Cheminement encadré entre 4 points connus
Contexte : Le Cheminement PlanimétriqueMéthode topographique permettant de déterminer les coordonnées (X, Y) de points inconnus (stations) en s'appuyant sur des mesures d'angles et de distances le long d'un parcours (polygone)..
Cet exercice porte sur un cas classique de la topographie : le calcul d'un cheminement encadré. Nous allons déterminer les coordonnées de deux nouvelles stations (S1 et S2) en nous appuyant sur quatre points connus (A, B, C, et D). Ce type de cheminement est dit "encadré" ou "bi-rattaché" car il part d'une base connue (A-B) et se termine sur une autre base connue (C-D), permettant un contrôle complet des mesures angulaires et planimétriques.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers toutes les étapes fondamentales du calcul topographique : calcul de gisements, propagation, fermeture angulaire, compensation, calcul de coordonnées, et enfin fermeture planimétrique et compensation.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer un gisementAngle horizontal, mesuré dans le sens horaire à partir du Nord (axe Y), définissant l'orientation d'une direction. de départ et d'arrivée à partir de coordonnées connues.
- Calculer la fermeture angulaire d'un cheminement et la compenser.
- Propager les gisements et calculer des coordonnées provisoires.
- Calculer la fermeture planimétrique (en X et Y) et la compenser (proportionnellement aux longueurs).
- Déterminer les coordonnées définitives des stations S1 et S2.
Données de l'étude
Points Connus (Coordonnées Rectangulaires)
| Point | X (m) | Y (m) |
|---|---|---|
| A | 1000.000 | 1000.000 |
| B | 1200.000 | 1050.000 |
| C | 1600.000 | 900.000 |
| D | 1800.000 | 800.000 |
Schéma de Principe du Cheminement
| Station | Point Visé | Angle Horizontal (gon) | Distance Horizontale (m) |
|---|---|---|---|
| B | A (arr) / S1 (av) | 210.100 | - |
| S1 | B (arr) / S2 (av) | 205.200 | 150.450 |
| S2 | S1 (arr) / C (av) | 220.300 | 200.100 |
| C | S2 (arr) / D (av) | 207.000 | 100.250 |
Questions à traiter
- Calculer le gisement de départ \(V_{AB}\) et le gisement d'arrivée \(V_{CD}\).
- Calculer la somme des angles observés (\(\Sigma \alpha_{\text{obs}}\)) et la somme théorique des angles (\(\Sigma \alpha_{\text{théo}}\)).
- Calculer l'écart de fermeture angulaire (\(f_{\alpha}\)), vérifier la tolérance (on prendra \(T_{\alpha} = 0.02 \sqrt{n}\) gon) et calculer les angles compensés.
- Calculer les gisements compensés et les sommes des \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) partiels (provisoires) du cheminement (de B à C).
- Calculer les écarts de fermeture planimétrique (\(f_x, f_y\)), vérifier la tolérance (on prendra \(T_{xy} = 0.05 \sqrt{\Sigma L}\) m) et calculer les coordonnées définitives de S1 et S2.
Les bases du Calcul Topographique
Pour résoudre cet exercice, nous aurons besoin de maîtriser les formules fondamentales du calcul de cheminement.
1. Calcul de Gisement (V) et Distance (D)
Entre deux points A(X_A, Y_A) et B(X_B, Y_B) :
\[ \Delta X = X_B - X_A \quad ; \quad \Delta Y = Y_B - Y_A \]
\[ D_{AB} = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2} \]
Le gisement \(V_{AB}\) (angle avec l'axe Y) se calcule (en grades) :
\[ V_{AB} = \arctan\left(\frac{\Delta X}{\Delta Y}\right) \times \frac{200}{\pi} \quad (+ 200 \text{ ou } + 400 \text{ gon si nécessaire}) \]
2. Propagation des Gisements
Le gisement d'un côté se déduit du gisement précédent et de l'angle (tourné à droite) :
\[ V_{n} = V_{n-1} + \alpha_n \pm 200 \text{ gon} \]
On ajoute ou retire 200 gon pour ramener le résultat entre 0 et 400.
3. Fermeture Angulaire (\(f_{\alpha}\))
Pour un cheminement encadré, la somme théorique des angles (\(n\) angles) est :
\[ \Sigma \alpha_{\text{théo}} = (V_{\text{final}} - V_{\text{départ}}) + n \times 200 \text{ gon} \]
La fermeture angulaire est l'écart entre l'observé et le théorique :
\[ f_{\alpha} = \Sigma \alpha_{\text{obs}} - \Sigma \alpha_{\text{théo}} \]
La compensation (correction) sur chaque angle est : \(C_{\alpha} = -f_{\alpha} / n\).
