Interpolation d'un MNT (Grille)
Contexte : Traitement de données topographiques et modélisation.
Dans le cadre d'un projet d'aménagement, un géomètre a relevé un Semis de pointsNuage de points irrégulier relevé sur le terrain (X,Y,Z).. Pour réaliser des calculs de cubatures ou tracer des courbes de niveau, il est souvent nécessaire de transformer ces points en une grille régulière, appelée MNTModèle Numérique de Terrain : représentation 3D de la surface du sol..
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprend à calculer l'altitude d'un point inconnu à partir de points connus par la méthode d'interpolation pondérée par l'inverse de la distance.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le principe d'un maillage régulier.
- Calculer des distances planes à partir de coordonnées rectangulaires.
- Appliquer une formule d'interpolation spatiale simple.
Données de l'étude
On considère une zone carrée de 10m x 10m définie par 4 points relevés (A, B, C, D). Nous cherchons à déterminer l'altitude \(Z_{\text{P}}\) d'un point \(P\) situé à l'intérieur de cette zone.
Coordonnées des points relevés
| Point | X (m) | Y (m) | Z (m) - Altitude |
|---|---|---|---|
| A | 0.00 | 0.00 | 100.00 |
| B | 10.00 | 0.00 | 101.50 |
| C | 10.00 | 10.00 | 102.00 |
| D | 0.00 | 10.00 | 100.50 |
Schéma de la maille et du point P
| Variable | Description | Valeur pour l'étude |
|---|---|---|
| \(X_{\text{P}}, Y_{\text{P}}\) | Coordonnées du point à interpoler | \(X=2.5, Y=2.5\) |
| \(d_i\) | Distance entre le point P et le point i | À calculer |
Questions à traiter
- Calculer les distances planes entre le point P(2.5, 2.5) et les points A, B, C, D.
- Déterminer les poids associés à chaque point (inverse de la distance).
- Calculer l'altitude \(Z_{\text{P}}\) par interpolation pondérée.
Les bases théoriques
Pour estimer la valeur d'un phénomène (ici l'altitude) à un endroit où aucune mesure n'a été prise, on utilise l'InterpolationCalcul d'une valeur approchée entre deux valeurs connues..
Distance Euclidienne (Plane)
La distance entre deux points \(M_1(x_1, y_1)\) et \(M_2(x_2, y_2)\) se calcule par le théorème de Pythagore :
Calcul de Distance 2D
Moyenne Pondérée (IDW - Inverse Distance Weighting)
L'influence d'un point connu diminue avec la distance. Plus un point est proche de P, plus son poids \(w\) est fort.
Formule d'interpolation
Où :
- \(Z_i\) est l'altitude connue du point i.
- \(d_i\) est la distance entre P et le point i.
Correction : Interpolation d'un MNT (Grille)
Question 1 : Calcul des distances
Principe
Pour interpoler une valeur en un point P, nous devons d'abord quantifier sa position relative par rapport aux points connus (A, B, C, D). La première étape logique est de calculer la distance géométrique "à vol d'oiseau" (distance euclidienne) séparant P de chaque sommet du carré. Cette distance servira de base pour déterminer l'influence de chaque point.
Mini-Cours
Théorème de Pythagore en Topographie
Dans un repère cartésien orthonormé (X, Y), la distance plane entre deux points correspond à l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont les différences de coordonnées \(\Delta X\) et \(\Delta Y\). C'est la base fondamentale de la planimétrie.
Normes
Les calculs topographiques standards s'effectuent en mètres avec une précision millimétrique (3 décimales) pour les coordonnées. Pour les distances intermédiaires, conserver 3 à 4 décimales permet d'éviter les erreurs d'arrondi cumulatives. En France, le système de référence planimétrique légal est le RGF93 (Lambert-93).
Formule(s)
Hypothèses
Nous travaillons en géométrie plane 2D. Nous négligeons ici la courbure terrestre (correction de réduction à l'ellipsoïde) car les distances sont très faibles (< 15 m). L'altitude Z n'intervient pas dans ce calcul de distance horizontale.
Donnée(s)
| Point | X (m) | Y (m) |
|---|---|---|
| P (Cible) | 2.50 | 2.50 |
| A | 0.00 | 0.00 |
| B | 10.00 | 0.00 |
| C | 10.00 | 10.00 |
| D | 0.00 | 10.00 |
Astuces
Pour éviter les erreurs de saisie sur la calculatrice, calculez d'abord les termes \(\Delta X^2\) et \(\Delta Y^2\) séparément, additionnez-les, puis prenez la racine carrée du total. Cela permet aussi de vérifier l'ordre de grandeur avant le résultat final.
