Compensation du Cheminement A-S1-S2-B

Contexte : Le cheminement planimétriqueOpération topographique consistant à déterminer les coordonnées (X, Y) d'une suite de points en mesurant les angles et les distances entre eux..

En topographie, après avoir mesuré sur le terrain une série de points (un cheminement), les données brutes contiennent inévitablement de petites erreurs. Pour obtenir des coordonnées précises et fiables, il est indispensable de "compenser" ce cheminement, c'est-à-dire de répartir les erreurs de mesure de la manière la plus logique possible. Cet exercice porte sur un cheminement rattaché à deux points connus (A et B) et a pour but de déterminer les coordonnées compensées des stations intermédiaires S1 et S2.

Remarque Pédagogique : La compensation proportionnelle aux longueurs est une méthode simple et fondamentale. Elle part du principe qu'une plus grande distance mesurée est susceptible de contenir une plus grande erreur. La maîtriser est une étape essentielle avant d'aborder des méthodes de compensation plus rigoureuses comme celle des moindres carrés.

Objectifs Pédagogiques

Calculer les gisements de chaque côté du cheminement.
Déterminer les différences de coordonnées partielles brutes ($\Delta x$, $\Delta y$).
Calculer l'erreur de fermeture planimétrique ($f_x$, $f_y$).
Appliquer les corrections proportionnelles aux longueurs.
Calculer les coordonnées finales compensées des points S1 et S2.

Données de l'étude

Un topographe a mesuré un cheminement entre deux points connus A et B pour déterminer les coordonnées de deux nouveaux points S1 et S2. Les mesures (angles et distances) ainsi que les coordonnées des points de départ et d'arrivée sont consignées ci-dessous.

Coordonnées des Points Connus

Point	Coordonnée X (m)	Coordonnée Y (m)
A (Départ)	1000.000	5000.000
B (Arrivée)	1350.000	5005.000

Schéma du Cheminement A-S1-S2-B

Paramètre Mesuré	Description	Valeur	Unité
Gisement A-S1	Gisement de départ (connu)	95.450	grades (gr)
L_AS1	Distance horizontale A vers S1	140.360	mètres (m)
α1	Angle intérieur à droite en S1	215.180	grades (gr)
L_S1S2	Distance horizontale S1 vers S2	121.650	mètres (m)
α2	Angle intérieur à droite en S2	178.780	grades (gr)
L_S2B	Distance horizontale S2 vers B	91.245	mètres (m)

Questions à traiter

Calculer les gisements de tous les côtés du cheminement (S1-S2 et S2-B).
Calculer les différences de coordonnées partielles brutes ($\Delta x$, $\Delta y$) pour chaque côté.
Calculer les erreurs de fermeture planimétriques $f_x$ et $f_y$.
Calculer les corrections $C_{xi}$ et $C_{yi}$ à appliquer à chaque côté.
Déterminer les coordonnées X, Y compensées des points S1 et S2.

Les bases du Calcul de Cheminement

1. Transmission des Gisements
Le gisement d'un côté se déduit du gisement du côté précédent et de l'angle mesuré entre les deux. La formule générale est (avec les angles en grades) : \[ G_{\text{nouveau}} = G_{\text{précédent}} + \alpha_{\text{mesuré}} \pm 200 \text{ gr} \] On soustrait 200 gr pour un angle à droite et on ajoute 200 gr pour un angle à gauche. L'objectif est de ramener le résultat dans l'intervalle [0, 400 gr].

2. Calcul des Coordonnées et de la Fermeture
Les différences de coordonnées ($\Delta x$, $\Delta y$) sont calculées par trigonométrie. L'erreur de fermeture est la différence entre la somme des $\Delta$ calculés et la différence théorique des coordonnées entre le point de départ et d'arrivée. \[ \Delta x = L \times \sin(G) \quad | \quad \Delta y = L \times \cos(G) \] \[ f_x = \sum \Delta x_{\text{mesurés}} - (X_{\text{FIN}} - X_{\text{DÉBUT}}) \] \[ f_y = \sum \Delta y_{\text{mesurés}} - (Y_{\text{FIN}} - Y_{\text{DÉBUT}}) \]

Correction : Compensation du Cheminement A-S1-S2-B

Question 1 : Calcul des gisements

Principe

Le concept physique est la propagation d'une orientation de proche en proche. On part d'une direction connue (le gisement A-S1) et on la "fait tourner" à chaque station en utilisant l'angle mesuré pour trouver l'orientation de la direction suivante.