4. Calcul de Coordonnées et Fermeture Planimétrique
Les déplacements partiels sont :
\[ \Delta X_i = D_i \times \sin(V_i) \quad ; \quad \Delta Y_i = D_i \times \cos(V_i) \]
Les fermetures planimétriques sont les écarts entre les déplacements observés (somme des \(\Delta X_i, \Delta Y_i\)) et les déplacements réels (calculés à partir des coordonnées de départ et d'arrivée B et C) :
\[ \Delta X_{\text{réel}} = X_C - X_B \quad ; \quad \Delta Y_{\text{réel}} = Y_C - Y_B \]
\[ f_x = \Sigma \Delta X_{\text{obs}} - \Delta X_{\text{réel}} \quad ; \quad f_y = \Sigma \Delta Y_{\text{obs}} - \Delta Y_{\text{réel}} \]
La compensation sur chaque \(\Delta X_i\) est proportionnelle à la longueur :
\[ C_x(i) = -f_x \times \left(\frac{D_i}{\Sigma D}\right) \]
Et de même pour \(C_y(i)\).
Correction : Cheminement encadré entre 4 points connus
Question 1 : Calculer le gisement de départ \(V_{AB}\) et le gisement d'arrivée \(V_{CD}\)
Principe
Nous utilisons les coordonnées des points connus (A, B, C, D) pour calculer l'orientation des segments de départ (A-B) et d'arrivée (C-D) par rapport au Nord (axe Y).
Mini-Cours
Le gisement est l'angle fondamental en topographie pour orienter les directions. Il se mesure toujours depuis le Nord (Y positif) dans le sens des aiguilles d'une montre (sens horaire). Sa valeur est comprise entre 0 et 400 grades (gon).
Remarque Pédagogique
La principale difficulté réside dans la gestion des quadrants. Un schéma rapide aide souvent à déterminer s'il faut ajouter 200 ou 400 gon au résultat de l'arctangente pour obtenir le gisement correct.
Normes
Le calcul de gisement est une convention mathématique standard en topographie et géodésie. L'unité d'angle utilisée ici est le grade (gon).
Formule(s)
Calcul des Différences de Coordonnées (Exemple AB)
Calcul des Différences de Coordonnées (Exemple CD)
Calcul du Gisement (formule générale)
Hypothèses
On suppose que les coordonnées fournies sont exactes et exprimées dans un système de projection plan rectangulaire.
- Le système de coordonnées est orthogonal (axes X et Y perpendiculaires).
- L'axe Y représente le Nord géographique ou de la projection.
Donnée(s)
Coordonnées des points A, B, C, D (voir tableau de l'énoncé).
Astuces
Utilisez une calculatrice scientifique en mode "grades" (ou "grads", "gon"). Pour les quadrants, retenez : (+\(\Delta X\), +\(\Delta Y\)) \(\Rightarrow\) V ; (+\(\Delta X\), -\(\Delta Y\)) \(\Rightarrow\) V+200 ; (-\(\Delta X\), -\(\Delta Y\)) \(\Rightarrow\) V+200 ; (-\(\Delta X\), +\(\Delta Y\)) \(\Rightarrow\) V+400, où V est le résultat direct de l'arctan(\(\Delta X\)/\(\Delta Y\)).
Schéma (Avant les calculs)
Représentation visuelle des points A, B, C, D et des gisements \(V_{AB}\) et \(V_{CD}\) par rapport au Nord.
Visualisation des Gisements de Référence
Calcul(s)
Application des formules avec les données de l'exercice.
Calcul pour \(V_{AB}\)
Comme \(\Delta X > 0\) et \(\Delta Y > 0\) (Quadrant N-E) \(\Rightarrow\) pas de correction.
Calcul pour \(V_{CD}\)
Comme \(\Delta X > 0\) et \(\Delta Y < 0\) (Quadrant S-E) \(\Rightarrow\) on ajoute 200 gon.
Schéma (Après les calculs)
Le schéma avant calculs illustre déjà les résultats.
Réflexions
Les gisements obtenus sont cohérents avec le schéma de principe et les coordonnées fournies (\(V_{AB}\) dans le quadrant N-E, \(V_{CD}\) dans le quadrant S-E).
