Déterminer la Surface d’un Plan
Contexte : Le calcul de surface par coordonnéesMéthode mathématique permettant de déterminer l'aire d'un polygone à partir des coordonnées cartésiennes de ses sommets..
En topographie, l'une des tâches les plus fondamentales est la détermination de la surface d'une parcelle de terrain. Que ce soit pour des raisons cadastrales, des projets d'aménagement ou des transactions immobilières, un calcul précis est indispensable. La méthode la plus courante et la plus fiable repose sur l'utilisation des coordonnées des sommets qui délimitent la parcelle. Cet exercice vous guidera à travers cette méthode.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la "méthode des lacets", une technique algorithmique simple et puissante pour calculer la surface d'un polygone quelconque à partir d'une liste de coordonnées de ses sommets.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le principe du calcul de surface à partir de coordonnées cartésiennes.
- Maîtriser et appliquer la formule de la méthode des lacets.
- Savoir organiser les données et les calculs de manière systématique pour éviter les erreurs.
- Interpréter le résultat obtenu, y compris son signe.
Données de l'étude
Fiche Technique du Levé
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Opérateur | M. Durand |
| Date du levé | 15/06/2024 |
| Instrument utilisé | Station Totale Leica TS16 |
Plan de la parcelle polygonale
| Point | X (m) | Y (m) |
|---|---|---|
| A | 100.00 | 200.00 |
| B | 150.00 | 50.00 |
| C | 350.00 | 100.00 |
| D | 300.00 | 250.00 |
| E | 120.00 | 260.00 |
Questions à traiter
- Calculer le double de la surface du polygone ABCDE en utilisant la méthode des lacets (sens horaire A -> B -> C -> D -> E -> A).
- En déduire la surface réelle du polygone en mètres carrés (m²).
- Convertir cette surface en hectares (ha).
- À titre de vérification, recalculer le double de la surface en parcourant les sommets dans le sens anti-horaire (A -> E -> D -> C -> B -> A).
- Que concluez-vous en comparant les résultats des questions 1 et 4 ?
Les bases sur le Calcul de Surface par Coordonnées
La méthode la plus utilisée pour calculer la surface d'un polygone à partir des coordonnées de ses sommets est la formule de Gauss, plus connue sous le nom de "méthode des lacets" en raison de la manière dont les produits sont croisés, rappelant le laçage d'une chaussure.
Formule des Lacets
Pour un polygone à \(n\) sommets dont les coordonnées sont \((X_i, Y_i)\), la surface \(S\) est donnée par la moitié de la valeur absolue de la somme des produits croisés. On boucle la chaîne de points en considérant que le point \(n+1\) est identique au point 1.
Développée, la formule ressemble à ceci :
Correction : Déterminer la Surface d’un Plan
Question 1 : Calcul du double de la surface (sens horaire)
Principe
Le concept physique derrière la méthode est la décomposition du polygone en une série de trapèzes dont les aires (positives ou négatives) sont sommées. En appliquant la formule des lacets, nous allons calculer une valeur intermédiaire qui correspond au double de la surface du polygone.
Mini-Cours
La formule de Gauss pour l'aire est une application du théorème de Green, qui relie une intégrale de ligne sur une courbe fermée simple à une intégrale double sur la région plane qu'elle délimite. En topographie, on utilise sa forme discrète, qui est beaucoup plus simple à appliquer avec une liste de coordonnées.
Remarque Pédagogique
La meilleure façon d'éviter les erreurs est d'être systématique. Dressez un tableau clair avec vos coordonnées, en n'oubliant pas de répéter le premier point à la fin. Calculez ensuite les deux sommes de produits croisés séparément avant de les soustraire.
Normes
Il n'y a pas de "norme" de calcul à proprement parler, car il s'agit d'une formule mathématique universelle. Cependant, les coordonnées utilisées doivent appartenir à un système de projection cartographique cohérent (par exemple, Lambert 93 en France) pour que la surface calculée ait un sens physique et légal.
Formule(s)
Formule générale des lacets
Hypothèses
- Les coordonnées sont exprimées dans un plan euclidien (2D).
- La surface calculée est une surface projetée à plat, ignorant la topographie réelle (pentes).
- Le polygone est "simple", c'est-à-dire que ses arêtes ne se croisent pas.
