ \begin{aligned} \text{Altitude}_{\text{C}} &= \text{Altitude}_{\text{B}} + \Delta H_{\text{BC}} \\ &= 153.093 + 1.026 \\ &= 154.119 \text{ m} \end{aligned} \]

Altitude brute du point D

\[ \begin{aligned} \text{Altitude}_{\text{D}} &= \text{Altitude}_{\text{C}} + \Delta H_{\text{CD}} \\ &= 154.119 - 0.543 \\ &= 153.576 \text{ m} \end{aligned} \]

Altitude brute de retour au point A'

\[ \begin{aligned} \text{Altitude}_{\text{A'}} (\text{Retour}) &= \text{Altitude}_{\text{D}} + \Delta H_{\text{DA}} \\ &= 153.576 - 1.108 \\ &= 152.468 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

On peut maintenant reporter les altitudes brutes calculées sur le schéma.

Cheminement avec altitudes brutes
A (152.480)B (153.093)C (154.119)D (153.576)Retour A' (152.468)
Réflexions

L'altitude de retour sur le point A (152.468 m) est différente de l'altitude de départ (152.480 m). Cet écart, bien que faible, prouve qu'il y a eu des imprécisions de mesure. La prochaine étape est de quantifier cette erreur.

Points de vigilance

Une erreur classique est d'oublier d'utiliser l'altitude nouvellement calculée pour l'étape suivante, et de repartir systématiquement de l'altitude de départ A. Chaque calcul doit s'appuyer sur le résultat direct du précédent.

Points à retenir

Le calcul des altitudes est un processus cumulatif. Le cheminement fermé est la méthode de contrôle qui permet de détecter l'erreur accumulée sur l'ensemble du parcours.

Le saviez-vous ?

L'altitude d'un même point peut différer de plusieurs dizaines de mètres entre le système géodésique (basé sur l'ellipsoïde, utilisé par le GPS) et le système de nivellement (basé sur le géoïde). C'est ce qu'on appelle l'ondulation du géoïde.

FAQ

Qu'est-ce qu'une altitude "brute" ?

C'est l'altitude calculée directement à partir des mesures de terrain, avant toute correction. Elle contient l'erreur de mesure accumulée et n'est pas considérée comme définitive tant que l'erreur de fermeture n'a pas été répartie (compensée).

Résultat Final
Les altitudes brutes sont : B = 153.093 m, C = 154.119 m, D = 153.576 m. L'altitude de retour A' est de 152.468 m.
A vous de jouer

Si l'altitude de B était de 153.093 m et la dénivelée de B à C de -0.250 m, quelle serait l'altitude brute de C ?

Question 3 : Déterminer l'erreur de fermeture (f)

Principe

Physiquement, si l'on parcourt un circuit fermé en revenant à son point de départ, la dénivelée totale devrait être nulle. L'erreur de fermeture est la matérialisation de l'écart entre ce principe théorique et la réalité des mesures, qui contiennent inévitablement de petites imprécisions.

Mini-Cours

Les erreurs en topographie se classent en fautes (grossières, ex: erreur de lecture de 1m), erreurs systématiques (qui se répètent, ex: défaut de la mire) et erreurs accidentelles (aléatoires, inévitables). Le cheminement fermé permet de détecter et de quantifier la somme de ces erreurs.

Remarque Pédagogique

Cette valeur est le "juge de paix" de votre travail sur le terrain. C'est la première chose que l'on calcule au bureau. Une fermeture importante signifie que tout le travail de terrain est à refaire. Sa détermination est donc une étape cruciale et non négociable.

Normes

La procédure de calcul de la fermeture est une pratique standardisée dans tous les manuels de topographie et guides techniques. Elle est la base de tout contrôle de qualité altimétrique.

Formule(s)

Méthode 1 : Par les altitudes

\[ f = \text{Altitude}_{\text{calculée du retour}} - \text{Altitude}_{\text{connue de départ}} \]

Méthode 2 : Par les dénivelées

\[ f = \sum \Delta H \]
Hypothèses

La seule hypothèse est que le point de départ est un point fixe et stable, dont l'altitude n'a pas changé entre le début et la fin des opérations.

Donnée(s)

On utilise les altitudes de départ et de retour calculées à la question 2.

  • Altitude de départ A = 152.480 m
  • Altitude de retour A' = 152.468 m
Astuces

Pour un contrôle rapide, on peut aussi calculer la somme de toutes les Lectures Arrière et la somme de toutes les Lectures Avant. L'erreur de fermeture est simplement : \(f = \sum LAr - \sum LAv\). C'est la méthode la plus rapide.

