Étude Topographique

Implantation par Intersection

Topographie : Calcul des Éléments d'Implantation par Intersection

Calcul des éléments d'implantation par intersection

Contexte : Déterminer un Point par Double Visée

L'intersection est une méthode de détermination de la position d'un point inconnu (P) en le visant depuis au moins deux points connus (stations S1 et S2). Contrairement au rayonnement qui utilise un angle et une distance, l'intersection n'utilise que des mesures d'angles. La position du point P est à l'intersection des deux droites (directions) définies par les visées depuis chaque station. Cette méthode est très utile lorsque le point à déterminer est inaccessible (de l'autre côté d'une rivière, sommet d'une montagne, etc.).

Remarque Pédagogique : Cet exercice met en lumière la résolution d'un triangle en utilisant la loi des sinus. C'est un cas d'école qui montre comment, avec une base connue (le segment S1-S2) et deux angles, on peut déterminer toutes les autres caractéristiques du triangle, y compris les longueurs des côtés et les coordonnées du troisième sommet.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer le gisement et la distance d'une base connue.
  • Résoudre un triangle en utilisant la loi des sinus pour déterminer des longueurs de côtés.
  • Calculer les gisements de deux nouvelles directions à partir d'une base et d'angles mesurés.
  • Calculer les coordonnées d'un point par deux méthodes différentes (depuis chaque station) et les comparer.
  • Comprendre l'importance de la redondance et de la vérification dans les calculs topométriques.

Données de l'étude

Un géomètre doit déterminer les coordonnées d'un point P inaccessible. Il utilise deux stations connues, S1 et S2, et mesure les angles horizontaux vers le point P.

Schéma d'Intersection
S1 S2 P α β

Coordonnées des stations :

  • S1 : X = 500.00 m ; Y = 1000.00 m
  • S2 : X = 750.00 m ; Y = 980.00 m

Angles mesurés (en gon) :

  • Angle en S1 (α = S2-S1-P) : 65.4320 gon
  • Angle en S2 (β = P-S2-S1) : 72.9150 gon

Questions à traiter

  1. Calculer le gisement et la distance de la base S1-S2.
  2. Calculer les gisements G(S1-P) et G(S2-P).
  3. Calculer les coordonnées de P à partir de S1.
  4. Calculer les coordonnées de P à partir de S2 pour vérification.

Correction : Implantation par Intersection

Question 1 : Gisement et Distance de la Base S1-S2

Principe :
S1 S2 Nord ΔX ΔY G

La première étape consiste à calculer les caractéristiques de la base connue S1-S2. Son gisement et sa distance sont indispensables pour orienter les calculs et résoudre le triangle S1-S2-P.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La base S1-S2 est le seul élément dont nous connaissons à la fois la direction et la longueur. C'est la référence absolue sur laquelle tout le reste du calcul va s'appuyer. Une erreur sur la base invalide tout le reste.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ G_{\text{S1S2}} = \arctan\left(\frac{X_2 - X_1}{Y_2 - Y_1}\right) \]
\[ D_{\text{S1S2}} = \sqrt{(X_2 - X_1)^2 + (Y_2 - Y_1)^2} \]
Donnée(s) :
  • S1 : X = 500.00 m ; Y = 1000.00 m
  • S2 : X = 750.00 m ; Y = 980.00 m
Calcul(s) :
\[ \Delta X_{\text{S1-S2}} = 750.00 - 500.00 = +250.00 \, \text{m} \]
\[ \Delta Y_{\text{S1-S2}} = 980.00 - 1000.00 = -20.00 \, \text{m} \]

ΔX > 0 et ΔY < 0, le gisement est dans le quadrant 2 (entre 100 et 200 gon). On ajoute 200 gon.

\[ \begin{aligned} G_{\text{S1-S2}} &= \arctan\left(\frac{250.00}{-20.00}\right) + 200 \\ &= \arctan(-12.5) + 200 \\ &= -95.0945 + 200 \\ &= 104.9055 \, \text{gon} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} D_{\text{S1-S2}} &= \sqrt{(250.00)^2 + (-20.00)^2} \\ &= \sqrt{62500 + 400} \\ &= \sqrt{62900} \\ &= 250.80 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Ajustement de quadrant : L'erreur la plus commune est d'oublier d'ajuster le résultat de l'arctangente. Une analyse des signes de ΔX et ΔY est indispensable pour situer la direction dans le bon quadrant et appliquer la bonne correction (+200 ou +400 gon).

Le saviez-vous ?

La distance calculée ici est une distance horizontale plane. En réalité, le topographe mesure une distance inclinée qu'il doit ensuite réduire à l'horizontale en utilisant l'angle vertical mesuré par l'instrument.

FAQ en rapport avec la question :
Comment la distance est-elle calculée ?

