Comparaison des Altitudes
Contexte : Le nivellement directEnsemble des opérations topographiques permettant de déterminer des altitudes ou des dénivelées avec un niveau et une mire..
Un géomètre-topographe doit déterminer avec précision l'altitude de plusieurs points (P1, P2, P3) sur un chantier. Pour ce faire, il réalise un cheminement altimétriqueParcours jalonné de points dont on détermine les altitudes successives par le calcul des dénivelées intermédiaires. fermé, partant d'un repère connu (R1) et revenant à ce même repère pour contrôler la qualité des mesures. Cet exercice vous guidera à travers les étapes de calcul, de vérification et de compensation des données brutes issues du terrain.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental pour comprendre la gestion des erreurs de mesure en topographie. Le calcul de l'écart de fermeture et sa compensation sont des compétences essentielles pour garantir la fiabilité des levés altimétriques.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer des dénivelées à partir de lectures sur mire.
- Déterminer les altitudes brutes de plusieurs points en série.
- Calculer et analyser un écart de fermeture altimétrique.
- Vérifier la conformité des mesures par rapport à une tolérance réglementaire.
- Compenser les dénivelées et calculer les altitudes définitives des points.
Données de l'étude
Schéma du Cheminement Altimétrique
| Station | Point Visé | Lecture Arrière (m) | Lecture Avant (m) | Distance (m) |
|---|---|---|---|---|
| S1 | R1 → P1 | 1.876 | 1.254 | 200 |
| S2 | P1 → P2 | 2.113 | 1.589 | 200 |
| S3 | P2 → P3 | 0.952 | 1.841 | 200 |
| S4 | P3 → R1 | 1.427 | 2.298 | 200 |
Questions à traiter
- Calculer les dénivelées brutes entre chaque point consécutif.
- Calculer les altitudes brutes (non compensées) des points P1, P2, P3 et du point R1 de retour.
- Déterminer l'écart de fermeture altimétrique (\(f_{\text{alt}}\)) du cheminement.
- La tolérance pour ce type de nivellement est donnée par \(T = \pm 20 \text{ mm} \sqrt{L_{\text{km}}}\). Le cheminement est-il acceptable ?
- Répartir la compensation et calculer les altitudes définitives (compensées) des points P1, P2 et P3.
Les bases du Nivellement Direct
Le nivellement direct, aussi appelé nivellement géométrique, est la méthode la plus précise pour déterminer l'altitude de points. Elle repose sur l'utilisation d'un niveau (appareil assurant une ligne de visée parfaitement horizontale) et d'une mire graduée.
1. Calcul d'une dénivelée
La différence d'altitude (dénivelée) entre un point A et un point B se calcule en faisant la différence entre la lecture sur la mire posée en A (lecture arrière) et la lecture sur la mire en B (lecture avant).
\[ \Delta H_{\text{A} \to \text{B}} = \text{Lecture Arrière (sur A)} - \text{Lecture Avant (sur B)} \]
2. Calcul d'une altitude
L'altitude d'un point B s'obtient en ajoutant la dénivelée \(\Delta H_{\text{A} \to \text{B}}\) à l'altitude connue du point A.
\[ \text{Altitude(B)} = \text{Altitude(A)} + \Delta H_{\text{A} \to \text{B}} \]
Correction : Comparaison des Altitudes
Question 1 : Calculer les dénivelées brutes entre chaque point consécutif.
Principe
Le concept physique est de matérialiser un plan horizontal avec le niveau optique. En lisant la graduation sur deux mires tenues à la verticale sur les points A et B, la différence de lecture donne directement la différence de hauteur verticale (dénivelée) entre A et B.
Mini-Cours
La lecture arrière (LAR) est toujours la première lecture, effectuée sur le point de départ connu (ou le point précédent). La lecture avant (LAV) est la seconde, sur le point dont on veut déterminer l'altitude. La dénivelée est le "saut" vertical pour aller du premier point au second.
Remarque Pédagogique
Le piège classique est d'inverser la soustraction. Retenez toujours : "On part de l'arrière pour aller vers l'avant", donc la formule est toujours Lecture Arrière MOINS Lecture Avant. Une dénivelée positive signifie qu'on monte, une négative qu'on descend.
Normes
Bien que le calcul soit simple, les normes de topographie (comme celles de l'Ordre des Géomètres-Experts) imposent des procédures de terrain pour minimiser les erreurs, comme s'assurer que la distance entre le niveau et la mire arrière est à peu près égale à celle entre le niveau et la mire avant.
