Compensation d'un Cheminement Planimétrique
Contexte : Le calcul topographique.
En topographie, la précision est primordiale. Lors du lever de points sur le terrain pour établir un plan, les mesures d'angles et de distances comportent inévitablement de petites erreurs. Lorsqu'on effectue un parcours appelé cheminementUn itinéraire polygonal dont les sommets sont matérialisés sur le terrain et où l'on mesure les angles et les longueurs pour déterminer les coordonnées des points., ces erreurs s'accumulent. Si l'on part d'un point connu pour arriver à un autre point connu, on constate presque toujours un écart entre les coordonnées calculées et les coordonnées réelles du point d'arrivée. Cet écart est appelé l'erreur de fermetureL'écart en X et Y entre les coordonnées théoriques du point d'arrivée d'un cheminement et ses coordonnées calculées à partir des mesures de terrain.. Cet exercice a pour but de vous apprendre à calculer cette erreur et à la répartir, ou "compenser", sur l'ensemble des points du parcours.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer une méthode de compensation simple et courante, proportionnelle aux longueurs des côtés du cheminement. Cela vous permettra de garantir la cohérence géométrique de votre lever topographique.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer les coordonnées brutes d'un cheminement à partir de gisements et de distances.
- Déterminer l'erreur de fermeture linéaire en X et en Y.
- Appliquer la méthode de compensation proportionnelle aux longueurs.
- Calculer les coordonnées finales compensées des points du cheminement.
Données de l'étude
Coordonnées des points connus
| Point | X (m) | Y (m) |
|---|---|---|
| A | 1000.00 | 5000.00 |
| D (théorique) | 1165.45 | 5039.60 |
Schéma du Cheminement A-B-C-D
Mesures de terrain
| Côté | Gisement (gon) | Distance Horizontale (m) |
|---|---|---|
| AB | 75.40 | 86.60 |
| BC | 132.80 | 72.80 |
| CD | 81.50 | 60.00 |
Questions à traiter
- Calculer les coordonnées brutes (non compensées) des points B, C et D'.
- Déterminer les erreurs de fermeture sur chaque axe (\(f_x\) et \(f_y\)).
- Calculer les corrections (\(\delta_x\) et \(\delta_y\)) à appliquer pour chaque côté.
- Calculer les coordonnées compensées des points B et C.
- Vérifier que les coordonnées compensées du point D correspondent à ses coordonnées théoriques.
Les bases du Calcul Planimétrique
Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de deux formules fondamentales en topographie pour calculer les coordonnées d'un point à partir d'un autre.
1. Calcul des composantes (\( \Delta X, \Delta Y \))
À partir du gisement (\(G_{AB}\)) et de la distance horizontale (\(D_{AB}\)) entre deux points A et B, on peut calculer le déplacement en X et en Y.
\[ \Delta X_{AB} = D_{AB} \cdot \sin(G_{AB}) \]
\[ \Delta Y_{AB} = D_{AB} \cdot \cos(G_{AB}) \]
2. Calcul des coordonnées
Les coordonnées du point B s'obtiennent en ajoutant les composantes aux coordonnées du point A.
\[ X_B = X_A + \Delta X_{AB} \]
\[ Y_B = Y_A + \Delta Y_{AB} \]
Correction : Compensation d'un Cheminement Planimétrique
Question 1 : Calculer les coordonnées brutes des points B, C et D'
Principe (le concept physique)
L'objectif est de calculer les coordonnées de chaque nouveau point, l'un après l'autre, en se basant sur le point précédent et les mesures de terrain (gisement et distance). On propage ainsi le calcul de proche en proche depuis le point de départ A, comme si l'on suivait un itinéraire sur une carte.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le calcul de coordonnées en topographie repose sur la trigonométrie dans un système d'axes rectangulaires (X, Y). Le gisement, angle avec l'axe Y (Nord), et la distance nous permettent de décomposer le vecteur déplacement en ses composantes \(\Delta X\) et \(\Delta Y\). C'est une application directe de la décomposition d'un vecteur dans un repère cartésien.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pour éviter les erreurs, il est fortement conseillé de poser les calculs dans un tableau, avec des colonnes pour les \(\Delta X\), \(\Delta Y\), et les coordonnées X, Y de chaque point. Cela permet de suivre la progression et de vérifier plus facilement les résultats intermédiaires.
Normes (la référence réglementaire)
Ce calcul est une méthode fondamentale et universelle en topographie. Il n'est pas régi par une "norme" au sens strict, mais sa mise en application (précision des calculs, nombre de décimales) est souvent définie par les cahiers des charges des projets ou les recommandations des ordres professionnels de géomètres.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule pour la coordonnée X :
Formule pour la coordonnée Y :
Hypothèses (le cadre du calcul)
- Les coordonnées du point de départ A sont considérées comme exactes.