Mini-Cours

Le gisement est l'angle qui définit l'orientation d'un segment par rapport au Nord. Pour passer d'un gisement G(n-1, n) à G(n, n+1), on y ajoute l'angle mesuré au point n. Comme l'angle $\alpha_n$ est mesuré "à droite" (dans le sens horaire), on doit soustraire 200 grades (un demi-cercle) pour se réorienter par rapport au dos du segment précédent. On ajuste ensuite le résultat pour qu'il soit compris entre 0 et 400 gr.

Remarque Pédagogique

Imaginez que vous êtes à la station S1 et que vous regardez vers A. C'est votre "dos". Vous tournez vers la droite d'un angle $\alpha_1$ pour viser S2. La formule traduit mathématiquement ce mouvement pour trouver la nouvelle direction par rapport au Nord.

Normes

Il n'y a pas de norme spécifique pour ce calcul, mais c'est une convention universelle en topographie. L'important est de toujours savoir si les angles ont été mesurés à droite ou à gauche.

Formule(s)

Formule de transmission de gisement (angle à droite)

G_{\text{n} \rightarrow \text{n+1}} = G_{\text{n-1} \rightarrow \text{n}} + \alpha_{\text{n}} - 200 \text{ gr}

Hypothèses

On suppose que le gisement de départ est exact et que les angles sont mesurés dans le sens horaire (à droite).

Donnée(s)

Gisement de départ $G_{\text{A-S1}} = 95.450 \text{ gr}$
Angle en S1, $\alpha_1 = 215.180 \text{ gr}$
Angle en S2, $\alpha_2 = 178.780 \text{ gr}$

Astuces

Si le résultat du calcul est supérieur à 400, enlevez 400. S'il est négatif, ajoutez 400. Cela garantit que le gisement reste dans l'intervalle [0, 400].

Schéma (Avant les calculs)

Transmission du Gisement en S1

Calcul(s)

Calcul du Gisement S1-S2

\begin{aligned} G_{\text{S1-S2}} &= G_{\text{A-S1}} + \alpha_1 - 200 \\ &= 95.450 + 215.180 - 200 \\ &= 110.630 \text{ gr} \end{aligned}

Calcul du Gisement S2-B

\begin{aligned} G_{\text{S2-B}} &= G_{\text{S1-S2}} + \alpha_2 - 200 \\ &= 110.630 + 178.780 - 200 \\ &= 89.410 \text{ gr} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Gisements Calculés

Réflexions

Les gisements calculés sont $110.630 \text{ gr}$ et $89.410 \text{ gr}$. Ils indiquent la direction de chaque segment par rapport au Nord.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est de se tromper dans le signe de l'opération ($\pm 200$). Pour un angle à droite, on soustrait toujours 200 gr.

Points à retenir

La transmission de gisement est une chaîne de calcul. Une erreur sur un gisement se propagera à tous les suivants.

Le saviez-vous ?

L'unité "grade" (ou "gon") a été introduite en France après la Révolution pour décimaliser les angles, avec 100 grades pour un angle droit. Elle est très utilisée en topographie car elle simplifie les calculs mentaux.

FAQ

Résultat Final

Les gisements calculés sont : $G_{\text{S1-S2}} = 110.630 \text{ gr}$ et $G_{\text{S2-B}} = 89.410 \text{ gr}$.

A vous de jouer

Si l'angle $\alpha_1$ avait été de 210.000 gr, quel aurait été le gisement $G_{\text{S1-S2}}$ ?

Question 2 : Calcul des différences de coordonnées brutes

Principe

On transforme des mesures de terrain (polaires : distance et angle) en un système de coordonnées rectangulaires ($\Delta x$, $\Delta y$) qui peuvent être additionnées. C'est le passage du monde de la mesure au monde du plan.

Mini-Cours

Chaque côté du cheminement peut être vu comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés adjacents sont parallèles aux axes X et Y. La projection du côté sur l'axe des Y ($\Delta y$) s'obtient avec le cosinus du gisement, et la projection sur l'axe des X ($\Delta x$) avec le sinus. Attention, le "sinus en X" et "cosinus en Y" est une convention topographique où les angles sont comptés depuis le Nord (axe Y).

