Cheminement altimétrique trigonométrique : calcul des dénivelées
Contexte : Transporter l'altitude de proche en proche
Lorsqu'il faut déterminer l'altitude de plusieurs points successifs le long d'un tracé (route, canalisation, etc.), il n'est pas toujours possible de les viser tous depuis une seule station. On utilise alors un cheminement altimétriqueOpération qui consiste à déterminer les altitudes de points successifs en "transportant" l'altitude de proche en proche, d'une station à la suivante.. Le principe est de "sauter" d'un point à l'autre : on mesure la dénivelée entre le point de départ A et un point intermédiaire S1, on calcule l'altitude de S1, puis on déplace l'instrument en S1 pour mesurer la dénivelée vers le point suivant S2, et ainsi de suite. Chaque segment est un calcul de nivellement trigonométrique simple, mais leur enchaînement permet de couvrir de longues distances.
Remarque Pédagogique : Le cheminement est une succession de calculs de base. Sa difficulté ne réside pas dans la complexité des formules, mais dans la rigueur et l'organisation nécessaires pour ne pas commettre d'erreur. Chaque erreur de calcul sur un point se propage à tous les points suivants, d'où l'importance de la méthode et des vérifications.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la logique d'un cheminement altimétrique.
- Calculer la dénivelée d'un tronçon par nivellement trigonométrique.
- Calculer l'altitude d'une nouvelle station à partir de la précédente.
- Enchaîner plusieurs calculs de dénivelée pour déterminer l'altitude d'un point final.
- Appréhender la notion de propagation des erreurs dans un cheminement.
Données de l'étude
Schéma du cheminement
- Altitude du point A : \(Alt_A = 124.550 \, \text{m}\)
- Hauteur de l'instrument en A : \(h_{tA} = 1.650 \, \text{m}\)
- Hauteur du prisme en S1 : \(h_{pS1} = 1.800 \, \text{m}\)
- Distance inclinée A-S1 : \(D_{i(A-S1)} = 92.480 \, \text{m}\)
- Angle vertical A-S1 : \(V_{A-S1} = 97.4000 \, \text{gon}\)
- Hauteur de l'instrument en S1 : \(h_{tS1} = 1.610 \, \text{m}\)
- Hauteur du prisme en B : \(h_{pB} = 2.000 \, \text{m}\)
- Distance inclinée S1-B : \(D_{i(S1-B)} = 115.250 \, \text{m}\)
- Angle vertical S1-B : \(V_{S1-B} = 104.2500 \, \text{gon}\)
Questions à traiter
- Calculer la dénivelée de A vers S1 (\(\Delta H_{A \rightarrow S1}\)) et l'altitude de la station S1.
- Calculer la dénivelée de S1 vers B (\(\Delta H_{S1 \rightarrow B}\)).
- En déduire l'altitude finale du point B (\(Alt_B\)).
Correction : Cheminement Altimétrique Trigonométrique
Question 1 : Dénivelée et Altitude de S1
Principe :
Pour le premier tronçon, on applique la formule complète du nivellement trigonométrique. On calcule la dénivelée brute entre l'instrument et le prisme, puis on la corrige avec les hauteurs d'instrument et de prisme pour obtenir la dénivelée nette entre les points au sol. On ajoute ensuite cette dénivelée à l'altitude du point de départ pour trouver celle du point d'arrivée.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : C'est le calcul fondamental qui sera répété pour chaque segment du cheminement. Il est crucial de bien le maîtriser et de bien identifier chaque terme : qui est la station, qui est le point visé, et quelles sont les hauteurs correspondantes.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- \(Alt_A = 124.550 \, \text{m}\)
- \(h_{tA} = 1.650 \, \text{m}\), \(h_{pS1} = 1.800 \, \text{m}\)
- \(D_{i(A-S1)} = 92.480 \, \text{m}\), \(V_{A-S1} = 97.4000 \, \text{gon}\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Identification des hauteurs : L'erreur la plus commune est de confondre la hauteur de l'instrument (\(h_t\)) avec la hauteur du prisme (\(h_p\)), ou d'utiliser les hauteurs de la mauvaise station. Il faut toujours bien lire l'énoncé pour associer la bonne hauteur à la bonne station (A) et au bon point visé (S1).
Le saviez-vous ?
Question 2 : Dénivelée de S1 vers B (\(\Delta H_{S1 \rightarrow B}\))
Principe :
On répète exactement le même calcul que pour le premier tronçon, mais en utilisant les données de la deuxième station (S1) et du deuxième point visé (B). On calcule la dénivelée nette entre S1 et B.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : La visée est cette fois descendante (V > 100 gon). On s'attend donc à une dénivelée brute négative. Le calcul de la dénivelée nette \(\Delta H\) sera donc le résultat de la somme de la hauteur d'instrument (positive) et de deux valeurs négatives (dénivelée brute et hauteur de prisme).
