Étude Topographique

Calcul et Compensation d’un Cheminement Polygonal

Exercice : Compensation d'un Cheminement Polygonal

Calcul et Compensation d'un Cheminement Polygonal

Contexte : Le cheminement polygonalOpération topographique consistant à relier des points par des mesures d'angles et de distances pour déterminer leurs coordonnées. est une méthode fondamentale en topographie pour déterminer les coordonnées de nouveaux points.

Cet exercice vous guidera à travers les étapes complètes de calcul d'un cheminement encadré, depuis les mesures brutes sur le terrain jusqu'à l'obtention des coordonnées compensées des points levés. Nous aborderons le calcul des gisementsAngle horizontal entre la direction du Nord et une direction donnée, mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre., la détermination des coordonnées brutes, le calcul des écarts de fermetureDifférence entre les coordonnées connues d'un point d'arrivée et celles calculées à partir des mesures du cheminement., et enfin, la compensationProcessus de répartition des erreurs de mesure sur l'ensemble du cheminement pour assurer la cohérence des coordonnées. de ces erreurs.

Remarque Pédagogique : Cet exercice pratique est essentiel pour comprendre comment les erreurs inévitables de mesure sur le terrain sont traitées mathématiquement pour garantir la précision et la fiabilité des plans topographiques.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer le gisement d'orientation à partir de points connus.
  • Propager les gisements le long d'un cheminement à l'aide des angles mesurés.
  • Calculer les coordonnées rectangulaires (X, Y) brutes de nouveaux points.
  • Déterminer les erreurs de fermeture planimétrique (fx et fy) et la tolérance.
  • Appliquer la méthode de compensation proportionnelle aux longueurs pour obtenir les coordonnées finales.

Données de l'étude

Un géomètre a effectué un levé pour implanter deux nouvelles bornes, S1 et S2. Il a réalisé un cheminement encadré, en partant du couple de points connus (A, B) et en fermant sur le point connu D.

Coordonnées des points connus (en mètres)
Point X (Est) Y (Nord)
A 1000.000 5000.000
B 1250.000 5150.000
D 1800.000 5050.000
Schéma du cheminement polygonal
A B S1 S2 D αB αS1 αS2
Station Angle mesuré (grd) Côté Distance mesurée (m)
B 185.251 B-S1 215.455
S1 210.502 S1-S2 180.201
S2 195.753 S2-D 155.604

Questions à traiter

  1. Calculer le gisement du côté de départ (A-B).
  2. Calculer les gisements bruts de tous les côtés du cheminement (B-S1, S1-S2, S2-D).
  3. Calculer les coordonnées brutes des stations S1 et S2.
  4. Déterminer les erreurs de fermeture en X (fx) et en Y (fy).
  5. Calculer les coordonnées compensées des stations S1 et S2.

Les bases de la Topographie par Cheminement

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser quelques formules et principes de base du calcul topographique.

1. Calcul du Gisement initial
Le gisement d'un segment AB est l'angle que fait ce segment avec l'axe des Y (Nord). Il se calcule à partir des coordonnées des points A et B. \[ G_{\text{AB}} = \arctan\left(\frac{X_{\text{B}} - X_{\text{A}}}{Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}}}\right) \] Il faut ensuite ajuster le résultat dans le bon quadrant (0-400 grd) en fonction des signes de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\).

2. Propagation des Gisements
Le gisement d'un nouveau côté se déduit du gisement du côté précédent et de l'angle mesuré entre eux. \[ G_{\text{n, n+1}} = G_{\text{n-1, n}} + \alpha_{\text{n}} \pm 200 \text{ grd} \] On ajoute ou retranche 200 grd pour ramener le résultat dans l'intervalle [0, 400].

3. Calcul des Coordonnées et Compensation
Les coordonnées d'un point B se calculent à partir d'un point A par : \(X_{\text{B}} = X_{\text{A}} + L_{\text{AB}} \cdot \sin(G_{\text{AB}})\) et \(Y_{\text{B}} = Y_{\text{A}} + L_{\text{AB}} \cdot \cos(G_{\text{AB}})\). L'erreur de fermeture (\(f_x, f_y\)) est la différence entre les coordonnées connues du point final et celles calculées. Cette erreur est ensuite répartie sur chaque segment proportionnellement à sa longueur. \[ C_{xi} = -f_x \cdot \frac{L_i}{\sum L} \quad \text{et} \quad C_{yi} = -f_y \cdot \frac{L_i}{\sum L} \]

Correction : Calcul et Compensation d'un Cheminement Polygonal

Question 1 : Calculer le gisement du côté de départ (A-B)

Principe

Le gisement de départ est notre référence angulaire absolue. Il est calculé à partir de deux points dont les coordonnées sont connues et fixes. C'est l'angle que forme la droite (AB) avec la direction de référence, ici l'axe des Y (Nord Lambert). Toutes les autres orientations du cheminement découleront de ce gisement initial.