Schéma de principe : Distance P-A
Calcul Principal Détaillé
Application numérique pour le point A
Commençons par le point le plus proche visuellement, le point A (0,0). La différence en X est de 2.5 et en Y de 2.5. Nous remplaçons ces valeurs dans la formule :
Nous obtenons une distance d'environ 3.54 mètres. Ce résultat semble cohérent pour la diagonale d'un petit carré de 2.5m de côté.
Application numérique pour le point B
Passons maintenant au point B (10, 0). Ici, l'écart en X est plus important (10 - 2.5 = 7.5), ce qui va augmenter la distance :
Comme prévu, la distance est plus grande. Notez que le carré de (-7.5) est positif, une distance ne peut jamais être négative.
On procède de la même manière pour les points C et D :
Le point C est le plus éloigné (diagonale opposée).
Le point D est symétrique au point B, nous retrouvons donc logiquement la même distance.
Réflexions
Les distances trouvées sont cohérentes géométriquement : P est visuellement très proche du coin A, donc \(d_{\text{A}}\) est logiquement la plus petite valeur. P est très éloigné du coin opposé C, \(d_{\text{C}}\) est la plus grande valeur (diagonale partielle).
Points de vigilance
Unités : Assurez-vous que toutes vos coordonnées sont dans la même unité (mètres). Si vous mélangez des cm et des m, le résultat sera faux. Le résultat d'une distance est toujours positif (racine carrée).
Le saviez-vous ?
Sur de grandes distances géodésiques (plusieurs centaines de km), la ligne droite n'est plus le chemin le plus court. On parle alors d'orthodromie (arc de grand cercle) par opposition à la loxodromie (cap constant).
FAQ
Pourquoi ne calcule-t-on pas la distance en pente ?
Pour l'interpolation planimétrique (X,Y), seule la position "à plat" compte pour déterminer le "poids" de l'influence horizontale. L'altitude Z est le résultat cherché, elle ne doit pas intervenir comme donnée d'entrée pour la pondération de distance horizontale.
📝 Mémo
La distance euclidienne plane se calcule toujours par \(\sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2}\). C'est la base de toute analyse spatiale en SIG.
Question 2 : Calcul des Poids
Principe
La méthode IDW (Inverse Distance Weighting) repose sur un principe physique simple : l'influence d'un phénomène diminue avec la distance (comme la chaleur d'un feu ou l'intensité de la lumière). Nous allons donc attribuer un "poids" à chaque point connu : plus un point est proche de P, plus son poids sera élevé, et plus il "tirera" l'altitude finale vers la sienne.
Mini-Cours
La fonction de pondération \(w = 1/d^p\)
Le poids \(w\) (weight) est calculé par l'inverse de la distance élevé à une puissance \(p\).
- Si \(p=1\) (notre cas) : Décroissance linéaire. Simple et robuste.
- Si \(p=2\) (carré) : Décroissance quadratique. Donne une importance énorme aux points très très proches et néglige vite les lointains.
Remarque Pédagogique
Cette approche est l'application directe de la Première loi de la géographie de Waldo Tobler (1970) : "Tout interagit avec tout, mais deux objets proches ont plus de chance d'interagir que deux objets éloignés."
Normes
Dans les logiciels SIG professionnels comme ArcGIS ou QGIS, l'outil d'interpolation IDW utilise par défaut une puissance \(p=2\). Pour des calculs manuels ou des estimations rapides de chantier, l'usage de \(p=1\) est toléré et souvent suffisant pour des maillages réguliers.
Formule(s)
Hypothèses
Cette méthode suppose une continuité spatiale du terrain (autocorrélation spatiale positive). Elle ne fonctionne pas s'il y a une rupture franche (mur de soutènement, falaise) entre le point connu et le point à interpoler.
Donnée(s)
| Point | Distance \(d\) (m) issue de Q1 |
|---|---|
| A | 3.536 |
| B | 7.906 |
| C | 10.607 |
| D | 7.906 |
Astuces
Il n'est pas nécessaire que la somme des poids soit égale à 1 lors du calcul individuel. C'est l'étape de division finale (dans la question 3) qui normalisera le tout. Contentez-vous de calculer \(1/d\) avec précision.
