Lecture d’un angle vertical zénithal
Contexte : Le Nivellement TrigonométriqueMéthode topographique permettant de déterminer la dénivelée entre deux points à l'aide de la mesure d'un angle vertical et d'une distance..
Un géomètre-topographe doit déterminer l'altitude précise d'un point B (par exemple, le sommet d'une colline) depuis un point de station A dont l'altitude est connue. Pour cela, il utilise un théodolite (ou une station totale) qui permet de mesurer des angles avec une grande précision. La mesure clé dans ce processus est l'angle zénithalAngle vertical mesuré depuis le zénith (point à la verticale de l'observateur) vers un point visé. C'est le standard sur les instruments modernes.. Cet exercice vous guidera à travers les étapes de calcul pour passer des mesures brutes de terrain à l'altitude finale du point B.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les formules de base du nivellement indirect trigonométrique, une compétence fondamentale en topographie pour calculer des altitudes de points inaccessibles ou éloignés.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et définir la notion d'angle zénithal.
- Maîtriser la formule de calcul de la dénivelée par nivellement trigonométrique.
- Savoir prendre en compte la hauteur de l'instrument et de la cible dans les calculs.
- Calculer l'altitude d'un point visé à partir des données de terrain.
Données de l'étude
Schéma de la situation
| Paramètre mesuré ou connu | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Altitude du point de station A | \( \text{Alt}_{\text{A}} \) | 152.450 m |
| Hauteur de l'instrument au dessus du point A | \( h_{\text{i}} \) | 1.650 m |
| Hauteur du prisme (cible) au dessus du point B | \( h_{\text{v}} \) | 2.000 m |
| Distance horizontale entre A et B | \( D_{\text{h}} \) | 85.60 m |
| Angle zénithal lu depuis A vers B | \( V \) | 95.2560 gon |
Questions à traiter
- Calculer la dénivelée brute \( \Delta H' \) entre l'axe optique de l'instrument et le centre du prisme.
- Calculer la dénivelée corrigée \( \Delta H \) entre le point au sol A et le point au sol B.
- En déduire l'altitude finale du point B.
Les bases du Nivellement Trigonométrique
Le nivellement trigonométrique permet de calculer une dénivelée \( \Delta H \) grâce à la mesure d'un angle vertical et d'une distance. L'angle de référence sur les instruments modernes est l'angle zénithal \( V \).
1. L'Angle Zénithal (V)
C'est l'angle mesuré depuis la direction du zénith (la verticale "vers le haut") jusqu'à la ligne de visée.
- Une visée horizontale correspond à V = 100 gon.
- Une visée vers le haut (ascendante) correspond à V < 100 gon.
- Une visée vers le bas (descendante) correspond à V > 100 gon.
2. Formule de la dénivelée
La dénivelée brute \( \Delta H' \) (entre l'instrument et la cible) est calculée par la trigonométrie dans le triangle rectangle formé par la distance horizontale, la dénivelée et la ligne de visée. La formule générale pour la dénivelée entre les points au sol est :
\[ \Delta H_{\text{AB}} = D_{\text{h}} \cdot \cot(V) + h_{\text{i}} - h_{\text{v}} \]
Où \( \cot(V) = \frac{1}{\tan(V)} \).
Correction : Lecture d’un angle vertical zénithal
Question 1 : Calculer la dénivelée brute \( \Delta H' \)
Principe (le concept physique)
La première étape consiste à calculer la différence d'altitude uniquement entre le point de départ de la visée (l'axe de l'instrument) et le point d'arrivée (le centre du prisme). On utilise pour cela la relation trigonométrique liant la distance horizontale et l'angle vertical dans un triangle rectangle imaginaire.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle est le rapport du côté opposé sur le côté adjacent. Ici, le côté opposé est la dénivelée \( \Delta H' \) et le côté adjacent est la distance horizontale \( D_{\text{h}} \). L'angle par rapport à l'horizontale est \( (100 - V) \) gon. Ainsi, \( \tan(100 - V) = \Delta H' / D_{\text{h}} \). Une propriété trigonométrique nous dit que \( \tan(100 - V) = \cot(V) \), ce qui simplifie la formule.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Avant tout calcul, ayez le réflexe de visualiser la situation. L'angle V (\(95.2560 \text{ gon}\)) est proche de 100 gon (l'horizontale). Comme il est inférieur à 100 gon, la visée est montante. On s'attend donc à une dénivelée brute \( \Delta H' \) positive.