Remarque Pédagogique

Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "Grades" (ou "Grad") avant de faire ces calculs. C'est la source d'erreur la plus commune à ce stade.

Normes

La convention d'axes (Y vers le Nord, X vers l'Est) et le sens de comptage des angles (horaire) sont des standards en topographie terrestre.

Formule(s)

Formule pour Delta X

\Delta x = L \times \sin(G)

Formule pour Delta Y

\Delta y = L \times \cos(G)

Hypothèses

On suppose que les longueurs mesurées sont des distances horizontales parfaites.

Donnée(s)

Côté A-S1: $L=140.360\text{ m}$, $G=95.450\text{ gr}$
Côté S1-S2: $L=121.650\text{ m}$, $G=110.630\text{ gr}$
Côté S2-B: $L=91.245\text{ m}$, $G=89.410\text{ gr}$

Astuces

Vérifiez rapidement le signe de vos résultats. Un gisement entre 0 et 100 gr doit donner un $\Delta x$ et $\Delta y$ positifs. Entre 100 et 200, $\Delta x$ positif et $\Delta y$ négatif, etc. C'est un bon moyen de déceler une erreur de calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Projection Polaire vers Rectangulaire (Côté A-S1)

Calcul(s)

Calcul pour A-S1

\begin{aligned} \Delta x_{\text{A-S1}} &= 140.360 \times \sin(95.450) \\ &= +139.999 \text{ m} \end{aligned}

\begin{aligned} \Delta y_{\text{A-S1}} &= 140.360 \times \cos(95.450) \\ &= +10.015 \text{ m} \end{aligned}

Calcul pour S1-S2

\begin{aligned} \Delta x_{\text{S1-S2}} &= 121.650 \times \sin(110.630) \\ &= +119.914 \text{ m} \end{aligned}

\begin{aligned} \Delta y_{\text{S1-S2}} &= 121.650 \times \cos(110.630) \\ &= -20.088 \text{ m} \end{aligned}

Calcul pour S2-B

\begin{aligned} \Delta x_{\text{S2-B}} &= 91.245 \times \sin(89.410) \\ &= +90.046 \text{ m} \end{aligned}

\begin{aligned} \Delta y_{\text{S2-B}} &= 91.245 \times \cos(89.410) \\ &= +14.981 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Composantes Delta X et Delta Y du Cheminement Brut

Réflexions

On calcule la somme des déplacements sur chaque axe, ce qui nous donne le déplacement total "mesuré" du point A au point B.

Somme des Delta X

\begin{aligned} \sum \Delta x &= 139.999 + 119.914 + 90.046 \\ &= +349.959 \text{ m} \end{aligned}

Somme des Delta Y

\begin{aligned} \sum \Delta y &= 10.015 - 20.088 + 14.981 \\ &= +4.908 \text{ m} \end{aligned}

Points de vigilance

Ne pas arrondir les valeurs intermédiaires ! Conservez au moins 3 à 4 décimales pendant les calculs pour ne pas introduire d'erreurs d'arrondi qui fausseraient la fermeture finale.

Points à retenir

Le calcul des $\Delta x$ et $\Delta y$ est le cœur de la transformation des mesures de terrain en un format exploitable pour le calcul de coordonnées.

Le saviez-vous ?

Avant les calculatrices, les topographes utilisaient des tables trigonométriques massives (comme les tables de Bourdon) et des logarithmes pour effectuer ces calculs, un processus long et sujet aux erreurs.

FAQ

Résultat Final

La somme des différences de coordonnées brutes est : $\sum \Delta x = +349.959 \text{ m}$ et $\sum \Delta y = +4.908 \text{ m}$.

A vous de jouer

Calculez le $\Delta x$ pour le côté S1-S2 si le gisement avait été de 115.000 gr.

Question 3 : Calcul des erreurs de fermeture $f_x$ et $f_y$

Principe

On compare ce qu'on aurait dû trouver (le déplacement théorique entre A et B) avec ce qu'on a réellement trouvé (la somme des déplacements mesurés). La différence entre les deux est l'erreur commise.

Mini-Cours

Dans un cheminement rattaché, l'erreur de fermeture est la somme vectorielle des erreurs systématiques et accidentelles accumulées sur les mesures d'angles et de distances. Son calcul est obligatoire pour valider la qualité du lever. Si elle dépasse une certaine tolérance, le travail sur le terrain doit être refait.