La formule de la distance entre deux points provient directement du théorème de Pythagore. Les ΔX et ΔY forment les deux côtés d'un triangle rectangle, et la distance entre les points A et B est l'hypoténuse de ce triangle.

Résultat : Le gisement G(S1-S2) est de 104.9055 gon et la distance D(S1-S2) est de 250.80 m.

Question 2 : Gisements vers le Point P

Principe :
S1 S2 P β α

À partir du gisement de la base, on peut déduire les gisements des visées vers P. Pour G(S1-P), on soustrait l'angle α de G(S1-S2). Pour G(S2-P), on part du gisement inverse G(S2-S1) et on ajoute l'angle β.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le calcul du gisement inverse (G_S2-S1) est une étape cruciale. Il s'obtient simplement en ajoutant ou soustrayant 200 gon au gisement direct. C'est ce qui nous permet de nous "transporter" de la station S1 à la station S2 pour continuer les calculs.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ G_{\text{S1-P}} = G_{\text{S1-S2}} - \alpha \]
\[ G_{\text{S2-S1}} = G_{\text{S1-S2}} + 200 \, \text{gon} \]
\[ G_{\text{S2-P}} = G_{\text{S2-S1}} + \beta \]
Donnée(s) :
  • Gisement S1-S2 : 104.9055 gon
  • Angle α : 65.4320 gon
  • Angle β : 72.9150 gon
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} G_{\text{S1-P}} &= 104.9055 - 65.4320 \\ &= 39.4735 \, \text{gon} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} G_{\text{S2-S1}} &= 104.9055 + 200 = 304.9055 \, \text{gon} \\ G_{\text{S2-P}} &= 304.9055 + 72.9150 \\ &= 377.8205 \, \text{gon} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Sens des angles : Il est primordial de connaître le sens de mesure des angles α et β. Ici, α est mesuré dans le sens anti-horaire par rapport à la direction S1-S2, d'où la soustraction. β est mesuré dans le sens horaire par rapport à la direction S2-S1, d'où l'addition. Une inversion mènerait à un point erroné.

Le saviez-vous ?

En pratique, un géomètre ne se contente pas de viser S2 pour orienter son instrument. Il effectue un "tour d'horizon" en visant plusieurs points connus pour affiner son orientation et détecter d'éventuelles erreurs sur les points de base.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi soustraire pour α et additionner pour β ?

Tout dépend de la convention de mesure des angles. L'angle α (S2-S1-P) est mesuré depuis la direction S1-S2 vers S1-P. Comme le gisement S1-P est "avant" le gisement S1-S2 dans le sens horaire, on le soustrait. Inversement, l'angle β (P-S2-S1) est mesuré depuis S2-P vers S2-S1. Pour trouver G(S2-P), on part de G(S2-S1) et on ajoute β.

Résultat : G(S1-P) = 39.4735 gon et G(S2-P) = 377.8205 gon.

Question 3 & 4 : Coordonnées de P et Vérification

Principe :
S1 S2 P(X,Y)

Pour calculer les coordonnées de P, il nous manque les distances D(S1-P) et D(S2-P). On les obtient en résolvant le triangle S1-S2-P avec la loi des sinus, après avoir calculé le troisième angle γ au sommet P.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le calcul des coordonnées de P depuis S1, puis depuis S2, constitue une vérification puissante. Si les deux calculs donnent des résultats identiques (à quelques millimètres près, dus aux arrondis), on peut être très confiant dans la justesse de l'ensemble du processus.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \gamma = 200 - (\alpha + \beta) \]
\[ \frac{D_{\text{S1-P}}}{\sin(\beta)} = \frac{D_{\text{S2-P}}}{\sin(\alpha)} = \frac{D_{\text{S1-S2}}}{\sin(\gamma)} \]
\[ X_{\text{P}} = X_{\text{Station}} + D_{\text{Station-P}} \times \sin(G_{\text{Station-P}}) \]
Donnée(s) :
  • Angle α = 65.4320 gon ; Angle β = 72.9150 gon
  • Distance S1-S2 = 250.80 m
  • Gisement S1-P = 39.4735 gon ; Gisement S2-P = 377.8205 gon
  • Coordonnées S1(500.00, 1000.00) ; S2(750.00, 980.00)
Calcul(s) :

1. Angle au sommet P (γ) :

\[ \begin{aligned} \gamma &= 200 - (65.4320 + 72.9150) \\ &= 200 - 138.3470 \\ &= 61.6530 \, \text{gon} \end{aligned} \]

