Le premier cadastre français date de Napoléon (1807).
Bornage Amiable - Parcelle ZX-42
📝 Nature du Litige & Cadre d'Intervention
Un différend oppose M. Dupont (propriétaire de la parcelle ZX-42) et sa voisine Mme Durand (propriétaire de la parcelle ZX-43) concernant la matérialisation exacte de leur limite séparative commune. M. Dupont souhaite édifier une clôture rigide en limite de propriété, mais Mme Durand conteste l'emplacement des piquets provisoires, affirmant qu'ils empiètent de 50 cm sur son terrain. L'enjeu est de déterminer si la limite réelle correspond à l'alignement d'un mur ancien partiellement effondré ou à une ligne droite théorique définie par des titres de propriété.
Il s'agit ici d'une procédure de Bornage Amiable, régie par l'article 646 du Code Civil ("Tout propriétaire peut obliger son voisin au bornage de leurs propriétés contiguës"). Cette procédure est contradictoire : elle nécessite l'accord formel des deux parties sur la position de la limite. Si aucun accord n'est trouvé, un Procès-Verbal de Carence sera dressé, ouvrant la voie à un Bornage Judiciaire devant le Tribunal d'Instance. Le Géomètre-Expert est le seul professionnel habilité par la loi à fixer ces limites de manière définitive.
En votre qualité de Géomètre-Expert, vous êtes mandaté pour :
1. Analyser les titres de propriété et les archives (plan cadastral, actes notariés).
2. Rechercher sur le terrain les preuves matérielles (bornes anciennes, murs, repères).
3. Calculer la position théorique des sommets de la parcelle.
4. Proposer une limite contradictoire et dresser le PV de Bornage.
- Adresse
12, Impasse des Lilas, 33000 Bordeaux - Références Cadastrales
Section ZX, Numéro 42 (Lieu-dit "Le Grand Chêne") - Superficies
Cadastrale : 15 a 00 ca (1500 m²)
Titre (1952) : "Environ 15 ares"
"Attention, un vieux chêne centenaire est situé à proximité immédiate du point B présumé. L'acte de 1952 mentionne ce chêne comme repère naturel ('en deçà du grand chêne'). Vérifiez si la position calculée du point B respecte cette contrainte physique (le point ne doit pas tomber dans le tronc)."
2. Données Techniques de Référence
Les paramètres ci-dessous définissent le cadre géodésique, légal et métrologique de l'opération. Ils sont impératifs et conformes aux Règles de l'Art édictées par l'Ordre des Géomètres-Experts.
📚 Référentiel Normatif & Légal
Code Civil (Art. 646) Décret n° 96-478 (Bornage) Système RGF93 / CC45 (Légal)[CLAUSE 1 - DÉSIGNATION]
Une parcelle de terre labourable sise à Bordeaux, lieudit 'Le Grand Chêne', d'une contenance d'environ quinze ares (15a 00ca), tenant :
- Au Nord : par le chemin vicinal n°4 (Voie Publique).
- À l'Est : par la propriété de M. Durand (Mur mitoyen sur 20m puis alignement droit).
- Au Sud et à l'Ouest : par le surplus de la propriété du vendeur.
[CLAUSE 2 - SIGNES]
"La limite Est passe à un mètre cinquante (1.50m) à l'Ouest de l'axe du vieux chêne."
| POLYGONE DE BASE (RÉSEAU GÉODÉSIQUE) | ||
| Point | E (m) | N (m) |
|---|---|---|
| S1 (Station) | 1 420 500.00 | 5 200 100.00 |
| S2 (Référence) | 1 420 550.00 | 5 200 150.00 |
📐 Données Terrain (Relevé Tachéométrique)
Mesures brutes effectuées depuis la station S1, visée arrière sur S2 (Orientation). Correction de réduction à l'ellipsoïde négligée sur ces courtes distances.
- Angle Hz (S2 -> A): 100.000 gr
- Distance Hz (S1 -> A): 25.00 m
- Angle Hz (S2 -> B): 200.000 gr
- Distance Hz (S1 -> B): 35.00 m
⚖️ Tolérances Réglementaires (Classe 2)
Zone urbaine dense ou lotissement. Les critères de précision sont stricts pour éviter tout empiètement.
E. Protocole de Résolution
Méthodologie séquentielle pour le calcul des coordonnées et la validation de la limite foncière.
