Étude Topographique

Dessin d’une Courbe de Niveau

Topographie : Dessiner la Courbe de Niveau 150m entre Deux Points Cotés

Dessiner la courbe de niveau 150m entre deux points cotés

Contexte : Visualiser le Relief

Les courbes de niveauLigne imaginaire sur une carte qui relie tous les points de même altitude. C'est l'intersection du terrain avec un plan horizontal. sont l'outil le plus efficace pour représenter le relief sur une carte en 2D. Chaque ligne représente une altitude constante. Pour tracer une courbe de niveau, par exemple celle d'altitude 150m, il faut déterminer où cette altitude "coupe" le terrain. L'opération de base consiste à trouver la position exacte du point à 150m sur un segment de droite défini par deux points dont les altitudes encadrent cette valeur.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est l'application inverse de l'interpolation vue précédemment. Au lieu de chercher l'altitude d'un point donné, on cherche la position d'un point ayant une altitude donnée. La logique mathématique, basée sur la proportionnalité et le théorème de Thalès, reste exactement la même.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer une dénivelée entre deux points connus.
  • Déterminer la distance partielle à partir d'un point de départ pour atteindre une altitude cible.
  • Appliquer une nouvelle fois le principe de l'interpolation linéaire pour résoudre un problème inverse.
  • Calculer les coordonnées planimétriques (E, N) du point recherché sur la courbe de niveau.
  • Comprendre le processus fondamental de construction des cartes topographiques.

Données de l'étude

Un segment de terrain est défini par deux points A et B, dont les coordonnées et altitudes (en mètres) sont connues :

Point E (Est) N (Nord) Z (Altitude)
A 345.10 780.25 148.62 m
B 410.50 815.95 152.84 m
Schéma de la Situation (Vue en Plan et Profil)
A B P Distance Horizontale A (148.62) B (152.84) Altitude 150.00 m P = ?

Objectif :

  • Déterminer la position et les coordonnées du point P, situé sur le segment AB, dont l'altitude est exactement 150.00 m.

Questions à traiter

  1. Calculer la distance horizontale totale \(D_{AB}\) et la dénivelée totale \(\Delta Z_{AB}\).
  2. Calculer la distance horizontale \(D_{AP}\) entre le point A et le point P d'altitude 150.00 m.
  3. Calculer les coordonnées planimétriques \(E_P\) et \(N_P\) du point P.

Correction : Dessin d'une Courbe de Niveau

Question 1 : Calcul de la Distance et Dénivelée Totales

Principe :

C'est l'étape préliminaire qui consiste à caractériser le segment de terrain AB dans son ensemble. On calcule sa longueur projetée à l'horizontale (\(D_{AB}\)) et la différence d'altitude totale entre ses extrémités (\(\Delta Z_{AB}\)).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Ces deux valeurs, distance et dénivelée, nous permettent de calculer la pente moyenne du segment. C'est cette pente que l'on supposera constante pour localiser le point P.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ D_{AB} = \sqrt{(E_B - E_A)^2 + (N_B - N_A)^2} \]
\[ \Delta Z_{AB} = Z_B - Z_A \]
Donnée(s) :
  • A(345.10, 780.25, 148.62)
  • B(410.50, 815.95, 152.84)
Calcul(s) :
\[ \Delta E_{AB} = 410.50 - 345.10 = 65.40 \, \text{m} \]
\[ \Delta N_{AB} = 815.95 - 780.25 = 35.70 \, \text{m} \]
\[ \begin{aligned} D_{AB} &= \sqrt{(65.40)^2 + (35.70)^2} \\ &= \sqrt{4277.16 + 1274.49} \\ &= \sqrt{5551.65} \\ &\approx 74.51 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \Delta Z_{AB} = 152.84 - 148.62 = 4.22 \, \text{m} \]
Points de vigilance :

Cohérence des unités : Tous les calculs doivent être effectués dans la même unité, le mètre. Cela semble évident, mais des erreurs peuvent survenir si des données sont fournies en kilomètres ou centimètres.

Le saviez-vous ?

La pente du terrain entre A et B est de \( \frac{\Delta Z_{AB}}{D_{AB}} = \frac{4.22}{74.51} \approx 0.0566 \), soit 5.66%. Cette information est cruciale pour les projets de construction, d'agriculture ou de gestion des eaux pluviales.

FAQ en rapport avec la question :
Doit-on vérifier que l'altitude 150m est bien entre Z_A et Z_B ?

