Établissement d'un Plan de Masse : Calculs et Dessin
Contexte : Levé topographique d'une parcelle pour un permis de construire.
Vous êtes technicien géomètre topographe. Suite à un relevé de terrain effectué avec une station totale, vous disposez des Coordonnées RectangulairesSystème de coordonnées cartésiennes (X, Y) permettant de positionner un point sur un plan. des quatre bornes délimitant une propriété privée. L'objectif est de vérifier la superficie de la parcelle par le calcul et de préparer les données pour le dessin du plan de masse à l'échelle.
Remarque Pédagogique : Cet exercice permet de lier les mathématiques appliquées (géométrie analytique) à la production graphique technique. C'est une étape cruciale avant toute modélisation en DAO (Dessin Assisté par Ordinateur).
Objectifs Pédagogiques
- Calculer des distances à partir de coordonnées (X, Y).
- Déterminer la surface (contenance) d'un polygone par la méthode analytique.
- Calculer les dimensions graphiques pour un dessin à l'échelle.
- Maîtriser les conversions d'angles en topographie (Gisement).
Données de l'étude
La parcelle est un quadrilatère ABCD défini par les coordonnées locales suivantes (en mètres).
Carnet de coordonnées (Système Local)
| Point (Matricule) | Abscisse (X) en m | Ordonnée (Y) en m |
|---|---|---|
| A | 10.00 | 10.00 |
| B | 50.00 | 20.00 |
| C | 40.00 | 60.00 |
| D | 0.00 | 40.00 |
Croquis de repérage (Non à l'échelle)
Questions à traiter
- Calculer les longueurs des côtés AB, BC, CD et DA.
- Calculer la superficie (surface) de la parcelle à l'aide des coordonnées.
- On souhaite dessiner ce plan à l'échelle 1/200. Calculer la longueur du segment AB sur le papier (en cm).
- Calculer le gisement \( G_{\text{AB}} \) de la direction AB (angle par rapport au Nord en grades).
Les bases théoriques
Pour passer des données numériques au plan graphique, il est essentiel de maîtriser la géométrie analytique plane.
Calcul de distance entre deux points
La distance entre deux points \(A(X_{\text{A}}, Y_{\text{A}})\) et \(B(X_{\text{B}}, Y_{\text{B}})\) s'obtient par le théorème de Pythagore appliqué aux différences de coordonnées.
Formule de distance
Où :
- \(\Delta X = X_{\text{B}} - X_{\text{A}}\)
- \(\Delta Y = Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}}\)
Calcul de surface (Méthode analytique)
Aussi appelée "formule des lacets" ou méthode des déterminants. Elle permet de calculer l'aire d'un polygone quelconque connaissant les coordonnées de ses sommets.
Formule de l'aire (S)
Note : On parcourt les sommets dans le sens trigonométrique ou horaire, en revenant au point de départ à la fin.
Notion d'Échelle
L'échelle (E) est le rapport entre la distance dessinée sur le plan et la distance réelle sur le terrain.
Formule de l'échelle
Exemple : Pour une échelle au 1/200, \(E = \frac{1}{200} = 0.005\).
Correction : Établissement d'un Plan de Masse
Question 1 : Calcul des longueurs des côtés
Principe
Le calcul des distances est la première étape de vérification d'un levé topographique. Il permet de connaître le périmètre de la parcelle et de s'assurer que les mesures sont cohérentes avec la réalité du terrain avant de commencer tout travail graphique. Mathématiquement, cela revient à calculer la norme du vecteur reliant deux points dans un plan cartésien.
Mini-Cours : Distance Euclidienne
Le Théorème de Pythagore appliqué
Dans un repère orthonormé (X, Y), tout segment oblique peut être vu comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés adjacents sont les projections sur les axes X et Y.
La différence d'abscisse \( \Delta X \) représente le déplacement horizontal.
La différence d'ordonnée \( \Delta Y \) représente le déplacement vertical.
Remarque Pédagogique
En topographie, une distance est toujours une valeur positive. Même si \( \Delta X \) ou \( \Delta Y \) sont négatifs, leur mise au carré dans la formule rendra le résultat positif. C'est une bonne manière de vérifier vos calculs : si vous trouvez une distance négative, vous avez fait une erreur de saisie.