Gisement de Référence
Calcul du V0 (Gisement S1-S2) à partir des coordonnées.
Calcul Rayonnement
Détermination des coordonnées (X,Y) des points A et B.
Contrôle de Distance
Calcul de la distance AB et comparaison avec l'acte.
Plan & PV
Vérification des superficies et rédaction du PV.
Calcul pour le bornage d'une propriété
🎯 Objectif
L'objectif primordial de cette étape est de déterminer l'orientation absolue de la station S1 dans le système de projection national RGF93. En calculant le gisement \(V_0\) (ou \(G_{\text{S1-S2}}\)), nous transformons le segment de référence S1-S2 en une base angulaire connue. Cela permettra ensuite, par simple addition des angles horizontaux mesurés sur le terrain, d'orienter toutes les visées rayonnantes vers les points inconnus (A et B). C'est la clé de voûte du passage du référentiel local (station) au référentiel global (carte).
📚 Référentiel
Trigonométrie Plane Géodésie (RGF93)En topographie, le gisement \(G_{\text{AB}}\) (ou \(V_{\text{AB}}\)) est l'angle horizontal formé entre la direction du Nord Lambert (axe des Y positifs) et la direction du vecteur AB. Contrairement au cercle trigonométrique mathématique classique (sens anti-horaire, origine à l'Est), le gisement topographique se caractérise par :
- Origine : Axe des Y (Nord).
- Sens : Horaire (sens des aiguilles d'une montre).
- Unité : Le Grade (gon), où un cercle complet = 400 gr (donc un angle droit = 100 gr).
La valeur du gisement dépend strictement du quadrant dans lequel se projette le vecteur, ce qui est déterminé par les signes algébriques des différences de coordonnées (\(\Delta X\) et \(\Delta Y\)).
Étape 1 : Données d'Entrée
| Point | X (m) [Est] | Y (m) [Nord] |
|---|---|---|
| S1 (Départ) | 1 420 500.00 | 5 200 100.00 |
| S2 (Arrivée) | 1 420 550.00 | 5 200 150.00 |
Avant tout calcul, visualisez la position relative des points :
- Si S2 est à l'Est (\(X >\)) et au Nord (\(Y >\)) de S1 \(\Rightarrow\) Quadrant 1 (0-100 gr).
- Si S2 est à l'Est (\(X >\)) et au Sud (\(Y <\)) de S1 \(\Rightarrow\) Quadrant 2 (100-200 gr).
- Si S2 est à l'Ouest (\(X <\)) et au Sud (\(Y <\)) de S1 \(\Rightarrow\) Quadrant 3 (200-300 gr).
- Si S2 est à l'Ouest (\(X <\)) et au Nord (\(Y >\)) de S1 \(\Rightarrow\) Quadrant 4 (300-400 gr).
Situation Initiale : Analyse du Vecteur
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
Nous procédons au calcul exact des écarts de coordonnées (Deltas) pour déterminer l'angle brut et le quadrant.
1. Calcul des Deltas (Accroissements)Pour déterminer la direction du vecteur S1 vers S2, nous commençons par calculer les différences de coordonnées. Cela revient à mesurer le déplacement en X (Est-Ouest) et en Y (Nord-Sud). On soustrait toujours les coordonnées de la station de DÉPART à celles de la station d'ARRIVÉE :
Les deux résultats sont positifs (+50.00 m). Un déplacement positif en X signifie que l'on va vers l'Est, et positif en Y que l'on va vers le Nord. Ces signes confirment notre intuition du premier quadrant.
2. Calcul de l'Angle Auxiliaire (g)Calculons maintenant l'angle mathématique 'g' (ou angle réduit) formé par ce triangle rectangle, sans se soucier de l'orientation pour l'instant. Nous utilisons la valeur absolue des deltas pour obtenir un angle géométrique positif (entre 0 et 100 gr). Sachant que \(\tan(50\text{ gr}) = 1\), on a :
La valeur de 50.000 grades correspond à 45 degrés. C'est l'angle d'ouverture par rapport à l'axe Nord-Sud local.
3. Détermination du Quadrant et Gisement FinalIl faut maintenant positionner cet angle sur le cercle topographique (0 à 400gr). Comme \(\Delta X > 0\) et \(\Delta Y > 0\), nous sommes dans le premier quadrant (Nord-Est). La règle est donc \(G = g\) :
Interprétation : Le gisement V0 retenu est donc directement la valeur calculée. C'est notre référence angulaire pour la suite des calculs d'orientation.