Donnée(s)
On reprend les coordonnées des sommets de l'énoncé, en ajoutant le point A à la fin de la liste pour fermer le polygone.
| Point | X (m) | Y (m) |
|---|---|---|
| A | 100.00 | 200.00 |
| B | 150.00 | 50.00 |
| C | 350.00 | 100.00 |
| D | 300.00 | 250.00 |
| E | 120.00 | 260.00 |
| A (retour) | 100.00 | 200.00 |
Astuces
Pour mémoriser la formule, visualisez les "lacets" : additionnez tous les produits des coordonnées en diagonale vers le bas et la droite, puis soustrayez la somme de tous les produits en diagonale vers le haut et la droite.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma suivant illustre le principe des produits croisés descendants (en vert) et ascendants (en rouge) pour les deux premiers segments.
Calcul(s)
Tableau de calcul des produits croisés
| i | Point | Xᵢ | Yᵢ | XᵢYᵢ₊₁ (Produits descendants) | Xᵢ₊₁Yᵢ (Produits ascendants) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | A | 100 | 200 | 100 * 50 = 5 000 | 150 * 200 = 30 000 |
| 2 | B | 150 | 50 | 150 * 100 = 15 000 | 350 * 50 = 17 500 |
| 3 | C | 350 | 100 | 350 * 250 = 87 500 | 300 * 100 = 30 000 |
| 4 | D | 300 | 250 | 300 * 260 = 78 000 | 120 * 250 = 30 000 |
| 5 | E | 120 | 260 | 120 * 200 = 24 000 | 100 * 260 = 26 000 |
| Total | Σ = 209 500 | Σ = 133 500 |
Calcul final du double de la surface
Schéma (Après les calculs)
Le calcul nous donne une valeur numérique unique associée à la surface du polygone.
Réflexions
Le résultat \(76\,000\) est une valeur intermédiaire. Il n'a pas de signification physique directe autre que d'être le double de l'aire. Le fait qu'il soit positif indique que nous avons parcouru les sommets dans le sens horaire (selon la convention de ce système de coordonnées).
Points de vigilance
La principale source d'erreur est l'inversion des produits (calculer \(X_{i+1}Y_i - X_iY_{i+1}\)) ou une erreur de saisie des coordonnées. Une autre erreur fréquente est d'oublier de répéter le premier point à la fin, ce qui fausse entièrement le calcul.
Points à retenir
Pour cette étape, retenez la méthode : lister les points en fermant la boucle, calculer la somme des produits descendants, calculer la somme des produits ascendants, et soustraire la deuxième de la première.
Le saviez-vous ?
La formule est souvent attribuée à Carl Friedrich Gauss (1795), mais elle était déjà connue de Albrecht Ludwig Friedrich Meister en 1769. Elle est aussi à la base du fonctionnement du planimètre, un instrument mécanique qui permettait de mesurer des surfaces sur des cartes avant l'ère du numérique.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez le double de la surface d'un triangle avec les sommets F(10,10), G(50,80), H(90,20). Entrez votre réponse.
Question 2 : Surface réelle du polygone
Principe
La surface est une grandeur physique scalaire qui représente l'étendue d'une surface. Elle est par définition positive. Nous l'obtenons en divisant par deux la valeur absolue du résultat de la formule des lacets.
Mini-Cours
En géométrie, l'aire (ou la surface) est une mesure de la taille d'une région bidimensionnelle. Tandis que le calcul de 2S peut donner un résultat positif ou négatif (indiquant l'orientation), l'aire physique est toujours la valeur absolue de ce résultat divisée par deux.
Remarque Pédagogique
Ne vous arrêtez jamais au calcul de 2S. C'est une erreur classique de débutant. Pensez toujours à effectuer la dernière étape : la division par deux pour obtenir la surface finale.
Normes
L'unité de surface du Système International (SI) est le mètre carré (m²). C'est l'unité de référence dans tous les calculs scientifiques et techniques, y compris en topographie.
Formule(s)
Formule de la surface
Hypothèses
Ce calcul repose sur l'exactitude du calcul précédent. Toute erreur dans le calcul de 2S sera reportée ici.
Donnée(s)
Nous utilisons le résultat de la question 1 : \(2S = 76\,000\).
Astuces
Pour une vérification mentale rapide, estimez la surface. La parcelle est grossièrement un rectangle d'environ 200 m sur 200 m, soit 40 000 m². Notre résultat de 38 000 m² est donc tout à fait plausible.
Calcul(s)
Calcul de la surface S
Schéma (Après les calculs)
Le résultat final correspond à l'aire de la figure géométrique.
Réflexions
Une surface de 38 000 m² correspond à une parcelle de taille significative, équivalente à environ 5 terrains de football. C'est une information cruciale pour un propriétaire ou un aménageur.