Remarque Pédagogique

Pensez à un trajet en voiture. Vous connaissez votre point de départ et votre destination (coordonnées de A et B). Le calcul des $\Delta x$ et $\Delta y$, c'est comme suivre votre GPS qui calcule chaque segment. L'erreur de fermeture, c'est l'écart entre le point où votre GPS dit que vous êtes arrivé et votre destination réelle.

Normes

Les tolérances réglementaires dépendent du type de travail. Pour un lever de corps de rue, la tolérance peut être de l'ordre de $3 \sqrt{L_{\text{km}}} + 15 \text{ cm}$, où $L_{\text{km}}$ est la longueur du cheminement en km. Pour notre exercice (~0.35 km), cela donnerait environ $3 \sqrt{0.35} + 15 \approx 17 \text{ cm}$.

Formule(s)

Erreur de fermeture en X

f_x = \sum \Delta x_{\text{mes}} - (X_{\text{B}} - X_{\text{A}})

Erreur de fermeture en Y

f_y = \sum \Delta y_{\text{mes}} - (Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}})

Hypothèses

On considère que les coordonnées des points A et B sont parfaitement connues et ne contiennent aucune erreur.

Donnée(s)

$\sum \Delta x_{\text{mes}} = +349.959 \text{ m}$ (Calculé en Q2)
$\sum \Delta y_{\text{mes}} = +4.908 \text{ m}$ (Calculé en Q2)
Coordonnées de A : $X_A = 1000.000 \text{ m}$, $Y_A = 5000.000 \text{ m}$
Coordonnées de B : $X_B = 1350.000 \text{ m}$, $Y_B = 5005.000 \text{ m}$

Astuces

Calculez d'abord les différences théoriques $(X_B - X_A)$ et $(Y_B - Y_A)$ séparément pour éviter les erreurs de signe dans la formule principale.

Schéma (Avant les calculs)

Comparaison : Chemin Calculé vs Chemin Théorique

Calcul(s)

Différence théorique en X

\begin{aligned} X_B - X_A &= 1350.000 - 1000.000 \\ &= +350.000 \text{ m} \end{aligned}

Différence théorique en Y

\begin{aligned} Y_B - Y_A &= 5005.000 - 5000.000 \\ &= +5.000 \text{ m} \end{aligned}

Erreur de fermeture en X

\begin{aligned} f_x &= \sum \Delta x_{\text{mes}} - (X_{\text{B}} - X_{\text{A}}) \\ &= 349.959 - 350.000 \\ &= -0.041 \text{ m} \end{aligned}

Erreur de fermeture en Y

\begin{aligned} f_y &= \sum \Delta y_{\text{mes}} - (Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}}) \\ &= 4.908 - 5.000 \\ &= -0.092 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Vecteur Erreur de Fermeture

Le vecteur erreur (rouge) relie B' (calculé) à B (théorique).

Réflexions

L'erreur totale est calculée comme suit :

Calcul de l'erreur totale $f_T$

\begin{aligned} f_T &= \sqrt{f_x^2 + f_y^2} \\ &= \sqrt{(-0.041)^2 + (-0.092)^2} \\ &= \sqrt{0.001681 + 0.008464} \\ &= \sqrt{0.010145} \\ &\approx 0.101 \text{ m} \end{aligned}

Soit 10.1 cm. Cette valeur est inférieure à la tolérance de 17 cm calculée précédemment, le levé est donc acceptable et peut être compensé.

Points de vigilance

Faites très attention aux signes ! Une erreur ici faussera toute la compensation. Double-vérifiez la soustraction $Calculé - Théorique$.

Points à retenir

L'erreur de fermeture est la première et la plus importante indication de la qualité globale de vos mesures sur le terrain.

Le saviez-vous ?

Dans les anciens levers, pour vérifier la fermeture sur le terrain, les topographes "fermaient" leur cheminement en revenant au point de départ (cheminement fermé) et vérifiaient si la somme des angles et des coordonnées revenait bien à zéro (aux erreurs près).

FAQ

Résultat Final

Les erreurs de fermeture sont : $f_x = -0.041 \text{ m}$ et $f_y = -0.092 \text{ m}$.

