Calcul d'un point par intersection depuis 2 stations
Contexte : L'Intersection PlanimétriqueMéthode topographique pour déterminer les coordonnées d'un point P en mesurant les angles depuis deux points connus (A et B)..
L'intersection (ou "relèvement") est une méthode fondamentale en topographie pour déterminer les coordonnées d'un point inaccessible (comme un clocher, un pylône, ou un point de l'autre côté d'une rivière) en effectuant des mesures d'angles depuis deux stations dont les coordonnées sont parfaitement connues. Cet exercice vous guidera à travers toutes les étapes de ce calcul.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à maîtriser le calcul d'intersection, une compétence fondamentale en topographie pour déterminer la position de points inaccessibles. Nous utiliserons les gisements et la loi des sinus pour résoudre le triangle formé par les trois points.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer un gisementAngle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord (Y) vers une direction donnée. et une distance entre deux points connus.
- Résoudre un triangle (calculer les angles internes et les longueurs des côtés) à partir de gisements observés.
- Calculer les coordonnées d'un point nouveau par la méthode de l'intersection.
- Savoir vérifier un calcul de coordonnées en utilisant une station différente.
Données de l'étude
Fiche Technique des Points Connus
| Station | Coordonnées (X ; Y) en mètres |
|---|---|
| Station A | (1000.00 ; 500.00) |
| Station B | (1500.00 ; 500.00) |
| Point P | (Xp ? ; Yp ?) |
Schéma de la situation
| Observation (Visée) | Station d'origine | Gisement mesuré (gon) |
|---|---|---|
| Gisement vers P | Station A | 50.0000 |
| Gisement vers P | Station B | 350.0000 |
Questions à traiter
- Calculer le gisement G_AB et la distance D_AB.
- Calculer le gisement G_BA.
- Calculer les angles internes du triangle ABP : \(\alpha\) (en A) et \(\beta\) (en B).
- Calculer les distances D_AP et D_BP en utilisant la loi des sinus.
- Calculer les coordonnées (X_P, Y_P) du point P par rayonnement depuis A, et vérifier le calcul depuis B.
Les bases du Calcul Planimétrique
Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de deux ensembles de formules fondamentales en topographie : le calcul de gisement/distance entre deux points, et le calcul de coordonnées par rayonnement.
1. Gisement et Distance entre A et B
Le gisement G_AB (l'angle de la direction AB par rapport au Nord) et la distance D_AB entre A(X_A, Y_A) et B(X_B, Y_B) sont donnés par :
\[ \Delta X = X_B - X_A \quad \text{(Variation en abscisse)} \]
\[ \Delta Y = Y_B - Y_A \quad \text{(Variation en ordonnée)} \]
\[ G_{AB} = \arctan\left(\frac{\Delta X}{\Delta Y}\right) \quad \text{(Attention aux quadrants, voir astuce Q1)} \]
\[ D_{AB} = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2} \quad \text{(Théorème de Pythagore)} \]
\[ \text{Alternativement : } D_{AB} = \frac{\Delta X}{\sin(G_{AB})} = \frac{\Delta Y}{\cos(G_{AB})} \quad \text{(si G n'est pas 0, 100, 200, 300 gon)} \]
2. Calcul de Coordonnées (Rayonnement)
Si l'on connaît les coordonnées de A (\(X_A, Y_A\)), le gisement \(G_{AP}\) et la distance \(D_{AP}\), on peut calculer les coordonnées de P (\(X_P, Y_P\)) en projetant le vecteur AP sur les axes X et Y :
\[ X_P = X_A + \Delta X_{AP} = X_A + D_{AP} \cdot \sin(G_{AP}) \]
\[ Y_P = Y_A + \Delta Y_{AP} = Y_A + D_{AP} \cdot \cos(G_{AP}) \]
(Note : Les fonctions sin et cos sont en gons. \(\sin(100 \text{ gon}) = 1\), \(\cos(100 \text{ gon}) = 0\))
Correction : Calcul d'un point par intersection depuis 2 stations
Question 1 : Calculer le gisement G_AB et la distance D_AB.
Principe
Avant de pouvoir utiliser les visées vers P, il faut parfaitement connaître la base d'opération : la ligne AB. Cela signifie calculer sa direction (gisement G_AB) et sa longueur (distance D_AB). C'est comme connaître la position et l'orientation de notre point de départ avant de viser une cible lointaine.
