Étude Topographique

Implantation d’un cercle

Topographie : Implantation d'un Cercle (Rond-Point)

Implantation d'un cercle (ex: rond-point)

Contexte : Dessiner des Courbes sur le Terrain

L'implantation de formes courbes, comme des cercles ou des arcs de cercle, est fondamentale pour de nombreux projets d'infrastructure : ronds-points, virages de routes ou de voies ferrées, bassins de rétention, etc. Plutôt que d'implanter une infinité de points, le géomètre matérialise la courbe par un nombre défini de piquets sur sa circonférence. Le calcul des coordonnées de ces points, puis de leurs données d'implantation par rayonnement, est la méthode la plus courante pour garantir une courbe lisse et conforme au projet.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre comment la trigonométrie de base (sinus, cosinus) et la géométrie polaire (angle, distance) permettent de passer d'une définition géométrique simple (un centre et un rayon) à une série de points concrets en coordonnées rectangulaires (X, Y), prêts à être implantés sur le terrain.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la définition d'un cercle par son centre et son rayon.
  • Calculer les coordonnées de points répartis uniformément sur une circonférence.
  • Appliquer la méthode de rayonnement pour calculer les données d'implantation de chaque point.
  • Générer une "fiche d'implantation" complète pour un ouvrage courbe.

Données de l'étude

Un géomètre doit implanter 8 points équidistants pour matérialiser un futur rond-point. Le premier point (P1) est situé sur l'axe Nord depuis le centre du cercle. Il opère depuis la station S1 et utilise S2 comme référence.

Schéma d'Implantation du Cercle
S1 S2 C P1 P2

Coordonnées des points connus (m) :

  • Station S1 : X = 1015.80 m ; Y = 450.20 m
  • Référence S2 : X = 1120.30 m ; Y = 465.70 m
  • Centre du cercle C : X = 1050.00 m ; Y = 580.00 m

Caractéristiques du cercle :

  • Rayon (R) : 15.00 m
  • Nombre de points à implanter : 8

Questions à traiter

  1. Calculer les coordonnées des 8 points (P1 à P8) à implanter sur le cercle.
  2. Calculer les données d'implantation (angle et distance) pour chaque point depuis la station S1, en utilisant S2 comme référence.

Correction : Implantation d'un cercle

Question 1 : Coordonnées des Points sur le Cercle

Principe :
C P1 P2

Les coordonnées d'un point sur un cercle se calculent par rayonnement depuis son centre. L'angle de ce rayonnement (gisement) est déterminé en divisant le cercle complet (400 gon) par le nombre de points, ce qui donne un angle de base. On calcule ensuite le gisement de chaque point en cumulant cet angle de base.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le premier point P1 est défini sur l'axe Nord, ce qui signifie que le gisement C-P1 est de 0 gon. C'est notre direction de départ. Pour chaque point suivant, on ajoute l'angle de base. Cette méthode garantit une répartition parfaitement régulière des points sur la circonférence.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{Angle de base} = \frac{400}{N_{\text{points}}} \]
\[ G_{\text{C-Pi}} = (i-1) \times \text{Angle de base} \]
\[ X_{\text{Pi}} = X_{\text{C}} + R \times \sin(G_{\text{C-Pi}}) \]
\[ Y_{\text{Pi}} = Y_{\text{C}} + R \times \cos(G_{\text{C-Pi}}) \]
Donnée(s) :
  • C(1050.00, 580.00)
  • Rayon R = 15.00 m
  • Nombre de points N = 8
Calcul(s) :
\[ \text{Angle de base} = \frac{400}{8} = 50 \, \text{gon} \]

On applique les formules pour chaque point de P1 (i=1) à P8 (i=8). Par exemple pour P2 (i=2) :

\[ G_{\text{C-P2}} = (2-1) \times 50 = 50 \, \text{gon} \]
\[ X_{\text{P2}} = 1050.00 + 15.00 \times \sin(50) = 1060.61 \, \text{m} \]
\[ Y_{\text{P2}} = 580.00 + 15.00 \times \cos(50) = 590.61 \, \text{m} \]
Points de vigilance :

Point de départ : L'énoncé précise que P1 est au Nord (gisement 0 gon). Si le point de départ avait été différent (par exemple, à l'Est, gisement 100 gon), tous les gisements suivants auraient été décalés de cette valeur initiale.

Le saviez-vous ?

Cette méthode de calcul de points sur un cercle est la même que celle utilisée en infographie pour dessiner des cercles ou des polygones réguliers sur un écran d'ordinateur, en convertissant des coordonnées polaires (rayon, angle) en coordonnées cartésiennes (X, Y).

FAQ en rapport avec la question :
Comment calculer les coordonnées si les points n'étaient pas équidistants ?

Si les points n'étaient pas répartis uniformément, il faudrait connaître le gisement spécifique de chaque point depuis le centre (C-P1, C-P2, etc.). Le calcul serait ensuite identique : un rayonnement depuis le centre pour chaque point avec son gisement et le rayon du cercle.

