Division d'une Parcelle Rectangulaire

Contexte : Le partage foncierOpération consistant à diviser une propriété foncière (un terrain) en plusieurs nouvelles propriétés distinctes. en topographie.

Un géomètre-topographe est mandaté pour diviser une parcelle rectangulaire `ABCD` en deux nouvelles parcelles de surfaces spécifiques, dans le cadre d'une succession. La division doit être matérialisée par une nouvelle limite `MN`, où `M` est sur le côté `AB` et `N` sur le côté `CD`. Cet exercice vous guidera à travers les calculs de coordonnées, de surfaces et la représentation graphique nécessaires pour mener à bien cette mission.

Remarque Pédagogique : Cet exercice pratique vous permettra de maîtriser les calculs topométriques fondamentaux : calcul de surface, implantation de points par rayonnement, et division de surfaces, des compétences essentielles pour tout technicien géomètre.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la surface d'une parcelle à partir des coordonnées de ses sommets.
Déterminer les coordonnées d'un point sur un alignement par rapport à un point connu.
Résoudre un problème de division de surface trapézoïdale.
Calculer les longueurs des nouvelles limites et les périmètres des parcelles créées.

Données de l'étude

On dispose des coordonnées planimétriques (en mètres) des quatre sommets de la parcelle rectangulaire `ABCD` dans un système de projection local.

Schéma de la Parcelle Initiale

Point	Coordonnée X (m)	Coordonnée Y (m)
A	1000.00	2000.00
B	1100.00	2000.00
C	1100.00	2150.00
D	1000.00	2150.00

Questions à traiter

Calculer la surface totale de la parcelle `ABCD`.
On souhaite implanter un point `M` sur l'alignement `AB` tel que la distance `AM` soit de 50.00 m. Calculer les coordonnées du point `M`.
On veut diviser la parcelle par une ligne `MN` de telle sorte que la nouvelle parcelle `AMND` ait une surface de 5000 m². Déterminer la distance `DN` pour que cette condition soit remplie.
Calculer les coordonnées du point `N` correspondant sur l'alignement `DC`.
Calculer la longueur de la nouvelle limite `MN` ainsi que les périmètres des deux nouvelles parcelles `AMND` et `MBCN`.

Les bases du Calcul Topométrique

Pour résoudre cet exercice, nous aurons besoin de quelques formules fondamentales en topographie pour le calcul dans un plan.

1. Gisement et Distance entre deux points
Le gisement est l'angle horizontal entre l'axe des Y (le Nord) et la direction `AB`. La distance est calculée avec le théorème de Pythagore. \[ \Delta X = X_B - X_A \quad ; \quad \Delta Y = Y_B - Y_A \] \[ G_{AB} = \arctan\left(\frac{\Delta X}{\Delta Y}\right) \quad \text{(Attention au quadrant !)} \] \[ D_{AB} = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2} \]

2. Calcul de coordonnées par rayonnement
Connaissant un point `A`, le gisement `G_AM` et la distance `D_AM`, on peut calculer les coordonnées d'un point `M`. \[ X_M = X_A + D_{AM} \cdot \sin(G_{AM}) \] \[ Y_M = Y_A + D_{AM} \cdot \cos(G_{AM}) \]

3. Calcul de surface par les coordonnées
La surface d'un polygone peut être calculée directement à partir des coordonnées de ses sommets. \[ S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (X_i Y_{i+1} - Y_i X_{i+1}) \right| \quad \text{avec } (X_{n+1}, Y_{n+1}) = (X_1, Y_1) \]

Correction : Division d’une Parcelle Rectangulaire

Question 1 : Calculer la surface totale de la parcelle `ABCD`

Principe

Le concept physique fondamental ici est la mesure d'une étendue bidimensionnelle. Pour une figure géométrique simple comme un rectangle, cette mesure, appelée surface ou aire, est définie par le produit de ses deux dimensions principales : sa longueur et sa largeur.