Normes et Tolérances
Dans le cadre d'un levé foncier courant (échelle 1/200 à 1/500), la précision attendue sur la mesure des distances est millimétrique lors de la prise de vue, mais le résultat final est souvent exprimé au centimètre (2 décimales) pour la lisibilité du plan. L'arrêté du 16 septembre 2003 fixe les classes de précision. Pour un plan de corps de rue ou un plan de masse, on vise généralement la classe de précision cm.
Formule(s)
Formule de la distance plane
Hypothèses
On considère que les coordonnées sont projetées (système plan). Cela signifie que nous ne prenons pas en compte ici la courbure de la Terre (négligeable sur une petite parcelle) ni le dénivelé (distance réduite à l'horizontale, et non la distance suivant la pente).
Donnée(s)
| Segment | Point Départ (X, Y) | Point Arrivée (X, Y) |
|---|---|---|
| AB | A(10.00, 10.00) | B(50.00, 20.00) |
| BC | B(50.00, 20.00) | C(40.00, 60.00) |
| CD | C(40.00, 60.00) | D(0.00, 40.00) |
| DA | D(0.00, 40.00) | A(10.00, 10.00) |
Astuces
Calculatrice Scientifique : La plupart des calculatrices possèdent une fonction "Pol(x, y)" (Conversion Rectangulaire -> Polaire). En entrant \( \text{Pol}(\Delta X, \Delta Y) \), la calculatrice vous donne directement la distance (r) et parfois l'angle (theta). C'est un gain de temps précieux !
Décomposition du calcul pour AB
Calcul(s) Détaillés
1. Calcul pour le segment AB
On commence par déterminer les projections du segment sur les axes. C'est la différence entre les coordonnées d'arrivée et celles de départ (B - A) :
Une fois les côtés du triangle rectangle connus (40m et 10m), on applique le théorème de Pythagore. On élève les écarts au carré, on les additionne, puis on prend la racine carrée du total pour obtenir l'hypoténuse.
2. Calcul pour le segment BC
Nous appliquons la même logique pour le segment suivant, en faisant attention aux signes négatifs lors du calcul des écarts.
Le résultat confirme que ce côté est égal au premier, ce qui est une propriété particulière de cette parcelle.
3. Calcul pour le segment CD
Continuons le tour de la parcelle. Ici les deux écarts seront négatifs, ce qui indique que l'on "descend" et que l'on va vers la "gauche" sur le plan.
Ce segment est le plus long de la parcelle. Notez que le résultat est positif malgré les coordonnées négatives.
4. Calcul pour le segment DA
Enfin, nous fermons la boucle en revenant au point de départ A.
Ce dernier calcul permet de connaître la longueur du côté de fermeture pour revenir au point A.
Réflexions
Nous constatons que \( D_{\text{AB}} = D_{\text{BC}} = 41.23 \) m. Cela signifie que le triangle ABC est isocèle en B. C'est une information géométrique structurelle importante qui peut aider au contrôle lors du dessin.
Résultat : Segment AB
Points de vigilance
Erreur classique : Oublier le carré sur un nombre négatif. Tapez bien (-10)² sur votre calculatrice et non -10², sinon elle vous donnera -100 au lieu de 100 !
Points à Retenir
- La distance est toujours positive.
- L'ordre des points (A vers B ou B vers A) ne change pas la distance.
- Une distance nulle signifie que les deux points sont confondus.
FAQ
Est-ce que cette distance correspond à ce que je mesure avec un mètre ruban ?
Oui, si le terrain est parfaitement plat et horizontal. Si le terrain est en pente, le mètre ruban mesure la distance "suivant la pente", qui est plus longue que la distance horizontale calculée ici (distance réduite à l'horizon).
A vous de jouer
Calculez la distance diagonale AC (entre le point A et le point C) pour trianguler la parcelle.