Points de vigilance
Le calcul du gisement par \(\arctan(\Delta X / \Delta Y)\) doit impérativement tenir compte des signes de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) (les quadrants) pour ajouter 0, 200 ou 400 gon. Ici, pour \(V_{CD}\), \(\Delta X > 0\) et \(\Delta Y < 0\), nous sommes dans le quadrant Sud-Est, d'où l'ajout de 200 gon.
Points à retenir
- Le gisement se calcule à partir des différences de coordonnées \(\Delta X\) et \(\Delta Y\).
- La fonction arctangente nécessite une correction selon le quadrant.
Le saviez-vous ?
L'unité "grade" (gon) a été introduite en France après la Révolution pour décimaliser les angles (400 gon = 360°). Elle simplifie certains calculs mais reste moins universelle que le degré.
FAQ
Questions fréquentes sur le calcul de gisement.
Résultat Final
Gisement d'arrivée \(V_{CD} = 129.695 \text{ gon}\).
A vous de jouer
Quel serait le gisement \(V_{CD}\) (en gon) si les coordonnées de D étaient (1400.000, 800.000) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q1 :
- Concept Clé : Calcul de gisement.
- Formule : \(V = \arctan(\Delta X / \Delta Y)\) + correction de quadrant.
Question 2 : Calculer la somme des angles observés (\(\Sigma \alpha_{\text{obs}}\)) et la somme théorique des angles (\(\Sigma \alpha_{\text{théo}}\))
Principe
On additionne les 4 angles mesurés sur le terrain. On calcule ensuite la somme que nous aurions dû théoriquement trouver en nous basant sur les gisements de départ et d'arrivée et le nombre d'angles mesurés.
Mini-Cours
Dans un cheminement encadré, la différence entre le gisement d'arrivée et le gisement de départ est directement liée à la somme des angles intérieurs (ou extérieurs, selon la convention) tournés aux stations. La formule \(\Sigma \alpha_{\text{théo}} = (V_{\text{final}} - V_{\text{départ}}) + n \times 200\) exprime cette relation géométrique fondamentale.
Remarque Pédagogique
Le terme \(n \times 200\) assure que la différence de gisement est correctement ajustée, car chaque angle mesuré (\(\alpha\)) fait "pivoter" le gisement suivant par rapport au précédent. Il faut être rigoureux dans l'application de cette formule.
Normes
Ce calcul est une application directe des principes de géométrie et de propagation d'angles en topographie.
Formule(s)
Somme des angles observés (\(\Sigma \alpha_{\text{obs}}\))
Somme théorique des angles (\(\Sigma \alpha_{\text{théo}}\))
Hypothèses
Les angles mesurés sont considérés comme des angles tournés à droite (sens horaire).
- Le nombre de stations où un angle a été mesuré (\(n\)) est de 4 (B, S1, S2, C).
Donnée(s)
Angles observés (\(n=4\)) : 210.100, 205.200, 220.300, 207.000 gon.
Gisements de référence : \(V_{\text{départ}} = V_{AB} = 87.135 \text{ gon}\), \(V_{\text{final}} = V_{CD} = 129.695 \text{ gon}\).
Astuces
Vérifiez bien le nombre \(n\) d'angles mesurés. Pour \(\Sigma \alpha_{\text{théo}}\), assurez-vous que la différence \(V_{\text{final}} - V_{\text{départ}}\) est calculée correctement avant d'ajouter \(n \times 200\).
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation des angles mesurés \(\alpha_B, \alpha_{S1}, \alpha_{S2}, \alpha_C\) sur le parcours.
Angles Mesurés dans le Cheminement
Calcul(s)
Somme des angles observés (\(\Sigma \alpha_{\text{obs}}\))
Somme théorique des angles (\(\Sigma \alpha_{\text{théo}}\))
Schéma (Après les calculs)
Pas de schéma spécifique pour cette étape.
Réflexions
La somme observée (842.600 gon) est très proche de la somme théorique (842.560 gon). L'écart est faible, ce qui suggère que les mesures angulaires sont probablement correctes (ou au moins cohérentes).
Points de vigilance
Ne pas se tromper sur la valeur de \(n\), le nombre d'angles mesurés. Utiliser les gisements calculés à l'étape précédente.
Points à retenir
- La somme théorique des angles dépend des gisements de départ et d'arrivée, et du nombre d'angles.
- Cette étape permet un premier contrôle global de la qualité des mesures angulaires.
Le saviez-vous ?
Dans un cheminement fermé (qui revient à son point de départ), la somme théorique des angles intérieurs d'un polygone à \(n\) sommets est \((n-2) \times 200\) gon.
FAQ
Questions fréquentes sur le calcul des sommes angulaires.