Mini-Cours

En géométrie euclidienne, un rectangle est un quadrilatère avec quatre angles droits. Une de ses propriétés est que les côtés opposés sont de même longueur. La surface \(S\) d'un rectangle de longueur \(L\) et de largeur \(l\) est donnée par la formule \(S = L \times l\). En topographie, les longueurs sont calculées à partir des coordonnées des sommets en utilisant la formule de distance issue du théorème de Pythagore.

Remarque Pédagogique

Avant de vous lancer dans des calculs complexes, prenez toujours le temps de caractériser la géométrie de l'objet d'étude. Ici, reconnaître un rectangle simplifie grandement le calcul de la surface. Si la parcelle avait été un polygone irrégulier, nous aurions dû utiliser une méthode plus générale (comme la formule des lacets).

Normes

Les calculs topométriques en France sont généralement effectués dans le système de projection légal (actuellement le RGF93-CC). Même si nous utilisons un système local ici, la méthodologie de calcul (formule de distance, etc.) est universelle et conforme aux bonnes pratiques de la profession de géomètre-expert.

Formule(s)

Distance entre deux points A et B

D_{\text{AB}} = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2}

Surface d'un rectangle

S = \text{Longueur} \times \text{Largeur}

Hypothèses

Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :

Le système de coordonnées est un repère orthonormé direct.
La parcelle est considérée comme parfaitement plane (projection horizontale).
Les coordonnées des sommets sont exactes et sans erreur de mesure.

Donnée(s)

Nous utilisons les coordonnées fournies dans l'énoncé pour les points A, B, et D.

Point	X (m)	Y (m)
A	1000.00	2000.00
B	1100.00	2000.00
D	1000.00	2150.00

Astuces

Lorsque les segments sont parallèles aux axes du repère (comme c'est le cas ici pour AB et AD), le calcul de distance se simplifie énormément. La distance est simplement la valeur absolue de la différence des coordonnées qui varient. Pour AB, \(D = |1100 - 1000| = 100\). Pour AD, \(D = |2150 - 2000| = 150\). C'est beaucoup plus rapide !

Schéma (Avant les calculs)

Parcelle ABCD et ses dimensions à déterminer

Calcul(s)

Calcul de la longueur L (distance AB)

\begin{aligned} L = D_{\text{AB}} &= \sqrt{(1100.00 - 1000.00)^2 + (2000.00 - 2000.00)^2} \\ &= \sqrt{100^2} \\ &= 100.00 \text{ m} \end{aligned}

Calcul de la largeur l (distance AD)

\begin{aligned} l = D_{\text{AD}} &= \sqrt{(1000.00 - 1000.00)^2 + (2150.00 - 2000.00)^2} \\ &= \sqrt{150^2} \\ &= 150.00 \text{ m} \end{aligned}

Calcul de la surface

\begin{aligned} S_{\text{ABCD}} &= L \times l \\ &= 100.00 \times 150.00 \\ &= 15000 \text{ m}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Parcelle avec dimensions et surface calculées

Réflexions

La surface obtenue est de 15 000 m², soit 1.5 hectare. Cette valeur est la base de toute l'étude de division. Une erreur à cette étape initiale invaliderait tous les calculs suivants. L'ordre de grandeur est cohérent pour une parcelle agricole ou à aménager.

Points de vigilance

Faites attention aux unités ! Tous les calculs doivent être faits dans un système cohérent (ici, le mètre). Ne mélangez jamais des mètres et des centimètres. De plus, vérifiez la cohérence des données : les coordonnées de C(1100, 2150) confirment bien que ABCD est un rectangle.

Points à retenir

Pour maîtriser cette question, retenez ces points :

La formule de la distance entre deux points est un pilier du calcul topométrique.
L'identification de formes géométriques simples (carré, rectangle, triangle) peut grandement simplifier les calculs de surface.

Le saviez-vous ?

Le cadastre français, qui recense toutes les propriétés foncières, a été initié sous Napoléon Ier en 1807. C'est l'un des premiers systèmes au monde à avoir cartographié un pays entier de manière aussi systématique, et il sert encore de base aujourd'hui pour les travaux des géomètres.