Normes (la référence réglementaire)
Il n'y a pas de "norme" à proprement parler pour ce calcul de base, mais il découle directement des principes de la géodésie et de la trigonométrie, enseignés dans tous les manuels de topographie et conformes aux bonnes pratiques de la profession (Ordre des Géomètres-Experts, etc.).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de la dénivelée brute
Hypothèses (le cadre du calcul)
Pour ce calcul, on pose les hypothèses simplificatrices suivantes :
- La Terre est considérée comme plate sur la distance de la mesure (la sphéricité est négligée).
- L'effet de la réfraction atmosphérique sur la ligne de visée est négligé.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Nous utilisons les données de l'énoncé pertinentes pour ce calcul.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance Horizontale | \( D_{\text{h}} \) | 85.60 | m |
| Angle Zénithal | \( V \) | 95.2560 | gon |
Astuces (Pour aller plus vite)
Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "Grades" ou "Gon". C'est l'erreur la plus fréquente ! Un angle proche de 100 gon donne une petite dénivelée. Un angle proche de 0 ou 200 gon (visée verticale) donnerait une dénivelée très grande.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisons le triangle rectangle formé par l'axe optique de l'instrument (A'), la projection de cet axe sur la verticale du prisme (P), et le centre du prisme (B').
Triangle de calcul de la dénivelée brute
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la dénivelée brute
Schéma (Après les calculs)
Le schéma reste le même, mais on peut maintenant annoter la valeur calculée, confirmant que le point B' (prisme) est plus haut que le point A' (instrument).
Triangle de calcul avec résultat
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le résultat est positif (+4.007 m), ce qui est cohérent avec un angle zénithal inférieur à 100 gon. Cela signifie que le prisme visé est 4.007 mètres plus haut que l'axe optique de notre instrument.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur principale est le mode de la calculatrice (Degrés vs Gons). Une autre erreur est de se tromper dans l'interprétation de l'angle : V < 100 gon \(\Rightarrow\) montée (+), V > 100 gon \(\Rightarrow\) descente (-).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Pour cette étape, retenez la formule fondamentale \( \Delta H' = D_{\text{h}} / \tan(V) \) et la signification physique de l'angle zénithal par rapport à l'horizontale (100 gon).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le "gon" ou "grade" a été introduit en France lors de la Révolution française en même temps que le système métrique. L'idée était de décimaliser les angles (100 gon pour un angle droit) pour simplifier les calculs, de la même manière qu'on a décimalisé les longueurs et les poids.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Calculez la dénivelée brute si l'angle zénithal avait été de 102.5000 gon.
Question 2 : Calculer la dénivelée corrigée \( \Delta H \)
Principe (le concept physique)
La dénivelée brute ne représente que la différence d'altitude entre l'instrument et la cible. Pour obtenir la dénivelée réelle entre les points au sol (A et B), il faut corriger ce premier résultat en tenant compte de la hauteur à laquelle se trouve l'instrument au-dessus du point A, et de la hauteur de la cible au-dessus du point B.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
On passe d'une géométrie relative (liée à la ligne de visée) à une géométrie absolue (liée aux points au sol). La hauteur de l'instrument (\( h_{\text{i}} \)) "surélève" notre point de départ, il faut donc l'ajouter. La hauteur de la cible (\( h_{\text{v}} \)) "surélève" notre point d'arrivée par rapport au sol ; pour retrouver le sol, il faut donc la soustraire.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Faites toujours un petit schéma rapide, même au brouillon. Visualiser l'instrument sur son trépied et le prisme sur sa canne aide énormément à ne pas se tromper dans les signes : on "monte" de \( h_{\text{i}} \) pour viser, et on "descend" de \( h_{\text{v}} \) pour atteindre le sol.