A vous de jouer

Si $\sum \Delta x_{\text{mes}}$ était de 350.100 m, quelle serait la nouvelle erreur $f_x$ ?

Question 4 : Calcul des corrections $C_{xi}$ et $C_{yi}$

Principe

Le but est de répartir l'erreur totale de manière logique. Le principe est que les longs trajets sont plus susceptibles de contenir de l'erreur que les courts. On distribue donc l'erreur totale proportionnellement à la longueur de chaque segment du trajet.

Mini-Cours

La correction à appliquer est toujours l'opposé de l'erreur ($C_x = -f_x$). On calcule la part de cette correction totale qui revient à un segment $i$ en la pondérant par le rapport de la longueur de ce segment ($L_i$) sur la longueur totale du cheminement ($\sum L$). Ainsi, un segment qui représente 30% de la longueur totale recevra 30% de la correction totale.

Remarque Pédagogique

C'est un simple produit en croix. Si une erreur totale de $-4.1 \text{ cm}$ a été faite sur une distance totale de 353 m, combien d'erreur a-t-on faite sur un segment de 140 m ? La formule de compensation répond à cette question, en donnant la correction (signe opposé).

Normes

Cette méthode, parfois appelée "Règle du Compas" (Compass Rule) dans la littérature anglo-saxonne, est une méthode de compensation standard pour les cheminements où les mesures d'angles et de distances sont considérées de précision équivalente.

Formule(s)

Formule de correction en X

C_{xi} = -f_x \times \frac{L_i}{\sum L}

Formule de correction en Y

C_{yi} = -f_y \times \frac{L_i}{\sum L}

Hypothèses

L'hypothèse fondamentale est que les erreurs de mesure sont directement et uniquement proportionnelles aux longueurs mesurées.

Donnée(s)

Erreurs: $f_x = -0.041 \text{ m}$ (Calculé en Q3), $f_y = -0.092 \text{ m}$ (Calculé en Q3)
Longueurs: $L_{\text{AS1}} = 140.360 \text{ m}$, $L_{\text{S1S2}} = 121.650 \text{ m}$, $L_{\text{S2B}} = 91.245 \text{ m}$ (Énoncé)

Astuces

Calculez d'abord la longueur totale $\sum L$. Ensuite, pour chaque côté, calculez le rapport $L_i / \sum L$. Vous pourrez ensuite multiplier ce rapport par $-f_x$ puis par $-f_y$ pour trouver les deux corrections d'un coup.

Schéma (Avant les calculs)

Répartition Proportionnelle de l'Erreur sur les Segments

Calcul(s)

Calcul de la longueur totale $\sum L$

\begin{aligned} \sum L &= L_{\text{AS1}} + L_{\text{S1S2}} + L_{\text{S2B}} \\ &= 140.360 + 121.650 + 91.245 \\ &= 353.255 \text{ m} \end{aligned}

Corrections totales à répartir :

Correction totale en X

\begin{aligned} C_x &= -f_x \\ &= -(-0.041) \\ &= +0.041 \text{ m} \end{aligned}

Correction totale en Y

\begin{aligned} C_y &= -f_y \\ &= -(-0.092) \\ &= +0.092 \text{ m} \end{aligned}

Calcul des corrections pour A-S1

Rapport de longueur pour A-S1 :

\begin{aligned} \frac{L_{\text{AS1}}}{\sum L} &= \frac{140.360}{353.255} \\ &\approx 0.39733 \end{aligned}

Correction $C_{x, \text{A-S1}}$ :

\begin{aligned} C_{x, \text{A-S1}} &= C_x \times \frac{L_{\text{AS1}}}{\sum L} \\ &= (+0.041) \times 0.39733 \\ &= +0.016 \text{ m} \end{aligned}

Correction $C_{y, \text{A-S1}}$ :

\begin{aligned} C_{y, \text{A-S1}} &= C_y \times \frac{L_{\text{AS1}}}{\sum L} \\ &= (+0.092) \times 0.39733 \\ &= +0.037 \text{ m} \end{aligned}

Calcul des corrections pour S1-S2

Rapport de longueur pour S1-S2 :

\begin{aligned} \frac{L_{\text{S1S2}}}{\sum L} &= \frac{121.650}{353.255} \\ &\approx 0.34437 \end{aligned}