Mini-Cours
En topographie, le gisement d'une ligne AB est l'angle entre la direction du Nord (l'axe Y positif) et la direction AB, mesuré dans le sens horaire. La distance est calculée simplement par le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par \(\Delta X\) et \(\Delta Y\). Le calcul du gisement nécessite la fonction arc tangente, mais il faut faire attention au quadrant (la zone Nord-Est, Sud-Est, Sud-Ouest, Nord-Ouest) pour obtenir le bon angle entre 0 et 400 gons.
Remarque Pédagogique
Cette étape est cruciale et doit être effectuée avec précision. Toute erreur sur G_AB ou D_AB se répercutera sur tous les calculs suivants. Vérifiez toujours la cohérence du gisement obtenu avec la position relative des points A et B (par exemple, si B est à l'Est et au Nord de A, le gisement doit être entre 0 et 100 gons).
Normes
Bien qu'il n'y ait pas de "norme" pour ces formules de base, la convention en topographie est d'utiliser le Nord comme origine des angles (0 gon) et de mesurer dans le sens horaire. Les coordonnées X correspondent généralement à l'Est et Y au Nord.
Formule(s)
Variations de coordonnées
Gisement et Distance
Hypothèses
On suppose travailler dans un système de coordonnées cartésien plan (euclidien). Pour des distances plus grandes, il faudrait tenir compte de la courbure de la Terre, mais ce n'est pas le cas ici.
Donnée(s)
Les coordonnées des points A et B sont fournies dans l'énoncé de l'exercice. Ce sont nos points de référence fixes.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Coordonnées A | (X_A, Y_A) | (1000.00, 500.00) | m |
| Coordonnées B | (X_B, Y_B) | (1500.00, 500.00) | m |
Astuces
Le cas où \(\Delta Y = 0\) (ou \(\Delta X = 0\)) est fréquent et plus simple à traiter directement sans utiliser l'arc tangente, qui causerait une division par zéro ou donnerait un résultat ambigu (0). Représentez mentalement les points : si Y sont égaux, la ligne est horizontale (G=100 ou 300 gon) ; si X sont égaux, la ligne est verticale (G=0 ou 200 gon).
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation des points A et B et des variations \(\Delta X, \Delta Y\).
Calcul de ΔX et ΔY
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul des variations de coordonnées
On soustrait les coordonnées du point de départ (A) de celles du point d'arrivée (B).
Étape 2 : Détermination du Gisement (Cas particulier)
Comme \(\Delta Y = 0\) et \(\Delta X\) est positif, la direction est exactement vers l'Est.
Étape 3 : Calcul de la distance
On applique le théorème de Pythagore. Comme \(\Delta Y = 0\), la distance est simplement la valeur absolue de \(\Delta X\).
Schéma (Après les calculs)
Schéma montrant la ligne AB avec son gisement et sa distance calculés.
Base AB : Gisement et Distance
Réflexions
Les résultats confirment l'analyse visuelle initiale. Avoir \(\Delta Y = 0\) simplifie grandement les calculs. La distance est simplement la différence des abscisses, et le gisement est trivial (100 gon). Cela renforce l'importance de bien analyser les données avant de se lancer dans les formules.
Points de vigilance
Le principal piège ici serait d'essayer d'appliquer la formule arc tangente sans remarquer que \(\Delta Y = 0\), ce qui conduirait à une erreur de calcul (division par zéro). Toujours vérifier les cas particuliers \(\Delta X=0\) ou \(\Delta Y=0\).
Points à retenir
- Le calcul \((\Delta X, \Delta Y)\) est la première étape pour lier deux points par leurs coordonnées.
- La distance est toujours positive (\(\sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2}\)).
- Le gisement dépend des signes de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) (quadrant) et des cas particuliers où l'un des deux est nul.
Le saviez-vous ?
En navigation, l'angle par rapport au Nord est appelé "cap" ou "azimut". Le terme "gisement" est plus spécifique à la topographie et à la géodésie, souvent associé à l'unité "gon".
FAQ
Et si \(\Delta X\) était négatif et \(\Delta Y=0\) ? Le gisement serait de 300 gon (Ouest). La distance serait \(|\Delta X|\). Que faire si ma calculatrice n'a pas de mode Gons/Grades ? Vous pouvez convertir les angles en degrés (\(G_{\text{deg}} = G_{\text{gon}} \times \frac{360}{400}\)) pour utiliser les fonctions trigonométriques standard, puis reconvertir le résultat si nécessaire.
Résultat Final
A vous de jouer
Si A=(100, 100) et B=(100, 300), que vaut G_AB (en gons) ? (\(\Delta X = 0, \Delta Y > 0\))
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q1 :
- Concept Clé : Calcul Gisement & Distance entre 2 points connus.