Normes (la référence réglementaire)
Les procédures de mesure de \( h_{\text{i}} \) et \( h_{\text{v}} \) sur le terrain sont standardisées pour garantir la précision. On mesure généralement la hauteur de l'instrument sur le côté de l'embase et on utilise des cannes à prisme de hauteur fixe ou réglable et vérifiée.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de la dénivelée corrigée
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que l'instrument a été mis en station parfaitement à la verticale du point A, et que le prisme était parfaitement à la verticale du point B au moment de la mesure.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
On reprend le résultat précédent et on ajoute les hauteurs de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Dénivelée brute | \( \Delta H' \) | +4.007 | m |
| Hauteur instrument | \( h_{\text{i}} \) | 1.650 | m |
| Hauteur prisme (cible) | \( h_{\text{v}} \) | 2.000 | m |
Astuces (Pour aller plus vite)
Pensez à la correction (\( h_{\text{i}} - h_{\text{v}} \)) comme un seul bloc. Ici, \( 1.650 - 2.000 = -0.350 \text{ m} \). La correction globale est donc négative. On peut la calculer en premier pour simplifier l'addition finale.
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma illustre comment les hauteurs de l'instrument (\(+h_i\)) et du prisme (\(-h_v\)) sont appliquées à la dénivelée brute (\(\Delta H'\)) pour obtenir la dénivelée corrigée entre les points au sol A et B.
Visualisation des corrections de hauteur
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la dénivelée corrigée
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma illustre la dénivelée finale corrigée (\(\Delta H\)) entre les points A et B, qui représente la différence d'altitude réelle entre les deux points au sol.
Dénivelée Corrigée entre A et B
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le résultat final est positif. Cela signifie que le terrain au point B est 3.657 mètres plus haut que le terrain au point A. La correction a diminué la dénivelée brute, car la hauteur du prisme était supérieure à celle de l'instrument.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention à ne pas inverser \(h_{\text{i}}\) et \(h_{\text{v}}\). On ajoute toujours la hauteur de l'instrument et on soustrait toujours la hauteur de la cible. Une erreur de signe ici fausserait complètement le résultat final de l'altitude.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La dénivelée entre les points au sol n'est pas la dénivelée entre les appareils. Il faut impérativement corriger la mesure brute avec les hauteurs des instruments et des cibles via la formule \( \Delta H = \Delta H' + h_{\text{i}} - h_{\text{v}} \).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Pour minimiser les erreurs de mesure de \( h_{\text{i}} \) et \( h_{\text{v}} \) et pour annuler les effets de la courbure terrestre et de la réfraction, les topographes réalisent souvent des "cheminements" en nivellement, avec des visées réciproques entre les points.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle serait la dénivelée corrigée si la hauteur du prisme (\( h_{\text{v}} \)) était de 1.500 m au lieu de 2.000 m ?
Question 3 : En déduire l'altitude finale du point B
Principe (le concept physique)
L'altitude d'un point est sa hauteur par rapport à un niveau de référence (généralement le niveau de la mer). Connaissant l'altitude du point de départ A et la dénivelée (la différence d'altitude) entre A et B, on peut simplement calculer l'altitude du point d'arrivée B par une simple addition.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Les altitudes forment un système de référence vertical. En France, le système officiel est le NGF-IGN69, dont le "zéro" est situé au marégraphe de Marseille. Toute altitude est donc une élévation par rapport à ce point. La dénivelée est un écart entre deux altitudes dans ce même système.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Cette dernière étape est la plus simple mais c'est l'aboutissement de tout le travail. Ne la négligez pas. Vérifiez que les unités sont cohérentes (tout en mètres) et faites attention au signe de la dénivelée. C'est le moment de vérité !