Oui, c'est la première chose à faire. Si l'altitude cible (150m) n'est pas comprise entre l'altitude de départ (148.62m) et celle d'arrivée (152.84m), le point P n'existe pas sur le segment AB. Il serait situé en dehors, en extrapolation, ce qui est une situation différente.

Résultat : \(D_{AB} \approx 74.51\) m et \(\Delta Z_{AB} = 4.22\) m.

Question 2 : Calcul de la Distance Horizontale AP

Principe :
A B P D_AB ΔZ_AB D_AP ΔZ_AP

En utilisant la proportionnalité (Thalès), le rapport entre la dénivelée partielle (de A à P) et la dénivelée totale (de A à B) est le même que le rapport entre la distance horizontale partielle (\(D_{AP}\)) et la distance horizontale totale (\(D_{AB}\)). Comme on connaît les altitudes, on peut en déduire la distance.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est ici que l'on "inverse" la formule de l'interpolation. Au lieu de calculer une altitude à partir d'une distance, on calcule une distance à partir d'une différence d'altitude. La formule est simplement réarrangée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \frac{D_{AP}}{D_{AB}} = \frac{Z_P - Z_A}{Z_B - Z_A} \]
\[ \Rightarrow D_{AP} = D_{AB} \times \frac{Z_P - Z_A}{Z_B - Z_A} \]
Donnée(s) :
  • \(Z_A = 148.62\) m
  • \(Z_B = 152.84\) m
  • \(Z_P = 150.00\) m (altitude de la courbe de niveau)
  • \(D_{AB} \approx 74.51\) m
Calcul(s) :
\[ \Delta Z_{AP} = Z_P - Z_A = 150.00 - 148.62 = 1.38 \, \text{m} \]
\[ \Delta Z_{AB} = Z_B - Z_A = 152.84 - 148.62 = 4.22 \, \text{m} \]
\[ \begin{aligned} D_{AP} &= D_{AB} \times \frac{\Delta Z_{AP}}{\Delta Z_{AB}} \\ &= 74.51 \times \frac{1.38}{4.22} \\ &= 74.51 \times 0.3270 \\ &\approx 24.37 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Le bon Delta Z : La dénivelée partielle doit être calculée depuis le même point de départ que la distance. Ici, on cherche la distance depuis A, donc on utilise la dénivelée depuis A (\(Z_P - Z_A\)). Si on avait utilisé \(Z_B - Z_P\), on aurait calculé la distance depuis B.

Le saviez-vous ?

Les dessinateurs-projeteurs utilisent des outils graphiques (sur papier ou sur ordinateur) qui automatisent ce calcul. Ils peuvent simplement tracer une ligne entre A et B, et le logiciel indique l'intersection avec la ligne de niveau 150. Mais le calcul mathématique sous-jacent est exactement celui-ci.

FAQ en rapport avec la question :
Comment faire si je veux l'altitude 151m, 152m, etc. ?

Il suffit de refaire le calcul de la dernière étape en changeant la valeur de \(Z_P\). La distance \(D_{AP}\) augmentera de manière proportionnelle pour chaque mètre d'altitude supplémentaire que l'on souhaite atteindre.

Résultat : Le point P est situé à environ 24.37 m de A en distance horizontale.

Question 3 : Calcul des Coordonnées de P

Principe :

Maintenant que l'on connaît la distance \(D_{AP}\), on peut calculer les coordonnées du point P par rayonnement depuis le point A. Il nous faut pour cela le gisement de la direction AB.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est l'étape finale qui permet de matérialiser le point P sur un plan. Sans ses coordonnées, P n'est qu'une information de distance sur un segment. Avec ses coordonnées, il devient un point unique sur la carte, qui pourra être relié à d'autres points de même altitude pour former la courbe de niveau.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ G_{AB} = \arctan\left(\frac{E_B - E_A}{N_B - N_A}\right) \]
\[ E_P = E_A + D_{AP} \times \sin(G_{AB}) \]
\[ N_P = N_A + D_{AP} \times \cos(G_{AB}) \]
Donnée(s) :
  • A(345.10, 780.25)
  • \(\Delta E_{AB} = 65.40\) m, \(\Delta N_{AB} = 35.70\) m
  • \(D_{AP} \approx 24.37\) m
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} G_{AB} &= \arctan\left(\frac{65.40}{35.70}\right) \\ &\approx \arctan(1.8319) \\ &\approx 69.17 \, \text{gon} \quad (\text{Quadrant 1, pas de correction}) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} E_P &= 345.10 + 24.37 \times \sin(69.17) \\ &= 345.10 + 24.37 \times 0.8816 \\ &= 345.10 + 21.48 \\ &= 366.58 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} N_P &= 780.25 + 24.37 \times \cos(69.17) \\ &= 780.25 + 24.37 \times 0.4720 \\ &= 780.25 + 11.50 \\ &= 791.75 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Précision du gisement : Le calcul des coordonnées finales est très sensible à la précision du gisement. Il est recommandé de conserver toutes les décimales possibles pour le gisement dans la mémoire de la calculatrice avant de l'utiliser dans les formules de sinus et cosinus.

