Étude Topographique

Division d’une Parcelle par une Droite

Topographie : Division d'une Parcelle par une Droite Passant par un Sommet

Division d'une Parcelle par une Droite Passant par un Sommet

Contexte : Le Partage Foncier

La division de parcelle est une opération foncière courante, nécessaire lors d'une succession, d'une vente partielle ou d'un projet d'aménagement. Le but est de créer de nouvelles limites pour former des lots de surfaces définies. L'un des cas les plus classiques est la division d'une parcelle en deux lots de surfaces égales par une nouvelle limite partant d'un sommet existant. Ce problème, simple en apparence, requiert une application rigoureuse des calculs de surface et de coordonnées pour garantir l'équité et la conformité légale de la division.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est l'inverse du calcul de surface : ici, la surface est une donnée d'entrée (la moitié de la surface totale) et l'inconnue est la coordonnée d'un nouveau point à créer. Il illustre parfaitement comment les formules topographiques peuvent être utilisées dans les deux sens pour résoudre des problèmes de conception et d'implantation.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la surface totale d'une parcelle à partir des coordonnées de ses sommets.
  • Déterminer la surface cible pour chaque lot lors d'une division.
  • Utiliser la formule de surface pour déterminer la position d'un point inconnu.
  • Calculer les coordonnées d'un point situé à une distance donnée sur un segment.
  • Comprendre la logique d'un calcul de division parcellaire.

Données de l'étude

Un géomètre doit diviser la parcelle quasi-rectangulaire ABCD en deux lots de surface égale. La nouvelle limite doit partir du sommet A et aboutir à un nouveau point M situé sur le côté opposé [CD].

Schéma de la Parcelle à Diviser
A B C D M?

Coordonnées des sommets :

SommetX (m)Y (m)
A1000.002000.00
B1100.002000.00
C1100.002100.00
D1000.002100.00

Questions à traiter

  1. Calculer la surface totale de la parcelle ABCD.
  2. En déduire la surface cible pour chaque lot.
  3. La division créant un lot triangulaire ADM, calculer la distance DM nécessaire pour que ce triangle ait la surface cible.
  4. Calculer les coordonnées du nouveau sommet M.

Correction : Division d'une Parcelle par une Droite Passant par un Sommet

Question 1 : Calcul de la surface totale de la parcelle ABCD

Principe :
Longueur Largeur

La parcelle étant un rectangle parfait (côtés parallèles aux axes), sa surface est simplement le produit de sa longueur et de sa largeur. On peut aussi utiliser la formule générale des coordonnées pour vérifier.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Toujours commencer par l'analyse des données. Reconnaître la nature géométrique simple de la figure (ici, un rectangle) permet d'utiliser des formules plus simples et plus rapides que la méthode générale, bien que cette dernière reste toujours applicable comme moyen de contrôle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{Longueur} = X_{\text{B}} - X_{\text{A}} \quad ; \quad \text{Largeur} = Y_{\text{D}} - Y_{\text{A}} \]
\[ S_{\text{totale}} = \text{Longueur} \times \text{Largeur} \]
Donnée(s) :
  • Coordonnées de A : \(X_{\text{A}}=1000.00, Y_{\text{A}}=2000.00\)
  • Coordonnées de B : \(X_{\text{B}}=1100.00\)
  • Coordonnées de D : \(Y_{\text{D}}=2100.00\)
Calcul(s) :
\[ \text{Longueur} = 1100.00 - 1000.00 = 100.00 \, \text{m} \]
\[ \text{Largeur} = 2100.00 - 2000.00 = 100.00 \, \text{m} \]
\[ \begin{aligned} S_{\text{totale}} &= 100.00 \times 100.00 \\ &= 10000.00 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Cas non rectangulaire : Si la parcelle n'était pas parfaitement rectangulaire, cette méthode simple serait fausse. Il faudrait alors obligatoirement utiliser la méthode des coordonnées (formule du lacet) pour obtenir la surface exacte.

Le saviez-vous ?

L'hectare (ha), unité de surface couramment utilisée en agriculture et en urbanisme, équivaut à un carré de 100 mètres de côté, soit 10 000 m². Notre parcelle est donc un "hectare carré" parfait.

FAQ en rapport avec la question :
Comment vérifier que c'est bien un rectangle ?

On peut vérifier le parallélisme des côtés. Le côté AB a un \(\Delta Y\) de 0, il est donc parallèle à l'axe X. Le côté DC a aussi un \(\Delta Y\) de 0. De même, le côté AD a un \(\Delta X\) de 0, il est parallèle à l'axe Y, tout comme BC. Des côtés opposés parallèles aux axes confirment la nature rectangulaire.