Schéma d'influence (Pondération)
L'intensité verte montre la force d'attraction de chaque point.
Calcul(s) Détaillé
Commençons par calculer le poids du point A. Puisque c'est le plus proche, son poids (1/d) sera mathématiquement le plus élevé :
Nous arrondissons à 4 décimales pour garder une précision suffisante pour la suite : 0.2828. Ce coefficient signifie que l'altitude de A "comptera" fortement.
| Point | Distance (d) | Calcul (1/d) | Poids (w) |
|---|---|---|---|
| A | 3.536 | \(1 / 3.536\) | 0.2828 |
| B | 7.906 | \(1 / 7.906\) | 0.1265 |
| C | 10.607 | \(1 / 10.607\) | 0.0943 |
| D | 7.906 | \(1 / 7.906\) | 0.1265 |
Somme des poids (\(\Sigma w\))
Cette somme est cruciale car elle servira de dénominateur commun pour normaliser la moyenne pondérée :
Ce total de 0.6301 représente la "masse totale" de notre système de pondération.
Réflexions
L'analyse des poids confirme la logique géométrique : le poids de A (0.2828) est environ 3 fois supérieur à celui de C (0.0943). Cela signifie que l'altitude du point A aura trois fois plus d'importance dans le résultat final que celle du point C.
Points de vigilance
Singularité mathématique : Si le point P se trouve exactement sur le point A, la distance \(d_{\text{A}}\) devient nulle. Or, on ne peut pas diviser par zéro (\(1/0 = \infty\)). Dans les algorithmes, cette exception est gérée : si \(d=0\), on attribue directement l'altitude du point connu sans calcul.
Points à Retenir
Pour réussir une interpolation IDW :
- Calculer l'inverse de chaque distance.
- Ne jamais oublier de faire la SOMME de ces inverses.
- Vérifier que le point le plus proche a le poids le plus élevé.
Le saviez-vous ?
Cette méthode n'est pas réservée à la topographie ! Elle est massivement utilisée en météorologie pour estimer les précipitations ou les températures entre des stations météo dispersées sur le territoire.
FAQ
Est-ce que le choix de la puissance \(p\) change beaucoup le résultat ?
Oui, significativement. Avec \(p=1\), le terrain semble "lisse" et régulier. Avec \(p=3\) ou plus, le terrain ressemblera à des plateaux autour des points connus avec des transitions très brutales (effet "boîte à œufs"). Le choix de \(p=2\) est souvent le meilleur compromis.
📝 Mémo
Calculer les poids, puis OBLIGATOIREMENT leur somme. C'est la clé de voûte de la moyenne pondérée.
Question 3 : Calcul de l'Altitude Finale \(Z_{\text{P}}\)
Principe
Nous arrivons à l'étape finale. L'altitude cherchée \(Z_{\text{P}}\) est une moyenne pondérée des altitudes connues. Concrètement, nous allons multiplier chaque altitude par son "importance" (poids), tout additionner, puis diviser par la somme totale des importances pour revenir à l'échelle réelle.
Mini-Cours
Le Barycentre
Mathématiquement, le point interpolé \(Z_{\text{P}}\) est le barycentre des points \(Z_i\) affectés des coefficients \(w_i\). C'est la même formule que pour calculer votre moyenne générale au baccalauréat (Note × Coefficient) / Somme des Coefficients.
\[ Moyenne = \frac{\sum (\text{Note} \times \text{Coeff})}{\sum \text{Coeff}} \]
Remarque Pédagogique
Cette méthode a un effet "lissant". Elle ne peut jamais produire une valeur supérieure au maximum ou inférieure au minimum des points sources. Elle est donc "sécurisée" mais incapable de deviner un pic ou un creux non mesuré.
Normes
En topographie, la règle est de ne jamais afficher plus de chiffres significatifs que la donnée la moins précise. Nos altitudes de départ sont au centimètre (2 décimales). Le résultat final devra donc être arrondi au centimètre (ex: 100.70 m) et non au millimètre, qui serait une précision illusoire issue du calcul.
Formule(s)
Hypothèses
On assume que la variation altimétrique est linéaire entre les points. S'il y avait un mur vertical entre A et B, cette méthode donnerait un résultat faux (pente douce au lieu d'une rupture).