Question 2 : Calcul de la superficie (Aire)
Principe
Le calcul de surface est souvent l'objectif final d'un bornage. Plutôt que de découper la figure en triangles et rectangles (méthode graphique imprécise), nous utilisons la méthode analytique (ou méthode des produits croisés). Elle permet d'obtenir la surface exacte du polygone mathématique formé par les coordonnées.
Mini-Cours : La Formule des Lacets
Interprétation Géométrique
Cette méthode calcule l'aire en sommant algébriquement les surfaces des trapèzes formés par chaque côté du polygone et sa projection sur l'axe des X (ou des Y).
En tournant dans le sens horaire, certains trapèzes ajoutent de la surface, d'autres en soustraient, ne laissant à la fin que la surface intérieure du polygone.
Remarque Pédagogique
L'ordre de parcours des points est capital. Vous devez lister les sommets en suivant le périmètre (A->B->C->D). Si vous croisez (ex: A->C->B->D), le résultat sera faux (surface papillon).
Normes
Les notaires et le cadastre demandent souvent les surfaces en Ares (a) et Centiares (ca) pour les terrains à bâtir, et en Hectares (ha) pour les domaines agricoles. 1 are = 100 m².
Formule(s)
Aire par coordonnées (Double Surface)
On calcule d'abord 2S (deux fois la surface) pour éviter de traîner des "0.5" à chaque ligne de calcul, et on divise par 2 tout à la fin.
Hypothèses
On suppose que les limites entre les bornes sont des segments de droite stricts (pas de limites courbes ou en arc de cercle).
Calcul(s) Détaillés
Dressons le "tableau des lacets". On répète le premier point (A) à la fin de la liste pour fermer la boucle. Nous calculons les produits en diagonale.
| Point | X | Y | Produit 1 (\(X_i \cdot Y_{i+1}\)) | Produit 2 (\(Y_i \cdot X_{i+1}\)) |
|---|---|---|---|---|
| A | 10 | 10 | \(10 \times 20 = 200\) | \(10 \times 50 = 500\) |
| B | 50 | 20 | \(50 \times 60 = 3000\) | \(20 \times 40 = 800\) |
| C | 40 | 60 | \(40 \times 40 = 1600\) | \(60 \times 0 = 0\) |
| D | 0 | 40 | \(0 \times 10 = 0\) | \(40 \times 10 = 400\) |
| A (Retour) | 10 | 10 | - | - |
| SOMMES | Σ1 = 4800 | Σ2 = 1700 |
Finalisation du calcul
On reprend les sommes calculées dans le tableau (Σ1 et Σ2). La formule nous demande la valeur absolue de leur différence.
Le résultat intermédiaire 3100 correspond au double de la surface. Il ne reste plus qu'à diviser par deux pour obtenir l'aire réelle.
Visualisation de la surface
Réflexions
Cette méthode est extrêmement puissante car elle fonctionne pour n'importe quel polygone, même concave (avec des "creux"), tant que les segments ne se croisent pas.
Points de vigilance
Attention : N'oubliez pas la division par 2 finale ! C'est l'erreur numéro 1 des étudiants en topographie. Le tableau vous donne "2S", pas "S".
Le saviez-vous ?
Cette formule date du 18ème siècle (Carl Friedrich Gauss). Avant cela, les arpenteurs devaient découper les terrains en triangles et calculer chaque surface individuellement, ce qui était long et source d'erreurs.
FAQ
Que se passe-t-il si je tourne dans le sens inverse (anti-horaire) ?
Le résultat de la soustraction \(\Sigma_1 - \Sigma_2\) sera négatif (ici -3100). Cependant, comme la surface physique est une quantité positive, on prend simplement la valeur absolue du résultat. Mathématiquement, le signe indique l'orientation de la surface.
📝 Mémo Conversion
1 ha = 10 000 m²
1 a = 100 m²
1 ca = 1 m²
Donc 1550 m² = 0ha 15a 50ca.
Question 3 : Dessin à l'échelle 1/200
Principe
L'échelle est le rapport constant entre une distance mesurée sur le plan et la distance correspondante sur le terrain. Dessiner au 1/200 signifie que l'on "rétrécit" la réalité 200 fois pour qu'elle tienne sur notre feuille de papier. C'est une étape de production graphique essentielle.