Résultat : La surface totale de la parcelle ABCD est de 10 000 m² (soit 1 hectare).

Question 2 : Détermination de la surface cible

Principe :
S/2 S/2

L'énoncé demande de diviser la parcelle en deux lots de surfaces égales. La surface de chaque lot doit donc être la moitié de la surface totale.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette étape, bien que très simple, est cruciale. Elle définit l'objectif quantitatif de la division. Toute la suite des calculs visera à créer un polygone dont la surface est exactement égale à cette valeur cible.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ S_{\text{lot}} = \frac{S_{\text{totale}}}{2} \]
Donnée(s) :
  • \(S_{\text{totale}} = 10000.00 \, \text{m}^2\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} S_{\text{lot}} &= \frac{10000.00}{2} \\ &= 5000.00 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Précision de la cible : Il est important de conserver la précision de la surface totale dans ce calcul. Même si le résultat semble simple, utiliser une valeur arrondie de la surface totale pourrait introduire une erreur dans la définition de la surface cible.

Le saviez-vous ?

Dans les partages successoraux, il n'est pas rare de devoir diviser une parcelle en lots de surfaces inégales, par exemple proportionnellement aux droits de chaque héritier (1/3, 2/3, etc.). La méthode de calcul reste la même, seule la surface cible change.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passe-t-il si la division doit créer un lot d'une surface fixe (ex: 3000 m²) ?

Le principe est identique. La surface cible n'est plus la moitié de la surface totale, mais la valeur imposée par le projet (ici, 3000 m²). Le reste des calculs pour déterminer la position de la nouvelle limite se déroule de la même manière.

Résultat : Chaque nouveau lot devra avoir une surface de 5000 m².

Question 3 : Calcul de la distance DM

Principe :
A D M S = 5000 m²

La nouvelle limite part du point A. Le premier lot formé est le triangle ADM. La surface de ce triangle rectangle doit être égale à la surface cible de 5000 m². Connaissant la longueur du côté AD (la "base" du triangle), on peut en déduire la longueur requise pour le côté DM (la "hauteur").

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est l'étape de "résolution inverse". On connaît la surface et un côté du triangle, et on cherche le deuxième côté. C'est une démarche de conception, où l'on calcule les dimensions nécessaires pour atteindre un objectif de surface.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ S_{\text{triangle}} = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} \Rightarrow S_{\text{ADM}} = \frac{D_{\text{AD}} \times D_{\text{DM}}}{2} \]
\[ \Rightarrow D_{\text{DM}} = \frac{2 \times S_{\text{ADM}}}{D_{\text{AD}}} \]
Donnée(s) :
  • Surface cible : \(S_{\text{ADM}} = 5000 \, \text{m}^2\)
  • Longueur AD : \(D_{\text{AD}} = Y_D - Y_A = 2100.00 - 2000.00 = 100.00 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} D_{\text{DM}} &= \frac{2 \times 5000.00}{100.00} \\ &= \frac{10000.00}{100.00} \\ &= 100.00 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Validité de la base : Cette formule simple n'est valable que parce que le triangle ADM est rectangle en D. Si la parcelle n'était pas rectangulaire, le calcul de la surface du triangle ADM à partir de la distance DM serait plus complexe et ferait intervenir des angles.

Le saviez-vous ?

Les calculs de division sont souvent utilisés pour créer des "servitudes de passage". On ne divise pas la propriété, mais on calcule la surface d'un "couloir" de passage (par exemple, 3m de large) qui sera grevé d'un droit de passage au profit d'un voisin.

FAQ en rapport avec la question :
Et si la ligne de division devait partir du milieu du côté [AB] ?

Le problème serait différent. On connaîtrait le point de départ de la division. Il faudrait alors trouver la direction (l'angle) de la ligne de division pour que la surface du lot créé soit égale à la surface cible. Cela implique de résoudre une équation où l'inconnue est un angle.

Résultat : Le point M doit être placé à 100.00 m du point D sur le côté [DC].