Mini-Cours

En topographie, les coordonnées sont généralement exprimées dans un système planimétrique rectangulaire (ex: Lambert 93 en France). L'axe Y est orienté vers le Nord et l'axe X vers l'Est. Le gisement est l'angle, compté dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre), entre l'axe Y et la direction considérée. Il est exprimé en grades (grd), où un cercle complet fait 400 grd.

Remarque Pédagogique

La première étape est toujours de visualiser la position relative des points. Ici, \(X_B > X_A\) et \(Y_B > Y_A\), ce qui signifie que B est au Nord-Est de A. Le gisement doit donc être compris entre 0 et 100 grd. Ce simple contrôle visuel permet de valider l'ordre de grandeur du résultat final.

Normes

Les calculs topographiques en France s'effectuent dans le système de projection national, le RGF93-CC (Conforme 9 zones). Les coordonnées fournies sont supposées être dans ce système. Aucune norme spécifique ne régit cette formule de base, qui est un principe fondamental de la géométrie analytique.

Formule(s)

Formule du Gisement

\[ G_{\text{AB}} = \arctan\left(\frac{\Delta X_{\text{AB}}}{\Delta Y_{\text{AB}}}\right) = \arctan\left(\frac{X_{\text{B}} - X_{\text{A}}}{Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}}}\right) \]
Hypothèses

Nous faisons l'hypothèse que les coordonnées des points A et B sont parfaites et exemptes d'erreur. Nous travaillons dans un plan euclidien, ce qui est une approximation valable pour des levés d'étendue limitée.

Donnée(s)

Nous utilisons les coordonnées des points A et B fournies dans l'énoncé.

PointX (m)Y (m)
A1000.0005000.000
B1250.0005150.000
Astuces

La plupart des calculatrices scientifiques ont une fonction `atan2(y, x)` ou une fonction de conversion Pol(x, y) qui donne directement l'angle dans le bon quadrant. C'est plus rapide et moins source d'erreurs que le calcul manuel de l'arctan suivi de la correction de quadrant.

Schéma (Avant les calculs)
Représentation des points A et B dans le repère
X (Est)Y (Nord)ABGisement AB
Calcul(s)

Calcul de \(\Delta X\)

\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{AB}} &= X_{\text{B}} - X_{\text{A}} \\ &= 1250.000 - 1000.000 \\ &= +250.000 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de \(\Delta Y\)

\[ \begin{aligned} \Delta Y_{\text{AB}} &= Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}} \\ &= 5150.000 - 5000.000 \\ &= +150.000 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul du gisement

Puisque \(\Delta X > 0\) et \(\Delta Y > 0\), le gisement se trouve dans le premier quadrant (Nord-Est). L'angle calculé par l'arc tangente est directement le gisement.

\[ \begin{aligned} G_{\text{AB}} &= \arctan\left(\frac{250.000}{150.000}\right) \\ &= \arctan(1.66667) \\ &= 70.345 \text{ grd} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Représentation des points A et B avec Gisement calculé
X (Est)Y (Nord)AB70.345 grd
Réflexions

Le résultat de 70.345 grd est cohérent avec notre analyse préliminaire (angle entre 0 et 100 grd). Il indique une direction principalement orientée vers l'Est, ce qui correspond bien à un \(\Delta X\) plus grand que le \(\Delta Y\). Cette valeur servira de fondation pour tous les calculs à venir.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est l'oubli de l'ajustement du quadrant. Si \(\Delta Y\) avait été négatif, il aurait fallu ajouter 200 grd. Si \(\Delta X\) avait été négatif et \(\Delta Y\) positif, il aurait fallu ajouter 400 grd. Une autre erreur commune est d'inverser \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) dans la formule.

Points à retenir
  • Le gisement est l'angle avec le Nord (Y), dans le sens horaire.
  • La formule de base est \(G = \arctan(\Delta X / \Delta Y)\).
  • Toujours vérifier le quadrant en fonction des signes de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) pour ajuster le résultat.
Le saviez-vous ?

Le grade (grd) ou gradian est une unité d'angle issue de la Révolution Française, conçue pour décimaliser les angles. Un angle droit mesure 100 grd, un angle plat 200 grd, et un cercle complet 400 grd. Cette division facilite les calculs mentaux et est largement utilisée en topographie en Europe continentale.

FAQ
Pourquoi utilise-t-on les grades plutôt que les degrés ?

La division du cercle en 400 unités et de l'angle droit en 100 unités simplifie de nombreux calculs trigonométriques et conversions, notamment dans un système métrique.

Que faire si YB - YA = 0 ?