Mini-Cours : Le facteur d'échelle
Définition
\( E = \frac{1}{K} \). Ici \( K = 200 \).
La formule de base est : \( \text{Distance Plan} = \text{Distance Terrain} \times E \).
Ou plus simplement : \( \text{Distance Plan} = \frac{\text{Distance Terrain}}{K} \).
Normes de Dessin
L'échelle 1/200 (ou 200e) est l'échelle reine pour les plans de masse des permis de construire de maisons individuelles (PCMI). Elle permet de voir l'implantation de la maison tout en gardant une vue d'ensemble du terrain.
Autres échelles courantes : 1/500 (lotissement), 1/100 (intérieur), 1/50 (détail).
Formule(s)
Conversion mètres vers centimètres
On multiplie par 100 pour passer des mètres aux centimètres, puis on divise par le dénominateur de l'échelle.
Hypothèses
On considère que le support papier est stable (pas de dilatation due à l'humidité) et que le traceur/imprimante est calibré.
Donnée(s)
Nous reprenons la longueur réelle calculée à la question 1 : AB = 41.23 m.
Astuces
Calcul mental rapide pour le 1/200 :
Diviser par 200 revient à "diviser par 2" puis "décaler la virgule".
Plus simple : Prenez vos mètres, divisez par 2 -> vous obtenez des centimètres !
Exemple : 40 m / 2 = 20 cm sur le papier.
Réalité Terrain (Mètres)
Calcul(s) Détaillés
Convertissons d'abord la distance terrain en centimètres pour faciliter la division, puis divisons par le dénominateur de l'échelle (200) :
Le résultat est précis. Pour le dessin manuel, on arrondira au millimètre le plus proche, soit 20.6 cm ou 206 mm.
Représentation Papier (Centimètres)
Réflexions : Mise en page
Le segment fait 20.6 cm. Une feuille A4 mesure 21 cm de large sur 29.7 cm de haut.
- En largeur (portrait 21cm), avec les marges d'impression (5mm de chaque côté), il reste 20 cm. Le dessin ne rentre pas en largeur !
- Il faudra donc utiliser le format A4 en mode Paysage (29.7 cm de large) ou passer sur du A3.
Points de vigilance
Ne confondez pas 1/200 (plan de masse) et 1/2000 (plan cadastral ou de situation). Au 1/2000, le trait ne ferait que 2 cm ! Une erreur d'un zéro change tout.
Le saviez-vous ?
Les architectes et géomètres utilisent un Kutch : une règle à section triangulaire qui possède 6 faces avec des graduations différentes (1/100, 1/200, 1/50, etc.). Cela permet de mesurer ou tracer directement sans faire de calculatrice !
📝 Mémo
"Petit chiffre en bas = Grand dessin" (1/50 > 1/200).
"Grand chiffre en bas = Petit dessin" (1/2000 < 1/200).
Question 4 : Calcul du Gisement \( G_{\text{AB}} \)
Principe
Le gisement est un concept fondamental en topographie. C'est l'angle horizontal qu'une direction (ici la ligne A vers B) fait avec la direction du Nord (l'axe Y positif), mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre (sens horaire). Contrairement au cercle trigonométrique mathématique qui tourne en sens anti-horaire depuis l'Est, le gisement tourne en sens horaire depuis le Nord.
Mini-Cours : Le Grade (gon)
L'unité des géomètres
En topographie, on n'utilise pas les degrés (360°) mais les Grades (400 gon ou gr).
- Un angle droit = 100 gon.
- Un angle plat = 200 gon.
- Un tour complet = 400 gon.
Cela facilite les calculs mentaux : 1 grade se divise en 100 minutes (cgr), etc.
Remarque Pédagogique
Le calcul de l'arc-tangente (\(\tan^{-1}\)) sur la calculatrice ne donne qu'un angle compris entre -100 et +100 gon (ou -90°/+90°). Il est donc impératif d'analyser les signes de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) pour savoir dans quel quadrant (quart de cercle) se situe le vecteur AB.