- Formules : \(\Delta X = X_B - X_A\), \(\Delta Y = Y_B - Y_A\), \(D_{AB} = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2}\), \(G_{AB} = f(\Delta X, \Delta Y)\) (attention quadrants et cas \(\Delta Y=0\)).
- Vigilance : Cas particulier \(\Delta Y = 0 \Rightarrow G = 100 \text{ (si } \Delta X > 0) \text{ ou } 300 \text{ gon (si } \Delta X < 0)\).
Question 2 : Calculer le gisement G_BA.
Principe
Connaissant la direction pour aller de A vers B (\(G_{AB}\)), on cherche la direction opposée, pour aller de B vers A (\(G_{BA}\)). C'est essentiel car les observations depuis la station B (G_BP) sont relatives au Nord en B, et pour calculer l'angle \(\beta\) en B, nous aurons besoin de connaître la direction de la ligne BA par rapport à ce Nord.
Mini-Cours
Le gisement aller (\(G_{AB}\)) et le gisement retour (\(G_{BA}\)) sont liés par une différence de 200 gons (ou 180 degrés), ce qui correspond à un demi-tour. Si on regarde dans une direction, la direction opposée est à un demi-tour près. La formule exacte (\(+200\) ou \(-200\)) dépend de la valeur du gisement aller pour maintenir le résultat entre 0 et 400 gons.
Remarque Pédagogique
C'est une opération très simple mais fondamentale. Ne la sautez pas ! L'erreur classique est de simplement changer le signe du gisement aller, ce qui n'est correct que dans des cas très spécifiques (et jamais pour les gisements). Pensez toujours à ajouter ou soustraire 200 gons.
Normes
Cette relation découle directement de la définition du gisement et de la géométrie plane. Elle est universelle dans les systèmes d'angles basés sur le cercle complet (400 gon ou 360 deg).
Formule(s)
La règle générale est :
On peut aussi écrire \(G_{BA} = (G_{AB} + 200) \pmod{400}\), où "\(\pmod{400}\)" signifie qu'on prend le reste de la division euclidienne par 400 pour ramener le résultat dans l'intervalle \([0, 400[\).
Hypothèses
On suppose que les axes Nord aux points A et B sont parallèles, ce qui est l'hypothèse de base des systèmes de projection plane utilisés en topographie sur des zones limitées.
Donnée(s)
On utilise uniquement le gisement \(G_{AB}\) calculé à la question précédente.
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Gisement AB (\(G_{AB}\)) | 100.0000 | gon |
Astuces
Une manière simple de retenir la règle : si le gisement aller est dans la moitié Est (0 à 200 gon), on ajoute 200. S'il est dans la moitié Ouest (200 à 400 gon), on soustrait 200. Le résultat doit toujours être positif et inférieur à 400.
Schéma (Avant les calculs)
On visualise la direction AB connue (Est) et on cherche la direction opposée BA.
Gisement Aller \(G_{AB}\)
Calcul(s)
Application de la formule
Le gisement \(G_{AB}\) est de 100.0000 gon, ce qui est inférieur à 200 gon. On applique donc la première règle : ajouter 200.
Schéma (Après les calculs)
Illustration du gisement retour \(G_{BA}\) depuis B.
Gisement Retour \(G_{BA}\)
Réflexions
Le résultat (300 gon) correspond bien à la direction Ouest, qui est l'opposée de la direction Est (100 gon). Le calcul est simple mais confirme la cohérence géométrique. Ce gisement \(G_{BA}\) sera utilisé pour calculer l'angle \(\beta\) à la station B.
Points de vigilance
L'erreur la plus courante est d'oublier cette étape ou d'appliquer incorrectement la règle (\(+200\) vs \(-200\)). Une erreur ici faussera le calcul de l'angle \(\beta\) et donc toute la suite de la résolution du triangle.
Points à retenir
- Le gisement retour est indispensable pour calculer les angles internes à la station "d'arrivée" de la base connue.
- La formule est simple : \(G_{\text{retour}} = G_{\text{aller}} \pm 200 \text{ gon}\).
Le saviez-vous ?
En géodésie, sur de longues distances où la courbure de la Terre n'est plus négligeable, les directions Nord en A et B ne sont plus strictement parallèles (convergence des méridiens). La relation entre gisement aller et retour devient légèrement plus complexe et dépend de la latitude.
FAQ
Pourquoi ne pas simplement recalculer le gisement BA à partir des coordonnées ? On pourrait, en calculant \(\Delta X' = X_A - X_B\) et \(\Delta Y' = Y_A - Y_B\). Cela donnerait \(\Delta X' = -500\), \(\Delta Y' = 0\), ce qui correspond bien à un gisement de 300 gon. Cependant, la règle du \(\pm 200\) est beaucoup plus rapide.