Si \(\Delta Y = 0\), le segment est horizontal. Le gisement est de 100 grd si \(\Delta X > 0\) (direction Est) ou 300 grd si \(\Delta X < 0\) (direction Ouest). La formule de l'arctan ne peut pas être utilisée car elle impliquerait une division par zéro.

Résultat Final
Le gisement de départ \(G_{\text{AB}}\) est de 70.345 grd.
A vous de jouer

Calculez le gisement pour un point C(950.000; 5100.000) et un point D(800.000; 5000.000). Quelle est la valeur en grades ?

Question 2 : Calculer les gisements bruts de tous les côtés du cheminement

Principe

On "transporte" l'orientation de référence (le gisement de départ) le long du parcours. À chaque nouvelle station, on utilise l'angle horizontal mesuré sur le terrain pour déduire l'orientation du segment suivant. C'est une chaîne de calcul où chaque maillon dépend du précédent.

Mini-Cours

La transmission de gisement est basée sur une relation géométrique simple. Le gisement du segment suivant (\(G_{\text{n, n+1}}\)) est égal au gisement du segment précédent (\(G_{\text{n-1, n}}\)) auquel on ajoute l'angle à droite mesuré (\(\alpha_{\text{n}}\)) et on retranche un angle plat (200 grd). L'angle mesuré "tourne" l'orientation, et la soustraction de 200 grd la ramène par rapport au Nord.

Remarque Pédagogique

Imaginez que vous êtes à la station B, regardant vers A. Votre boussole indique l'inverse du gisement \(G_{\text{AB}}\), soit \(70.345 + 200 = 270.345\) grd. Vous tournez ensuite à droite de l'angle \(\alpha_B = 185.251\) grd. Votre nouvelle direction est \(270.345 + 185.251 = 455.596\) grd. Comme un cercle fait 400 grd, on enlève un tour complet : \(455.596 - 400 = 55.596\) grd. C'est le nouveau gisement \(G_{\text{BS1}}\).

Normes

Il n'y a pas de norme spécifique pour cette formule, c'est un principe de base. Cependant, les méthodes de mesure des angles sur le terrain (double retournement, etc.) sont, elles, normalisées pour minimiser les erreurs instrumentales.

Formule(s)

Formule de Propagation des Gisements

\[ G_{\text{suivant}} = G_{\text{précédent}} + \alpha_{\text{mesuré}} \pm 200 \text{ grd} \]
Hypothèses

On suppose que les angles mesurés sont des angles "à droite" (mesurés dans le sens horaire depuis la visée arrière vers la visée avant). On considère ces mesures comme brutes, c'est-à-dire non encore corrigées d'une éventuelle erreur de fermeture angulaire (qui n'est pas calculable dans un cheminement encadré de ce type).

Donnée(s)

On utilise le gisement \(G_{\text{AB}}\) calculé précédemment et les angles mesurés de l'énoncé.

  • \(G_{\text{AB}} = 70.345\) grd
  • \(\alpha_{\text{B}} = 185.251\) grd
  • \(\alpha_{\text{S1}} = 210.502\) grd
  • \(\alpha_{\text{S2}} = 195.753\) grd
Astuces

Pour la correction de \(\pm 200\), une règle simple : si la somme (\(G_{\text{prec}} + \alpha\)) est inférieure à 200, ajoutez 200. Si elle est entre 200 et 600, soustrayez 200. Si elle est supérieure à 600, soustrayez 600. Cela garantit que le résultat final est toujours entre 0 et 400 grd.

Schéma (Avant les calculs)
Propagation de l'orientation de B vers S1
NBvers Avers S1Gisement ABAngle B
Calcul(s)

Calcul du Gisement B-S1

\[ \begin{aligned} G_{\text{BS1}} &= G_{\text{AB}} + \alpha_{\text{B}} - 200 \\ &= 70.345 + 185.251 - 200 \\ &= 55.596 \text{ grd} \end{aligned} \]

Calcul du Gisement S1-S2

\[ \begin{aligned} G_{\text{S1S2}} &= G_{\text{BS1}} + \alpha_{\text{S1}} - 200 \\ &= 55.596 + 210.502 - 200 \\ &= 66.098 \text{ grd} \end{aligned} \]

Calcul du Gisement S2-D

\[ \begin{aligned} G_{\text{S2D}} &= G_{\text{S1S2}} + \alpha_{\text{S2}} - 200 \\ &= 66.098 + 195.753 - 200 \\ &= 61.851 \text{ grd} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Séquence des gisements calculés
BS1S2NN55.60 grd66.10 grd
Réflexions

Les gisements obtenus sont tous dans le premier quadrant (entre 0 et 100 grd), ce qui signifie que chaque segment du cheminement se dirige globalement vers le Nord-Est. Ceci est cohérent avec le schéma visuel.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est une mauvaise application de la règle de correction \(\pm 200\) grd. Une erreur de calcul à une étape se propagera à toutes les étapes suivantes, il est donc crucial de vérifier chaque calcul de gisement avant de passer au suivant.