Formule(s)
Formule de la dénivelée
Donnée(s)
On extrait les lectures Arrière et Avant du carnet de nivellement pour chaque tronçon.
| Tronçon | \(L_{\text{AR}} \text{ (m)}\) | \(L_{\text{AV}} \text{ (m)}\) |
|---|---|---|
| R1 → P1 | 1.876 | 1.254 |
| P1 → P2 | 2.113 | 1.589 |
| P2 → P3 | 0.952 | 1.841 |
| P3 → R1 | 1.427 | 2.298 |
Astuces
Pour un contrôle rapide sur le terrain : si la lecture avant est plus petite que la lecture arrière, cela signifie que le sol du point avant est plus haut. Vous montez, la dénivelée doit être positive.
Schéma (Avant les calculs)
Illustration d'une visée de nivellement
Calcul(s)
Dénivelée R1 → P1
Dénivelée P1 → P2
Dénivelée P2 → P3
Dénivelée P3 → R1
Schéma (Après les calculs)
Représentation des dénivelées brutes
Réflexions
L'alternance des signes + et - est normale et décrit le relief du terrain. On monte de R1 à P2, puis on descend de P2 à R1.
Points de vigilance
La principale erreur est une faute de frappe ou d'inattention lors du calcul. Une seconde relecture ou un calcul par une autre personne est une bonne pratique sur un chantier réel.
Points à retenir
La dénivelée est la clé de tout calcul altimétrique. Sa formule (\(L_{\text{AR}} - L_{\text{AV}}\)) et la signification de son signe doivent être parfaitement maîtrisées.
Le saviez-vous ?
Le mot "niveau" vient du latin "libella", qui était une sorte de balance. Les premiers instruments de nivellement des Romains étaient de simples auges en bois remplies d'eau pour matérialiser l'horizontale.
FAQ
Justement, la magie du nivellement direct est que la hauteur de l'instrument n'a aucune importance ! Comme on soustrait deux lectures issues du même plan horizontal, la hauteur de ce plan s'annule dans le calcul, ce qui rend la méthode très robuste.Pourquoi ne pas mesurer la hauteur du niveau ?
Résultat Final
A vous de jouer
Un opérateur lit une lecture arrière de 0.854 m et une lecture avant de 2.133 m. Quelle est la dénivelée ?
Question 2 : Calculer les altitudes brutes des points.
Principe
Le concept est de "transporter" l'altitude d'un point à un autre. On part d'une altitude connue, on "monte" ou "descend" de la valeur de la dénivelée, et on obtient l'altitude du point suivant. C'est un calcul itératif.
Mini-Cours
Chaque altitude est calculée par rapport à un système de référence vertical (ou datum), qui est une surface de référence (souvent le niveau moyen de la mer). L'altitude d'un point est sa distance verticale à cette surface. Dans un projet, tous les points doivent être rattachés au même système pour être comparables.
Remarque Pédagogique
Organisez vos calculs dans un tableau. Conservez toutes les décimales lors des calculs intermédiaires et n'arrondissez qu'à la toute fin pour ne pas propager d'erreurs d'arrondi.
Normes
En France, le système d'altitude officiel est le Nivellement Général de la France (NGF-IGN69), dont le zéro est fixé par le marégraphe de Marseille.
Formule(s)
Formule de calcul d'altitude
Donnée(s)
- Altitude de départ : \(\text{Alt(R1)} = 125.458 \text{ m}\)
- \(\Delta H_{\text{R1} \to \text{P1}} = +0.622 \text{ m}\)
- \(\Delta H_{\text{P1} \to \text{P2}} = +0.524 \text{ m}\)
- \(\Delta H_{\text{P2} \to \text{P3}} = -0.889 \text{ m}\)
- \(\Delta H_{\text{P3} \to \text{R1}} = -0.871 \text{ m}\)
Astuces
Utilisez la fonction mémoire de votre calculatrice. Entrez l'altitude de départ, puis ajoutez ou soustrayez les dénivelées les unes après les autres sans effacer le résultat intermédiaire.
Schéma (Avant les calculs)
Schéma du cheminement à calculer
Calcul(s)
Altitude brute de P1
Altitude brute de P2
Altitude brute de P3
Altitude brute de R1 (au retour)
Schéma (Après les calculs)
Profil en long brut du cheminement
Réflexions
On observe une différence notable entre l'altitude de départ de R1 (125.458 m) et son altitude calculée au retour (124.844 m). Cette différence est l'erreur globale du cheminement, que nous analyserons à la question suivante.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est de se tromper dans le signe de la dénivelée lors de l'addition. Soyez méthodique : Altitude + (+Dénivelée) ou Altitude + (-Dénivelée).
