Dénivelée entre deux stations mutuellement visibles
Contexte : Le nivellement trigonométriqueMéthode de topographie permettant de déterminer la différence d'altitude entre deux points à l'aide de mesures d'angles verticaux et de distances..
Cette méthode est fondamentale en topographie pour déterminer l'altitude de points inaccessibles ou éloignés. Contrairement au nivellement direct qui utilise un niveau et une mire, le nivellement trigonométrique s'appuie sur un théodolite ou un tachéomètre pour mesurer des angles et des distances. Cet exercice vous guidera à travers le calcul complet pour trouver l'altitude d'un point B à partir d'une station de mesure S dont l'altitude est connue.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à maîtriser la chaîne de calculs trigonométriques, depuis la lecture des données brutes sur l'instrument jusqu'à l'obtention de l'altitude finale d'un point, une compétence essentielle pour tout technicien géomètre.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le principe du nivellement trigonométrique indirect.
- Savoir utiliser un angle zénithalAngle mesuré dans un plan vertical depuis la direction du zénith (la verticale ascendante) jusqu'à la ligne de visée. et une distance inclinée.
- Calculer la distance horizontale et la dénivelée instrumentale.
- Déterminer l'altitude d'un point visé en tenant compte des hauteurs d'appareil et de prisme.
Données de l'étude
Schéma de la situation
| Paramètre mesuré ou connu | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Altitude de la station S | \(Alt_{\text{S}}\) | 250.000 | mètres |
| Hauteur de l'instrument (tourillons) | \(hi\) | 1.650 | mètres |
| Hauteur du prisme (cible) | \(ht\) | 1.800 | mètres |
| Angle zénithal mesuré vers B | \(V\) | 95.2540 | grades (gon) |
| Distance inclinée mesurée | \(Di\) | 85.420 | mètres |
Questions à traiter
- Calculer la distance horizontale (\(Dh\)) entre S et B.
- Calculer la dénivelée instrumentale (\(\Delta h\)) entre l'axe des tourillons de l'instrument et le centre du prisme.
- En déduire la dénivelée totale (\(\Delta H\)) entre le point S et le point B.
- Calculer l'altitude finale du point B (\(Alt_{\text{B}}\)).
Les bases du Nivellement Trigonométrique
Le principe est d'utiliser les relations trigonométriques dans un triangle rectangle formé par la station, le point visé, la distance et les angles.
1. Relations Trigonométriques de Base
À partir de la distance inclinée (\(Di\)) et de l'angle zénithal (\(V\)), on peut déduire la distance horizontale (\(Dh\)) et la dénivelée instrumentale (\(\Delta h\)).
\[ Dh = Di \cdot \sin(V) \]
\[ \Delta h = Di \cdot \cos(V) \]
2. Formule de calcul de l'altitude
L'altitude du point B est calculée en partant de l'altitude du point S, en ajoutant la hauteur de l'instrument, en appliquant la dénivelée calculée, puis en soustrayant la hauteur de la cible.
\[ Alt_{\text{B}} = Alt_{\text{S}} + hi + \Delta h - ht \]
Ce qui devient, en remplaçant \(\Delta h\) :
\[ Alt_{\text{B}} = Alt_{\text{S}} + hi + (Di \cdot \cos(V)) - ht \]
Correction : Dénivelée entre deux stations mutuellement visibles
Question 1 : Calculer la distance horizontale (\(Dh\))
Principe
La distance horizontale est la projection sur un plan horizontal de la distance mesurée suivant la ligne de visée. C'est la distance "à plat" qui sera reportée sur un plan. On l'obtient par la trigonométrie dans le triangle rectangle formé par la verticale, l'horizontale et la visée.
Mini-Cours
Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle est le rapport de la longueur du côté opposé sur la longueur de l'hypoténuse. Ici, l'hypoténuse est la Distance Inclinée (\(Di\)), et le côté opposé à l'angle zénithal \(V\) est la Distance Horizontale (\(Dh\)).
Remarque Pédagogique
Visualisez toujours le triangle rectangle. La verticale passant par la station forme un angle droit avec la ligne horizontale issue de l'instrument. La distance inclinée est l'hypoténuse. Cela rend le choix entre sinus et cosinus évident.