Résultat Final
A vous de jouer
Si un gisement G_XY = 275 gon, que vaut le gisement G_YX ? (Comme \(275 \ge 200\), on soustrait 200).
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q2 :
- Concept : Calcul du gisement inverse (ou retour).
- Formule : \(G_{\text{inverse}} = G_{\text{aller}} + 200 \text{ si } G_{\text{aller}}<200\), \(G_{\text{inverse}} = G_{\text{aller}} - 200 \text{ si } G_{\text{aller}}\ge 200\).
- Application : Indispensable pour calculer l'angle interne à la station B.
Question 3 : Calculer les angles internes du triangle ABP : \(\alpha\) (en A) et \(\beta\) (en B).
Principe
Le cœur de la méthode de l'intersection repose sur la résolution d'un triangle (ici ABP). Pour cela, nous devons connaître ses angles internes. Ces angles sont formés par les lignes de visée issues de chaque station. On les calcule par différence entre les gisements des lignes concernées.
Mini-Cours
L'angle horizontal \(\theta\) entre deux directions issues d'un même sommet S, définies par leurs gisements \(G_{S \rightarrow \text{Dir1}}\) et \(G_{S \rightarrow \text{Dir2}}\), se calcule comme la différence entre le gisement de la direction de droite (sens horaire) et celui de la direction de gauche : \(\theta = G_{\text{droite}} - G_{\text{gauche}}\). Si le résultat est négatif, on ajoute 400 gons pour obtenir l'angle dans le sens horaire. Pour un triangle, on cherche l'angle interne géométrique, qui est toujours inférieur à 200 gons.
Remarque Pédagogique
Visualiser la situation est essentiel. Placez-vous mentalement à la station A. La direction AB est "en arrière" (ou à droite dans le sens horaire) par rapport à la direction AP. L'angle \(\alpha\) est donc \(G_{AB} - G_{AP}\). Faites de même pour la station B : la direction BA est "en arrière" (à droite) par rapport à la direction BP. L'angle \(\beta\) (sens horaire) est donc \(G_{BA} - G_{BP}\).
Normes
La convention de calcul des angles par différence de gisements (\(G_{\text{droite}} - G_{\text{gauche}}\)) est standard en topographie.
Formule(s)
Application de la règle générale \(\text{Angle} = G_{\text{arrière}} - G_{\text{avant}}\) (en mesurant l'angle dans le sens horaire depuis l'avant vers l'arrière) :
Si \(\beta_{\text{horaire}}\) est négatif, ajouter 400. Si \(\beta_{\text{horaire}} > 200\), l'angle interne géométrique est \(\beta = 400 - \beta_{\text{horaire}}\).
Hypothèses
On suppose que les gisements G_AP et G_BP donnés dans l'énoncé ont été mesurés correctement depuis A et B respectivement.
Donnée(s)
On utilise les gisements calculés (\(G_{AB}, G_{BA}\)) et ceux fournis dans l'énoncé (\(G_{AP}, G_{BP}\)).
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Gisement AB (\(G_{AB}\)) | 100.0000 | gon |
| Gisement AP (\(G_{AP}\)) | 50.0000 | gon |
| Gisement BA (\(G_{BA}\)) | 300.0000 | gon |
| Gisement BP (\(G_{BP}\)) | 350.0000 | gon |
Astuces
Toujours faire un schéma rapide pour visualiser quelle direction est "à droite" ou "en arrière" de l'autre. Cela évite les erreurs de signe. Rappelez-vous que la somme des angles internes d'un triangle (\(\alpha + \beta + \gamma\)) doit toujours valoir 200 gons. Cela permet une vérification une fois \(\gamma\) calculé.
Schéma (Avant les calculs)
Schéma montrant les gisements en A et B pour calculer les angles \(\alpha\) et \(\beta\).
Calcul des angles α et β
Calcul(s)
Calcul de l'angle \(\alpha\) (en A)
La direction AB (100 gon) est à droite de AP (50 gon).
Calcul de l'angle \(\beta\) (en B)
La direction BA (300 gon) est à gauche de BP (350 gon). La différence \(G_{BA} - G_{BP}\) donnera l'angle dans le sens anti-horaire (négatif). On calcule d'abord l'angle horaire.