Résultat Final
Somme théorique \(\Sigma \alpha_{\text{théo}} = 842.560 \text{ gon}\).
A vous de jouer
Si l'angle à la station S1 avait été mesuré à 205.250 gon, quelle aurait été la \(\Sigma \alpha_{\text{obs}}\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q2 :
- Concept Clé : Contrôle angulaire.
- Formule : \(\Sigma \alpha_{\text{théo}} = (V_{\text{final}} - V_{\text{départ}}) + n \times 200\).
Question 3 : Calculer l'écart de fermeture angulaire (\(f_{\alpha}\)), vérifier la tolérance et calculer les angles compensés
Principe
On calcule l'erreur angulaire totale (\(f_{\alpha}\)), on la compare à une tolérance réglementaire pour valider le levé, puis on répartit cette erreur (en l'opposant) équitablement sur tous les angles mesurés pour obtenir des angles mathématiquement cohérents.
Mini-Cours
La fermeture angulaire \(f_{\alpha}\) représente l'erreur cumulée des mesures d'angle. La tolérance \(T_{\alpha}\) définit l'erreur maximale acceptable pour ce type de levé. Si \(|f_{\alpha}| \le T_{\alpha}\), on compense l'erreur. La compensation consiste à appliquer une correction \(C_{\alpha} = -f_{\alpha} / n\) à chaque angle mesuré.
Remarque Pédagogique
La compensation suppose que l'erreur s'est répartie de manière aléatoire sur toutes les mesures. Répartir l'erreur uniformément est la méthode la plus simple et la plus courante en l'absence d'informations sur la précision de chaque mesure individuelle.
Normes
La formule de tolérance (\(T_{\alpha} = 0.02 \sqrt{n}\) gon) est un exemple. Les tolérances réelles dépendent de la précision requise pour les travaux et des instruments utilisés (spécifiées dans les cahiers des charges ou normes professionnelles).
Formule(s)
Fermeture angulaire (\(f_{\alpha}\))
Tolérance angulaire (\(T_{\alpha}\))
Compensation unitaire (\(C_{\alpha}\))
Angle compensé (\(\alpha'\))
Hypothèses
L'erreur angulaire est répartie uniformément sur les \(n=4\) angles mesurés.
Donnée(s)
\(\Sigma \alpha_{\text{obs}} = 842.600 \text{ gon}\), \(\Sigma \alpha_{\text{théo}} = 842.560 \text{ gon}\), \(n=4\).
Astuces
Après avoir calculé les angles compensés, vérifiez que leur somme est bien égale à \(\Sigma \alpha_{\text{théo}}\). C'est un bon moyen de contrôler vos calculs.
Schéma (Avant les calculs)
Cette étape est purement mathématique (comparaison de sommes et calcul de corrections). Il n'y a pas de schéma spécifique pertinent à ajouter ici, les angles concernés sont déjà visualisés à la question 2.
Calcul(s)
Fermeture angulaire (\(f_{\alpha}\))
Tolérance angulaire (\(T_{\alpha}\))
Vérification
\(|f_{\alpha}| = 0.040 \le T_{\alpha} = 0.040\). Le levé est accepté.
Compensation (\(C_{\alpha}\)) et Angles Compensés
| Station | Angle Observé (\(\text{gon}\)) | Compensation (\(\text{gon}\)) | Angle Compensé (\(\alpha'\) en \(\text{gon}\)) |
|---|---|---|---|
| B | 210.100 | -0.010 | 210.090 |
| S1 | 205.200 | -0.010 | 205.190 |
| S2 | 220.300 | -0.010 | 220.290 |
| C | 207.000 | -0.010 | 206.990 |
| Total | 842.600 | -0.040 | 842.560 (= \(\Sigma \alpha_{\text{théo}}\)) |
Schéma (Après les calculs)
Pas de schéma spécifique pour cette étape.
Réflexions
L'erreur étant positive (\(+0.040\)), cela signifie que nous avons mesuré "trop" d'angle. La compensation consiste donc à retirer une petite quantité (\(0.010\)) à chaque angle. La somme des angles compensés correspond maintenant exactement à la somme théorique.
Points de vigilance
Attention au signe de la compensation : elle est toujours l'opposé de la fermeture (\(C_{\alpha} = -f_{\alpha}/n\)). Vérifier que la tolérance est bien respectée avant de compenser.
Points à retenir
- La fermeture angulaire est la différence entre le mesuré et le théorique.
- Elle doit être inférieure ou égale à la tolérance.