- Pour ce premier calcul, les mesures de terrain (gisements et distances) sont utilisées telles quelles, sans correction.
- Le système de coordonnées est un système plan rectangulaire local.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma illustre le point de départ A et la première visée vers B, définie par son gisement \(G_{AB}\) et sa distance \(D_{AB}\).
Visée du premier côté AB
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Point de départ | Coordonnées (X, Y) | Visée | Gisement (gon) | Distance (m) |
|---|---|---|---|---|
| A | (1000.00, 5000.00) | AB | 75.40 | 86.60 |
| B (à calculer) | (?, ?) | BC | 132.80 | 72.80 |
| C (à calculer) | (?, ?) | CD | 81.50 | 60.00 |
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la coordonnée X du point B
Calcul de la coordonnée Y du point B
Calcul de la coordonnée X du point C
Calcul de la coordonnée Y du point C
Calcul de la coordonnée X du point D'
Calcul de la coordonnée Y du point D'
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma montre le cheminement brut calculé à partir du point de départ A. On observe la position des points intermédiaires B et C, ainsi que la position finale calculée D', avant toute correction.
Cheminement Brut Calculé
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Ces coordonnées sont qualifiées de "brutes" car elles ne tiennent pas encore compte des erreurs de mesure qui se sont inévitablement accumulées. Elles représentent une première estimation de la position des points.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention aux signes des sinus et cosinus selon le quadrant du gisement (ex: entre 100 et 200 gon, le cosinus est négatif). Une erreur de signe sur un \(\Delta Y\) peut fausser tout le reste du calcul.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le calcul des coordonnées d'un point se fait toujours à partir d'un point précédent connu.
- La formule de base est \(X_{\text{nouveau}} = X_{\text{ancien}} + D \cdot \sin(G)\) et \(Y_{\text{nouveau}} = Y_{\text{ancien}} + D \cdot \cos(G)\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le "gon" ou "grade" est une unité d'angle conçue pour le système métrique (un angle droit mesure 100 gon), ce qui simplifie certains calculs mentaux. Il est principalement utilisé en topographie en Europe continentale.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la distance AB était de 100.00 m (au lieu de 86.60 m), quelles seraient les nouvelles coordonnées brutes du point B ?
Question 2 : Déterminer les erreurs de fermeture (\(f_x\) et \(f_y\))
Principe (le concept physique)
L'erreur de fermeture matérialise l'écart, le "gap", entre la position où notre cheminement calculé se termine (D') et là où il aurait dû se terminer (le point D connu). C'est la somme vectorielle de toutes les petites erreurs de mesure commises sur le terrain.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
En théorie, si les mesures étaient parfaites, les points D' et D seraient confondus. En pratique, il y a toujours un écart. La norme de ce vecteur erreur, \(\sqrt{f_x^2 + f_y^2}\), est la fermeture linéaire totale. Elle est comparée à une tolérance réglementaire pour valider la qualité du lever avant même la compensation.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Prenez l'habitude de bien noter le signe de l'erreur. Un \(f_x\) positif signifie que votre point calculé est trop à l'Est par rapport au point réel. La correction devra donc être négative pour "ramener" le point vers l'Ouest.
Normes (la référence réglementaire)
Les tolérances de fermeture sont fixées par des arrêtés, comme l'arrêté de 2003 en France pour les travaux cadastraux. Par exemple, la tolérance peut être de la forme \(T = a \cdot \sqrt{L} + b\), où L est la longueur du cheminement et a, b des constantes. Si la fermeture dépasse la tolérance, le lever doit être refait.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de l'erreur en X :
Formule de l'erreur en Y :
Hypothèses (le cadre du calcul)
- Les coordonnées du point théorique D sont considérées comme exactes et font foi.
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma montre les deux positions du point final : la position théorique (D) et la position calculée (D'). Le but du calcul est de quantifier l'écart entre ces deux points.
Positions du point final
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Point | Coordonnées (X, Y) |
|---|---|
| D' (calculé) | (1194.84, 4993.84) |
| D (théorique) | (1165.45, 5039.60) |
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de l'erreur de fermeture en X
Calcul de l'erreur de fermeture en Y
Schéma (Après les calculs)
Vecteur Erreur de Fermeture
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est d'inverser l'ordre de la soustraction (théorique - calculé). Cela inverse le signe de l'erreur et donc le signe de la correction, menant à un résultat final doublement faux !
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'erreur de fermeture est la différence entre la réalité (point théorique) et le résultat du calcul brut.
- Elle se décompose en une composante sur chaque axe : \(f_x\) et \(f_y\).
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le point D' avait été calculé en (1165.00, 5040.00), quelles auraient été les erreurs \(f_x\) et \(f_y\) ?
