Étude Topographique

Implantation d’un alignement

Topographie : Implantation d'un Alignement

Implantation d'un alignement de 3 piquets

Contexte : Matérialiser une Ligne Droite sur le Terrain

L'implantation d'un alignement est une tâche courante en topographie, essentielle pour la construction de routes, de clôtures, de façades de bâtiments ou de canalisations. Elle consiste à placer une série de points (piquets) sur une ligne droite définie par deux points de base. Le calcul préalable des coordonnées de chaque piquet et de leurs données d'implantation (angle et distance depuis une station) est une étape indispensable pour garantir la précision et la rectitude de l'ouvrage final.

Remarque Pédagogique : Cet exercice combine plusieurs calculs fondamentaux. Il montre comment, à partir de quelques points connus, on peut définir une géométrie complexe (ici, une ligne avec des points intermédiaires) et la transposer sur le terrain avec précision, en calculant les éléments nécessaires pour l'opérateur de la station totale.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer le gisement et la distance d'un axe défini par deux points.
  • Déterminer les coordonnées de points intermédiaires sur un alignement à intervalles réguliers.
  • Calculer par rayonnement les données d'implantation (angle, distance) de plusieurs points à partir d'une station excentrée.
  • Enchaîner logiquement les calculs topométriques pour résoudre un problème pratique.

Données de l'étude

Un géomètre doit implanter 3 piquets (P1, P2, P3) équidistants sur l'alignement défini par les points A et B. Le premier piquet est le point A. Il utilise la station S1 et la référence S2 pour ses travaux. Les coordonnées sont en mètres.

Schéma d'Implantation d'Alignement
S1 S2 A (P1) B P2 P3

Coordonnées des points connus :

  • Station S1 : X = 125.40 m ; Y = 450.80 m
  • Référence S2 : X = 210.10 m ; Y = 435.20 m
  • Axe A : X = 150.20 m ; Y = 610.50 m
  • Axe B : X = 280.60 m ; Y = 565.30 m

Questions à traiter

  1. Calculer le gisement et la distance de l'alignement A-B.
  2. Calculer les coordonnées des 3 piquets (P1, P2, P3) à implanter.
  3. Pour chaque piquet, calculer ses données d'implantation (angle et distance) depuis la station S1.

Correction : Implantation d'un alignement

Question 1 : Gisement et Distance de l'Axe A-B

Principe :
A B Nord ΔX ΔY G

Pour définir l'alignement, on calcule d'abord sa direction (gisement) et sa longueur totale (distance) à partir des coordonnées de ses points de départ (A) et de fin (B).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : L'axe A-B est notre "ligne de base". Son gisement sera le même pour tous les segments de la ligne (A-P2, P2-P3, etc.). Sa distance totale nous permettra de calculer les espacements.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ G_{\text{AB}} = \arctan\left(\frac{X_{\text{B}} - X_{\text{A}}}{Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}}}\right) \]
\[ D_{\text{AB}} = \sqrt{(X_{\text{B}} - X_{\text{A}})^2 + (Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}})^2} \]
Donnée(s) :
  • A : X = 150.20 m ; Y = 610.50 m
  • B : X = 280.60 m ; Y = 565.30 m
Calcul(s) :
\[ \Delta X_{\text{A-B}} = 280.60 - 150.20 = +130.40 \, \text{m} \]
\[ \Delta Y_{\text{A-B}} = 565.30 - 610.50 = -45.20 \, \text{m} \]

ΔX > 0 et ΔY < 0, le gisement est dans le quadrant 2 (entre 100 et 200 gon). Il faut ajouter 200 gon au résultat de l'arctangente.

\[ \begin{aligned} G_{\text{A-B}} &= \arctan\left(\frac{130.40}{-45.20}\right) + 200 \\ &\approx \arctan(-2.8849) + 200 \\ &\approx -80.01 + 200 \\ &= 119.99 \, \text{gon} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} D_{\text{A-B}} &= \sqrt{(130.40)^2 + (-45.20)^2} \\ &= \sqrt{17004.16 + 2043.04} \\ &= \sqrt{19047.20} \\ &= 138.01 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Ajustement de quadrant : L'erreur la plus commune est d'oublier d'ajuster le résultat de l'arctangente. Une analyse des signes de ΔX et ΔY est indispensable pour situer la direction dans le bon quadrant et appliquer la bonne correction (+200 ou +400 gon).

Le saviez-vous ?

La distance calculée ici est une distance horizontale plane. En réalité, le topographe mesure une distance inclinée qu'il doit ensuite réduire à l'horizontale en utilisant l'angle vertical mesuré par l'instrument.

FAQ en rapport avec la question :
Comment la distance est-elle calculée ?

La formule de la distance entre deux points provient directement du théorème de Pythagore. Les ΔX et ΔY forment les deux côtés d'un triangle rectangle, et la distance entre les points A et B est l'hypoténuse de ce triangle.

Résultat : L'axe A-B a un gisement de 119.99 gon et une longueur de 138.01 m.