Points à retenir
La transmission d'altitude est une chaîne de calculs où chaque maillon dépend du précédent. La rigueur est donc essentielle.
Le saviez-vous ?
À cause de la non-uniformité du champ de gravité terrestre, la surface de référence (le géoïde) est une surface complexe et non une simple sphère. L'altitude "vraie" est donc une notion plus complexe qu'il n'y paraît !
FAQ
Dans ce cas, on peut attribuer une altitude arbitraire au premier point (par exemple, 100.000 m). Toutes les autres altitudes seront alors correctes les unes par rapport aux autres, mais dans un système local non rattaché au système national.Que faire si je n'ai pas de point d'altitude connue pour démarrer ?
Résultat Final
A vous de jouer
Un point P2 a une altitude brute de 126.604 m. La dénivelée vers P3 est de -0.889 m. Quelle est l'altitude brute de P3 ?
Question 3 : Déterminer l'écart de fermeture altimétrique (\(f_{\text{alt}}\)).
Principe
Puisque l'on part d'un point pour y revenir, le dénivelé total devrait être nul : on a fini au même niveau que l'on a commencé. L'écart de fermeture est la mesure de l'erreur commise : c'est la différence entre ce qu'on aurait dû obtenir (zéro) et ce qu'on a obtenu (la somme des dénivelés).
Mini-Cours
L'écart de fermeture est la manifestation visible des erreurs de mesure qui sont inévitables : erreurs de lecture, de verticalité de la mire, de réglage de l'instrument. On distingue les erreurs aléatoires (petites et imprévisibles) des fautes ou "blunders" (grosses erreurs dues à l'inattention).
Remarque Pédagogique
Le calcul de l'écart de fermeture est l'étape de contrôle la plus importante du nivellement. Sans ce contrôle, vous n'avez aucune idée de la qualité de votre travail. Un cheminement non fermé est un cheminement non contrôlé.
Normes
Les normes de topographie n'imposent pas la valeur de l'écart de fermeture, mais elles imposent de le comparer à une tolérance (voir question 4) pour valider ou invalider la série de mesures.
Formule(s)
Formule 1 : Somme des dénivelées
Formule 2 : Différence des altitudes
Donnée(s)
- Dénivelées brutes : +0.622, +0.524, -0.889, -0.871 m.
- Altitudes de R1 : Départ = 125.458 m, Retour = 124.844 m.
Astuces
Utiliser les deux formules est un excellent moyen de vérifier tous vos calculs depuis le début. Si les deux ne donnent pas le même résultat, vous avez fait une erreur d'addition quelque part dans le calcul des altitudes brutes.
Schéma (Avant les calculs)
Concept du cheminement fermé
Calcul(s)
Calcul avec la Méthode 1
Calcul avec la Méthode 2
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de l'écart de fermeture
Réflexions
Un écart de -61.4 cm est énorme. Il ne s'agit pas d'une accumulation de petites erreurs, mais d'une faute grossière. Le cheminement est inutilisable en l'état.
Points de vigilance
Le signe est crucial ! Un signe négatif signifie que l'on est "arrivé trop bas". Le signe dictera le sens de la correction à appliquer plus tard.
Points à retenir
L'écart de fermeture est le premier et le plus important indicateur de la qualité d'un cheminement fermé.
Le saviez-vous ?
Dans les grands réseaux de nivellement nationaux, les cheminements forment des "mailles" et les erreurs sont réparties sur l'ensemble du réseau par des calculs complexes (méthode des moindres carrés) pour obtenir la solution la plus probable.
FAQ
En théorie oui, mais en pratique, c'est extrêmement improbable. Un écart nul serait même suspect, car il pourrait cacher deux erreurs qui se compensent mutuellement par hasard !Est-ce qu'un écart de fermeture nul est possible ?
Résultat Final
A vous de jouer
La somme des dénivelées d'un cheminement est de +0.025 m. Quelle est la valeur de l'écart de fermeture ?
Question 4 : Le cheminement est-il acceptable ?
Principe
Le principe est celui d'un contrôle qualité. On compare une mesure (l'erreur commise) à une norme (la tolérance admise). Cette comparaison permet de prendre une décision objective : on accepte ou on rejette le travail.
Mini-Cours
La tolérance n'est pas choisie au hasard. Elle est issue de la théorie des erreurs et de l'expérience. La formule en racine carrée de la distance (\(\sqrt{L}\)) vient du fait que les erreurs aléatoires s'accumulent de manière quadratique, et non linéaire.