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de l'erreur de fermeture
Alt. A (152.480)Alt. A' (152.468)f = ?
Calcul(s)

Calcul de l'erreur de fermeture

\[ \begin{aligned} f &= 152.468 - 152.480 \\ &= -0.012 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Erreur de fermeture mesurée
Alt. A (152.480)Alt. A' (152.468)f = -12 mm
Réflexions

L'erreur est de -12 millimètres. Le signe négatif indique que notre cheminement nous a amenés à une altitude calculée légèrement plus basse que la réalité. Cela signifie que globalement, nous avons accumulé une petite erreur "descendante".

Points de vigilance

Attention aux erreurs de signe dans la soustraction. Une erreur ici invaliderait tout le reste du calcul de compensation. Double-vérifiez toujours votre calcul de fermeture.

Points à retenir

L'erreur de fermeture est la différence entre le calcul et la réalité. Elle quantifie la qualité globale du travail et est la clé de voûte de la validation des mesures.

Le saviez-vous ?

Sur les grands chantiers de génie civil (ponts, tunnels), les cheminements de nivellement sont refaits plusieurs fois par des équipes différentes pour garantir l'absence d'erreurs et obtenir la meilleure estimation possible des altitudes.

FAQ

Une erreur de fermeture nulle est-elle possible ?

En théorie oui, mais en pratique, c'est extrêmement improbable et souvent suspect. Une fermeture nulle peut cacher deux erreurs qui se compensent mutuellement. Une petite erreur réaliste est un meilleur gage de qualité.

Résultat Final
L'erreur de fermeture du cheminement est de -12 mm.
A vous de jouer

Un cheminement part d'un repère à 85.123 m et l'altitude de retour calculée est 85.131 m. Quelle est l'erreur de fermeture en millimètres ?

Question 4 : Comparaison à la tolérance

Principe

Le concept de tolérance définit une "marge d'erreur" acceptable. Aucune mesure physique n'est parfaite. La tolérance fournit un critère objectif pour décider si la mesure, malgré son imperfection, est suffisamment précise pour l'usage auquel elle est destinée.

Mini-Cours

Les formules de tolérance sont souvent empiriques et basées sur des décennies d'expérience. La forme en \(\sqrt{N}\) ou \(\sqrt{L}\) (racine de la longueur) vient de la théorie de la propagation des erreurs aléatoires, qui stipule que l'écart-type d'une somme de variables indépendantes est la racine carrée de la somme de leurs variances.

Remarque Pédagogique

C'est l'étape du "verdict". Le calcul est simple, mais sa conclusion est binaire : soit le travail est accepté et on peut passer à la suite (compensation), soit il est refusé et il faut retourner sur le terrain. Il n'y a pas d'entre-deux.

Normes

La tolérance de \( \pm 20 \sqrt{N}\) mm est une valeur indicative pour du nivellement ordinaire de chantier. Pour des travaux de plus haute précision (nivellement de précision), la tolérance serait beaucoup plus stricte, par exemple \( \pm 5 \sqrt{N}\) mm.

Formule(s)

Condition de validité

\[ |f| \le T_{\text{réglementaire}} \]

Formule de la tolérance

\[ T = \pm 20 \text{ mm} \cdot \sqrt{N} \]
Hypothèses

On suppose que la formule de tolérance fournie est bien celle qui s'applique au cahier des charges du chantier en question.

Donnée(s)
  • Erreur de fermeture \(|f| = |-12| = 12 \text{ mm}\)
  • Nombre de stations \(N = 4\)
Astuces

Le calcul est simple, mais assurez-vous de bien compter le nombre de stations (nombre de fois où le niveau a été déplacé), et non le nombre de points visés. Ici, nous avons bien 4 stations (St1 à St4).

Schéma (Avant les calculs)
Positionnement de l'erreur par rapport à la tolérance
0-T = ?+T = ?f = -12
Calcul(s)

Calcul de la tolérance

\[ \begin{aligned} T &= \pm 20 \cdot \sqrt{4} \\ &= \pm 20 \cdot 2 \\ &= \pm 40 \text{ mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Maintenant que la tolérance est calculée, on peut la reporter sur le schéma et vérifier que l'erreur se situe bien dans la zone d'acceptation.