- La compensation répartit l'erreur opposée uniformément.
Le saviez-vous ?
Des méthodes de compensation plus complexes existent (ex: moindres carrés), qui pondèrent la répartition de l'erreur en fonction de la précision estimée de chaque mesure. La répartition uniforme est cependant très courante pour les calculs manuels.
FAQ
Questions fréquentes sur la compensation angulaire.
Résultat Final
La compensation est de \(-0.010 \text{ gon}\) sur chaque angle. Les angles compensés sont 210.090, 205.190, 220.290, 206.990 gon.
A vous de jouer
Si la tolérance était plus stricte, \(T_{\alpha} = 0.01 \sqrt{n}\) gon, quelle serait la tolérance (en gon) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q3 :
- Concept Clé : Compensation angulaire.
- Calculs : \(f_{\alpha} = \Sigma\alpha_{\text{obs}} - \Sigma\alpha_{\text{théo}}\), \(C_{\alpha} = -f_{\alpha}/n\), \(\alpha' = \alpha + C_{\alpha}\).
- Point de Vigilance : Vérifier la tolérance \(T_{\alpha}\) avant de compenser.
Question 4 : Calculer les gisements compensés et les sommes des \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) partiels (provisoires)
Principe
On propage le gisement de départ (\(V_{AB}\)) en utilisant les angles compensés (\(\alpha'\)) pour trouver le gisement de chaque côté du cheminement (B-S1, S1-S2, S2-C). On utilise ensuite ces gisements et les distances mesurées pour calculer les déplacements partiels \(\Delta X_i\) et \(\Delta Y_i\) pour chaque côté.
Mini-Cours
La propagation des gisements est une chaîne de calculs : le gisement d'un côté permet de calculer le suivant via l'angle mesuré à la station commune. La formule \(G_{i} = G_{i-1} + \alpha'_{i} \pm 200\) est appliquée à chaque station. Les \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) sont ensuite calculés par trigonométrie simple dans le triangle rectangle formé par le côté, l'axe Y et l'axe X.
Remarque Pédagogique
Soyez méthodique. Calculez d'abord tous les gisements, en vérifiant que le gisement final obtenu (avant le dernier angle \(\alpha'_C\)) plus cet angle \(\alpha'_C\) redonne bien le gisement d'arrivée \(V_{CD}\). Puis calculez tous les \(\Delta X\) et \(\Delta Y\).
Normes
Les formules de propagation de gisement et de calcul des \(\Delta X, \Delta Y\) sont des standards mathématiques en topographie.
Formule(s)
Propagation de Gisement
Calcul des Déplacements Partiels
Hypothèses
On utilise les angles compensés \(\alpha'\) calculés à l'étape précédente.
- Les distances mesurées (D) sont considérées exactes à ce stade.
- Les calculs trigonométriques (sin, cos) sont faits en grades (gon).
Donnée(s)
Gisement de départ \(G_{AB} = 87.135 \text{ gon}\). Angles compensés : \(\alpha'_B=210.090, \alpha'_{S1}=205.190, \alpha'_{S2}=220.290, \alpha'_C=206.990 \text{ gon}\). Distances : \(D_{BS1}=150.450 \text{ m}, D_{S1S2}=200.100 \text{ m}, D_{S2C}=100.250 \text{ m}\).
Astuces
Utilisez les fonctions sinus et cosinus de votre calculatrice en mode "grades". Vérifiez le gisement d'arrivée en utilisant le dernier angle compensé (\(\alpha'_C\)) : \(G_{S2C} + \alpha'_C \pm 200\) doit être égal à \(V_{CD}\).
Schéma (Avant les calculs)
Illustration du calcul de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) pour un côté (ex: B-S1) à partir du gisement \(G_{BS1}\) et de la distance \(D_{BS1}\).
Calcul de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\)
Calcul(s)
Le calcul se fait séquentiellement. Le cheminement pour le calcul des coordonnées part va de B à C.
Calcul des Gisements Compensés
Vérification du gisement d'arrivée
La compensation angulaire est correcte.
Calcul des Déplacements Partiels (\(\Delta X, \Delta Y\))
| Côté | Gisement Compensé (\(G\) en \(\text{gon}\)) | Distance (\(D\) en \(\text{m}\)) | \(\Delta X = D \times \sin(G)\) (\(\text{m}\)) | \(\Delta Y = D \times \cos(G)\) (\(\text{m}\)) |
|---|---|---|---|---|
| B-S1 | 97.225 | 150.450 | \(+149.974\) | \(+19.349\) |
| S1-S2 | 102.415 | 200.100 | \(+200.201\) | \(-19.908\) |
| S2-C | 122.705 | 100.250 | \(+96.353\) | \(-27.538\) |
| Total (B à C) | - | 450.800 | +446.528 | -28.097 |
Schéma (Après les calculs)
Pas de schéma spécifique pour cette étape, mais on pourrait représenter les vecteurs \(\Delta X, \Delta Y\) pour chaque côté.