Normes
Pour cet exercice académique, aucune norme spécifique n'est appliquée. En pratique, les tolérances de mesure et de calcul seraient régies par des normes nationales ou des cahiers des charges spécifiques au chantier.
Formule(s)
Hypothèses
Nous formulons les hypothèses suivantes : l'instrument est parfaitement réglé, la lecture des angles et des distances est exempte d'erreur, et les effets de la courbure terrestre et de la réfraction atmosphérique sont négligés vu la courte portée.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance Inclinée | \(Di\) | 85.420 | mètres |
| Angle zénithal | \(V\) | 95.2540 | grades |
Astuces
Comme l'angle zénithal est proche de 100 gon (l'horizontale), la valeur de \(\sin(V)\) sera très proche de 1. Par conséquent, la distance horizontale \(Dh\) doit être très légèrement inférieure à la distance inclinée \(Di\).
Schéma (Avant les calculs)
Triangle rectangle de calcul
Calcul(s)
Conversion de l'angle V en radians
Calcul de la distance horizontale
Schéma (Après les calculs)
Triangle rectangle avec valeurs
Réflexions
Le résultat de 85.348 m est très proche de 85.420 m, ce qui confirme notre astuce. La différence de seulement 7.2 cm entre la distance inclinée et horizontale est cohérente avec un angle de visée proche de l'horizontale.
Points de vigilance
L'erreur N°1 est l'unité de l'angle. Calculer \(\sin(95.2540)\) en mode degré ou radian sans conversion donnera un résultat totalement faux. Assurez-vous toujours que votre calculatrice est bien en mode "Grades" (gon) ou, plus sûrement, convertissez en radians.
Points à retenir
- La distance horizontale est la projection de la distance inclinée.
- La formule est \( Dh = Di \cdot \sin(V) \).
- La conversion d'unité de l'angle est primordiale avant tout calcul.
Le saviez-vous ?
Le grade (ou gon) a été introduit en France après la Révolution, en même temps que le système métrique, pour diviser l'angle droit en 100 unités au lieu de 90 (degrés), afin de simplifier les calculs décimaux. Il est principalement utilisé en topographie.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la distance inclinée était de 100.000 m avec le même angle, quelle serait la distance horizontale ?
Question 2 : Calculer la dénivelée instrumentale (\(\Delta h\))
Principe
La dénivelée instrumentale (\(\Delta h\)) est la différence d'altitude purement géométrique entre le point de départ de la visée (l'axe des tourillons) et le point d'arrivée (le centre du prisme). C'est la projection verticale de la distance inclinée.
Mini-Cours
Dans le même triangle rectangle que pour la question 1, la dénivelée instrumentale \(\Delta h\) est le côté adjacent à l'angle zénithal \(V\). La relation trigonométrique "côté adjacent / hypoténuse" est le cosinus.
Remarque Pédagogique
Notez que si l'angle zénithal est supérieur à 100 gon (visée plongeante), le cosinus sera négatif, indiquant que le prisme est plus bas que l'instrument. S'il est inférieur à 100 gon (visée montante), le cosinus sera positif, indiquant que le prisme est plus haut. Notre angle de 95.2540 gon devrait donc donner une dénivelée positive.
Normes
Aucune norme spécifique n'est directement applicable au calcul lui-même, mais les méthodes de mesure sur le terrain doivent suivre des protocoles pour garantir la qualité des données brutes.
Formule(s)
Hypothèses
Les hypothèses sont identiques à celles de la question 1 (instrument parfait, pas d'erreur de lecture, pas d'effets de courbure/réfraction).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance Inclinée | \(Di\) | 85.420 | mètres |
| Angle zénithal | \(V\) | 95.2540 | grades |
Astuces
Puisque l'angle est proche de 100 gon (l'horizontale), la valeur de \(\cos(V)\) sera proche de zéro. La dénivelée instrumentale sera donc une valeur faible par rapport à la distance totale.