Pour obtenir l'angle positif mesuré dans le sens horaire, on ajoute 400 :
\[ \begin{aligned} \beta_{\text{positif}} &= -50.0000 + 400.0000 \\ &= 350.0000 \text{ gon} \end{aligned} \]Cet angle (350 gon) est l'angle extérieur (reflex). L'angle interne \(\beta\) du triangle est le complément à 400 :
\[ \begin{aligned} \beta &= 400.0000 - \beta_{\text{positif}} \\ &= 400.0000 - 350.0000 \\ &= 50.0000 \text{ gon} \end{aligned} \]Schéma (Après les calculs)
Triangle ABP avec les angles internes \(\alpha\) et \(\beta\) calculés.
Angles internes α et β
Réflexions
Le fait que \(\alpha = \beta\) signifie que le triangle ABP est isocèle en P (les côtés AP et BP auront la même longueur). C'est une information géométrique importante qui découlait des gisements donnés. Cela simplifiera les calculs suivants.
Points de vigilance
Attention à la soustraction : toujours \(G_{\text{droite}} - G_{\text{gauche}}\) pour obtenir l'angle horaire. Si l'on inverse, on obtient l'angle anti-horaire (ou l'angle horaire négatif). Ne pas confondre l'angle horaire extérieur (> 200 gon) avec l'angle interne géométrique du triangle (< 200 gon).
Points à retenir
- Les angles internes d'un triangle se calculent par différence de gisements aux sommets.
- La formule est \(\text{Angle} = G_{\text{arrière}} - G_{\text{avant}}\) (sens horaire).
- Il faut parfois ajouter 400 (si négatif) ou soustraire de 400 (si > 200) pour obtenir l'angle interne géométrique.
Le saviez-vous ?
Les instruments topographiques modernes (tachéomètres) mesurent directement les angles horizontaux (différences entre lectures) sans nécessiter de calculer les gisements intermédiaires, ce qui simplifie le travail sur le terrain.
FAQ
Pourquoi ne pas utiliser \(\beta = G_{BP} - G_{BA}\) ? Cela donnerait \(350 - 300 = 50\). Ça marche ici car on obtient directement l'angle interne. Cependant, la convention \(G_{\text{droite}} - G_{\text{gauche}}\) est plus systématique et gère tous les cas. Ici, \(G_{BA}\) (300) est à gauche de \(G_{BP}\) (350), donc l'angle horaire est \(G_{BP} - G_{BA} = 50\). Comme il est < 200, c'est l'angle interne.
Résultat Final
A vous de jouer
Maintenant que vous connaissez \(\alpha\) et \(\beta\), quel est l'angle \(\gamma\) au sommet P ? (Rappel : \(\alpha + \beta + \gamma = 200\) gons).
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q3 :
- Concept : Calcul des angles internes d'un triangle à partir des gisements.
- Formule : \(\text{Angle horaire} = G_{\text{droite}} - G_{\text{gauche}}\). Convertir en angle interne si nécessaire.
- Application : \(\alpha = G_{AB} - G_{AP}\), \(\beta = 400 - (G_{BA} - G_{BP})\) [ou \(\beta = G_{BP} - G_{BA}\) car < 200].
- Vigilance : Sens de rotation, angles > 200 gon.
Question 4 : Calculer les distances D_AP et D_BP en utilisant la loi des sinus.
Principe
Nous avons un triangle ABP dont nous connaissons maintenant tous les angles (\(\alpha\) en A, \(\beta\) en B, et par déduction \(\gamma\) en P) ainsi que la longueur d'un côté (la base \(D_{AB}\)). La loi des sinus nous permet, grâce à ces informations, de calculer la longueur des deux autres côtés, \(D_{AP}\) et \(D_{BP}\).
Mini-Cours
La loi des sinus établit que dans n'importe quel triangle, le rapport entre la longueur d'un côté et le sinus de l'angle opposé à ce côté est constant. Si on nomme les côtés a, b, c et les angles opposés A, B, C, alors \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\). C'est un outil essentiel pour "résoudre" un triangle, c'est-à-dire trouver toutes ses dimensions (angles et longueurs) à partir d'informations partielles.
Remarque Pédagogique
C'est l'étape clé pour passer des mesures angulaires aux distances vers le point P. Nous connaissons \(D_{AB}\) et l'angle opposé \(\gamma\). Ce rapport \(\frac{D_{AB}}{\sin(\gamma)}\) sera égal aux rapports \(\frac{D_{AP}}{\sin(\beta)}\) et \(\frac{D_{BP}}{\sin(\alpha)}\), ce qui nous permet d'isoler \(D_{AP}\) et \(D_{BP}\).
Normes
La loi des sinus est un théorème fondamental de la trigonométrie plane, démontré géométriquement ou à l'aide de formules d'aire.