Réflexions
Les gisements progressent logiquement. Les signes des \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) sont cohérents avec les orientations des côtés (ex: B-S1 a un gisement proche de 100 gon, donc grand \(\Delta X\) positif et petit \(\Delta Y\) positif).
Points de vigilance
Erreurs fréquentes : mauvaise utilisation de \(\pm 200\) dans la propagation ; inversion sinus/cosinus ; calculatrice en mode degrés au lieu de grades.
Points à retenir
- La propagation des gisements utilise les angles compensés.
- Les \(\Delta X\) sont calculés avec le sinus du gisement, les \(\Delta Y\) avec le cosinus.
- La vérification du gisement final est cruciale.
Le saviez-vous ?
Les logiciels de calcul topographique effectuent ces calculs de manière automatisée, mais comprendre le processus manuel est essentiel pour interpréter les résultats et détecter les erreurs.
FAQ
Questions fréquentes sur la propagation et les coordonnées partielles.
Résultat Final
Somme des \(\Delta Y\) provisoires : \(\Sigma \Delta Y_{\text{prov}} = -28.097 \text{ m}\).
A vous de jouer
Si la distance B-S1 était de 150.000 m (au lieu de 150.450), quel serait le \(\Delta X_{BS1}\) (en m) ? (Utilisez \(G_{BS1} = 97.225\))
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q4 :
- Concept Clé : Propagation des gisements et calcul des coordonnées partielles.
- Formules : \(G_i = G_{i-1} + \alpha'_i \pm 200\), \(\Delta X_i = D_i \sin(G_i)\), \(\Delta Y_i = D_i \cos(G_i)\).
- Vérification : Le gisement final propagé doit correspondre au gisement de référence connu.
Question 5 : Calculer les fermetures planimétriques (\(f_x, f_y\)), vérifier la tolérance et calculer les coordonnées définitives
Principe
On compare la somme des déplacements calculés (\(\Sigma \Delta X_{\text{prov}}, \Sigma \Delta Y_{\text{prov}}\)) au déplacement réel (\(\Delta X_{\text{réel}}, \Delta Y_{\text{réel}}\)) entre les points de départ (B) et d'arrivée (C) du cheminement. L'écart (\(f_x, f_y\)) est l'erreur de fermeture planimétrique. On vérifie si cette erreur est acceptable (inférieure à la tolérance \(T_{xy}\)). Si oui, on répartit l'erreur opposée (\(-f_x, -f_y\)) proportionnellement aux longueurs des côtés pour obtenir les \(\Delta X', \Delta Y'\) compensés, puis on calcule les coordonnées finales des points S1 et S2.
Mini-Cours
La fermeture planimétrique permet de contrôler la précision des mesures de distance et la cohérence globale du levé. L'erreur totale \(f_L = \sqrt{f_x^2 + f_y^2}\) est comparée à une tolérance \(T_{xy}\) qui dépend souvent de la longueur totale du cheminement (\(\Sigma L\)). La compensation proportionnelle aux longueurs (\(C_x(i) = -f_x \times D_i / \Sigma D\)) suppose que les erreurs de distance sont plus probables sur les côtés les plus longs.
Remarque Pédagogique
Cette étape finale boucle le calcul. Il est essentiel de vérifier que les coordonnées calculées pour le point d'arrivée (C) après compensation correspondent bien aux coordonnées connues de C. C'est la validation ultime du calcul.
Normes
La formule de tolérance (\(T_{xy} = 0.05 \sqrt{\Sigma L}\) m) est indicative. Les normes professionnelles et les cahiers des charges spécifient les tolérances requises en fonction du type de travaux (ex: cadastre, génie civil).
Formule(s)
Déplacements Réels
Fermetures Planimétriques
Fermeture Totale
Tolérance Planimétrique
Compensations Partielles
Déplacements Compensés
Coordonnées Définitives
Hypothèses
L'erreur planimétrique est répartie proportionnellement aux longueurs des côtés mesurés.
- Les coordonnées de B et C sont considérées comme parfaitement exactes.