Points à retenir
  • La propagation des gisements est une chaîne de calculs.
  • La formule clé est \(G_{\text{nouveau}} = G_{\text{ancien}} + \alpha \pm 200\).
  • La rigueur dans l'application de la correction de 200/400/600 est essentielle.
Le saviez-vous ?

Les instruments modernes comme les stations totales robotisées peuvent calculer et afficher les gisements en temps réel sur le terrain. Cependant, comprendre le calcul manuel reste indispensable pour vérifier les données, détecter les erreurs et résoudre les problèmes.

FAQ
Et si l'angle mesuré est un angle "à gauche" ?

Si l'angle est mesuré dans le sens anti-horaire (angle à gauche), la formule devient : \(G_{\text{suivant}} = G_{\text{précédent}} - \alpha_{\text{gauche}} \pm 200\) grd.

Résultat Final
Les gisements bruts sont : \(G_{\text{BS1}} = 55.596\) grd, \(G_{\text{S1S2}} = 66.098\) grd, et \(G_{\text{S2D}} = 61.851\) grd.
A vous de jouer

Si le gisement \(G_{\text{XY}}\) est de 380.150 grd et que l'angle à droite mesuré en Y est \(\alpha_{\text{Y}} = 250.450\) grd, quel est le gisement \(G_{\text{YZ}}\) ?

Question 3 : Calculer les coordonnées brutes des stations S1 et S2

Principe

À partir d'un point de coordonnées connues, on peut déterminer les coordonnées d'un nouveau point si l'on connaît la distance et l'orientation (gisement) qui les séparent. C'est une application directe de la trigonométrie dans un repère cartésien.

Mini-Cours

Le calcul des coordonnées rectangulaires est la transformation de coordonnées polaires (distance, gisement) en coordonnées cartésiennes (\(\Delta X, \Delta Y\)). \(\Delta X\) est la projection du segment sur l'axe Est-Ouest, et \(\Delta Y\) est sa projection sur l'axe Nord-Sud. On ajoute ensuite ces projections aux coordonnées du point de départ pour obtenir celles du point d'arrivée.

Remarque Pédagogique

Il est utile de dessiner un triangle rectangle pour chaque segment, avec la distance comme hypoténuse. Le gisement permet de positionner ce triangle par rapport au Nord. \(\Delta Y\) sera le côté adjacent à l'angle Gisement, et \(\Delta X\) le côté opposé. D'où les formules avec cosinus pour Y et sinus pour X.

Normes

Pas de norme spécifique, il s'agit de formules de trigonométrie universelles appliquées au système de coordonnées topographiques.

Formule(s)

Calcul des projections

\[ \Delta X = L \cdot \sin(G) \quad ; \quad \Delta Y = L \cdot \cos(G) \]

Calcul des coordonnées

\[ X_{\text{nouveau}} = X_{\text{départ}} + \Delta X \quad ; \quad Y_{\text{nouveau}} = Y_{\text{départ}} + \Delta Y \]
Hypothèses

On suppose que les distances mesurées sont des distances horizontales réduites à la projection. Les gisements utilisés sont les gisements bruts calculés à l'étape précédente.

Donnée(s)

On utilise les coordonnées de B, les distances mesurées et les gisements calculés.

  • Point B: (1250.000, 5150.000)
  • \(L_{\text{BS1}} = 215.455\) m, \(G_{\text{BS1}} = 55.596\) grd
  • \(L_{\text{S1S2}} = 180.201\) m, \(G_{\text{S1S2}} = 66.098\) grd
Astuces

Avant de calculer, vérifiez que votre calculatrice est bien en mode "Grades". C'est l'une des erreurs les plus fréquentes en calculs topographiques. Le résultat sera complètement faux si elle est en mode Degrés ou Radians.

Schéma (Avant les calculs)
Calcul des coordonnées de S1 à partir de B
BS1L (BS1)ΔX (BS1)ΔY (BS1)Gisement BS1
Calcul(s)

Projection \(\Delta X\) de B vers S1

\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{BS1}} &= 215.455 \cdot \sin(55.596) \\ &= +175.768 \text{ m} \end{aligned} \]

Projection \(\Delta Y\) de B vers S1

\[ \begin{aligned} \Delta Y_{\text{BS1}} &= 215.455 \cdot \cos(55.596) \\ &= +124.621 \text{ m} \end{aligned} \]

Coordonnée \(X\) de S1

\[ \begin{aligned} X_{\text{S1}} &= X_{\text{B}} + \Delta X_{\text{BS1}} \\ &= 1250.000 + 175.768 \\ &= 1425.768 \text{ m} \end{aligned} \]