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Somme des poids (\(\Sigma w\)) | 0.6301 (issu de Q2) |
| Altitudes A, B, C, D | 100.00, 101.50, 102.00, 100.50 (m) |
| Poids A, B, C, D | 0.2828, 0.1265, 0.0943, 0.1265 |
Astuces
Vérification rapide (Check-List) : Votre résultat DOIT impérativement être compris entre l'altitude min (100.00m) et l'altitude max (102.00m). Si vous trouvez 98m ou 150m, il y a une erreur de calcul !
Diagramme de Flux du Calcul
Calcul(s) Détaillé
Commençons par calculer le numérateur, c'est-à-dire la contribution pondérée de chaque point :
On fait la somme de ces contributions pour obtenir le numérateur global :
Enfin, on divise ce total par la somme des poids calculée à la Question 2 (\(0.6301\)) pour normaliser :
Réflexions
Le résultat est-il cohérent ?
Le point P est géographiquement très proche de A (100.00 m). Il est donc normal que l'altitude trouvée (100.70 m) soit "tirée" vers 100.00 m, bien plus que vers 102.00 m (point C). La méthode a correctement favorisé l'information locale.
Points de vigilance
Erreur Classique : Ne confondez pas avec la moyenne arithmétique simple !
Moyenne simple = \((100 + 101.5 + 102 + 100.5) / 4 = 101.00 \text{ m}\).
Le résultat pondéré (100.70 m) est différent car P n'est pas au centre du carré.
Points à Retenir
L'interpolation IDW est une méthode de moyenne. Elle ne crée pas d'information nouvelle (pas d'extrapolation) : le résultat reste toujours "contenu" dans la plage des valeurs d'entrée. C'est une méthode prudente pour les MNT.
Le saviez-vous ?
Cette technique de pondération par la distance est aussi utilisée par votre récepteur GPS (GNSS) ! Pour calculer votre position exacte, il pondère les signaux des différents satellites en fonction de leur qualité (rapport signal/bruit) et de leur géométrie.
FAQ
Que se passe-t-il si j'utilise seulement 3 points (Triangle) ?
Si vous utilisez 3 points, vous définissez mathématiquement un plan unique incliné. L'interpolation devient alors géométrique (intersection avec le plan) et non plus statistique. C'est la base de la méthode TIN (Triangulated Irregular Network), souvent plus précise pour les terrains rocheux.
A vous de jouer
Si le point P était exactement au centre (5, 5), quelle serait l'altitude ? (Indice: comme les distances seraient égales, les poids seraient égaux, et on retrouverait la moyenne simple).
📝 Mémo
La formule magique à retenir : \( Z = \frac{\sum (w \cdot Z)}{\sum w} \). C'est universel pour les moyennes pondérées.
Visualisation du Résultat (Coupe A-C)
Coupe simplifiée (profil) le long de la diagonale A-C, montrant la position altimétrique relative du point calculé P.
📝 Grand Mémo : Topographie & MNT
Voici la synthèse des points clés méthodologiques et physiques abordés dans cet exercice :
-
🔑
Semis de points
La base de tout MNT est un nuage de points XYZ. Sans points précis, pas de modèle fiable. -
📐
Interpolation
C'est l'art mathématique de "deviner" l'altitude entre les points mesurés. La méthode IDW (Inverse Distance) est la plus intuitive. -
⚠️
Densité
La précision du modèle dépend de la densité des points relevés. Dans les zones accidentées, il faut resserrer la maille de relevé. -
💡
Application Pratique
Ces MNT servent ensuite à calculer des volumes de terre (cubatures), à tracer des profils en long pour les routes ou à simuler des inondations.
🎛️ Simulateur d'Interpolation Linéaire (Profil)
Simulez le calcul de l'altitude d'un point intermédiaire sur un profil entre deux points A et B distants de 10m.
Altitudes aux extrémités
📝 Quiz final : Topographie
1. Que signifie l'acronyme M.N.T. ?
2. Si deux points sont très proches, leur influence (poids) dans l'interpolation IDW est :
📚 Glossaire
- Altimétrie
- Partie de la topographie qui s'occupe de la détermination des altitudes (Z).
- Interpolation
- Opération mathématique permettant de construire une courbe ou une surface à partir de points discrets.
- Maillage
- Découpage d'une surface en polygones ou en carrés pour en faciliter le calcul.
- TIN
- Triangulated Irregular Network (Réseau Irrégulier Triangulé), méthode courante de MNT.
Le Saviez-vous ?
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