Formule(s)
Relation fondamentale
Ici, \(g\) est l'angle "auxiliaire" positif par rapport à l'axe vertical ou horizontal le plus proche. On déduit ensuite le Gisement \(G\) selon le cadran.
Calcul(s) Détaillés
1. Analyse des signes (Le Quadrant)
Identifions d'abord la direction du vecteur AB par les signes des différences de coordonnées.
Le signe positif en X indique une direction Est, et positif en Y une direction Nord. Nous sommes donc dans le premier quadrant (Nord-Est).
2. Tableau des Cadrans
| ΔX | ΔY | Cadran | Formule du Gisement (G) |
|---|---|---|---|
| + | + | 1 (NE) | \( G = g \) |
| + | - | 2 (SE) | \( G = 200 - g \) |
| - | - | 3 (SO) | \( G = 200 + g \) |
| - | + | 4 (NO) | \( G = 400 - g \) |
Analyse du Cadran
3. Calcul Numérique
Calculons maintenant l'angle réduit (ou angle de rumb) par rapport à la direction du Nord ou du Sud. On calcule d'abord le rapport des deltas :
On calcule ensuite l'angle auxiliaire \(g\) à partir de ce rapport :
Avec la calculatrice en mode GRADES (et non degrés !), on obtient :
Comme nous sommes dans le Cadran 1, le gisement final \( G_{\text{AB}} \) est égal à cet angle auxiliaire \( g \).
Visualisation du Gisement
Réflexions
L'angle est de 84.40 gr. Sachant que l'Est est à 100 gr, notre direction est très proche de l'Est, ce qui est logique car on se déplace de 40m vers l'Est pour seulement 10m vers le Nord.
Points de vigilance
Mode Calculatrice : C'est la source d'erreur n°1. Vérifiez toujours si un petit "G", "GRA" ou "GRAD" est affiché sur votre écran. Si vous êtes en "D" ou "DEG", vous trouverez 75.96°, ce qui est faux en topo !
FAQ
Et si \(\Delta Y = 0\) ?
La division par zéro est impossible. Si \(\Delta Y = 0\) :
- Si \(\Delta X > 0\) (Est), G = 100 gon.
- Si \(\Delta X < 0\) (Ouest), G = 300 gon.
📝 Mémo
Le gisement inverse \( G_{\text{BA}} \) (regarder de B vers A) est égal à \( G_{\text{AB}} + 200 \) gon. Soit 284.40 gon.
Plan de Masse Final (Aperçu)
Représentation vectorielle complète de la parcelle.
📝 Grand Mémo : Topographie de Base
Pour réussir vos plans de masse, n'oubliez jamais :
-
📐
Distance : Toujours utiliser Pythagore sur les différences de coordonnées (\(\Delta X, \Delta Y\)).
-
🔄
Surface : La méthode analytique (produits croisés) est plus précise que la méthode graphique. Attention à l'ordre des points !
-
📏
Échelle : Vérifiez toujours que votre dessin rentre dans le format papier choisi (A4, A3) avant de commencer à tracer.
-
🧭
Gisement : C'est l'angle avec le Nord (Y). Attention au signe des écarts pour trouver le bon cadran.
🎛️ Simulateur de Parcelle
Modifiez la position du point B pour voir l'impact sur la distance AB et la surface totale.
Coordonnées du point B
📝 Quiz final : Topographie
1. Quelle est l'échelle standard pour un plan de masse de permis de construire (maison individuelle) ?
2. Dans la formule de surface analytique, si on inverse l'ordre des points (sens anti-horaire vs horaire), que se passe-t-il ?
📚 Glossaire
- Gisement
- Angle formé entre la direction du Nord géographique et une direction donnée (ex: AB).
- Lambert 93
- Système de projection officiel pour les cartes en France métropolitaine.
- NGF
- Nivellement Général de la France (référence pour les altitudes).
- Plan de masse
- Plan présentant l'emplacement d'un projet de construction par rapport à son voisinage immédiat.
- Station Totale
- Appareil topographique mesurant angles et distances pour déterminer des coordonnées.
Le Saviez-vous ?
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