Zone d'acceptation
0-40 mm+40 mmf = -12 (OK)
Réflexions

On compare la valeur absolue de l'erreur à la tolérance : \(| -12 \text{ mm} | \le 40 \text{ mm}\). La condition est respectée. Le travail est donc jugé conforme aux exigences de précision et peut être exploité.

Points de vigilance

Ne pas oublier de prendre la valeur absolue de l'erreur de fermeture avant de la comparer. Une erreur de -50 mm est tout aussi inacceptable qu'une erreur de +50 mm si la tolérance est de 40 mm.

Points à retenir

La comparaison à la tolérance est le point de passage obligé entre la mesure brute et le calcul définitif. Elle valide la qualité du travail de terrain.

Le saviez-vous ?

Les tolérances de construction peuvent être extrêmement faibles. Par exemple, pour le réglage des rails du Grand collisionneur de hadrons (LHC) au CERN, les tolérances altimétriques sont de l'ordre de 0.1 mm sur des centaines de mètres !

FAQ

D'où vient la valeur "20" dans la formule de tolérance ?

C'est un coefficient empirique qui dépend de la qualité de l'instrument, de l'expérience de l'opérateur et de la méthode de travail. Il représente la précision attendue pour une seule station dans des conditions standards.

Résultat Final
Le travail est acceptable car l'erreur de 12 mm est inférieure à la tolérance de 40 mm.
A vous de jouer

Avec une erreur de fermeture de -25 mm et seulement 2 stations, le travail serait-il acceptable avec la même formule de tolérance ?

Question 5 : Calculer les altitudes compensées

Principe

Le concept est celui de l'ajustement. Sachant qu'une erreur totale a été commise, et ne pouvant savoir précisément où elle a eu lieu, on la répartit de la manière la plus logique et équitable possible sur l'ensemble des mesures. On ajuste ainsi les altitudes intermédiaires pour obtenir un résultat final cohérent.

Mini-Cours

La compensation, dans sa forme la plus rigoureuse, est une branche des statistiques appelée "calcul par les moindres carrés". Elle vise à trouver les valeurs qui minimisent la somme des carrés des erreurs résiduelles. Pour un simple cheminement, la répartition uniforme est une simplification acceptée de cette méthode.

Remarque Pédagogique

La compensation est un acte de "lissage" de l'erreur. Pensez à la correction totale comme une quantité que vous devez "redonner" au cheminement. Si vous avez fini trop bas (erreur négative), vous devez ajouter un peu à chaque étape. Si vous avez fini trop haut (erreur positive), vous devez enlever un peu à chaque étape.

Normes

Les normes d'exécution des travaux topographiques spécifient les méthodes de compensation à employer en fonction du type de cheminement et de la précision requise. Pour un nivellement direct, la répartition proportionnelle au nombre de stations est la plus courante.

Formule(s)

Correction totale

\[ C_{\text{totale}} = -f \]

Correction à appliquer au point \(k\)

\[ C_k = k \times \frac{C_{\text{totale}}}{N} \]

Altitude compensée

\[ \text{Altitude}_{\text{compensée}} (P_k) = \text{Altitude}_{\text{brute}} (P_k) + C_k \]
Hypothèses

L'hypothèse fondamentale est que l'erreur s'est accumulée de manière linéaire et uniforme tout au long du cheminement. Chaque station est supposée avoir contribué de manière égale à l'erreur totale.

Donnée(s)
  • Erreur de fermeture \(f = -0.012 \text{ m}\)
  • Nombre de stations \(N = 4\)
  • Altitude brute B = 153.093 m
  • Altitude brute C = 154.119 m
  • Altitude brute D = 153.576 m
Astuces

Calculez d'abord la correction unitaire (par station). Appliquez-la ensuite cumulativement : le point B reçoit 1 fois la correction, le point C reçoit 2 fois la correction, etc. Le dernier point (retour en A) doit recevoir N fois la correction, ce qui doit annuler exactement l'erreur de fermeture.

Schéma (Avant les calculs)

On part du profil des altitudes brutes qui ne "ferme" pas. Le but de la compensation est de corriger les points intermédiaires pour que le point final coïncide avec le point de départ.