Coordonnée \(Y\) de S1

\[ \begin{aligned} Y_{\text{S1}} &= Y_{\text{B}} + \Delta Y_{\text{BS1}} \\ &= 5150.000 + 124.621 \\ &= 5274.621 \text{ m} \end{aligned} \]

Projection \(\Delta X\) de S1 vers S2

\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{S1S2}} &= 180.201 \cdot \sin(66.098) \\ &= +161.428 \text{ m} \end{aligned} \]

Projection \(\Delta Y\) de S1 vers S2

\[ \begin{aligned} \Delta Y_{\text{S1S2}} &= 180.201 \cdot \cos(66.098) \\ &= +78.490 \text{ m} \end{aligned} \]

Coordonnée \(X\) de S2

\[ \begin{aligned} X_{\text{S2}} &= X_{\text{S1}} + \Delta X_{\text{S1S2}} \\ &= 1425.768 + 161.428 \\ &= 1587.196 \text{ m} \end{aligned} \]

Coordonnée \(Y\) de S2

\[ \begin{aligned} Y_{\text{S2}} &= Y_{\text{S1}} + \Delta Y_{\text{S1S2}} \\ &= 5274.621 + 78.490 \\ &= 5353.111 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Cheminement brut calculé depuis B
XYB (1250, 5150)S1' (1426, 5275)S2' (1587, 5353)
Réflexions

Les coordonnées obtenues sont dites "brutes" car elles ne tiennent pas encore compte des erreurs de mesure qui seront révélées par la fermeture sur le point D. Chaque \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) étant positifs, chaque nouvelle station se trouve bien au Nord-Est de la précédente, ce qui est cohérent.

Points de vigilance

Attention aux erreurs d'arrondi. Il est conseillé de garder toutes les décimales dans les registres de la calculatrice et de n'arrondir qu'à la toute fin. Une erreur fréquente est d'utiliser la mauvaise coordonnée de départ pour la station suivante (par ex. repartir de B au lieu de S1 pour calculer S2).

Points à retenir
  • \(\Delta X = L \cdot \sin(G)\) et \(\Delta Y = L \cdot \cos(G)\).
  • Le calcul est cumulatif : les coordonnées du point N+1 dépendent de celles du point N.
  • Assurez-vous que la calculatrice est en mode Grades.
Le saviez-vous ?

Historiquement, ces calculs étaient effectués à la main à l'aide de tables trigonométriques et de logarithmes (comme les tables de Bourdon), un processus long et fastidieux. L'avènement des calculatrices puis des ordinateurs a révolutionné la rapidité et la fiabilité de ces calculs.

FAQ
Pourquoi utilise-t-on le sinus pour X et le cosinus pour Y ?

Cela vient de la définition du gisement, qui est l'angle avec l'axe Y (Nord). Dans un cercle trigonométrique standard, les projections sont \(X = R \cos(\theta)\) et \(Y = R \sin(\theta)\) où \(\theta\) est l'angle avec l'axe X. Comme le gisement est l'angle avec l'axe Y, les fonctions sinus et cosinus sont inversées.

Résultat Final
Les coordonnées brutes sont : S1(1425.768 ; 5274.621) et S2(1587.196 ; 5353.111).
A vous de jouer

Un point P a pour coordonnées (200.000, 300.000). Calculez la coordonnée X du point Q, sachant que la distance PQ est de 50.00 m et le gisement \(G_{\text{PQ}}\) est de 125.000 grd.

Question 4 : Déterminer les erreurs de fermeture en X (fx) et en Y (fy)

Principe

C'est l'étape de contrôle qualité. Après avoir calculé notre cheminement jusqu'au point d'arrivée connu (D), nous comparons les coordonnées que nous avons calculées avec ses coordonnées théoriques. La différence entre les deux est l'erreur de fermeture, qui représente l'accumulation de toutes les petites imprécisions de mesure.

Mini-Cours

L'erreur de fermeture planimétrique se décompose en deux vecteurs : \(f_x\) sur l'axe des abscisses et \(f_y\) sur l'axe des ordonnées. La fermeture totale, \(f_T = \sqrt{f_x^2 + f_y^2}\), représente la distance entre le point d'arrivée calculé et le point d'arrivée réel. Cette valeur est ensuite comparée à une tolérance réglementaire ou de chantier pour valider ou invalider le levé.

Remarque Pédagogique

Trouver une erreur non nulle est normal et attendu. L'important est de la quantifier. Une erreur de quelques centimètres sur un cheminement de 500 mètres est acceptable, une erreur de plusieurs mètres est le signe d'une faute (erreur de lecture, de saisie, etc.). Cette étape permet de déceler de telles fautes avant qu'elles n'affectent le projet.