Question 3 : Calculer les corrections (\(\delta_x\) et \(\delta_y\))
Principe (le concept physique)
La méthode proportionnelle aux longueurs part du principe que l'erreur s'est accumulée progressivement le long du parcours. On va donc "rembobiner" le chemin en répartissant l'erreur totale sur chaque côté, proportionnellement à sa longueur. Un côté plus long, où l'on a "plus marché", est supposé avoir contribué davantage à l'erreur finale.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Cette méthode de compensation est dite "empirique". Elle est simple à appliquer mais ne tient pas compte des erreurs angulaires. Des méthodes plus rigoureuses, comme la compensation par les moindres carrés, permettent de répartir les écarts en tenant compte des incertitudes sur les angles et les distances pour un résultat statistiquement plus probable.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le point clé ici est de bien comprendre que la correction est l'opposée de l'erreur. Si l'erreur est de +10cm, il faut appliquer une correction de -10cm pour la neutraliser. D'où le signe "moins" dans la formule.
Normes (la référence réglementaire)
Cette méthode est une pratique courante et acceptée pour les cheminements de précision standard. Elle est souvent enseignée comme la méthode de base avant d'aborder des compensations plus complexes.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Correction en X pour un côté i :
Correction en Y pour un côté i :
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma illustre la logique de la compensation : le vecteur erreur total (en rouge) est décomposé et réparti en corrections (en vert) sur chaque côté du cheminement, proportionnellement à leurs longueurs.
Principe de la Répartition des Erreurs
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Erreur de fermeture \(f_x\) | +29.39 m |
| Erreur de fermeture \(f_y\) | -45.76 m |
| Longueur AB | 86.60 m |
| Longueur BC | 72.80 m |
| Longueur CD | 60.00 m |
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la longueur totale \(L_T\)
Calcul des corrections
| Côté | Calcul \(\delta_x\) | \(\delta_x\) (m) | Calcul \(\delta_y\) | \(\delta_y\) (m) |
|---|---|---|---|---|
| AB | \(-29.39 \cdot (86.60 / 219.40)\) | -11.60 | \(-(-45.76) \cdot (86.60 / 219.40)\) | +18.06 |
| BC | \(-29.39 \cdot (72.80 / 219.40)\) | -9.75 | \(-(-45.76) \cdot (72.80 / 219.40)\) | +15.18 |
| CD | \(-29.39 \cdot (60.00 / 219.40)\) | -8.04 | \(-(-45.76) \cdot (60.00 / 219.40)\) | +12.52 |
Schéma (Après les calculs)
Le calcul a déterminé les corrections totales à appliquer, qui sont l'opposé du vecteur erreur de fermeture. Ce schéma illustre le vecteur de correction total qui "déplace" le point calculé D' vers le point théorique D.
Vecteur Correction Totale
Astuces (Pour aller plus vite)
Pour vérifier vos calculs, la somme de vos corrections doit être égale à l'opposé de l'erreur de fermeture. \(\sum \delta_x = -f_x\) et \(\sum \delta_y = -f_y\). Ici : \(-11.60 - 9.75 - 8.04 = -29.39\), et \(18.06+15.18+12.52 = 45.76\). C'est correct !
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne vous trompez pas dans la longueur totale au dénominateur. Chaque calcul de correction pour chaque côté doit utiliser la même longueur totale \(L_T\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La correction est l'opposée de l'erreur.
- Elle est répartie proportionnellement à la longueur de chaque côté.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La méthode de compensation par les moindres carrés, développée par Gauss au début du 19ème siècle, est aujourd'hui la base de tous les logiciels de calcul topographique. Elle permet de trouver la solution la plus probable en minimisant la somme des carrés des erreurs.
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Avec une erreur \(f_x = -10.00 \text{ m}\) et une longueur totale de 219.40 m, quelle serait la correction \(\delta_x\) pour le côté AB (86.60 m) ?
Question 4 : Calculer les coordonnées compensées de B et C
Principe (le concept physique)
Pour obtenir les coordonnées finales, on "ajuste" la position de chaque point intermédiaire. La position du premier point (B) est ajustée avec la correction du premier côté (AB). La position du deuxième point (C) est ajustée avec les corrections des deux premiers côtés (AB et BC), et ainsi de suite. Les corrections sont donc cumulatives.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez-y comme si vous corrigiez votre itinéraire à chaque étape. Pour trouver la position corrigée de C, vous ne partez pas de la position brute de B, mais de la position déjà corrigée de B. C'est plus simple de l'écrire comme : \(X_{C_{\text{comp}}} = X_{B_{\text{comp}}} + \Delta X_{BC} + \delta_{x_{BC}}\).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Coordonnée X compensée :
Coordonnée Y compensée :
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma illustre l'application de la première correction. Le point brut B' est déplacé par le vecteur correction \(\delta_{AB}\) pour trouver sa position compensée B.