Remarque Pédagogique
Cette étape est cruciale car elle engage la responsabilité du professionnel. Valider un travail hors tolérance peut avoir des conséquences graves (par exemple, une pente d'écoulement des eaux usées qui serait incorrecte).
Normes
La formule \(T = \pm 20 \text{ mm} \sqrt{L_{\text{km}}}\) est typique pour un "nivellement ordinaire" en France. Pour des travaux de plus haute précision (nivellement de précision), le coefficient serait plus petit (par exemple 5 ou 10 mm).
Formule(s)
Formule de la tolérance
Condition de validation
Donnée(s)
- Écart de fermeture : \(f_{\text{alt}} = -0.614 \text{ m} = -614 \text{ mm}\)
- Longueur totale : \(D_{\text{tot}} = 800 \text{ m}\)
Astuces
Convertissez toujours l'écart de fermeture et la tolérance dans la même unité (généralement le millimètre) avant de les comparer pour éviter des erreurs d'un facteur 1000 !
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison : Erreur vs Tolérance
Calcul(s)
Conversion de la longueur en km
Calcul de la tolérance
Valeur absolue de l'écart de fermeture
Comparaison
Schéma (Après les calculs)
Verdict de la comparaison
Réflexions
L'écart est plus de 30 fois supérieur à la limite autorisée. Il n'y a aucun doute possible : il ne s'agit pas d'une accumulation de petites imprécisions, mais d'une faute grossière (erreur de lecture d'un mètre entier, mauvaise retranscription, etc.). En pratique, le topographe doit retourner sur le terrain.
Points de vigilance
Ne pas oublier la racine carrée dans la formule de la tolérance. Ne pas se tromper dans la conversion des unités entre mètres et millimètres.
Points à retenir
La validation d'une mesure se fait toujours en comparant l'erreur (l'écart de fermeture) à une norme (la tolérance). La condition à retenir est \(|f_{\text{alt}}| \le T\).
Le saviez-vous ?
Les satellites géodésiques comme ceux du système GPS peuvent mesurer des altitudes, mais leur précision verticale (plusieurs centimètres) est généralement moins bonne que celle d'un nivellement direct soigné (quelques millimètres).
FAQ
L'écart de -0.614 m est très proche de -0.618 m, qui est la différence entre 2.298 et 1.427 (visée S4) et 0.889 (visée S3). Il est très probable qu'une lecture ait été mal notée ou qu'il y ait eu un problème sur une de ces deux dernières visées.D'où vient la faute dans cet exercice ?
Résultat Final
A vous de jouer
Pour un cheminement de 2.25 km, la tolérance est de \(T = \pm 12 \text{ mm} \sqrt{L_{\text{km}}}\). Quelle est la tolérance en mm ?
Question 5 : Calculer les altitudes compensées.
Principe
La compensation consiste à "corriger" les mesures pour qu'elles soient mathématiquement cohérentes. On part du principe que l'erreur s'est accumulée progressivement. On calcule donc une petite correction pour chaque segment, proportionnelle à sa longueur, et on l'ajoute à la dénivelée brute.
Mini-Cours
La correction totale à répartir est l'opposé de l'écart de fermeture (\(C_{\text{tot}} = -f_{\text{alt}}\)). Si on a fini "trop bas" (f négatif), il faut ajouter des corrections positives pour "remonter". Cette correction totale est ensuite distribuée sur chaque tronçon en fonction de sa contribution à la longueur totale.
Remarque Pédagogique
ATTENTION : On ne devrait JAMAIS compenser un cheminement hors tolérance. Le faire masque une faute et produit des altitudes qui sont mathématiquement cohérentes mais fausses sur le terrain. Nous le faisons ici uniquement à titre d'exercice de calcul.
Normes
Cette méthode de compensation proportionnelle à la longueur est la méthode standard pour les cheminements simples. Pour les réseaux maillés complexes, des méthodes plus avancées comme l'ajustement par les moindres carrés sont utilisées.
Formule(s)
Correction sur un tronçon i
Dénivelée compensée
Donnée(s)
- Correction totale : \(C_{\text{tot}} = -f_{\text{alt}} = -(-0.614) = +0.614 \text{ m}\).
- Distances : \(d_i = 200 \text{ m}\) pour chaque tronçon.
- Distance totale : \(D_{\text{tot}} = 800 \text{ m}\).
Astuces
Comme toutes les distances sont égales, la correction sera la même pour chaque tronçon. Il suffit de diviser la correction totale par le nombre de tronçons (ici, 4).