Question 2 : Coordonnées des Piquets

Principe :
A (P1) B P2 P3 d d

Les 3 piquets sont équidistants sur l'axe A-B. L'espacement entre piquets est la distance totale divisée par le nombre d'intervalles (2 intervalles pour 3 piquets). On calcule ensuite les coordonnées de chaque piquet par rayonnement depuis le point A, en utilisant le gisement de l'axe et la distance cumulée.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : On ne calcule pas les coordonnées de P3 depuis P2. On calcule toujours depuis un point de départ bien connu (ici A) pour éviter de cumuler les erreurs d'arrondi d'un calcul à l'autre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ d_{\text{intervalle}} = \frac{D_{\text{Total}}}{N_{\text{piquets}} - 1} \]
\[ X_{\text{P}} = X_{\text{A}} + D_{\text{A-P}} \times \sin(G_{\text{A-B}}) \]
\[ Y_{\text{P}} = Y_{\text{A}} + D_{\text{A-P}} \times \cos(G_{\text{A-B}}) \]
Donnée(s) :
  • Coordonnées A : X = 150.20 m ; Y = 610.50 m
  • Gisement A-B : 119.99 gon
  • Distance A-B : 138.01 m
  • Nombre de piquets : 3
Calcul(s) :
\[ d_{\text{intervalle}} = \frac{138.01}{3 - 1} = 69.005 \, \text{m} \]

Piquet P1 : P1 est confondu avec A.
\(X_{\text{P1}} = 150.20 \, \text{m}\), \(Y_{\text{P1}} = 610.50 \, \text{m}\)

Piquet P2 : Distance depuis A = 69.005 m

\[ \begin{aligned} X_{\text{P2}} &= 150.20 + 69.005 \times \sin(119.99) \\ &= 150.20 + 69.005 \times (0.991) \\ &= 215.40 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{P2}} &= 610.50 + 69.005 \times \cos(119.99) \\ &= 610.50 + 69.005 \times (-0.131) \\ &= 587.90 \, \text{m} \end{aligned} \]

Piquet P3 : Distance depuis A = 2 * 69.005 = 138.01 m (Point B)

\[ \begin{aligned} X_{\text{P3}} &= 150.20 + 138.01 \times \sin(119.99) \\ &= 280.60 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{P3}} &= 610.50 + 138.01 \times \cos(119.99) \\ &= 565.30 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Nombre d'intervalles : Une erreur fréquente est de diviser la distance totale par le nombre de piquets au lieu du nombre d'intervalles. Pour N piquets, il y a toujours N-1 intervalles.

Le saviez-vous ?

Dans les projets routiers, les points sur un alignement ne sont pas toujours équidistants. Ils sont souvent définis par leur "abscisse curviligne", c'est-à-dire leur distance le long de l'axe du projet depuis un point d'origine.

FAQ en rapport avec la question :
Comment vérifier que P3 est bien confondu avec B ?

Les coordonnées calculées pour P3 (X=280.60, Y=565.30) sont identiques aux coordonnées de B données dans l'énoncé. C'est un excellent moyen de vérifier l'ensemble des calculs de la question 1 et 2. Si les coordonnées ne correspondaient pas, cela indiquerait une erreur d'arrondi ou de calcul en amont.

Résultat : P1(150.20, 610.50), P2(215.40, 587.90), P3(280.60, 565.30).

Question 3 : Données d'Implantation depuis S1

Principe :
S1 S2

Pour implanter chaque piquet (P1, P2, P3) depuis la station S1, le géomètre a besoin de l'angle et de la distance pour chaque point. Il faut donc calculer le gisement et la distance de S1 vers P1, de S1 vers P2, et de S1 vers P3. On calcule ensuite les angles à implanter par rapport à la référence S2.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est la phase finale de la préparation. Le résultat est une "fiche d'implantation" que le géomètre utilisera sur le terrain. Il visera S2, mettra son appareil à zéro, puis tournera de l'angle calculé et guidera son aide pour placer le prisme à la bonne distance.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ G_{\text{S1-P}} = \arctan\left(\frac{X_{\text{P}} - X_{\text{S1}}}{Y_{\text{P}} - Y_{\text{S1}}}\right) \]
\[ D_{\text{S1-P}} = \sqrt{(X_{\text{P}} - X_{\text{S1}})^2 + (Y_{\text{P}} - Y_{\text{S1}})^2} \]
\[ \alpha_{\text{S2-S1-P}} = G_{\text{S1-P}} - G_{\text{S1-S2}} \]
Calcul(s) :

1. Gisement de référence S1-S2 :

\[ \begin{aligned} G_{\text{S1-S2}} &= \arctan\left(\frac{210.10 - 125.40}{435.20 - 450.80}\right) + 200 \\ &= 165.25 \, \text{gon} \end{aligned} \]