Normes

Les tolérances de fermeture sont définies par des arrêtés (par exemple, en France, l'arrêté de 2003 sur les classes de précision des levés) ou des cahiers des charges. Une tolérance typique pour un cheminement de précision pourrait être de \(T = c \cdot \sqrt{\sum L}\) où \(\sum L\) est la longueur totale en km et c est une constante (ex: 15 cm).

Formule(s)

Coordonnées calculées du point d'arrivée

\[ X_{\text{D, calc}} = X_{\text{S2}} + L_{\text{S2D}} \cdot \sin(G_{\text{S2D}}) \]
\[ Y_{\text{D, calc}} = Y_{\text{S2}} + L_{\text{S2D}} \cdot \cos(G_{\text{S2D}}) \]

Erreurs de fermeture

\[ f_x = X_{\text{D, calc}} - X_{\text{D, connu}} \quad ; \quad f_y = Y_{\text{D, calc}} - Y_{\text{D, connu}} \]
Hypothèses

On continue de travailler avec les gisements bruts et les distances mesurées. On considère que les coordonnées du point D connu sont exactes.

Donnée(s)

On utilise les coordonnées brutes de S2, les mesures du dernier segment et les coordonnées connues de D.

  • Coordonnées brutes de S2 : (1587.196, 5353.111)
  • \(L_{\text{S2D}} = 155.604\) m, \(G_{\text{S2D}} = 61.851\) grd
  • Coordonnées connues de D : (1800.000, 5050.000)
Astuces

Pour vérifier rapidement les ordres de grandeur, si tous les gisements sont au Nord-Est (entre 0 et 100 grd), les \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) doivent tous être positifs. Si les coordonnées finales calculées ne sont pas supérieures à celles de départ, il y a une erreur quelque part (ce qui est le cas dans cet exercice !)

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de l'erreur de fermeture
D (connu)D' (calculé)fxfyf Total
Calcul(s)

Projection \(\Delta X\) de S2 vers D

\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{S2D}} &= 155.604 \cdot \sin(61.851) \\ &= +140.210 \text{ m} \end{aligned} \]

Projection \(\Delta Y\) de S2 vers D

\[ \begin{aligned} \Delta Y_{\text{S2D}} &= 155.604 \cdot \cos(61.851) \\ &= +65.987 \text{ m} \end{aligned} \]

Coordonnée X calculée de D

\[ \begin{aligned} X_{\text{D, calc}} &= X_{\text{S2}} + \Delta X_{\text{S2D}} \\ &= 1587.196 + 140.210 \\ &= 1727.406 \text{ m} \end{aligned} \]

Coordonnée Y calculée de D

\[ \begin{aligned} Y_{\text{D, calc}} &= Y_{\text{S2}} + \Delta Y_{\text{S2D}} \\ &= 5353.111 + 65.987 \\ &= 5419.098 \text{ m} \end{aligned} \]

Erreur de fermeture en X

\[ \begin{aligned} f_x &= X_{\text{D, calc}} - X_{\text{D, connu}} \\ &= 1727.406 - 1800.000 \\ &= -72.594 \text{ m} \end{aligned} \]

Erreur de fermeture en Y

\[ \begin{aligned} f_y &= Y_{\text{D, calc}} - Y_{\text{D, connu}} \\ &= 5419.098 - 5050.000 \\ &= +369.098 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de l'erreur de fermeture avec valeurs
D (connu)D' (calculé)fx = -72.6 mfy = +369.1 m
Réflexions

Point crucial : Les erreurs calculées sont astronomiques et totalement irréalistes pour un vrai levé topographique. L'erreur de plus de 369 mètres en Y est le signe d'une faute grossière dans les données de l'énoncé (probablement un angle ou une coordonnée mal retranscrit). Dans la réalité, le levé serait immédiatement invalidé. Nous continuons le calcul à des fins purement pédagogiques pour montrer la méthode.

Points de vigilance

Le principal piège est une erreur de signe dans la soustraction. Rappelez-vous toujours : \(f = \text{Calculé} - \text{Théorique}\). Une erreur de signe ici inverserait toutes les corrections ultérieures.

Points à retenir
  • La fermeture est le test de qualité du cheminement.
  • \(f_x = X_{\text{calculé}} - X_{\text{connu}}\) et \(f_y = Y_{\text{calculé}} - Y_{\text{connu}}\).
  • Des erreurs importantes signalent une faute, pas une simple imprécision.
Le saviez-vous ?

La technologie GPS/GNSS a changé la donne. Pour les cheminements longs, on peut intégrer des points mesurés par GNSS comme points de contrôle intermédiaires. Cela permet de limiter la propagation des erreurs qui est inhérente aux cheminements purement classiques.

FAQ
Quelle est une tolérance de fermeture acceptable ?