Donnée(s)
\(\Sigma \Delta X_{\text{prov}} = +446.528 \text{ m}\), \(\Sigma \Delta Y_{\text{prov}} = -28.097 \text{ m}\). Coordonnées de B(1200.000, 1050.000) et C(1600.000, 900.000). Distances \(D_{BS1}=150.450 \text{ m}, D_{S1S2}=200.100 \text{ m}, D_{S2C}=100.250 \text{ m}\). \(\Sigma D = 450.800 \text{ m}\).
Astuces
Utilisez un tableau pour organiser les calculs de compensation et de coordonnées définitives, en cumulant les \(\Delta X'\) et \(\Delta Y'\) à partir des coordonnées de B. Vérifiez que la somme des compensations \(C_x\) est bien égale à \(-f_x\) (et de même pour \(C_y\)).
Schéma (Avant les calculs)
On peut visualiser l'écart entre le point C' calculé (\(X_B+\Sigma\Delta X_{\text{prov}}, Y_B+\Sigma\Delta Y_{\text{prov}}\)) et le point C connu.
Visualisation de la Fermeture Planimétrique
Calcul(s)
Déplacement Réel (B vers C)
Fermetures Planimétriques (\(f_x, f_y\))
Fermeture Totale (\(f_L\)) et Tolérance (\(T_{xy}\))
Vérification : \(f_L = 130.479 \text{ m} \gg T_{xy} = 1.062 \text{ m}\). Le levé est inacceptable ! Les mesures de distance contiennent une erreur grossière. Les calculs de compensation qui suivent sont présentés uniquement à titre méthodologique.
Calcul des Coordonnées Définitives (avec Tableau de Compensation)
| Pt | Côté | D (\(\text{m}\)) | \(\Delta X_{\text{prov}}\) | \(\Delta Y_{\text{prov}}\) | \(D_i/\Sigma D\) | \(C_x = -f_x \frac{D_i}{\Sigma D}\) | \(C_y = -f_y \frac{D_i}{\Sigma D}\) | \(\Delta X' = \Delta X + C_x\) | \(\Delta Y' = \Delta Y + C_y\) | X déf (\(\text{m}\)) | Y déf (\(\text{m}\)) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| B | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1200.000 | 1050.000 |
| B-S1 | 150.450 | +149.974 | +19.349 | 0.3337 | -15.534 | -40.706 | +134.440 | -21.357 | |||
| S1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1334.440 | 1028.643 |
| S1-S2 | 200.100 | +200.201 | -19.908 | 0.4439 | -20.626 | -54.111 | +179.575 | -74.019 | |||
| S2 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1514.015 | 954.624 |
| S2-C | 100.250 | +96.353 | -27.538 | 0.2224 | -10.349 | -27.126 | +86.004 | -54.664 | |||
| C | - | 450.800 | +446.528 | -28.097 | 1.0000 | -46.509* | -121.943* | +400.019* | -150.040* | 1600.019* | 899.960* |
*Les légers écarts résiduels sur \(\Sigma C_x\) vs \(-f_x\), \(\Sigma C_y\) vs \(-f_y\), \(\Sigma \Delta X'\) vs \(\Delta X_{\text{réel}}\), \(\Sigma \Delta Y'\) vs \(\Delta Y_{\text{réel}}\) et les coordonnées calculées de C sont dus aux arrondis dans le calcul des proportions \(D_i/\Sigma D\). On ajuste souvent la dernière compensation pour retomber exactement sur \(X_C, Y_C\).
Recalcul Ajusté (pour forcer la fermeture mathématique)
| Pt | \(\Delta X'\) Ajusté (\(\text{m}\)) | \(\Delta Y'\) Ajusté (\(\text{m}\)) | X déf (\(\text{m}\)) | Y déf (\(\text{m}\)) |
|---|---|---|---|---|
| B | - | - | 1200.000 | 1050.000 |
| S1 | +134.440 | -21.357 | 1334.440 | 1028.643 |
| S2 | +179.575 | -74.019 | 1514.015 | 954.624 |
| C | \(+85.985\) (Ajusté) | \(-54.624\) (Ajusté) | 1600.000 | 900.000 |
Calcul des ajustements :
\(\Delta X'_{S2C} = \Delta X_{\text{réel}} - \Delta X'_{BS1} - \Delta X'_{S1S2} = 400.000 - 134.440 - 179.575 = +85.985\)
\(\Delta Y'_{S2C} = \Delta Y_{\text{réel}} - \Delta Y'_{BS1} - \Delta Y'_{S1S2} = -150.000 - (-21.357) - (-74.019) = -54.624\)
Schéma (Après les calculs)
On pourrait tracer le cheminement B-S1-S2-C avec les coordonnées définitives.