2. Distances par la loi des sinus :

\[ \begin{aligned} D_{\text{S1-P}} &= D_{\text{S1-S2}} \times \frac{\sin(\beta)}{\sin(\gamma)} = 250.80 \times \frac{\sin(72.9150)}{\sin(61.6530)} \\ &= 286.99 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} D_{\text{S2-P}} &= D_{\text{S1-S2}} \times \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)} = 250.80 \times \frac{\sin(65.4320)}{\sin(61.6530)} \\ &= 269.41 \, \text{m} \end{aligned} \]

3. Coordonnées de P depuis S1 (Question 3) :

\[ \begin{aligned} X_{\text{P}} &= 500.00 + 286.99 \times \sin(39.4735) = 669.75 \, \text{m} \\ Y_{\text{P}} &= 1000.00 + 286.99 \times \cos(39.4735) = 1241.14 \, \text{m} \end{aligned} \]

4. Coordonnées de P depuis S2 (Question 4 - Vérification) :

\[ \begin{aligned} X_{\text{P}} &= 750.00 + 269.41 \times \sin(377.8205) = 669.75 \, \text{m} \\ Y_{\text{P}} &= 980.00 + 269.41 \times \cos(377.8205) = 1241.14 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Loi des sinus : Assurez-vous de bien utiliser l'angle opposé au côté que vous cherchez. Par exemple, pour trouver D(S1-P), on utilise l'angle en S2 (β). Une inversion des angles α et β dans cette formule est une erreur fréquente.

Le saviez-vous ?

La résolution de ce problème peut aussi être vue comme la résolution d'un système de deux équations de droites. Chaque visée (S1-P et S2-P) définit une droite. Le point P est simplement l'intersection de ces deux droites, dont les coordonnées peuvent être trouvées par des méthodes d'algèbre linéaire.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi calculer les coordonnées de P depuis S1 et S2 ?

C'est une méthode de contrôle essentielle. Le calcul depuis S1 utilise le gisement G(S1-P) et la distance D(S1-P). Le calcul depuis S2 utilise des valeurs complètement différentes : G(S2-P) et D(S2-P). Le fait que les deux calculs aboutissent au même résultat final (aux arrondis près) prouve qu'il n'y a pas eu d'erreur majeure dans les étapes précédentes.

Résultat : Les deux calculs donnent les mêmes coordonnées pour P(669.75, 1241.14). Le calcul est cohérent.

Simulation d'Intersection

Faites varier les angles mesurés depuis S1 et S2 et observez comment la position du point P change.

Angles Mesurés
Coordonnée X de P
Coordonnée Y de P
Position du Point Intersecté P

Pour Aller Plus Loin : Le Cas Réel

La forme du triangle : Pour une précision optimale, les géomètres cherchent à avoir un triangle d'intersection le plus "équilatéral" possible. Les intersections avec des angles trop aigus (inférieurs à 30 gon) ou trop obtus (supérieurs à 170 gon) sont à éviter, car une petite erreur sur la mesure d'angle engendre une grande incertitude sur la position du point P.

Le Saviez-Vous ?

La méthode d'intersection est à la base de la triangulation, une technique historique utilisée pour cartographier des pays entiers (comme la carte de Cassini en France au 18ème siècle). En mesurant une seule base avec une très grande précision, puis une chaîne de triangles adjacents, les géodésiens pouvaient calculer les positions de points à des centaines de kilomètres de distance.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si je n'ai qu'une seule station connue ?

Avec une seule station, la méthode d'intersection est impossible. Vous ne pouvez définir qu'une direction vers le point P, mais pas sa position sur cette droite. Il vous faudrait alors utiliser une autre méthode, comme le rayonnement, qui nécessite de mesurer la distance jusqu'au point P.

Peut-on utiliser plus de deux stations ?

Oui, et c'est même recommandé pour augmenter la précision et la fiabilité. En visant le point P depuis trois stations ou plus, on obtient plusieurs déterminations de ses coordonnées. On peut alors les moyenner (par une méthode de moindres carrés) pour obtenir une position plus robuste et calculer un écart-type qui quantifie la qualité de la mesure.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un triangle S1-S2-P, si l'angle en S1 est de 50 gon et l'angle en S2 est de 80 gon, quel est l'angle au sommet P ?

2. La méthode d'intersection est la plus adaptée quand :

Glossaire

Intersection
Méthode de détermination d'un point par l'intersection de deux directions (deux gisements) issues de deux points connus.
Base
Segment défini par deux points connus (stations), dont on peut calculer le gisement et la distance. Sert de référence pour les calculs.
Loi des Sinus
Relation mathématique dans un triangle qui lie les longueurs des côtés au sinus de leurs angles opposés. Elle permet de calculer des longueurs inconnues si on connaît une longueur et deux angles.
Gisement Inverse
Gisement de la direction B vers A, qui est égal au gisement de A vers B ± 200 gon.
Topographie : Implantation par Intersection

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