Pour un cheminement de cette longueur (~550m), une tolérance de l'ordre de 5 à 10 centimètres serait typique pour un travail standard. L'erreur de 377 mètres (\(f_T = \sqrt{(-72.6)^2 + (369.1)^2}\)) ici est des milliers de fois trop grande.

Résultat Final
Les erreurs de fermeture (indicatives d'une faute dans les données) sont : \(f_x = -72.594 \text{ m}\) et \(f_y = +369.098 \text{ m}\).
A vous de jouer

Si la coordonnée X connue de D était de 1727.500, quelle serait la nouvelle erreur \(f_x\) ?

Question 5 : Calculer les coordonnées compensées des stations S1 et S2

Principe

La compensation consiste à répartir l'erreur de fermeture totale sur l'ensemble du parcours. La méthode proportionnelle aux longueurs part du principe qu'un segment plus long a plus de chances de contenir une plus grande partie de l'erreur de mesure. On calcule donc des corrections pour chaque segment qui sont proportionnelles à leur longueur.

Mini-Cours

La correction à appliquer est toujours de signe opposé à l'erreur. Si on a calculé un X trop petit (erreur \(f_x\) négative), il faut lui appliquer une correction positive pour le "ramener" vers la bonne valeur. Ces corrections partielles sont calculées pour chaque segment puis ajoutées de manière cumulative aux coordonnées brutes des stations successives.

Remarque Pédagogique

Voyez la compensation comme un ajustement d'un élastique. Vous avez fixé le début (B), mais la fin (D' calculé) n'est pas au bon endroit (D connu). Vous allez donc "tirer" ou "pousser" sur chaque point intermédiaire (S1, S2) pour que l'élastique s'aligne parfaitement entre B et D. Les points qui sont sur des sections plus longues de l'élastique bougeront davantage.

Normes

Cette méthode de compensation, dite "de la boussole" ou "de transit", est une méthode classique et simple. Les logiciels de topographie modernes utilisent des méthodes plus rigoureuses comme la compensation par les moindres carrés, qui prend en compte les incertitudes sur les angles et les distances pour trouver la solution la plus probable statistiquement.

Formule(s)

Formules de correction

\[ C_{xi} = -f_x \cdot \frac{L_i}{\sum L} \quad ; \quad C_{yi} = -f_y \cdot \frac{L_i}{\sum L} \]

Formules des coordonnées compensées

\[ X_{\text{comp}} = X_{\text{brut}} + \sum C_x \quad ; \quad Y_{\text{comp}} = Y_{\text{brut}} + \sum C_y \]
Hypothèses

On suppose que les erreurs angulaires sont négligeables par rapport aux erreurs sur les distances, et que ces dernières sont accidentelles et se répartissent proportionnellement aux longueurs parcourues. Compte tenu de l'énorme erreur, cette hypothèse est physiquement fausse ici, mais nous appliquons la méthode.

Donnée(s)

On utilise les erreurs de fermeture, les longueurs des segments et les coordonnées brutes des stations.

  • \(f_x = -72.594\) m ; \(f_y = +369.098\) m
  • Longueurs : 215.455 m, 180.201 m, 155.604 m
  • Coordonnées brutes S1(1425.768, 5274.621), S2(1587.196, 5353.111)
Astuces

Pour éviter les erreurs, calculez d'abord le rapport \((L_i / \sum L)\) pour chaque segment. Ensuite, multipliez simplement ces rapports par \(-f_x\) et \(-f_y\). Enfin, vérifiez que la somme de vos corrections \(C_x\) est bien égale à \(-f_x\) et de même pour \(C_y\).

Schéma (Avant les calculs)
Cheminement brut vs Cheminement compensé
BDS1'S2'D'S1S2
Calcul(s)

Calcul de la longueur totale

\[ \begin{aligned} \sum L &= L_{\text{BS1}} + L_{\text{S1S2}} + L_{\text{S2D}} \\ &= 215.455 + 180.201 + 155.604 \\ &= 551.260 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul des corrections pour chaque segment

SegmentCorrection Cx (m)Correction Cy (m)
B-S1\( -(-72.594) \cdot \frac{215.455}{551.260} = +28.369 \)\(-(+369.098) \cdot \frac{215.455}{551.260} = -144.256\)
S1-S2\(-(-72.594) \cdot \frac{180.201}{551.260} = +23.712\)\(-(+369.098) \cdot \frac{180.201}{551.260} = -120.612\)
S2-D\(-(-72.594) \cdot \frac{155.604}{551.260} = +20.513\)\(-(+369.098) \cdot \frac{155.604}{551.260} = -104.130\)

Coordonnée X compensée de S1

\[ \begin{aligned} X_{\text{S1, comp}} &= X_{\text{S1, brut}} + C_{x,\text{BS1}} \\ &= 1425.768 + 28.369 \\ &= 1454.137 \text{ m} \end{aligned} \]