Schéma (Avant les calculs)
Triangle rectangle de calcul
Calcul(s)
Calcul de la dénivelée instrumentale
Schéma (Après les calculs)
Triangle rectangle avec valeurs
Réflexions
Le résultat est une dénivelée positive de 6.380 m, ce qui est cohérent avec un angle zénithal inférieur à 100 gon (visée "montante"). La valeur est faible par rapport à la distance de 85m, ce qui est attendu pour un angle proche de l'horizontale.
Points de vigilance
En plus de l'unité de l'angle, faites attention au signe du résultat. Un cosinus d'angle zénithal donne directement le bon signe à la dénivelée (positif si on monte, négatif si on descend), ce qui est un avantage majeur de cette convention.
Points à retenir
- La dénivelée instrumentale est la projection verticale de la visée.
- La formule est \( \Delta h = Di \cdot \cos(V) \).
- Le signe du cosinus de l'angle zénithal indique si la visée est montante ou descendante.
Le saviez-vous ?
Sur de longues distances (plusieurs kilomètres), les topographes doivent corriger leurs calculs de dénivelée pour tenir compte de la courbure de la Terre et de la réfraction des rayons lumineux dans l'atmosphère, qui "courbe" la ligne de visée vers le bas.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la dénivelée instrumentale si l'angle V était de 108 gon (visée plongeante) ?
Question 3 : Calculer la dénivelée totale (\(\Delta H\))
Principe
La dénivelée totale entre les points au sol (S et B) n'est pas la dénivelée instrumentale. Il faut "connecter" le calcul trigonométrique au sol en prenant en compte la hauteur de l'instrument au départ (\(hi\)) et la hauteur de la cible à l'arrivée (\(ht\)).
Mini-Cours
Le calcul est une simple somme algébrique. On part du sol en S, on monte de la hauteur de l'instrument (\(+hi\)), on applique la dénivelée instrumentale (\(+\Delta h\)), et on descend de la hauteur de la cible pour atteindre le sol en B (\(-ht\)).
Remarque Pédagogique
C'est l'étape où les erreurs de mesure sur le terrain (mauvaise lecture de la hauteur de la canne, par exemple) ont un impact direct, centimètre pour centimètre, sur le résultat final.
Normes
Pas de norme spécifique pour ce calcul additif.
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que les hauteurs \(hi\) et \(ht\) ont été mesurées avec précision, verticalement au-dessus des points S et B.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Hauteur instrument | \(hi\) | 1.650 | mètres |
| Dénivelée instrumentale | \(\Delta h\) | +6.380 | mètres |
| Hauteur prisme | \(ht\) | 1.800 | mètres |
Astuces
Faites le calcul en deux temps pour éviter les erreurs de signe : d'abord la dénivelée "hors-sol" (\(hi + \Delta h\)), puis soustrayez la hauteur du prisme.
Schéma (Avant les calculs)
Cheminement vertical des hauteurs
Calcul(s)
Calcul de la dénivelée totale
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la dénivelée totale
Réflexions
Le point B est 6.230 mètres plus haut que le point S. La dénivelée totale est différente de la dénivelée instrumentale à cause des hauteurs de l'instrument et du prisme, ce qui est normal.
Points de vigilance
Attention au signe ! On ajoute toujours \(hi\), on ajoute (algébriquement) \(\Delta h\), et on soustrait toujours \(ht\). Une inversion de signe est une erreur fréquente.
Points à retenir
La dénivelée entre les points au sol est la somme de trois composantes : la hauteur de départ, la dénivelée de visée, et l'inverse de la hauteur d'arrivée. \( \Delta H = hi + \Delta h - ht \).
Le saviez-vous ?
Les prismes modernes (cibles) ont un "décalage de constante" qui doit être renseigné dans le tachéomètre. C'est une correction qui tient compte du fait que le centre optique du prisme n'est pas exactement sur l'axe de la canne qui le porte.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Cette section n'est pas applicable car la question est une simple addition.
Question 4 : Calculer l'altitude finale du point B (\(Alt_{\text{B}}\))
Principe
L'altitude est une coordonnée verticale par rapport à une référence zéro (souvent le niveau de la mer). Pour trouver l'altitude d'un nouveau point, on part de l'altitude d'un point connu et on y ajoute la différence de niveau (la dénivelée) qui les sépare.