Correction $C_{x, \text{S1-S2}}$ :

\begin{aligned} C_{x, \text{S1-S2}} &= C_x \times \frac{L_{\text{S1S2}}}{\sum L} \\ &= (+0.041) \times 0.34437 \\ &= +0.014 \text{ m} \end{aligned}

Correction $C_{y, \text{S1-S2}}$ :

\begin{aligned} C_{y, \text{S1-S2}} &= C_y \times \frac{L_{\text{S1S2}}}{\sum L} \\ &= (+0.092) \times 0.34437 \\ &= +0.032 \text{ m} \end{aligned}

Calcul des corrections pour S2-B

Rapport de longueur pour S2-B :

\begin{aligned} \frac{L_{\text{S2B}}}{\sum L} &= \frac{91.245}{353.255} \\ &\approx 0.25830 \end{aligned}

Correction $C_{x, \text{S2-B}}$ :

\begin{aligned} C_{x, \text{S2-B}} &= C_x \times \frac{L_{\text{S2B}}}{\sum L} \\ &= (+0.041) \times 0.25830 \\ &= +0.011 \text{ m} \end{aligned}

Correction $C_{y, \text{S2-B}}$ :

\begin{aligned} C_{y, \text{S2-B}} &= C_y \times \frac{L_{\text{S2B}}}{\sum L} \\ &= (+0.092) \times 0.25830 \\ &= +0.023 \text{ m} \end{aligned}

Tableau récapitulatif :

Côté	$L_i$ (m)	$L_i / \sum L$	$C_{xi}$ (m)	$C_{yi}$ (m)
A - S1	140.360	0.39733	+0.016	+0.037
S1 - S2	121.650	0.34437	+0.014	+0.032
S2 - B	91.245	0.25830	+0.011	+0.023
Total	353.255	1.00000	+0.041	+0.092

Schéma (Après les calculs)

Le tableau ci-dessus visualise les corrections calculées pour chaque côté.

Réflexions

On observe que le côté le plus long (A-S1) reçoit la plus grande correction ($1.6 \text{ cm}$ en X, $3.7 \text{ cm}$ en Y), et le plus court (S2-B) la plus petite ($1.1 \text{ cm}$ en X, $2.3 \text{ cm}$ en Y), ce qui est conforme au principe de la méthode proportionnelle.

Points de vigilance

Vérification : La somme des corrections partielles doit être égale à la correction totale (opposé de l'erreur de fermeture).

Vérification Somme Cx

\begin{aligned} \sum C_{xi} &= 0.016 + 0.014 + 0.011 \\ &= +0.041 \\ &= -f_x \quad (\text{OK !}) \end{aligned}

Vérification Somme Cy

\begin{aligned} \sum C_{yi} &= 0.037 + 0.032 + 0.023 \\ &= +0.092 \\ &= -f_y \quad (\text{OK !}) \end{aligned}

Ne sautez jamais cette étape de vérification !

Points à retenir

La clé est le rapport $\frac{L_i}{\sum L}$. Il représente le "poids" de chaque segment dans la répartition de l'erreur.

Le saviez-vous ?

La méthode de compensation par les moindres carrés est plus rigoureuse car elle prend en compte la précision estimée de chaque mesure (angles et distances) pour attribuer un poids plus fin à chaque observation, aboutissant à une solution statistiquement plus probable.

FAQ

Résultat Final

Les corrections à appliquer sont résumées dans le tableau récapitulatif ci-dessus.

A vous de jouer

Si la longueur $L_{\text{AS1}}$ était de 200m (et les autres inchangées), quelle serait sa correction $C_{xi}$ (en mm) ? La longueur totale serait ~413m.

Question 5 : Coordonnées compensées des points S1 et S2

Principe

C'est l'aboutissement du calcul. On "corrige" les déplacements bruts calculés à l'étape 2 avec les corrections de l'étape 4, puis on calcule la position finale de chaque point en partant du point de départ connu et en ajoutant les déplacements corrigés, l'un après l'autre.

Mini-Cours

Le processus est itératif. On calcule les coordonnées de S1 à partir de A, puis on utilise les nouvelles coordonnées de S1 pour calculer celles de S2, et ainsi de suite. La dernière étape consiste à calculer les coordonnées du point B à partir de S2 et à vérifier qu'on retombe exactement sur les coordonnées connues de B. C'est la preuve ultime que le calcul de compensation est correct.