Le résultat obtenu (50.000 gr) est parfaitement cohérent avec la géométrie du problème.
1. Cohérence de signe : Les coordonnées augmentent en X et en Y, le gisement doit être dans le premier quadrant (0 à 100 gr). C'est le cas.
2. Cohérence de valeur : Le triangle formé par \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) est un triangle rectangle isocèle (cotés de 50m). Dans un tel triangle, les angles aigus sont égaux. En grades, l'angle total est 100gr, donc l'angle est 100/2 = 50gr. Le calcul mathématique confirme l'intuition géométrique.
Lors de ce type de calcul, trois erreurs sont fréquentes :
- Inversion du rapport : Calculer \(\arctan(\Delta Y / \Delta X)\) au lieu de \(\arctan(\Delta X / \Delta Y)\). Cela donne le gisement par rapport à l'Est (zéro mathématique) et non par rapport au Nord (zéro géographique).
- Erreur d'unité : Laisser la calculatrice en mode Degrés (DEG) ou Radians (RAD) au lieu de Grades (GRA/GON). \(\arctan(1)\) en degrés vaut 45°, ce qui est faux en topographie française standard (50 gr).
- Erreur de Quadrant : Oublier d'ajouter 200gr ou 400gr quand les \(\Delta\) sont négatifs. Toujours vérifier les signes !
❓ Question Fréquente
Pourquoi utiliser les grades ?
Le grade est l'unité angulaire standard en topographie et géodésie car elle simplifie les calculs mentaux : l'angle droit fait 100gr (contre 90°), l'angle plat 200gr (contre 180°) et le tour complet 400gr (contre 360°). Cela rend les conversions de quadrants beaucoup plus intuitives.
🎯 Objectif
Cette étape consiste à "projeter" les points mesurés sur le terrain (définis par un angle et une distance depuis la station) dans le système de coordonnées national. Il s'agit de transformer des coordonnées polaires locales (le relevé terrain) en coordonnées rectangulaires (cartésiennes) absolues. C'est l'opération de rayonnement qui permet de positionner juridiquement les bornes A et B par rapport au réseau géodésique.
📚 Référentiel
Topométrie Générale Calculs TopométriquesLe principe du rayonnement repose sur la transformation de coordonnées. Contrairement aux mathématiques classiques où l'angle est mesuré depuis l'axe des abscisses (X) dans le sens trigonométrique (anti-horaire), en topographie :
- L'origine des angles est l'axe des Y (Nord).
- Le sens de rotation est horaire (dextrogyre).
Cette rotation de repère entraîne une permutation des fonctions trigonométriques classiques : la projection sur l'axe X (Est) se fait par le Sinus du gisement, et la projection sur l'axe Y (Nord) par le Cosinus.
Étape 1 : Données de Terrain
| Point Visé | Lecture Angle Hz (gr) | Gisement Calculé (gr) (\(G_0 + \text{Hz}\)) | Distance Horizontale (m) |
|---|---|---|---|
| A | 100.000 | 150.000 | 25.00 |
| B | 200.000 | 250.000 | 35.00 |
Pour éviter les erreurs grossières, anticipez le signe des deltas :
- Si \(\sin(G) > 0 \Rightarrow\) X augmente (vers l'Est).
- Si \(\sin(G) < 0 \Rightarrow\) X diminue (vers l'Ouest).
- Si \(\cos(G) > 0 \Rightarrow\) Y augmente (vers le Nord).
- Si \(\cos(G) < 0 \Rightarrow\) Y diminue (vers le Sud).
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
Calcul point par point en décomposant l'orientation et la projection.
Station de référence S1 :
- X_S1 = 1 420 500.00 m
- Y_S1 = 5 200 100.00 m
- G0 (S1-S2) = 50.000 gr
a) Orientation : On part de la direction de référence V0 (S1-S2) et on tourne dans le sens horaire de la valeur de l'angle mesuré sur le terrain pour trouver l'axe vers A :
Le résultat de 150.000 grades nous place dans le quadrant Sud-Est (entre 100 et 200 gr). On s'attend donc à un X qui augmente (sinus positif) et un Y qui diminue (cosinus négatif).
b) Projection (Quadrant 2 : Sud-Est) : On projette la distance mesurée (25.00 m) sur les axes en utilisant les formules trigonométriques du rayonnement :
Les signes confirment notre prévision : +17.68 m vers l'Est et -17.68 m vers le Sud.