Formule(s)
La loi des sinus appliquée au triangle ABP s'écrit :
Pour calculer \(D_{AP}\), on utilise l'égalité :
Pour calculer \(D_{BP}\), on utilise l'égalité :
Hypothèses
On reste dans le cadre de la géométrie plane euclidienne. Les angles utilisés (\(\alpha, \beta, \gamma\)) sont les angles internes géométriques du triangle.
Donnée(s)
On utilise la distance \(D_{AB}\) de Q1 et les angles \(\alpha\) et \(\beta\) de Q3. L'angle \(\gamma\) se déduit par \(200 - \alpha - \beta\).
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Distance AB (\(D_{AB}\)) | 500.0000 | m |
| Angle \(\alpha\) (opposé \(D_{BP}\)) | 50.0000 | gon |
| Angle \(\beta\) (opposé \(D_{AP}\)) | 50.0000 | gon |
| Angle \(\gamma\) (opposé \(D_{AB}\)) | (Calculé : 100.0000) | gon |
Astuces
Avant d'appliquer la formule, calculez et vérifiez \(\gamma = 200 - (\alpha + \beta)\). Assurez-vous que votre calculatrice est en mode GONS (ou GRADES). Si \(\alpha = \beta\), vous devriez trouver \(D_{AP} = D_{BP}\), ce qui est une bonne vérification.
Schéma (Avant les calculs)
Triangle ABP avec les angles connus et le côté \(D_{AB}\) connu. On cherche \(D_{AP}\) et \(D_{BP}\).
Application de la Loi des Sinus
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de l'angle \(\gamma\) (Angle en P)
La somme des angles d'un triangle valant 200 gons.
Étape 2 : Calcul de D_AP
On applique la loi des sinus avec l'angle \(\beta\) opposé à \(D_{AP}\) et l'angle \(\gamma\) opposé à \(D_{AB}\).
Rappel : \(\sin(50 \text{ gon}) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071\), \(\sin(100 \text{ gon}) = \sin(90^\circ) = 1\).
\[ \begin{aligned} D_{AP} &= 500.0000 \cdot \frac{0.70710678...}{1.0} \\ &= 353.5534 \text{ m} \end{aligned} \]Étape 3 : Calcul de D_BP
On applique la loi des sinus avec l'angle \(\alpha\) opposé à \(D_{BP}\) et l'angle \(\gamma\) opposé à \(D_{AB}\).
Schéma (Après les calculs)
Triangle ABP résolu avec toutes les longueurs de côtés.
Triangle Résolu
Réflexions
Le calcul confirme que \(D_{AP} = D_{BP}\), ce qui était attendu car le triangle est isocèle (\(\alpha = \beta\)). De plus, comme \(\gamma = 100\) gon (angle droit), le triangle ABP est rectangle en P. On peut vérifier avec Pythagore : \(D_{AP}^2 + D_{BP}^2 = (353.5534)^2 + (353.5534)^2 \approx 125000 + 125000 = 250000\), et \(D_{AB}^2 = (500)^2 = 250000\). La relation est vérifiée.
Points de vigilance
La principale source d'erreur est l'utilisation incorrecte des fonctions trigonométriques (mode degrés au lieu de gons, ou vice-versa). Vérifiez toujours le mode de votre calculatrice. Assurez-vous également d'associer chaque côté à son angle opposé dans la formule.
Points à retenir
- La loi des sinus (\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\)) est l'outil principal pour calculer les longueurs des côtés dans un triangle quand on connaît un côté et les angles.
- Il faut connaître la somme des angles (\(200\) gons) pour trouver le troisième angle si nécessaire.
Le saviez-vous ?
Il existe aussi la loi des cosinus (ou théorème d'Al-Kashi) qui relie les longueurs des trois côtés à un des angles (\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\)). Elle est utile quand on connaît deux côtés et l'angle inclus, ou les trois côtés.
FAQ
Que se passe-t-il si un des angles est très petit ? Le sinus sera très petit, et si cet angle est opposé au côté connu, le rapport \(\frac{D_{\text{connue}}}{\sin(\text{angle opposé})}\) deviendra très grand, ce qui peut amplifier les erreurs de mesure sur les autres angles lors du calcul des autres distances. C'est pourquoi on évite les intersections avec des angles trop aigus.
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(D_{AB}\) était de 1000m et les angles \(\alpha=60\text{g}\), \(\beta=70\text{g}\). Que vaudrait \(\gamma\) et \(D_{AP}\) ? (\(\gamma=200-60-70=70\text{g}\), \(D_{AP}=1000 \cdot \sin(70)/\sin(70)\)).