Profil des altitudes brutes avant compensation
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la correction unitaire

\[ \begin{aligned} C_{\text{par station}} &= \frac{-f}{N} \\ &= \frac{-(-0.012)}{4} \\ &= +0.003 \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 2 : Application des corrections

Altitude compensée du point B

\[ \begin{aligned} \text{Altc}_{\text{B}} &= \text{Altitude}_{\text{brute}}(B) + (1 \times C_{\text{par station}}) \\ &= 153.093 + 0.003 \\ &= 153.096 \text{ m} \end{aligned} \]

Altitude compensée du point C

\[ \begin{aligned} \text{Altc}_{\text{C}} &= \text{Altitude}_{\text{brute}}(C) + (2 \times C_{\text{par station}}) \\ &= 154.119 + (2 \times 0.003) \\ &= 154.125 \text{ m} \end{aligned} \]

Altitude compensée du point D

\[ \begin{aligned} \text{Altc}_{\text{D}} &= \text{Altitude}_{\text{brute}}(D) + (3 \times C_{\text{par station}}) \\ &= 153.576 + (3 \times 0.003) \\ &= 153.585 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le profil des altitudes compensées montre un cheminement parfaitement cohérent, où le point de retour coïncide avec le point de départ.

Profil des altitudes compensées
Réflexions

Les altitudes compensées sont les résultats finaux et officiels du nivellement. Elles représentent les estimations les plus probables des altitudes réelles des points B, C et D, compte tenu des mesures effectuées et de leur précision.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier le signe "moins" dans la formule de la correction (\(C = -f\)). Si l'erreur est négative, la correction est positive, et vice-versa. Faites aussi attention au facteur cumulatif (\(k\)).

Points à retenir

La compensation est l'étape finale qui transforme des données brutes validées en résultats définitifs et cohérents. La méthode de répartition uniforme par station est la plus simple et la plus courante pour les cheminements simples.

Le saviez-vous ?

Les satellites géodésiques, comme ceux de la constellation GPS, effectuent en permanence des mesures qui sont ajustées par des calculs de compensation (moindres carrés) extrêmement complexes, impliquant des milliers de paramètres, pour nous fournir une position précise.

FAQ

Pourquoi ne pas répartir la compensation proportionnellement à la valeur de la dénivelée ?

Ce n'est généralement pas fait car on suppose que l'erreur de lecture est indépendante de la valeur de la dénivelée. On considère que l'opérateur a autant de chances de faire une petite erreur sur une grande dénivelée que sur une petite. La source d'erreur est la station, pas la hauteur mesurée.

Résultat Final
Les altitudes définitives des points sont : B = 153.096 m, C = 154.125 m, et D = 153.585 m.
A vous de jouer

Pour un cheminement de 5 stations avec une erreur de fermeture de +10 mm, quelle correction (en mm) doit-on appliquer au troisième point intermédiaire ?

Outil Interactif : Simulateur d'Erreur

Utilisez les curseurs pour modifier légèrement deux des lectures de terrain et observez en temps réel l'impact sur l'erreur de fermeture et sur l'altitude finale du point D. Cela montre à quel point une petite erreur de lecture peut affecter le résultat final.

Paramètres d'Entrée
0.985 m
0.896 m
Résultats Clés
Erreur de fermeture (mm) -12.0
Altitude brute de D (m) 153.576

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. La dénivelée entre un point A et un point B se calcule par :

2. Dans un cheminement fermé qui boucle sur son point de départ, que doit valoir la somme théorique des dénivelées ?

3. Si l'erreur de fermeture est supérieure à la tolérance, que doit faire le topographe ?

4. La compensation a pour but de :

5. Une Lecture Arrière (LAr) est toujours effectuée sur...

Nivellement Direct
Technique de mesure des différences d'altitude (dénivelées) à l'aide d'un instrument optique (niveau) fournissant une visée horizontale et d'une règle graduée (mire).
Mire
Règle graduée que l'on place verticalement sur un point pour y effectuer une lecture avec la lunette du niveau.
Lecture Arrière (LAr)
Première lecture effectuée depuis une station du niveau, toujours sur un point d'altitude connue ou venant d'être calculée. Elle sert à déterminer l'altitude du plan de visée de l'instrument.
Lecture Avant (LAv)
Dernière lecture effectuée depuis une station du niveau, sur un point d'altitude encore inconnue. Elle permet de calculer l'altitude de ce nouveau point avant de déplacer l'instrument.
Fermeture (f)
Écart, ou erreur, entre l'altitude calculée du point final d'un cheminement et son altitude de référence connue. C'est un indicateur de la précision globale des mesures.
Tolérance
Erreur maximale admissible, fixée par des normes ou un cahier des charges, pour que les mesures d'un cheminement soient considérées comme valides et exploitables.
Nivellement par Cheminement

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