c) Coordonnées finales : On applique ces déplacements aux coordonnées de la station S1 :
2. Calcul du Point B
a) Orientation : Même processus pour le point B, on ajoute l'angle mesuré à la référence :
Le résultat de 250.000 grades nous situe dans le quadrant Sud-Ouest (entre 200 et 300 gr). X et Y devraient tous deux diminuer (sinus et cosinus négatifs).
b) Projection (Quadrant 3 : Sud-Ouest) :
Les signes sont corrects : déplacement vers l'Ouest (-24.75 m) et vers le Sud (-24.75 m).
c) Coordonnées finales :
Validation Graphique : Épure de Calcul
B (1420475.25 ; 5200075.25)
Vérifions les résultats par rapport à la logique des quadrants :
Pour A : Gisement = 150 gr (Sud-Est). On doit avoir X en augmentation (\(+\)) et Y en diminution (\(-\)). Nos calculs donnent \(\Delta X = +17.68\) et \(\Delta Y = -17.68\). C'est cohérent.
Pour B : Gisement = 250 gr (Sud-Ouest). On doit avoir X en diminution (\(-\)) et Y en diminution (\(-\)). Nos calculs donnent \(\Delta X = -24.75\) et \(\Delta Y = -24.75\). C'est également cohérent.
Les erreurs les plus fréquentes à cette étape sont :
- Confusion Sinus/Cosinus : En mathématiques, X est associé à cosinus. En topographie, X est associé à SINUS et Y à COSINUS. C'est l'inversion fondamentale due au changement d'axe de référence (Nord vs Est).
- Erreur de Gisement : Ne pas ajouter le \(G_0\) à l'angle lu. Si vous utilisez l'angle brut (lecture), vous calculez des coordonnées dans un repère local non orienté, ce qui faussera tout le plan.
- Modulo 400 : Si le calcul \(G_0 + \text{Lecture}\) dépasse 400 grades, il faut impérativement soustraire 400 pour rester dans le cercle trigonométrique (0-400).
❓ Question Fréquente
Comment vérifier mes calculs ? Vous pouvez refaire le calcul inverse (Gisement AB) pour vérifier la cohérence géométrique.
🎯 Objectif
Cette étape de contrôle est cruciale pour valider la cohérence entre la réalité du terrain (mesurée et calculée) et la réalité juridique (les titres de propriété). Il s'agit de calculer la distance horizontale théorique entre les points A et B, désormais connus en coordonnées, et de la comparer à la distance mentionnée dans l'acte notarié de 1952 (env. 43.00 m). Cela permet de confirmer que les bornes rétablies respectent bien la définition de la limite séparative historique.
📚 Référentiel
Géométrie Plane Euclidienne Règles de l'Art (Tolérances Linéaires)Dans un système de projection plan (comme le Lambert 93 utilisé ici pour des distances courtes), la distance entre deux points est la longueur du segment de droite qui les relie. Elle correspond à l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont les différences de coordonnées en abscisse (\(\Delta X\)) et en ordonnée (\(\Delta Y\)). C'est l'application directe du théorème de Pythagore.
Étape 1 : Coordonnées Calculées
| Point | X (Est) | Y (Nord) |
|---|---|---|
| A | 1420517.68 | 5200082.32 |
| B | 1420475.25 | 5200075.25 |
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
Calcul décomposé des deltas, de leurs carrés, de la somme et de la racine finale.
1. Calcul des Deltas (\(\Delta\))Calculons d'abord les écarts relatifs entre les deux points inconnus A et B désormais calculés :
B est situé 42.43m à l'Ouest de A et 7.07m au Sud de A.
2. Calcul des Carrés et SommePour appliquer le théorème de Pythagore \(a^2 + b^2 = c^2\), nous élevons ces écarts au carré pour supprimer les signes négatifs :
La somme des carrés (1850.29) représente le carré de l'hypoténuse.
Il ne reste plus qu'à extraire la racine carrée pour obtenir la distance linéaire :
La distance calculée entre les bornes A et B est de 43.01 mètres.
Validation Graphique
Nous comparons la distance calculée (43.01 m) avec la distance stipulée dans l'acte de 1952 (43.00 m environ).
Écart constaté : \(43.01 - 43.00 = +0.01 \text{ m}\) (soit 1 cm).