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul lui-même est universel, mais le résultat final (l'altitude) n'a de sens que s'il est rattaché à un système de référence national ou international, comme le NGF-IGN69 en France ou l'EGM2008 au niveau mondial.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de l'altitude d'un point
Hypothèses (le cadre du calcul)
On fait l'hypothèse que l'altitude du point de départ A est connue avec une précision suffisante et est exempte d'erreur.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
On utilise les dernières données connues.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Altitude du point A | \( \text{Alt}_{\text{A}} \) | 152.450 | m |
| Dénivelée de A vers B | \( \Delta H_{\text{AB}} \) | +3.657 | m |
Astuces (Pour aller plus vite)
Avant de calculer, vérifiez le signe de la dénivelée. Ici, elle est positive, donc l'altitude de B doit être supérieure à celle de A. Cela vous donne un contrôle rapide de la cohérence de votre résultat final.
Schéma (Avant les calculs)
Imaginons une ligne de niveau graduée verticalement. On part de la graduation 152.450 et on ajoute la dénivelée calculée.
Calcul d'altitude sur un axe vertical
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de l'altitude finale
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma montre l'altitude finale du point B sur l'axe vertical, obtenue en ajoutant la dénivelée calculée à l'altitude de départ du point A.
Résultat d'altitude sur un axe vertical
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'altitude du point B est 156.107 m dans le même système de référence que le point A. Le point B est bien plus haut que le point A, comme la dénivelée positive le laissait présager.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus bête ici serait une faute de frappe sur la calculatrice ou une erreur de signe. Relisez toujours votre calcul final ! Assurez-vous d'avoir utilisé la dénivelée corrigée (\(\Delta H\)) et non la dénivelée brute (\(\Delta H'\)).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La maîtrise de cette question repose sur la compréhension de la chaîne de calcul : Mesures de terrain \(\Rightarrow\) Dénivelée Brute \(\Rightarrow\) Dénivelée Corrigée \(\Rightarrow\) Altitude Finale. Chaque étape dépend de la précédente.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les altitudes que nous utilisons en topographie (orthométriques) sont différentes des altitudes données par un GPS standard (ellipsoïdales). L'altitude GPS est une hauteur par rapport à une surface mathématique lisse (l'ellipsoïde), tandis que l'altitude topographique est par rapport au géoïde, une surface plus complexe qui représente le niveau moyen des mers. En France, la différence entre les deux peut atteindre 50 mètres !
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Et si l'altitude de départ (Point A) avait été de 200.000 m, quelle serait l'altitude du point B ?
Outil Interactif : Simulateur de Nivellement
Utilisez les curseurs pour modifier la distance horizontale et l'angle zénithal, et observez en temps réel l'impact sur la dénivelée et l'altitude finale du point B. (On conserve Alt(A)=152.45m, hi=1.65m, hv=2.00m).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Un angle zénithal de 100 gon correspond à une visée...
2. Si un topographe mesure un angle zénithal de 85 gon, cela signifie que la visée est :
3. Dans la formule de la dénivelée, que représente \( h_{\text{i}} - h_{\text{v}} \)?
4. Si on oublie de soustraire la hauteur de la mire (\(h_{\text{v}}\)), l'altitude calculée du point B sera...
5. Laquelle de ces erreurs n'affecte PAS le calcul de la dénivelée par cette méthode ?
- Angle Zénithal (V)
- Angle mesuré dans un plan vertical, depuis la direction du zénith (point imaginaire situé à la verticale de l'observateur) jusqu'à un point visé. L'axe de référence (0) est donc la verticale "vers le haut".
- Dénivelée (\( \Delta H \))
- Différence d'altitude entre deux points.
- Gon (ou Grade)
- Unité de mesure d'angle où un cercle complet est divisé en 400 gons. Un angle droit mesure 100 gons. C'est l'unité standard en topographie en France et dans d'autres pays.
- Nivellement Trigonométrique
- Ensemble des opérations consistant à déterminer la dénivelée entre deux points en utilisant la mesure d'angles verticaux et de distances. On l'appelle aussi nivellement indirect.
D’autres exercices d’instruments topographique:
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