Le saviez-vous ?

Sur le terrain, un géomètre peut implanter ce point P sans même calculer ses coordonnées. Il peut se placer en station au point A, viser le point B (ce qui définit la direction), puis demander à son aide de se déplacer le long de cette direction avec un mètre ruban jusqu'à la distance calculée de 24.37 m.

FAQ en rapport avec la question :
Comment vérifier mon résultat ?

La meilleure vérification est de calculer la distance \(D_{PB}\) (\(D_{AB} - D_{AP}\)) et de refaire l'interpolation depuis le point B : \(Z_P = Z_B + (Z_A - Z_B) \times \frac{D_{PB}}{D_{AB}}\). Vous devez retrouver exactement 150.00 m (aux erreurs d'arrondi près).

Résultat : Le point P de la courbe de niveau 150m a pour coordonnées E \(\approx\) 366.58 m et N \(\approx\) 791.75 m.

Dessin Final de la Courbe de Niveau

Principe :

Le résultat final de nos calculs est la position exacte du point P sur le segment AB. En reliant ce point P à d'autres points de même altitude (calculés sur des segments voisins), on matérialise la courbe de niveau sur le plan.

Schéma Planimétrique
A (Z=148.62) B (Z=152.84) P Courbe 150.00

Simulation Interactive de la Recherche de Courbe

Utilisez le curseur pour faire varier l'altitude de la courbe de niveau recherchée et observez comment la position du point P se déplace sur le profil en long.

Paramètres de la Courbe
Distance AP
Coordonnées de P
Profil en Long

Pour Aller Plus Loin : Le Tracé Complet

Du point à la ligne : Pour dessiner une courbe de niveau complète sur une carte, le géomètre ne se contente pas d'un seul segment. Il dispose d'un semis de points formant un réseau de triangles (TIN). Le calcul est alors répété pour chaque côté de chaque triangle qui est traversé par l'altitude de la courbe. En reliant ensuite tous les points P trouvés sur les côtés des triangles, on dessine, segment par segment, la courbe de niveau complète.

Le Saviez-Vous ?

L'espacement des courbes de niveau donne une indication directe de la pente. Des courbes très rapprochées indiquent une pente forte (falaise, talus raide). Des courbes très espacées indiquent un terrain plat ou à faible pente. C'est la lecture de cet espacement qui permet de "voir" le relief sur une carte 2D.

Foire Aux Questions (FAQ)

Les courbes de niveau peuvent-elles se croiser ?

Non, jamais. Une courbe de niveau représente une altitude unique. Si deux courbes se croisaient, cela signifierait qu'un même point possède deux altitudes différentes, ce qui est physiquement impossible. Le seul cas où elles peuvent paraître se toucher est dans la représentation d'une falaise verticale ou d'un surplomb.

Qu'est-ce que l'équidistance ?

L'équidistance est la différence d'altitude constante entre deux courbes de niveau successives sur une carte. Par exemple, sur une carte au 1:25 000, l'équidistance est souvent de 10 mètres. Cela signifie que vous verrez les courbes 100m, 110m, 120m, etc. Elle est choisie en fonction de l'échelle de la carte et du relief de la région.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. On cherche la courbe 150m. Le point A est à 149m et le point B à 153m. Le point P sera :

2. Si la dénivelée totale est de 10m et que la distance AP est la moitié de la distance AB, quelle est la dénivelée entre A et P ?

Glossaire

Courbe de niveau
Ligne imaginaire sur une carte qui relie tous les points de même altitude. C'est l'intersection du terrain avec un plan horizontal.
Équidistance
Différence d'altitude constante entre deux courbes de niveau successives sur une carte.
Interpolation Linéaire
Méthode de calcul qui estime une valeur inconnue en supposant une progression constante et linéaire entre deux valeurs connues.
Profil en long
Représentation graphique de la coupe du terrain le long d'un axe défini, montrant les altitudes en fonction de la distance horizontale.
Topographie : Dessiner la Courbe de Niveau 150m entre Deux Points Cotés

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