Schéma (Avant les calculs)
Principe de la compensation
Calcul(s)
Calcul de la correction par tronçon
Tableau détaillé de la compensation
| Tronçon | Altitude de Départ | Calcul \(\Delta H_{\text{comp}}\) | Calcul Altitude Compensée |
|---|---|---|---|
| R1 → P1 | 125.458 m | \(\Delta H_{\text{comp}} = +0.622 + 0.1535 = +0.7755 \text{ m}\) | \(\text{Alt(P1)} = 125.458 + 0.7755 = \textbf{126.234 m}\) |
| P1 → P2 | 126.234 m | \(\Delta H_{\text{comp}} = +0.524 + 0.1535 = +0.6775 \text{ m}\) | \(\text{Alt(P2)} = 126.234 + 0.6775 = \textbf{126.911 m}\) |
| P2 → P3 | 126.911 m | \(\Delta H_{\text{comp}} = -0.889 + 0.1535 = -0.7355 \text{ m}\) | \(\text{Alt(P3)} = 126.911 - 0.7355 = \textbf{126.176 m}\) |
| P3 → R1 | 126.176 m | \(\Delta H_{\text{comp}} = -0.871 + 0.1535 = -0.7175 \text{ m}\) | \(\text{Alt(R1)} = 126.176 - 0.7175 = \textbf{125.458 m}\) |
Schéma (Après les calculs)
Profil en long compensé
Réflexions
Le tableau montre bien le processus. On corrige chaque dénivelée brute. Ensuite, on recalcule toutes les altitudes à partir du point de départ fixe avec ces nouvelles dénivelées. On vérifie à la fin que l'on retombe bien sur l'altitude de départ, ce qui valide l'arithmétique de la compensation.
Points de vigilance
L'erreur classique est de se tromper sur le signe de la correction. Rappelez-vous : la correction est L'OPPOSÉ de l'erreur. Si \(f_{\text{alt}}\) est négatif, les corrections sont positives.
Points à retenir
La compensation vise à rendre les mesures mathématiquement cohérentes en répartissant l'erreur. La somme des dénivelées compensées doit toujours être égale à zéro pour un cheminement fermé.
Le saviez-vous ?
Dans le cas d'un cheminement qui va d'un point connu A à un autre point connu B (cheminement encadré), l'écart de fermeture est \(\text{Alt}_{\text{calculée}}(\text{B}) - \text{Alt}_{\text{connue}}(\text{B})\). La méthode de compensation reste la même.
FAQ
Ce serait arbitraire. Rien ne dit que l'erreur a été commise sur la dernière mesure. La répartition proportionnelle à la distance est l'hypothèse la plus juste en l'absence d'autre information, car elle suppose que l'erreur s'accumule de façon homogène.Pourquoi ne pas mettre toute la correction sur la dernière visée ?
Résultat Final
Alt(P1) = 126.234 m
Alt(P2) = 126.911 m
Alt(P3) = 126.176 m
(Ces valeurs restent théoriques car le levé initial était inacceptable).
A vous de jouer
Un cheminement de 1000 m a un écart de fermeture de +0.020 m. Quelle correction (en m) faut-il appliquer à un tronçon de 300 m ?
Outil Interactif : Impact d'une erreur
Utilisez les curseurs pour modifier l'altitude de départ ou pour simuler une erreur de lecture sur la visée vers P3. Observez l'impact sur l'écart de fermeture.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Qu'indique un écart de fermeture négatif ?
2. Si la tolérance est dépassée, que doit faire le topographe ?
3. La compensation est répartie proportionnellement à...
4. Une dénivelée est calculée par la formule :
5. Après compensation d'un cheminement fermé, que vaut la somme des dénivelées compensées ?
Glossaire
- Nivellement Direct
- Opération de topographie qui consiste à déterminer la dénivelée entre deux points à l'aide d'un appareil de visée horizontal (niveau) et d'une règle verticale graduée (mire).
- Cheminement Altimétrique Fermé
- Un parcours de nivellement qui part d'un point d'altitude connue et y revient après avoir déterminé l'altitude de plusieurs points intermédiaires. Il permet un contrôle par calcul de l'écart de fermeture.
- Écart de Fermeture (\(f_{\text{alt}}\))
- Différence entre l'altitude de départ et l'altitude calculée du même point à la fin d'un cheminement fermé. Il représente l'erreur globale cumulée des mesures.
- Tolérance
- Écart maximal admissible pour une série de mesures. Si l'erreur est inférieure à la tolérance, elle est considérée comme acceptable et peut être corrigée par calcul (compensation).
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