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet :

Résultat Final

La surface totale de la parcelle `ABCD` est de 15 000 m².

A vous de jouer

Si la coordonnée Y du point D était de 2200.00 m au lieu de 2150.00 m, quelle serait la nouvelle surface totale ?

Question 2 : Calculer les coordonnées du point `M`

Principe

Le concept est celui de l'implantation d'un point sur un alignement connu. Physiquement, cela revient à se déplacer depuis un point de départ (A) dans une direction connue (celle de B) sur une distance donnée (50 m) pour trouver la position du nouveau point (M).

Mini-Cours

Cette opération est un cas simple de "calcul par rayonnement". En général, pour trouver M depuis A, on a besoin de la distance AM et du gisement de la direction AM (Gisement AB). Les coordonnées se calculent alors par : \(X_M = X_A + D_{\text{AM}} \cdot \sin(G_{\text{AB}})\) et \(Y_M = Y_A + D_{\text{AM}} \cdot \cos(G_{\text{AB}})\). Ici, l'alignement AB est particulier car il est parallèle à l'axe des X. Son gisement est donc de 100 grades (ou 90°). Ainsi, \(\sin(100 \text{ gon}) = 1\) et \(\cos(100 \text{ gon}) = 0\), ce qui simplifie grandement les formules.

Remarque Pédagogique

Visualisez toujours le déplacement. Partir de A, aller "vers B" signifie qu'on se déplace dans la direction des X positifs. La coordonnée Y ne change pas. L'ajout de la distance à la coordonnée X de départ est donc logique et intuitif.

Normes

Il n'y a pas de norme spécifique ici, mais la méthode de calcul par rayonnement est une procédure standardisée dans tous les manuels de topographie et logiciels de calcul.

Formule(s)

Formule générale de rayonnement (Abscisse)

X_M = X_A + D_{\text{AM}} \cdot \sin(G_{\text{AB}})

Formule générale de rayonnement (Ordonnée)

Y_M = Y_A + D_{\text{AM}} \cdot \cos(G_{\text{AB}})

Formule simplifiée (Alignement // Axe X)

X_M = X_A + D_{\text{AM}}

Formule simplifiée (Ordonnée)

\[ Y_M = Y_A \]

Hypothèses

On suppose que le point M est situé sur le segment de droite [AB].

Donnée(s)

Coordonnées de A(1000.00, 2000.00), B(1100.00, 2000.00) et la distance \(D_{\text{AM}} = 50.00\) m.

Astuces

Nul besoin de calculer le gisement. L'inspection rapide des coordonnées de A et B montre que \(Y_A = Y_B\). L'alignement est horizontal. Le calcul se résume à une simple addition sur la coordonnée X.

Schéma (Avant les calculs)

Positionnement de M sur AB

Calcul(s)

Calcul de l'abscisse X de M

\begin{aligned} X_M &= 1000.00 + 50.00 \\ &= 1050.00 \text{ m} \end{aligned}

Calcul de l'ordonnée Y de M

Y_M = 2000.00 \text{ m}

Schéma (Après les calculs)

Coordonnées du point M

Réflexions

Le point M est positionné exactement au milieu du segment AB. Ses coordonnées sont logiques : l'abscisse est à mi-chemin entre celle de A et B, et l'ordonnée est la même. Ce calcul est la première étape de la matérialisation de la nouvelle limite sur le terrain.

Points de vigilance

Le piège classique serait de soustraire la distance au lieu de l'ajouter, ou de se tromper d'axe. Toujours faire un schéma mental ou sur papier pour valider le sens de l'opération (de A vers B, X augmente).

Points à retenir

Retenir la logique du rayonnement : on part d'un point connu, on applique un déplacement (défini par un angle/gisement et une distance) pour trouver le point inconnu. C'est la base de l'implantation topographique.

Le saviez-vous ?