Mini-Cours
C'est le principe de base du cheminement altimétrique. L'altitude d'arrivée est toujours égale à l'altitude de départ plus la dénivelée. \( Alt_{\text{arrivée}} = Alt_{\text{départ}} + \Delta H_{\text{départ} \to \text{arrivée}} \).
Remarque Pédagogique
Cette dernière étape est la conclusion de tout notre travail. Elle synthétise tous les calculs précédents pour donner la réponse finale recherchée. Assurez-vous d'utiliser la dénivelée totale (\(\Delta H\)) et non la dénivelée instrumentale (\(\Delta h\)).
Normes
Les systèmes de référence altimétrique (comme le NGF-IGN69 en France) sont définis par des normes et des organismes nationaux pour garantir l'homogénéité des altitudes sur tout un territoire.
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que l'altitude du point de départ S (250.000 m) est exacte et exprimée dans le même système de référence que celui dans lequel on souhaite obtenir l'altitude du point B.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Altitude de départ | \(Alt_{\text{S}}\) | 250.000 | mètres |
| Dénivelée totale | \(\Delta H\) | +6.230 | mètres |
Astuces
Faites une vérification de bon sens : on a trouvé une dénivelée positive, donc l'altitude de B doit être supérieure à celle de S. Si ce n'est pas le cas, vous avez probablement fait une erreur de signe.
Schéma (Avant les calculs)
Composition de l'altitude
Calcul(s)
Calcul de l'altitude finale
Schéma (Après les calculs)
Altitude finale
Réflexions
L'altitude finale du point B est de 256.230 m. Toutes les étapes du calcul, de la mesure de terrain à la conversion d'angle et à la prise en compte des hauteurs, ont contribué à ce résultat final.
Points de vigilance
Ne jamais confondre \(\Delta h\) et \(\Delta H\). Utiliser la dénivelée instrumentale directement pour calculer l'altitude finale est une erreur classique qui ignore les hauteurs de station et de prisme.
Points à retenir
La formule finale synthétise tout : \( Alt_{\text{B}} = Alt_{\text{S}} + hi + (Di \cdot \cos(V)) - ht \). C'est la formule à maîtriser pour le nivellement trigonométrique indirect.
Le saviez-vous ?
Les altitudes utilisées en France sont rattachées au marégraphe de Marseille, qui définit le niveau zéro de référence pour la France continentale (système NGF-IGN69).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Recalculez l'altitude finale de B si la hauteur du prisme (\(ht\)) avait été de 2.000 m au lieu de 1.800 m.
Outil Interactif : Simulateur de Dénivelée
Utilisez les curseurs pour faire varier la distance inclinée et l'angle zénithal, et observez en temps réel l'impact sur la distance horizontale et la dénivelée instrumentale.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Un angle zénithal de 100 grades (gon) correspond à une visée...
2. Si la hauteur de l'instrument (hi) augmente, mais que toutes les autres mesures restent identiques, l'altitude calculée du point B va...
3. Pour calculer la distance horizontale (Dh) à partir de la distance inclinée (Di) et de l'angle zénithal (V), on utilise la fonction...
4. Une erreur de 1 cm dans la mesure de la hauteur du prisme (ht) entraîne une erreur de...
5. Le nivellement trigonométrique est souvent préféré au nivellement direct quand...
- Angle Zénithal (V)
- Angle mesuré dans un plan vertical depuis la direction de la verticale du lieu (le Zénith), point imaginaire situé au-dessus de l'observateur. Un angle de 0 gon vise le zénith, 100 gon vise l'horizontale, 200 gon vise le nadir.
- Distance Inclinée (Di)
- Distance directe mesurée par le tachéomètre entre son axe optique et le centre du prisme. C'est l'hypoténuse du triangle de calcul.
- Nivellement Trigonométrique
- Ensemble des opérations permettant de déterminer la dénivelée entre deux points à l'aide de mesures d'angles verticaux et de distances (inclinées ou horizontales).
- Tachéomètre
- Instrument de topographie (station totale) permettant de mesurer les angles horizontaux, les angles verticaux (zénithaux) et les distances.
D’autres exercices de calculs altimétriques:
0 commentaires