Points de vigilance
Assurez-vous de prendre la valeur absolue avant de diviser. Si le calcul de 2S avait donné un résultat négatif, la surface serait restée positive.
Points à retenir
La surface finale est la moitié du résultat de la formule des lacets, et elle est toujours positive.
Le saviez-vous ?
En infographie 3D, la même formule, étendue à 3 dimensions (en utilisant les produits vectoriels), est utilisée pour calculer l'aire des polygones qui composent la surface des objets 3D, ce qui est essentiel pour le texturage et le rendu.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le calcul de 2S pour une autre parcelle donne -45 000, quelle est sa surface réelle en m² ?
Question 3 : Conversion de la surface en hectares
Principe
Pour rendre la valeur de la surface plus parlante pour des applications foncières, on la convertit souvent en une unité agraire comme l'hectare. Il s'agit d'une simple conversion d'unités.
Mini-Cours
Unités d'aire agraires :
1 hectare (ha) = 100 ares (a)
1 are (a) = 100 centiares (ca)
1 centiare (ca) = 1 m².
Un hectare correspond donc à un carré de 100 mètres de côté, soit 10 000 m².
Remarque Pédagogique
Visualisez la conversion : pour passer des m² aux hectares, vous devez diviser par 10 000. C'est un grand nombre, donc le résultat en hectares sera beaucoup plus petit que celui en mètres carrés.
Normes
L'hectare, bien que très utilisé, n'est pas une unité du Système International (SI). C'est une unité "non-SI acceptée pour l'usage avec le SI". Dans les documents officiels (cadastre, actes notariés), la surface est souvent exprimée en hectares, ares et centiares.
Formule(s)
Formule de conversion
Hypothèses
La seule hypothèse est que le facteur de conversion est exact et universellement accepté.
Donnée(s)
Nous utilisons le résultat de la question 2 : \(S = 38\,000\,\text{m}^2\).
Astuces
Pour diviser par 10 000, il suffit de décaler la virgule de quatre rangs vers la gauche. Pour 38 000, cela donne 3,8000.
Calcul(s)
Calcul de la surface en hectares
Schéma (Après les calculs)
Imaginons un grand carré de 100m x 100m (1 hectare) et notre parcelle à l'intérieur pour visualiser l'échelle.
Réflexions
Exprimer la surface en 3,8 ha est souvent plus pratique et plus facile à comprendre que 38 000 m² dans le contexte de l'aménagement du territoire ou de l'agriculture.
Points de vigilance
Attention à ne pas se tromper dans le facteur de conversion. Une erreur commune est de diviser par 1 000 (pour les kilomètres) au lieu de 10 000.
Points à retenir
Le facteur de conversion clé à mémoriser est : 1 hectare = 10 000 mètres carrés.
Le saviez-vous ?
Le mot "hectare" vient du grec "hekaton" (cent) et de l'unité "are". Un hectare correspond donc à "cent ares". L'are a été défini à l'origine en 1795 en France comme 100 mètres carrés.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Une parcelle a une surface de 125 600 m². Quelle est sa surface en hectares ?
Question 4 : Vérification dans le sens anti-horaire
Principe
Recalculer la surface en inversant l'ordre des points est une excellente méthode de vérification. Le résultat doit être identique en valeur absolue, mais de signe opposé, confirmant ainsi la robustesse du calcul initial.
Remarque Pédagogique
Cette vérification permet de s'assurer qu'il n'y a pas eu d'erreur de calcul dans les produits croisés ou de faute de frappe dans les données. Si les valeurs absolues diffèrent, une erreur s'est glissée dans l'un des deux calculs.
Donnée(s)
On utilise les mêmes coordonnées, mais dans l'ordre A -> E -> D -> C -> B, en fermant la boucle avec A.
| Point | X (m) | Y (m) |
|---|---|---|
| A | 100 | 200 |
| E | 120 | 260 |
| D | 300 | 250 |
| C | 350 | 100 |
| B | 150 | 50 |
| A (retour) | 100 | 200 |
Schéma (Avant les calculs)
Le parcours des sommets est inversé par rapport à la question 1.