Correction du Point B
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Point Brut | Coordonnées (X, Y) | Corrections Cumulées (\(\sum \delta_x, \sum \delta_y\)) |
|---|---|---|
| B' | (1082.23, 5027.65) | (-11.60, +18.06) |
| C' | (1136.63, 4978.96) | (-21.35, +33.24) |
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la coordonnée X compensée du point B
Calcul de la coordonnée Y compensée du point B
Calcul de la coordonnée X compensée du point C
Calcul de la coordonnée Y compensée du point C
Schéma (Après les calculs)
Cheminements Brut et Compensé
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur classique est de n'appliquer que la correction du segment concerné au lieu de cumuler toutes les corrections depuis le point de départ. La position de C est affectée par l'erreur sur AB ET par l'erreur sur BC.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Les corrections sont cumulatives. La coordonnée compensée d'un point est sa coordonnée brute plus la SOMME des corrections de TOUS les côtés qui le précèdent.
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Avec B_brut(1082.23, 5027.65) et \(\delta_{x_{AB}}\)=-11.60, \(\delta_{y_{AB}}\)=+18.06, quelles sont les coordonnées de B compensé ?
Question 5 : Vérifier les coordonnées compensées de D
Principe (le concept physique)
C'est le moment de vérité. Après avoir appliqué la somme de toutes les corrections au dernier point calculé (D'), le résultat doit correspondre parfaitement aux coordonnées théoriques du point D. Cela confirme que l'ensemble de la compensation a été distribué correctement et qu'il n'y a pas d'erreur de calcul.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Si vous n'obtenez pas une correspondance exacte (à la précision des arrondis près), ne continuez pas. Cela signifie qu'une erreur s'est glissée dans les étapes précédentes. Remontez systématiquement vos calculs, en commençant par la somme des corrections.
Schéma (Avant les calculs)
Avant le calcul final, nous avons la position brute de D' et la somme de toutes les corrections. Le schéma montre que l'application de ce vecteur correction total à D' devrait nous amener exactement sur la position de D.
Vérification Finale
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Coordonnées de D' (brut) | (1194.84, 4993.84) |
| Somme des corrections \(\sum \delta_x\) | -29.39 |
| Somme des corrections \(\sum \delta_y\) | +45.76 |
| Coordonnées de D (théorique) | (1165.45, 5039.60) |
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la coordonnée X compensée du point D
Calcul de la coordonnée Y compensée du point D
Schéma (Après les calculs)
Le calcul est confirmé. Le point D', une fois corrigé, coïncide parfaitement avec le point D théorique. Le cheminement est maintenant fermé et cohérent.
Fermeture du Cheminement
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Les coordonnées calculées \(X_{D_{\text{comp}}} = 1165.45 \text{ m}\) et \(Y_{D_{\text{comp}}} = 5039.60 \text{ m}\) correspondent exactement aux coordonnées théoriques du point D. La compensation a donc été effectuée correctement et le cheminement est maintenant géométriquement juste et rattaché aux deux points connus.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention aux erreurs d'arrondi. Si vous utilisez un tableur, conservez le maximum de décimales pour les calculs intermédiaires et n'arrondissez qu'à la toute fin pour la présentation du résultat. Cela évite les petits écarts de vérification.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La vérification finale sur le dernier point n'est pas optionnelle, elle est obligatoire et fait partie intégrante de la méthode de compensation.
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Outil Interactif : Simulateur de Compensation
Utilisez les curseurs pour modifier l'erreur de fermeture initiale. Observez comment les corrections (\(\delta_x, \delta_y\)) pour chaque côté sont recalculées en temps réel.
Paramètres d'Entrée
Corrections Calculées (\(\delta_x, \delta_y\))
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Qu'est-ce que l'erreur de fermeture d'un cheminement ?
2. Dans la formule \(\Delta X = D \cdot \sin(G)\), que représente G ?
3. Selon la méthode proportionnelle aux longueurs, quel côté recevra la plus grande correction ?
4. Si l'erreur de fermeture \(f_x\) est positive, quel sera le signe de la somme des corrections \(\sum \delta_x\) ?
5. Pourquoi est-il indispensable de compenser un cheminement ?
- Cheminement
- Un itinéraire polygonal dont les sommets sont matérialisés sur le terrain et où l'on mesure les angles et les longueurs pour déterminer les coordonnées des points.
- Gisement
- L'angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction de référence (généralement le Nord), exprimé en grades ou gons (0 à 400 gon).
- Erreur de Fermeture
- L'écart en X et Y entre les coordonnées théoriques du point d'arrivée d'un cheminement et ses coordonnées calculées à partir des mesures de terrain.
- Compensation
- Le processus de répartition de l'erreur de fermeture sur l'ensemble des points du cheminement afin de rendre le lever géométriquement cohérent.
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