2. Données pour P1 (150.20, 610.50) :

\[ \begin{aligned} G_{\text{S1-P1}} &= \arctan\left(\frac{150.20 - 125.40}{610.50 - 450.80}\right) = 10.02 \, \text{gon} \\ D_{\text{S1-P1}} &= \sqrt{(24.80)^2 + (159.70)^2} = 161.62 \, \text{m} \\ \alpha_1 &= 10.02 - 165.25 + 400 = 244.77 \, \text{gon} \end{aligned} \]

3. Données pour P2 (215.40, 587.90) :

\[ \begin{aligned} G_{\text{S1-P2}} &= \arctan\left(\frac{215.40 - 125.40}{587.90 - 450.80}\right) = 37.07 \, \text{gon} \\ D_{\text{S1-P2}} &= \sqrt{(90.00)^2 + (137.10)^2} = 163.99 \, \text{m} \\ \alpha_2 &= 37.07 - 165.25 + 400 = 271.82 \, \text{gon} \end{aligned} \]

4. Données pour P3 (280.60, 565.30) :

\[ \begin{aligned} G_{\text{S1-P3}} &= \arctan\left(\frac{280.60 - 125.40}{565.30 - 450.80}\right) = 56.49 \, \text{gon} \\ D_{\text{S1-P3}} &= \sqrt{(155.20)^2 + (114.50)^2} = 192.86 \, \text{m} \\ \alpha_3 &= 56.49 - 165.25 + 400 = 291.24 \, \text{gon} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Calcul de l'angle : L'angle à implanter est toujours calculé par `Gisement du Point - Gisement de la Référence`. Si le résultat est négatif, on ajoute 400 gon pour avoir un angle positif à tourner dans le sens horaire.

Le saviez-vous ?

Les logiciels de DAO (Dessin Assisté par Ordinateur) comme AutoCAD ou Covadis peuvent générer ces fiches d'implantation automatiquement. Le géomètre dessine le projet, et le logiciel extrait les coordonnées et calcule les données d'implantation pour chaque point.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi ne pas implanter les piquets directement depuis le point A ?

Dans la réalité, le point A pourrait être inaccessible ou ne pas offrir une bonne visibilité sur les autres points. Le principe de la topographie est de pouvoir travailler depuis n'importe quelle station connue (S1) pour implanter n'importe quel point du projet, même si la station n'est pas sur l'alignement lui-même.

Fiche d'implantation :
P1 : Angle = 244.77 gon, Distance = 161.62 m
P2 : Angle = 271.82 gon, Distance = 163.99 m
P3 : Angle = 291.24 gon, Distance = 192.86 m

Simulation d'Alignement

Faites varier l'intervalle entre les piquets et observez comment les coordonnées du dernier piquet (P3) évoluent.

Paramètres de l'Alignement
Coordonnée X de P3
Coordonnée Y de P3
Position de P3

Pour Aller Plus Loin : Le Cas Réel

Contrôle de l'alignement : Une fois les piquets implantés, une bonne pratique consiste à vérifier leur alignement. Le géomètre peut se placer derrière le piquet A, viser le piquet B et vérifier que tous les piquets intermédiaires (P2, P3) apparaissent parfaitement superposés dans la lunette de son instrument. C'est un contrôle visuel simple et efficace.

Le Saviez-Vous ?

Pour des alignements de très haute précision, comme les rails de guidage du CERN ou les voies de TGV, les géomètres utilisent des techniques de micro-géodésie et des instruments spécialisés (lasers, niveaux de précision) pour atteindre des tolérances de l'ordre du dixième de millimètre sur des centaines de mètres.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que faire si un obstacle empêche de voir un piquet depuis la station ?

C'est un problème fréquent. Le géomètre doit alors créer une "station de relèvement". Il implante un point auxiliaire visible depuis la station principale, puis déplace son instrument sur ce nouveau point. Il se réoriente sur la station principale (ou un autre point connu) et peut ensuite implanter le piquet qui était masqué. Cela s'appelle un "cheminement".

Comment choisir l'emplacement de la station S1 ?

Idéalement, la station doit être placée à un endroit stable, sécurisé, et d'où l'on peut voir à la fois la référence (S2) et tous les points à implanter (P1, P2, P3). On essaie aussi d'éviter les visées trop "rasantes" au sol, qui peuvent être perturbées par la réfraction atmosphérique.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour implanter 5 piquets équidistants sur un axe A-B, par combien faut-il diviser la distance totale D(A-B) pour avoir l'intervalle ?

2. Si le gisement de l'axe A-B est de 150 gon, le gisement de l'axe B-A est de :

Glossaire

Alignement
Ligne droite matérialisée sur le terrain par une série de points (piquets, bornes).
Gisement
Angle horizontal d'une direction, mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de l'axe des Y (direction du Nord). Il est généralement exprimé en grades (gon).
Implantation par Rayonnement
Technique consistant à matérialiser un point sur le terrain en mesurant un angle et une distance depuis une station connue.
Station
Point de coordonnées connues sur lequel le topographe installe son instrument de mesure (tachéomètre).
Référence
Autre point de coordonnées connues que l'on vise depuis la station pour orienter l'instrument et déterminer une direction de base.
Topographie : Implantation d'un alignement

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