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q4 :
- Concept : Résolution de triangle par Loi des Sinus.
- Formule : \(\frac{D_{AB}}{\sin(\gamma)} = \frac{D_{BP}}{\sin(\alpha)} = \frac{D_{AP}}{\sin(\beta)}\).
- Application : Calcul de \(D_{AP}\) et \(D_{BP}\) à partir de \(D_{AB}\) et des angles internes \(\alpha, \beta, \gamma\).
- Vigilance : Mode GONS calculatrice, angles opposés corrects.
Question 5 : Calculer les coordonnées (X_P, Y_P) du point P par rayonnement depuis A, et vérifier le calcul depuis B.
Principe
C'est l'objectif final : trouver les coordonnées du point P. Maintenant que nous connaissons une distance (\(D_{AP}\) ou \(D_{BP}\)) et une direction (gisement \(G_{AP}\) ou \(G_{BP}\)) depuis un point connu (A ou B), nous pouvons calculer les coordonnées de P en utilisant les formules de rayonnement. Effectuer le calcul depuis A ET depuis B permet une vérification cruciale.
Mini-Cours
Le calcul de rayonnement est basé sur la trigonométrie dans le triangle rectangle formé par le vecteur (ex: AP), sa projection sur l'axe X (\(\Delta X_{AP}\)) et sa projection sur l'axe Y (\(\Delta Y_{AP}\)). L'angle entre l'axe Y (Nord) et le vecteur AP est le gisement \(G_{AP}\). Par définition trigonométrique, on a \(\sin(G_{AP}) = \frac{\Delta X_{AP}}{D_{AP}}\) et \(\cos(G_{AP}) = \frac{\Delta Y_{AP}}{D_{AP}}\). En isolant \(\Delta X\) et \(\Delta Y\), on obtient \(\Delta X_{AP} = D_{AP} \sin(G_{AP})\) et \(\Delta Y_{AP} = D_{AP} \cos(G_{AP})\). Les coordonnées de P sont alors \(X_P = X_A + \Delta X_{AP}\) et \(Y_P = Y_A + \Delta Y_{AP}\).
Remarque Pédagogique
La vérification en calculant les coordonnées depuis la deuxième station (B) est une pratique essentielle en topographie. Si les deux calculs donnent le même résultat (à quelques millimètres près, dus aux arrondis), on peut avoir une bonne confiance dans la mesure et le calcul. Un écart significatif indique une erreur quelque part (mesure, transcription, calcul).
Normes
Les formules de rayonnement sont une application directe de la trigonométrie et de la géométrie analytique, utilisées universellement en topographie et géodésie.
Formule(s)
Calcul de P par rayonnement depuis A
Calcul de P par rayonnement depuis B (pour vérification)
Hypothèses
On continue de supposer un système de coordonnées plan et orthonormé. Les valeurs de coordonnées, gisements et distances utilisées sont supposées exactes (ou du moins issues des calculs précédents).
Donnée(s)
On utilise les coordonnées de A et B (énoncé), les gisements \(G_{AP}\) et \(G_{BP}\) (énoncé), et les distances \(D_{AP}\) et \(D_{BP}\) calculées à la question 4.
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Point A (\(X_A, Y_A\)) | (1000.0000, 500.0000) |
| Point B (\(X_B, Y_B\)) | (1500.0000, 500.0000) |
| Gisement / Distance AP | 50.0000 gon / 353.5534 m |
| Gisement / Distance BP | 350.0000 gon / 353.5534 m |
Astuces
Avant le calcul, estimez la position de P par rapport à A et B sur le schéma. Ici, P est au Nord-Est de A (\(\Delta X > 0, \Delta Y > 0\)) et au Nord-Ouest de B (\(\Delta X < 0, \Delta Y > 0\)). Vérifiez que les signes des termes \(D \sin G\) et \(D \cos G\) correspondent à cette estimation. Cela aide à détecter les erreurs de signe ou de quadrant.
Schéma (Avant les calculs)
Illustration du calcul de ΔX et ΔY depuis A et B.
Calcul par Rayonnement depuis A et B
Points de vigilance
Encore une fois, le mode GONS de la calculatrice est crucial. Mais le plus important ici est de vérifier les signes des sinus et cosinus selon le quadrant du gisement :
- G_AP = 50 gon (Quadrant 1 : Nord-Est) \(\Rightarrow \sin > 0, \cos > 0\).
- G_BP = 350 gon (Quadrant 4 : Nord-Ouest) \(\Rightarrow \sin < 0, \cos > 0\).