Les instruments modernes de topographie, comme les stations totales robotisées, peuvent réaliser ce calcul de rayonnement et guider l'opérateur sur le terrain avec un laser pour implanter le point M au centimètre près en quelques secondes.

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet :

Résultat Final

Les coordonnées du point M sont (1050.00 ; 2000.00).

A vous de jouer

Si l'on voulait placer M à une distance de 25.00 m depuis A, quelle serait sa coordonnée X ?

Question 3 : Déterminer la distance `DN`

Principe

Le problème revient à résoudre une équation à une inconnue. La nouvelle parcelle `AMND` forme un trapèze. Nous connaissons sa surface, sa hauteur et l'une de ses bases parallèles. Le concept physique est la conservation de la surface : la formule mathématique de l'aire du trapèze doit être égale à la valeur de surface imposée.

Mini-Cours

Un trapèze est un quadrilatère ayant au moins une paire de côtés parallèles, appelés "bases". La surface \(S\) d'un trapèze est la moyenne de ses bases (\(b\) et \(B\)) multipliée par sa hauteur \(h\) : \(S = \frac{(b+B)}{2} \times h\). Dans notre cas, les bases sont `AM` et `DN`, et la hauteur est `AD`. En algèbre, si l'on connaît S, h, et b, on peut isoler B pour trouver sa valeur : \(B = \frac{2S}{h} - b\).

Remarque Pédagogique

C'est un problème inverse typique en géométrie. On ne vous demande pas de calculer une surface à partir de dimensions, mais de trouver une dimension à partir d'une surface. La clé est de poser l'équation correctement, puis de la résoudre pour l'inconnue (`DN`).

Normes

Les opérations de division parcellaire sont encadrées par le Code de l'Urbanisme et les règles du droit civil. Le document final produit par le géomètre, appelé "Document de Modification du Parcellaire Cadastral" (DMPC), doit respecter des normes de présentation précises pour être validé par l'administration.

Formule(s)

Aire d'un trapèze (AMND)

S_{\text{AMND}} = \frac{(D_{\text{AM}} + D_{\text{DN}})}{2} \times D_{\text{AD}}

Formule inversée pour trouver DN

D_{\text{DN}} = \frac{2 \times S_{\text{AMND}}}{D_{\text{AD}}} - D_{\text{AM}}

Hypothèses

On suppose que la nouvelle limite MN est une ligne droite, et que N est bien sur le segment [DC], ce qui garantit que AMND est un trapèze.

Donnée(s)

Surface cible \(S_{\text{AMND}} = 5000\) m², base connue \(D_{\text{AM}} = 50.00\) m (question 2), et hauteur \(D_{\text{AD}} = 150.00\) m (question 1).

Schéma (Avant les calculs)

Trapèze AMND avec inconnue

Calcul(s)

Pose de l'équation

5000 = \frac{(50.00 + D_{\text{DN}})}{2} \times 150.00

Isolation du terme contenant l'inconnue

\begin{aligned} 50.00 + D_{\text{DN}} &= \frac{5000 \times 2}{150.00} \\ &= 66.667 \end{aligned}

Calcul final de la distance DN

\begin{aligned} D_{\text{DN}} &= 66.667 - 50.00 \\ &= 16.67 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Dimensions de la parcelle AMND

Réflexions

Le résultat de 16.67 m est inférieur à la longueur de AM (50 m). C'est logique : pour obtenir une surface donnée, si on part avec une base de 50m, il faut une base opposée plus petite pour "compenser" et ne pas dépasser la surface cible trop vite. Le résultat est cohérent.

Points de vigilance

L'erreur la plus courante ici est une erreur de calcul algébrique lors de l'inversion de la formule. Procédez étape par étape : d'abord la multiplication par 2, puis la division par la hauteur, et enfin la soustraction de la base connue.

Points à retenir

Savoir manipuler les formules littérales pour isoler une inconnue est une compétence mathématique cruciale qui dépasse la topographie. Entraînez-vous à inverser des formules simples comme celle-ci.