Les coordonnées calculées sont :
P1(1050.00, 595.00) ; P2(1060.61, 590.61) ; P3(1065.00, 580.00) ; P4(1060.61, 569.39) ; P5(1050.00, 565.00) ; P6(1039.39, 569.39) ; P7(1035.00, 580.00) ; P8(1039.39, 590.61)

Question 2 : Données d'Implantation depuis S1

Principe :
S1 S2 P1 P2

Maintenant que les coordonnées de chaque piquet sont connues, on effectue un calcul de rayonnement "inverse" pour chaque point depuis la station S1. On calcule le gisement et la distance de S1 vers chaque piquet, puis on en déduit l'angle à tourner sur le terrain par rapport à la référence S2.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est la préparation de la "fiche d'implantation". Le géomètre sur le terrain n'a pas besoin de connaître les coordonnées des points, mais uniquement la liste des angles et des distances à implanter depuis sa station. Ce tableau est le résultat final et directement utilisable du calcul.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ G_{\text{S1-Pi}} = \arctan\left(\frac{X_{\text{Pi}} - X_{\text{S1}}}{Y_{\text{Pi}} - Y_{\text{S1}}}\right) \]
\[ D_{\text{S1-Pi}} = \sqrt{(X_{\text{Pi}} - X_{\text{S1}})^2 + (Y_{\text{Pi}} - Y_{\text{S1}})^2} \]
\[ \alpha_i = G_{\text{S1-Pi}} - G_{\text{S1-S2}} \]
Calcul(s) :
\[ G_{\text{S1-S2}} = \arctan\left(\frac{1120.30 - 1015.80}{465.70 - 450.20}\right) = 91.5658 \, \text{gon} \]

On répète pour chaque point. Exemple pour P1(1050.00, 595.00) :

\[ G_{\text{S1-P1}} = \arctan\left(\frac{1050.00 - 1015.80}{595.00 - 450.20}\right) = 15.2281 \, \text{gon} \]
\[ D_{\text{S1-P1}} = \sqrt{(34.20)^2 + (144.80)^2} = 148.80 \, \text{m} \]
\[ \alpha_1 = 15.2281 - 91.5658 + 400 = 323.6623 \, \text{gon} \]
Points de vigilance :

Orientation de la référence : L'angle d'implantation α est toujours calculé par rapport à la direction de référence (S1-S2). Une erreur sur le gisement de cette référence faussera tous les angles à implanter. Il est donc primordial de le calculer avec soin.

Le saviez-vous ?

Sur le terrain, pour les ronds-points, on n'implante pas seulement la bordure extérieure, mais aussi l'îlot central, les entrées et sorties des voies, et les "îlots séparateurs" qui guident le trafic. Tout cela est calculé à l'avance et figure sur le plan d'implantation.

FAQ en rapport avec la question :
Comment ferait-on si le premier point n'était pas au Nord ?

Si P1 était défini par un autre gisement de départ (par exemple 25 gon), ce gisement serait la base du calcul. Le gisement de P2 serait alors 25 + 50 = 75 gon, celui de P3 serait 25 + 100 = 125 gon, et ainsi de suite. Le principe de l'angle de base reste le même, seule l'orientation de départ change.

Fiche d'implantation depuis S1 (réf. S2) :
P1 : Angle = 323.6623 gon, Dist = 148.80 m
P2 : Angle = 331.6318 gon, Dist = 156.46 m
P3 : Angle = 345.3414 gon, Dist = 160.08 m
... et ainsi de suite pour tous les points.

Simulation d'Implantation de Cercle

Modifiez le rayon du cercle et le nombre de points à implanter pour voir comment la géométrie et les données d'implantation du dernier point (P8) changent.

Paramètres du Cercle
Angle pour Pn
Distance pour Pn
Implantation du Cercle

Pour Aller Plus Loin : Le Cas Réel

Arcs de clothoïde : Dans les projets routiers et ferroviaires, les virages ne sont pas de simples arcs de cercle. On utilise des "clothoïdes" ou "spirales de raccordement" pour assurer une transition progressive entre une ligne droite (rayon infini) et le virage circulaire. L'implantation de ces courbes est plus complexe et se fait par des calculs de points à intervalles réguliers le long de la spirale.

Le Saviez-Vous ?

Pour implanter des formes très complexes (par exemple, les fondations d'une sculpture moderne), les géomètres utilisent des modèles numériques 3D (fichiers DXF ou DWG) directement dans leurs stations totales. L'appareil peut alors guider l'opérateur pour implanter n'importe quel point du modèle 3D, pas seulement des cercles ou des lignes droites.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi ne pas implanter directement depuis le centre C ?

C'est une excellente question. Si le centre C est accessible et qu'on peut y installer la station, c'est la méthode la plus simple ! L'opérateur n'aurait qu'à tourner de l'angle de base (50 gon) et mesurer le rayon (15.00 m) pour chaque point. Cependant, très souvent, le centre est inaccessible (il sera occupé par l'ouvrage final) ou n'offre pas une bonne visibilité. C'est pourquoi on doit savoir calculer l'implantation depuis une station excentrée.

Comment choisir le nombre de points à implanter ?

Le nombre de points dépend de la précision requise pour la courbe. Plus le rayon est petit et plus la précision exigée est grande, plus il faudra de points pour que la ligne brisée formée par les piquets se rapproche d'une courbe lisse. Pour un grand rond-point, 8 ou 12 points peuvent suffire. Pour une bordure de jardin, il en faudra peut-être 24 ou plus.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour implanter 10 points sur un cercle, l'angle de base entre chaque point sera de :

2. Si le premier point P1 d'un cercle est au gisement 0 gon depuis le centre, le gisement du troisième point (P3) d'un cercle de 8 points sera :

Glossaire

Implantation en Coordonnées Polaires
Technique de positionnement d'un point à l'aide d'un angle (gisement) et d'une distance par rapport à une origine (le centre du cercle ici).
Rayonnement
Méthode d'implantation ou de levé d'un point depuis une station connue en mesurant un angle horizontal et une distance horizontale.
Angle de base
Angle constant entre les rayons menant du centre du cercle à deux points consécutifs sur la circonférence.
Topographie : Implantation d'un cercle

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