Remarque Pédagogique

C'est comme ajuster un itinéraire. Vous avez calculé votre trajet ($\Delta$ bruts), vous savez que vous avez une dérive globale (l'erreur f), vous appliquez une petite correction à chaque segment (les C), puis vous recalculez votre position finale étape par étape.

Normes

La présentation des résultats finaux (coordonnées des points nouveaux) doit être claire, généralement sous forme de tableau, avec une précision de 3 décimales (le millimètre), qui est la norme en topographie de précision.

Formule(s)

Calcul des Delta Compensés

\Delta x' = \Delta x_{\text{brut}} + C_{x}

\Delta y' = \Delta y_{\text{brut}} + C_{y}

Calcul des Coordonnées

X_{\text{n+1}} = X_{\text{n}} + \Delta x'

Y_{\text{n+1}} = Y_{\text{n}} + \Delta y'

Hypothèses

Aucune nouvelle hypothèse. On applique les résultats des calculs précédents.

Donnée(s)

Coordonnées de départ A: $X_A=1000.000$, $Y_A=5000.000$
Deltas bruts (Q2): $\Delta x_{\text{A-S1}}=+139.999$, $\Delta y_{\text{A-S1}}=+10.015$, $\Delta x_{\text{S1-S2}}=+119.914$, $\Delta y_{\text{S1-S2}}=-20.088$, $\Delta x_{\text{S2-B}}=+90.046$, $\Delta y_{\text{S2-B}}=+14.981$
Corrections (Q4): $C_{x,\text{A-S1}}=+0.016$, $C_{y,\text{A-S1}}=+0.037$, $C_{x,\text{S1-S2}}=+0.014$, $C_{y,\text{S1-S2}}=+0.032$, $C_{x,\text{S2-B}}=+0.011$, $C_{y,\text{S2-B}}=+0.023$

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul Itératif des Coordonnées

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul des $\Delta$ compensés

Delta X' A-S1

\begin{aligned} \Delta x'_{\text{A-S1}} &= \Delta x_{\text{A-S1}} + C_{x, \text{A-S1}} \\ &= 139.999 + 0.016 \\ &= 140.015 \text{ m} \end{aligned}

Delta Y' A-S1

\begin{aligned} \Delta y'_{\text{A-S1}} &= \Delta y_{\text{A-S1}} + C_{y, \text{A-S1}} \\ &= 10.015 + 0.037 \\ &= 10.052 \text{ m} \end{aligned}

Delta X' S1-S2

\begin{aligned} \Delta x'_{\text{S1-S2}} &= \Delta x_{\text{S1-S2}} + C_{x, \text{S1-S2}} \\ &= 119.914 + 0.014 \\ &= 119.928 \text{ m} \end{aligned}

Delta Y' S1-S2

\begin{aligned} \Delta y'_{\text{S1-S2}} &= \Delta y_{\text{S1-S2}} + C_{y, \text{S1-S2}} \\ &= -20.088 + 0.032 \\ &= -20.056 \text{ m} \end{aligned}

Delta X' S2-B

\begin{aligned} \Delta x'_{\text{S2-B}} &= \Delta x_{\text{S2-B}} + C_{x, \text{S2-B}} \\ &= 90.046 + 0.011 \\ &= 90.057 \text{ m} \end{aligned}

Delta Y' S2-B

\begin{aligned} \Delta y'_{\text{S2-B}} &= \Delta y_{\text{S2-B}} + C_{y, \text{S2-B}} \\ &= 14.981 + 0.023 \\ &= 15.004 \text{ m} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul des coordonnées compensées

Coordonnée X de S1

\begin{aligned} X_{\text{S1}} &= X_{\text{A}} + \Delta x'_{\text{A-S1}} \\ &= 1000.000 + 140.015 \\ &= 1140.015 \text{ m} \end{aligned}

Coordonnée Y de S1

\begin{aligned} Y_{\text{S1}} &= Y_{\text{A}} + \Delta y'_{\text{A-S1}} \\ &= 5000.000 + 10.052 \\ &= 5010.052 \text{ m} \end{aligned}

Coordonnée X de S2

\begin{aligned} X_{\text{S2}} &= X_{\text{S1}} + \Delta x'_{\text{S1-S2}} \\ &= 1140.015 + 119.928 \\ &= 1259.943 \text{ m} \end{aligned}

Coordonnée Y de S2

\begin{aligned} Y_{\text{S2}} &= Y_{\text{S1}} + \Delta y'_{\text{S1-S2}} \\ &= 5010.052 - 20.056 \\ &= 4989.996 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Cheminement Compensé Final avec Coordonnées

Réflexions

Vérification finale : On calcule les coordonnées du point B à partir de S2 et on doit retomber sur les coordonnées connues de B.