Question 4 : Calcul des coordonnées du point M

Principe :
Axe Y Axe X D M = ? Distance DM

Le point M se trouve sur le segment [DC]. On connaît les coordonnées de D et la distance DM. Comme le segment [DC] est parallèle à l'axe des X, l'ordonnée Y de M est la même que celle de D et C. L'abscisse X de M est simplement l'abscisse de D augmentée de la distance DM.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est l'étape finale d'implantation. Le géomètre calcule ces coordonnées, les charge dans sa station totale, et peut ensuite aller sur le terrain pour matérialiser la nouvelle borne M à l'endroit exact, créant ainsi la nouvelle limite parcellaire.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ X_{\text{M}} = X_{\text{D}} + D_{\text{DM}} \]
\[ Y_{\text{M}} = Y_{\text{D}} \]
Donnée(s) :
  • Coordonnées de D : \(X_{\text{D}} = 1000.00 \, \text{m}\), \(Y_{\text{D}} = 2100.00 \, \text{m}\)
  • Distance \(D_{\text{DM}} = 100.00 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} X_{\text{M}} &= 1000.00 + 100.00 \\ &= 1100.00 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ Y_{\text{M}} = 2100.00 \, \text{m} \]
Points de vigilance :

Vérification : On remarque que les coordonnées de M sont identiques à celles de C. Cela est logique car pour diviser un rectangle en deux surfaces égales à partir d'un sommet, la ligne de division doit rejoindre le sommet opposé. Notre calcul confirme ce résultat géométrique évident, ce qui est un bon moyen de contrôle.

Le saviez-vous ?

Les coordonnées calculées pour l'implantation d'un point sont chargées dans la station totale. L'appareil indique ensuite en temps réel à l'aide-opérateur de combien il doit se déplacer (avancer/reculer, aller à gauche/droite) pour positionner le prisme exactement à l'emplacement du point M à matérialiser.

FAQ en rapport avec la question :
Et si la ligne de division n'était pas parallèle à un axe ?

Si le segment [DC] n'était pas parallèle à l'axe des X, le calcul serait un peu plus complexe. Il faudrait d'abord calculer le gisement du côté [DC], puis utiliser les formules de rayonnement (\(X_M = X_D + D_{DM} \times \sin(G_{DC})\), \(Y_M = Y_D + D_{DM} \times \cos(G_{DC})\)) pour trouver les coordonnées de M.

Résultat : Les coordonnées du point M sont (1100.00 m, 2100.00 m), ce qui correspond au point C.

Pour Aller Plus Loin : Division par une parallèle

Une autre contrainte : Un autre problème classique est de diviser une parcelle en deux lots de surface donnée par une ligne parallèle à l'un de ses côtés. Par exemple, diviser la parcelle ABCD en deux lots par une ligne [MN] parallèle au côté [AD]. Il faudrait alors calculer la position des points M sur [AB] et N sur [DC] pour que la surface du rectangle ADNM soit égale à la surface cible. Cela se résout en trouvant la distance AM nécessaire.

Le Saviez-Vous ?

Toute modification des limites d'une propriété foncière en France doit faire l'objet d'un "Document Modificatif du Parcellaire Cadastral" (DMPC), anciennement appelé "Document d'Arpentage". Ce document, obligatoirement établi par un géomètre-expert, contient les plans, les calculs de surface et les nouvelles coordonnées. Il est ensuite transmis au service du Cadastre pour mettre à jour la documentation officielle.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si la parcelle n'est pas un rectangle ?

La méthode reste la même, mais les calculs sont plus complexes. On calcule d'abord la surface totale du polygone. On détermine ensuite le côté sur lequel la nouvelle limite aboutira. On forme un triangle avec le point de départ et le premier sommet de ce côté, on calcule sa surface. Si elle est inférieure à la surface cible, on continue en formant un deuxième triangle, et ainsi de suite, jusqu'à trouver le segment final sur lequel se trouvera le point M. On résout alors un dernier triangle pour trouver la position exacte de M par proportionnalité.

Glossaire

Division ParcellaireOpération foncière consistant à diviser une propriété (parcelle mère) en plusieurs nouvelles propriétés (lots ou parcelles filles).
Opération foncière consistant à diviser une propriété (parcelle mère) en plusieurs nouvelles propriétés (lots ou parcelles filles).
ImplantationOpération de terrain qui consiste à matérialiser physiquement (par un piquet, une borne, un clou) la position d'un point dont les coordonnées ont été calculées.
Opération de terrain qui consiste à matérialiser physiquement (par un piquet, une borne, un clou) la position d'un point dont les coordonnées ont été calculées.
Géomètre-ExpertProfessionnel qui, en France, a le monopole légal pour "dire la propriété" en fixant les limites des biens fonciers (bornage) et en établissant les documents nécessaires aux modifications du parcellaire cadastral.
Professionnel qui, en France, a le monopole légal pour "dire la propriété" en fixant les limites des biens fonciers (bornage) et en établissant les documents nécessaires aux modifications du parcellaire cadastral.
Division d'une Parcelle Rectangulaire en Deux Lots Égaux

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