Résultat Final

Pour obtenir une surface de 5000 m² pour la parcelle `AMND`, la distance `DN` doit être de 16.67 m.

A vous de jouer

Si la surface désirée pour `AMND` était de 7500 m², quelle serait la distance `DN` requise ?

Question 4 : Calculer les coordonnées du point `N`

Principe

Le principe est rigoureusement identique à celui de la question 2 : un calcul par rayonnement simplifié. On part d'un point connu (D), on se déplace le long d'un alignement parallèle aux axes (DC) sur une distance connue (DN) pour trouver le nouveau point (N).

Mini-Cours

L'alignement DC est parallèle à l'alignement AB, et donc également parallèle à l'axe des X. Le gisement de D vers C est de 100 grades (90°). On applique les mêmes formules de rayonnement simplifiées que pour le point M, mais en utilisant D comme point de départ.

Remarque Pédagogique

Cet enchaînement de questions montre le processus logique du géomètre : un calcul géométrique (distance DN) est immédiatement suivi d'un calcul topométrique (coordonnées de N) pour pouvoir positionner le point sur un plan et sur le terrain.

Formule(s)

Calcul de l'abscisse X de N

X_N = X_D + D_{\text{DN}}

Calcul de l'ordonnée Y de N

\[ Y_N = Y_D \]

Donnée(s)

Nous utilisons les coordonnées du point de départ D et la distance DN calculée à la question précédente.

Paramètre	Valeur
Coordonnées de D	(1000.00, 2150.00)
Distance \(D_{\text{DN}}\)	16.67 m

Schéma (Avant les calculs)

Positionnement de N sur DC

Calcul(s)

Calcul de l'abscisse X de N

\begin{aligned} X_N &= 1000.00 + 16.67 \\ &= 1016.67 \text{ m} \end{aligned}

Calcul de l'ordonnée Y de N

Y_N = 2150.00 \text{ m}

Schéma (Après les calculs)

Coordonnées du point N

Réflexions

Les coordonnées de N (1016.67, 2150.00) sont cohérentes. L'ordonnée est bien celle de la ligne DC, et l'abscisse est légèrement supérieure à celle de D, ce qui correspond à un déplacement de 16.67 m vers la droite (vers C).

Points de vigilance

Attention à ne pas utiliser le mauvais point de départ ! Le calcul se fait depuis D, et non depuis C. Si on partait de C, il faudrait soustraire la distance DC - DN.

Résultat Final

Les coordonnées du point N sont (1016.67 ; 2150.00).

A vous de jouer

Si la distance DN avait été de 75 m, quelle aurait été la coordonnée X de N ?

Question 5 : Calculer longueurs et périmètres

Principe

Le calcul de la longueur de la nouvelle limite `MN` se base sur le théorème de Pythagore appliqué aux différences de coordonnées. Le périmètre d'une parcelle est la somme des longueurs de tous les segments qui la délimitent. C'est le "chemin" qu'il faudrait parcourir pour en faire le tour complet.

Mini-Cours

Le périmètre est une mesure de longueur (1D), tandis que la surface est une mesure d'aire (2D). Il n'y a pas de relation simple entre les deux, sauf pour des formes très régulières. Deux parcelles peuvent avoir la même surface mais des périmètres très différents. Le périmètre est important pour des questions de clôture, de droits de passage, etc.

Remarque Pédagogique

Soyez méthodique. Listez tous les côtés de chaque parcelle avant de commencer la somme pour être sûr de n'en oublier aucun. Pour la deuxième parcelle (MBCN), il faut penser à calculer les longueurs des segments restants MB et CN.

Formule(s)

Distance (longueur d'un côté)

D = \sqrt{(\Delta X)^2 + (\Delta Y)^2}

Périmètre

P = \sum_{i=1}^{n} D_i

Donnée(s)

Nous utilisons les coordonnées de tous les points définissant les nouvelles parcelles.