Vérification Coordonnée X de B

\begin{aligned} X_{\text{B calculé}} &= X_{\text{S2}} + \Delta x'_{\text{S2-B}} \\ &= 1259.943 + 90.057 \\ &= 1350.000 \text{ m} \end{aligned}

Vérification Coordonnée Y de B

\begin{aligned} Y_{\text{B calculé}} &= Y_{\text{S2}} + \Delta y'_{\text{S2-B}} \\ &= 4989.996 + 15.004 \\ &= 5005.000 \text{ m} \end{aligned}

Les coordonnées calculées de B correspondent parfaitement aux coordonnées connues. La fermeture est parfaite, nos calculs de compensation sont corrects.

Points de vigilance

Une erreur d'inattention lors de l'addition des coordonnées ou des deltas est vite arrivée. C'est pourquoi la vérification finale sur le point d'arrivée connu est absolument non négociable.

Points à retenir

Le calcul de coordonnées est une somme cumulative. Chaque nouvelle position dépend de la précédente. La rigueur et l'organisation sont les clés pour ne pas commettre d'erreur.

Le saviez-vous ?

Aujourd'hui, des logiciels spécialisés (comme Covadis, Mensura, etc.) réalisent ces compensations de manière quasi-instantanée. Cependant, comprendre le calcul manuel reste indispensable pour tout topographe afin de pouvoir analyser et critiquer les résultats fournis par la machine.

FAQ

Résultat Final

Les coordonnées compensées des nouvelles stations sont :
S1 : X = 1140.015 m, Y = 5010.052 m
S2 : X = 1259.943 m, Y = 4989.996 m

A vous de jouer

En utilisant les coordonnées compensées de S2, quelle serait la coordonnée X de B si $\Delta x'_{\text{S2-B}}$ valait +90.050 m ?

Outil Interactif : Influence des Longueurs

Ce simulateur vous montre comment la longueur d'un côté impacte la correction qui lui est attribuée. Modifiez les longueurs des côtés 1 et 2 et observez comment les corrections (en X) sont redistribuées. Notez que $L_{\text{S2B}}$ et l'erreur totale $f_x$ sont fixes pour cet exemple.

Paramètres d'Entrée

Longueur L_AS1 (m) 140 m

Longueur L_S1S2 (m) 122 m

Corrections en X (mm)

Correction C_x pour AS1 -

Correction C_x pour S1S2 -

Correction C_x pour S2B -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans la méthode de compensation proportionnelle aux longueurs, si la longueur d'un côté double (les autres restant fixes), la correction qui lui est appliquée va :

Rester identique
Augmenter (sans forcément doubler)
Diminuer

2. Comment est définie l'erreur de fermeture en X, $f_x$ ?

$(X_{\text{FIN}} - X_{\text{DÉBUT}}) - \sum \Delta x$
$\sum \Delta x + (X_{\text{FIN}} - X_{\text{DÉBUT}})$
$\sum \Delta x - (X_{\text{FIN}} - X_{\text{DÉBUT}})$

3. La somme de toutes les corrections en Y ($\sum C_{yi}$) doit être égale à :

$-f_y$
$f_y$
0

Glossaire

Gisement: Angle horizontal d'une direction, mesuré dans le sens horaire à partir de la direction de référence Nord. En topographie, il est souvent exprimé en grades (400 gr pour un tour complet).
Cheminement Planimétrique: Opération de lever topographique qui consiste à déterminer les positions en plan (coordonnées X, Y) d'une série de points en mesurant les angles et les distances qui les relient.
Erreur de Fermeture: Différence vectorielle entre le point d'arrivée théorique (connu) d'un cheminement et le point d'arrivée calculé à partir des mesures brutes. Elle matérialise l'erreur globale cumulée sur le parcours.