Interprétation : Un écart de 1 cm est extrêmement faible, surtout en comparaison des méthodes de mesure des années 1950 (chaînage à la roulette). Cela confirme avec une très haute probabilité que les points A et B calculés correspondent bien aux bornes d'origine. La limite est donc juridiquement et techniquement validée.
Attention à la précision numérique :
- Arrondis intermédiaires : Ne jamais arrondir trop tôt les valeurs de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\). Il est préférable de garder 3 ou 4 décimales pour le calcul intermédiaire et d'arrondir le résultat final au centimètre (0.01 m).
- Erreur de saisie : Une erreur de signe dans les deltas n'a pas d'impact sur la distance (car élevée au carré), mais elle impacterait un calcul de gisement inverse. Vérifiez toujours vos calculs.
🎯 Objectif
Cette ultime étape synthétise tout le travail technique pour aboutir à l'acte juridique. L'objectif est double : valider la contenance (superficie) de la parcelle pour garantir la conformité avec l'acte de propriété, et rédiger le Procès-Verbal de Bornage (PV) qui rendra la limite définitive et opposable aux tiers. C'est le moment où la "vérité terrain" devient la "vérité juridique".
📚 Référentiel
Décret n° 96-478 du 31 mai 1996 Règles de l'Art OGEEn matière foncière, il existe deux types de superficies :
- La superficie Cadastrale : Fiscale et approximative. Elle ne fait pas preuve de propriété.
- La superficie d'Arpentage : Mesurée par le Géomètre-Expert. C'est la seule qui garantit la quantité réelle de terrain.
Pour savoir si la différence entre la surface théorique (titre de propriété) et la surface réelle (mesurée) est acceptable, on applique une formule de tolérance réglementaire. Si l'écart dépasse cette tolérance, une procédure complexe de rectification (Document d'Arpentage) devient obligatoire pour corriger l'assiette fiscale.
Étape 1 : Validation Superficie
| Surface Titre (Cadastre) | Surface Arpentée (Calculée) | Différence Brute |
|---|---|---|
| 1500 m² | 1502 m² | +2 m² |
Pour calculer la surface exacte d'un polygone quelconque à partir des coordonnées de ses sommets, on utilise la méthode des coordonnées (Formule de Héron généralisée) : \(S = \frac{1}{2} |\sum (Y_{i+1} + Y_i)(X_{i+1} - X_i)|\). C'est cette méthode qui a permis d'obtenir les 1502 m².
Étape 2 : Vérification Tolérance
Nous vérifions ici si l'écart constaté (+2 m²) est négligeable au regard de la réglementation. Le taux de tolérance retenu pour ce type de zone urbaine dense est de 2% (0.02).
1. Calcul de la Tolérance (T)La réglementation définit une tolérance proportionnelle à la surface pour accepter les petits écarts de mesure sans refaire les titres :
Nous avons le droit à une erreur maximale de 30 m².
2. ComparaisonComparons cela à la différence réelle entre le cadastre et notre arpentage :
L'écart n'est que de 2 m².
3. Résultat FinalL'écart est dans les tolérances. La superficie est confirmée.
Plan d'Exécution (Document de Signature)
Le dossier technique est solide car tous les indicateurs convergent :
1. Géométrie : Les angles et distances respectent la morphologie de la parcelle.
2. Façade : La distance de façade calculée (43.01m) correspond quasi-parfaitement au titre.
3. Superficie : L'écart de surface (0.13%) est minime et valide la consistance du bien.
Attention, un bornage n'est valide que s'il respecte trois conditions strictes :
- Contradictoire : Il doit être réalisé en présence et signé par TOUS les propriétaires riverains concernés (M. Dupont et Mme Durand).
- Matérialisé : Les bornes (ou repères durables) doivent être posées physiquement sur le terrain.
- Enregistré (Recommandé) : Bien que facultatif pour la validité entre les parties signataires, la publication au Service de la Publicité Foncière (SPF) le rend opposable aux tiers (futurs acheteurs).
❓ Question Fréquente
Que se passe-t-il si un voisin refuse de signer ?
En cas de désaccord persistant ou de refus de signature, le bornage amiable échoue. Le Géomètre dresse alors un "Procès-Verbal de Carence". Le client doit ensuite saisir le Tribunal d'Instance pour demander un Bornage Judiciaire, où le juge nommera un expert (souvent un autre Géomètre) pour trancher.
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