Réflexions
Malgré l'erreur initiale très importante signalée, la méthode de compensation planimétrique permet de "forcer" le cheminement à se refermer correctement sur les points connus. Les coordonnées obtenues sont mathématiquement cohérentes avec la compensation appliquée, mais leur précision réelle est très douteuse à cause de la faute initiale dans les mesures de distance.
Points de vigilance
Toujours vérifier la tolérance planimétrique ! Si elle est dépassée, les coordonnées calculées n'ont pas de valeur métrologique fiable. Attention aux signes lors du calcul des fermetures (\(\Sigma_{\text{prov}} - \Delta_{\text{réel}}\)) et des compensations (\(C = -f \times ...\)).
Points à retenir
- La fermeture planimétrique compare les \(\Sigma \Delta X, \Sigma \Delta Y\) calculés aux \(\Delta X, \Delta Y\) réels entre points connus.
- La compensation répartit l'erreur opposée proportionnellement aux longueurs.
- La vérification finale sur le point d'arrivée est indispensable.
Le saviez-vous ?
La méthode de compensation proportionnelle aux longueurs est simple mais suppose que l'erreur provient uniquement des mesures de distance. En réalité, les erreurs angulaires affectent aussi les coordonnées. La méthode des moindres carrés offre une compensation plus rigoureuse en tenant compte simultanément des erreurs angulaires et de distance.
FAQ
Questions fréquentes sur la compensation planimétrique.
Résultat Final
Coordonnées S2 définitives : X = 1514.015 m, Y = 954.624 m.
(Le point C calculé retombe bien sur C connu, validant la compensation ajustée).
A vous de jouer
Quelle est la fermeture totale \(f_L\) (en m) si \(f_x = +0.100 \text{ m}\) et \(f_y = -0.050 \text{ m}\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q5 :
- Concept Clé : Compensation planimétrique.
- Calculs : \(f_x, f_y\), \(f_L\), \(T_{xy}\), \(C_x(i), C_y(i)\), \(\Delta X', \Delta Y'\), Coords Définitives.
- Point de Vigilance : Vérifier la tolérance \(T_{xy}\). Vérifier la fermeture sur le point final connu.
Outil Interactif : Simulateur d'Erreur Angulaire
Utilisez les curseurs pour modifier l'angle \(\alpha_B\) ou la somme théorique et voir l'impact direct sur l'erreur de fermeture angulaire (\(f_{\alpha}\)) et la compensation nécessaire.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés (\(n=4\), \(\Sigma \alpha_{\text{théo}} = 842.560\))
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Qu'est-ce qu'un gisement (ou azimut) en topographie ?
2. Si \(\Delta X = -50\) et \(\Delta Y = +100\), dans quel quadrant se situe le gisement ?
3. Une fermeture angulaire \(f_{\alpha} = +0.060\) gon pour 3 angles (\(n=3\)). Quelle compensation \(C_{\alpha}\) applique-t-on sur chaque angle ?
4. Comment se répartit la compensation planimétrique (\(C_x, C_y\)) sur les côtés du cheminement ?
5. Si \(G_{AB} = 50\) gon et l'angle \(\alpha_B = 210\) gon (tourné à droite), que vaut \(G_{BC}\) ?
Glossaire
- Cheminement Encadré
- Parcours topographique qui part d'une base connue (deux points de gisement connu) et se termine sur une autre base connue, permettant un contrôle complet des erreurs.
- Compensation
- Processus mathématique de répartition des erreurs de fermeture (angulaires ou planimétriques) sur l'ensemble des mesures pour forcer la cohérence mathématique.
- Fermeture Angulaire (\(f_{\alpha}\))
- Différence entre la somme des angles mesurés sur le terrain et la somme théorique calculée à partir des gisements de référence.
- Fermeture Planimétrique (\(f_x, f_y\))
- Différence entre la somme des déplacements calculés (\(\Sigma \Delta X, \Sigma \Delta Y\)) et le déplacement réel entre les points de départ et d'arrivée du cheminement.
- Gisement (V ou Gz)
- Angle horizontal mesuré en grades (gon) dans le sens horaire, à partir de la direction du Nord (axe Y) jusqu'à la direction d'un côté (ex: A-B).
- Grade (gon)
- Unité d'angle où un cercle complet est divisé en 400 grades. Un angle droit mesure 100 gon.
D’autres exercices de calculs planimétriques:
0 commentaires