Calcul(s)
Calcul depuis la Station A
On ajoute les projections du vecteur AP aux coordonnées de A.
Vérification depuis la Station B
On ajoute les projections du vecteur BP aux coordonnées de B.
Schéma (Après les calculs)
Position finale du point P dans le système de coordonnées.
Coordonnées Finales de P
Réflexions
La concordance parfaite des coordonnées calculées depuis A et B (\(X_P = 1250.0000\) et \(Y_P = 750.0000\) dans les deux cas) nous donne une grande confiance dans le résultat. La position (1250, 750) est bien située au Nord (\(Y_P > Y_A\)) et à mi-chemin en X entre A et B, ce qui est logique pour un triangle isocèle rectangle avec une base horizontale.
Points de vigilance
Outre les signes trigonométriques, vérifiez que vous utilisez les bonnes données pour chaque calcul (ne pas mélanger \(D_{AP}\) avec \(G_{BP}\) par exemple). Une erreur d'inattention est vite arrivée. Garder une bonne précision (4 décimales ici) tout au long des calculs intermédiaires est important pour obtenir une bonne concordance finale.
Points à retenir
- Le rayonnement est la méthode pour passer de (Point connu + Gisement + Distance) à (Coordonnées du point visé).
- Formules clés : \(\Delta X = D \sin G\), \(\Delta Y = D \cos G\).
- La vérification par un calcul indépendant (depuis une autre station connue) est une étape indispensable pour valider le résultat en pratique.
Le saviez-vous ?
Les systèmes GPS fonctionnent sur un principe similaire mais en 3D et basé sur des mesures de distances (trilatération) à partir de satellites dont les positions sont connues, plutôt que sur des mesures d'angles depuis des points au sol.
FAQ
Quelle précision peut-on attendre en pratique ? Avec des instruments modernes (tachéomètres précis) et des conditions de mesure correctes, la concordance entre les deux calculs devrait être de l'ordre de quelques millimètres à quelques centimètres, selon les distances et la qualité de la base AB.
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(G_{AP}\) était de 100 gon (visée plein Est depuis A à 1000, 500) et \(D_{AP}=353.55 \text{ m}\), quelles seraient les coordonnées de P ? Calculez \(X_P\). (\(\Delta X = 353.55 \times \sin(100) = 353.55 \times 1\), \(\Delta Y = 353.55 \times \cos(100) = 0\)).
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q5 :
- Concept : Calcul final des coordonnées par Rayonnement et Vérification.
- Formules : \(X_P = X_{\text{station}} + D_{\text{visée}} \sin(G_{\text{visée}})\), \(Y_P = Y_{\text{station}} + D_{\text{visée}} \cos(G_{\text{visée}})\).
- Application : Calculer P depuis A, puis recalculer P depuis B.
- Vigilance : Signes sin/cos selon quadrant, cohérence des données utilisées, concordance finale.
Outil Interactif : Simulateur d'Intersection
Utilisez les curseurs pour modifier les gisements observés depuis A (G_AP) et B (G_BP) et voyez comment la position du point P change en temps réel. Les stations A(1000, 500) et B(1500, 500) sont fixes.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Qu'est-ce qu'un gisement en topographie ?
2. Si le gisement G_AB = 100 gon, que vaut le gisement G_BA ?
3. Un gisement de 0 gon correspond à quelle direction ?
4. Dans la loi des sinus \(\frac{D_{AB}}{\sin(\gamma)} = \frac{D_{AP}}{\sin(\beta)}\), que représente \(\gamma\) ?
5. Dans l'exercice, pourquoi a-t-on trouvé \(D_{AP} = D_{BP}\) ?
Glossaire
- Gisement
- Angle horizontal mesuré dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre) à partir de la direction du Nord (Axe Y) vers une direction donnée. L'unité est le gon (ou grade), où 400 gons = 360 degrés.
- Planimétrie
- Partie de la topographie qui étudie les méthodes de représentation sur un plan des détails du terrain, sans tenir compte des altitudes (coordonnées X et Y uniquement).
- Rayonnement
- Méthode de calcul pour déterminer les coordonnées d'un point P à partir d'un point connu A, en utilisant le gisement G_AP et la distance D_AP.
- Station
- Point au sol, dont les coordonnées sont connues (ou que l'on cherche à déterminer), sur lequel on place un instrument de mesure (comme un tachéomètre).
- Gon (ou Grade)
- Unité d'angle utilisée en topographie. Un cercle complet fait 400 gons. Un angle droit fait 100 gons. La somme des angles d'un triangle fait 200 gons.
D’autres exercices de calculs planimétriques:
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