Point	X (m)	Y (m)
A	1000.00	2000.00
B	1100.00	2000.00
C	1100.00	2150.00
D	1000.00	2150.00
M	1050.00	2000.00
N	1016.67	2150.00

Schéma (Avant les calculs)

Parcelles à mesurer

Calcul(s)

Calcul de la longueur de la limite MN

\begin{aligned} D_{\text{MN}} &= \sqrt{(1016.67 - 1050.00)^2 + (2150.00 - 2000.00)^2} \\ &= \sqrt{(-33.33)^2 + (150.00)^2} \\ &= \sqrt{1110.89 + 22500} \\ &= \sqrt{23610.89} \\ &= 153.66 \text{ m} \end{aligned}

Calcul du périmètre de la parcelle AMND

\begin{aligned} P_{\text{AMND}} &= D_{\text{AM}} + D_{\text{MN}} + D_{\text{ND}} + D_{\text{DA}} \\ &= 50.00 + 153.66 + 16.67 + 150.00 \\ &= 370.33 \text{ m} \end{aligned}

Calcul de la distance MB

\begin{aligned} D_{\text{MB}} &= 100.00 - 50.00 \\ &= 50.00 \text{ m} \end{aligned}

Calcul de la distance CN

\begin{aligned} D_{\text{CN}} &= 100.00 - 16.67 \\ &= 83.33 \text{ m} \end{aligned}

Calcul du périmètre de la parcelle MBCN

\begin{aligned} P_{\text{MBCN}} &= D_{\text{MB}} + D_{\text{BC}} + D_{\text{CN}} + D_{\text{NM}} \\ &= 50.00 + 150.00 + 83.33 + 153.66 \\ &= 436.99 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Périmètres et longueurs finales

Points de vigilance

Attention à bien réutiliser la distance MN pour les deux périmètres. C'est la limite commune. Ne la recalculez pas, et ne l'oubliez pas dans la somme. Vérifiez aussi que la somme des périmètres partiels n'est pas égale au périmètre total (car la limite MN est comptée deux fois et les limites AB et DC sont tronquées).

Résultat Final

La longueur de la nouvelle limite `MN` est de 153.66 m. Le périmètre de la parcelle `AMND` est de 370.33 m et celui de la parcelle `MBCN` est de 436.99 m.

A vous de jouer

Si M était confondu avec A (\(D_{\text{AM}}=0\)) et N avec D (\(D_{\text{DN}}=0\)), quel serait le périmètre de la parcelle MBCN (qui serait alors la parcelle ABCD) ?

Outil Interactif : Simulateur de Division

Utilisez les curseurs pour modifier la position du point M et la surface désirée pour la première parcelle. Le simulateur calculera automatiquement la position du point N et les surfaces résultantes.

Paramètres d'Entrée

Position de M depuis A (m) 50 m

Surface désirée pour AMND (m²) 5000 m²

Résultats Calculés

Position de N depuis D (m) -

Surface réelle de MBCN (m²) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce qu'un "gisement" en topographie ?

L'altitude d'un point.
L'angle d'une direction par rapport au Nord.
La distance entre deux points.

2. La formule de l'aire d'un trapèze est :

(Base x Hauteur) / 2
Côté x Côté
((Base1 + Base2) x Hauteur) / 2

3. Dans cet exercice, pourquoi le calcul des coordonnées de M est-il simplifié ?

L'alignement AB est parallèle à l'un des axes du système de coordonnées.
La distance AM est un chiffre rond.
Le point A a des coordonnées nulles.

Glossaire de Topographie

Coordonnées Planimétriques: Système de deux valeurs (X, Y) permettant de définir la position d'un point sur un plan (une carte).
Gisement: Angle horizontal mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre, compté à partir de la direction du Nord (axe Y) vers une direction donnée.
Implantation: Opération de topographie qui consiste à matérialiser sur le terrain la position de points définis par leurs coordonnées sur un plan.
Parcelle: Portion de terrain délimitée juridiquement et appartenant à un propriétaire.