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- \(h_{tS1} = 1.610 \, \text{m}\), \(h_{pB} = 2.000 \, \text{m}\)
- \(D_{i(S1-B)} = 115.250 \, \text{m}\), \(V_{S1-B} = 104.2500 \, \text{gon}\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Changement de hauteur d'instrument : L'opérateur a déplacé son instrument de A à S1. Il est très probable que la hauteur de l'instrument ne soit pas exactement la même. Il est crucial d'utiliser la nouvelle hauteur mesurée en S1 (\(h_{tS1}\)) pour ce deuxième calcul.
Le saviez-vous ?
Question 3 : Altitude Finale du Point B (\(Alt_B\))
Principe :
L'altitude du point final B s'obtient simplement en ajoutant la dénivelée du deuxième tronçon (\(\Delta H_{S1 \rightarrow B}\)) à l'altitude de la station S1, que nous avons calculée à l'étape précédente.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : C'est l'essence même du cheminement : l'altitude d'un point devient la base de départ pour le calcul du suivant. On "transporte" l'information altimétrique le long du parcours.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- Altitude de S1 : \(Alt_{S1} = 128.178 \, \text{m}\)
- Dénivelée S1 vers B : \(\Delta H_{S1 \rightarrow B} = -8.081 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Erreur de report : Une simple erreur en recopiant l'altitude de S1 calculée à la question précédente fausserait ce dernier calcul. La rigueur dans la tenue d'un carnet de terrain (ou d'un fichier numérique) est primordiale.
Le saviez-vous ?
Simulation Interactive d'un Tronçon
Faites varier les paramètres de la visée depuis S1 vers B pour voir leur impact sur la dénivelée.
Paramètres de la Visée S1 -> B
Visualisation du Calcul
Pour Aller Plus Loin : Le Cheminement Fermé
Boucler la boucle pour plus de précision : La meilleure façon de contrôler un cheminement est de le "fermer", c'est-à-dire de le faire revenir à son point de départ A (ou de le terminer sur un autre point dont l'altitude est connue avec certitude). En revenant au point A, on obtient une nouvelle altitude calculée pour A. La différence entre l'altitude de départ et l'altitude d'arrivée est "l'erreur de fermeture altimétrique". Si cette erreur est faible (quelques millimètres ou centimètres, selon la précision requise), on la répartit sur tous les points du cheminement pour ajuster leurs altitudes.
Le Saviez-Vous ?
Le nivellement du tunnel sous la Manche a été un exploit de topographie. Les équipes françaises et britanniques ont démarré le creusement de chaque côté et ont cheminé sur plus de 20 km chacune. Lors de la jonction en 1990, l'écart entre les deux galeries n'était que de 35.8 cm horizontalement et 5.8 cm verticalement, une prouesse remarquable due à des cheminements extrêmement précis.
Foire Aux Questions (FAQ)
Que se passe-t-il si on se trompe sur la hauteur de prisme à la station S1 ?
Une erreur sur \(h_{pS1}\) affectera l'altitude calculée de S1. Cette erreur sera ensuite reportée intégralement sur le calcul de l'altitude de B. Si on se trompe de 1 cm sur \(h_{pS1}\), l'altitude finale de B sera fausse de 1 cm.
Pourquoi ne pas faire une seule grande visée de A vers B ?
Plusieurs raisons : il peut y avoir un obstacle (colline, bâtiment) entre A et B. De plus, sur de longues distances, la précision des mesures diminue à cause de la courbure de la Terre, de la réfraction atmosphérique et de la difficulté à viser précisément le prisme. Un cheminement avec des visées plus courtes est souvent plus précis.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Dans un cheminement, si on oublie d'ajouter la hauteur d'instrument (\(h_t\)) à une station, l'altitude du point suivant sera :
2. Si la dénivelée du premier tronçon est +2m et celle du second est -5m, la dénivelée totale entre le point de départ et le point d'arrivée est :
Glossaire
- Cheminement Altimétrique
- Opération qui consiste à déterminer les altitudes de points successifs en "transportant" l'altitude de proche en proche, d'une station à la suivante, par une série de mesures de dénivelées.
- Visée Réciproque
- Technique de contrôle où l'on mesure la dénivelée de A vers B, puis de B vers A. Les deux résultats devraient être égaux en valeur absolue et de signe opposé. La moyenne des deux permet d'éliminer certaines erreurs systématiques.
- Erreur de Fermeture
- Dans un cheminement qui revient à son point de départ, c'est la différence entre l'altitude connue de départ et l'altitude calculée à la fin du parcours. Elle quantifie l'erreur globale du cheminement.
D’autres exercices de calculs altimétriques:
0 commentaires