Calcul(s)
Tableau de calcul des produits croisés (sens anti-horaire)
| i | Point | Xᵢ | Yᵢ | XᵢYᵢ₊₁ | Xᵢ₊₁Yᵢ |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | A | 100 | 200 | 100 * 260 = 26 000 | 120 * 200 = 24 000 |
| 2 | E | 120 | 260 | 120 * 250 = 30 000 | 300 * 260 = 78 000 |
| 3 | D | 300 | 250 | 300 * 100 = 30 000 | 350 * 250 = 87 500 |
| 4 | C | 350 | 100 | 350 * 50 = 17 500 | 150 * 100 = 15 000 |
| 5 | B | 150 | 50 | 150 * 200 = 30 000 | 100 * 50 = 5 000 |
| Total | Σ = 133 500 | Σ = 209 500 |
Calcul final du double de la surface
Réflexions
Le résultat est bien l'opposé de celui trouvé à la question 1. Cela nous donne une grande confiance dans l'exactitude de nos calculs. La valeur de la surface, qui est basée sur la valeur absolue, est donc confirmée.
Résultat Final
Question 5 : Conclusion sur le signe du résultat
Principe
Le signe du résultat de la formule des lacets n'est pas aléatoire ; il dépend directement de l'ordre dans lequel les sommets du polygone sont listés, ce qui est une propriété mathématique appelée orientation.
Mini-Cours
En géométrie, l'orientation d'un polygone (ou "winding order") indique si les sommets sont ordonnés dans le sens horaire ou anti-horaire. Par convention dans un système de coordonnées cartésien standard (Y vers le haut, X vers la droite), un parcours anti-horaire donne une aire signée positive, et un parcours horaire une aire négative. Notre système semble inversé (résultat positif pour sens horaire), ce qui peut arriver dans certains systèmes de coordonnées topographiques (avec Y vers le Nord et X vers l'Est).
Remarque Pédagogique
Retenez que le signe est une information sur le sens de parcours, tandis que la valeur absolue est l'information sur la grandeur de la surface. Pour un calcul de surface, seule la valeur absolue nous intéresse.
Donnée(s)
On compare les deux résultats obtenus : \(2S_{\text{horaire}} = +76\,000\) et \(2S_{\text{anti-horaire}} = -76\,000\).
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma illustre les deux sens de parcours possibles du polygone.
Réflexions
Le calcul dans le sens horaire a donné +76 000, tandis que le calcul dans le sens anti-horaire a donné -76 000. La valeur absolue est identique, ce qui confirme la validité de notre calcul de surface. Le signe du résultat dépend uniquement du sens de parcours des sommets. Cette propriété est utilisée par les logiciels de SIG (Système d'Information Géographique) pour déterminer l'orientation des polygones (par exemple, pour savoir ce qui est à "l'intérieur" et ce qui est à "l'extérieur").
Points de vigilance
Ne soyez pas alarmé par un résultat de 2S négatif. Cela ne signifie pas que votre calcul est faux, mais simplement que vous avez listé les points dans un certain ordre. L'important est que la valeur absolue soit cohérente.
Points à retenir
Le signe de 2S indique le sens de parcours des sommets. La valeur absolue de 2S est toujours la même, quel que soit le sens de parcours. La surface S est toujours positive.
Le saviez-vous ?
Cette propriété de signe est utilisée pour calculer l'aire de polygones complexes avec des "trous" (comme un terrain avec une cour intérieure). On calcule l'aire du contour extérieur (ex: anti-horaire, résultat positif) puis on additionne l'aire du contour intérieur parcouru dans le sens opposé (ex: horaire, résultat négatif). La somme donne directement l'aire de la surface nette.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le calcul de 2S dans un sens donne +1500, que devrait donner le calcul si on parcourt les points exactement en sens inverse ?
Outil Interactif : Simulateur de Surface
Utilisez les curseurs pour déplacer le sommet C d'un quadrilatère ABCD et observez comment sa surface change en temps réel.
Coordonnées du Point C
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. La "méthode des lacets" permet de calculer :
2. Si les coordonnées sont en mètres, la surface calculée sera en :
3. Un résultat de surface négatif avant de prendre la valeur absolue indique que les points ont été parcourus dans le sens :
- Anti-horaire (convention usuelle)
4. Une parcelle de 25 000 m² équivaut à :
5. Quelle est l'étape cruciale à ne pas oublier dans la méthode des lacets ?
- Coordonnées Cartésiennes
- Système de repérage dans un plan ou l'espace utilisant deux (X, Y) ou trois (X, Y, Z) axes perpendiculaires.
- Hectare (ha)
- Unité de mesure de superficie équivalant à 10 000 mètres carrés. C'est l'unité couramment utilisée pour les terrains agricoles et forestiers.
- Méthode des Lacets
- Algorithme mathématique permettant de calculer l'aire d'un polygone simple dont les sommets sont décrits par leurs coordonnées cartésiennes.
- Polygone
- Figure géométrique plane fermée constituée d'une suite de segments de droite (côtés) reliant une suite de points (sommets).
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