Coordonnée Y compensée de S1

\[ \begin{aligned} Y_{\text{S1, comp}} &= Y_{\text{S1, brut}} + C_{y,\text{BS1}} \\ &= 5274.621 - 144.256 \\ &= 5130.365 \text{ m} \end{aligned} \]

Coordonnée X compensée de S2

\[ \begin{aligned} X_{\text{S2, comp}} &= X_{\text{S2, brut}} + C_{x,\text{BS1}} + C_{x,\text{S1S2}} \\ &= 1587.196 + 28.369 + 23.712 \\ &= 1639.277 \text{ m} \end{aligned} \]

Coordonnée Y compensée de S2

\[ \begin{aligned} Y_{\text{S2, comp}} &= Y_{\text{S2, brut}} + C_{y,\text{BS1}} + C_{y,\text{S1S2}} \\ &= 5353.111 - 144.256 - 120.612 \\ &= 5088.243 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des points bruts et compensés
BDS1' (brut)S2' (brut)D' (brut)S1 (comp)S2 (comp)
Réflexions

Bien que l'erreur initiale soit énorme, la méthode garantit la cohérence mathématique. Si nous calculons la position de D à partir de S2 compensé, en ajoutant \(\Delta X_{\text{S2D}}, \Delta Y_{\text{S2D}}\) et la dernière correction, nous arriverons exactement aux coordonnées connues de D. La méthode a bien "refermé" le cheminement.

Points de vigilance

L'erreur la plus critique est d'oublier que les corrections sont cumulatives. La coordonnée compensée de S2 dépend des corrections de TOUS les segments qui la précèdent (B-S1 et S1-S2).

Points à retenir
  • Les corrections sont de signe opposé à l'erreur.
  • La répartition est proportionnelle à la longueur de chaque segment.
  • Les coordonnées compensées sont obtenues en ajoutant les corrections cumulées aux coordonnées brutes.
Le saviez-vous ?

Dans les cheminements de très haute précision (pour les tunnels ou les ponts, par exemple), la compensation prend aussi en compte des facteurs comme la courbure de la Terre, la réfraction atmosphérique et les déviations de la verticale.

FAQ
Cette méthode est-elle toujours la meilleure ?

Non, c'est une méthode simplifiée. Pour des projets complexes ou de haute précision, la méthode des moindres carrés est supérieure car elle ajuste simultanément les angles et les distances et fournit une estimation de la qualité (variance-covariance) des coordonnées finales.

Résultat Final
Les coordonnées finales compensées sont : S1(1454.137 ; 5130.365) et S2(1639.277 ; 5088.243).
A vous de jouer

Un point M a des coordonnées brutes (100.000, 200.000). La somme des corrections cumulées jusqu'à ce point est \(C_x = +0.050\) m et \(C_y = -0.080\) m. Quelle est la coordonnée Y compensée de M ?

Outil Interactif : Impact des Erreurs de Fermeture

Utilisez les curseurs pour modifier les erreurs de fermeture \(f_x\) et \(f_y\) et observez comment cela affecte la correction appliquée au segment le plus long (B-S1).

Paramètres d'Erreur
-5 cm
8 cm
Corrections sur le segment B-S1
Correction en X, \(C_x\) (mm) -
Correction en Y, \(C_y\) (mm) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si \(\Delta X\) est positif et \(\Delta Y\) est négatif, dans quel quadrant se situe le gisement ?

2. Quelle est la principale hypothèse de la méthode de compensation proportionnelle aux longueurs ?

3. Dans la formule \(X_{\text{B}} = X_{\text{A}} + L_{\text{AB}} \cdot \sin(G_{\text{AB}})\), que représente \(L_{\text{AB}} \cdot \sin(G_{\text{AB}})\) ?

4. Si l'erreur de fermeture \(f_x\) est de +0.10 m, la somme des corrections en X sur tous les segments sera de :

5. Un "cheminement fermé" est un cheminement qui :

Cheminement Polygonal
Opération topographique consistant à déterminer les coordonnées d'une série de points (stations) en mesurant les angles et les distances entre eux, formant ainsi une ligne brisée.
Gisement
Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord (Axe Y) jusqu'à une direction donnée. Il varie de 0 à 400 grades (ou 360 degrés).
Écart de Fermeture
Différence entre les coordonnées théoriques (connues) d'un point de contrôle final et les coordonnées obtenues par le calcul du cheminement. Il représente l'erreur globale des mesures.
Compensation
Procédure mathématique visant à répartir l'écart de fermeture sur l'ensemble des mesures du cheminement pour annuler l'erreur et assurer la cohérence géométrique du levé.
Exercice : Compensation d'un Cheminement Polygonal

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