Calcul d'un Cheminement de Nivellement Simple

Contexte : Le Cheminement de Nivellement

Cet exercice met en pratique le calcul complet d'un cheminement de nivellement simple, reliant deux points de référence connus, A et B. Ce type de cheminement est dit "encadré". Il s'agit de la méthode la plus courante et la plus rigoureuse pour déterminer l'altitude de points intermédiaires (comme le Point 1 et le Point 2), tout en contrôlant la précision des mesures grâce à la "fermeture" sur un repère connu. La différence entre l'altitude connue de B et celle que nous allons calculer nous donnera l'erreur de fermeture du cheminement.

Remarque Pédagogique : Le calcul d'un cheminement encadré est un pilier de la topographie. Il simule une situation de terrain réelle où il faut non seulement calculer des altitudes, mais aussi vérifier la qualité de son propre travail en quantifiant l'erreur commise.

Objectifs Pédagogiques

Calculer les altitudes de plusieurs points intermédiaires dans un cheminement.
Calculer la dénivelée totale d'un cheminement.
Déterminer l'erreur de fermeture d'un cheminement encadré.
Comprendre l'importance de la vérification et du contrôle qualité dans les levés topographiques.

Données de l'étude

Un topographe doit déterminer l'altitude des points 1 et 2 en réalisant un cheminement de nivellement entre deux repères connus, A et B. Il a consigné ses lectures dans le carnet de terrain suivant :

Altitude du repère de départ A : 42.152 m
Altitude du repère d'arrivée B : 43.088 m

Point Visé	Visée Arrière	Visée Avant
A	1.875	-
Point 1	2.011	1.254
Point 2	1.115	1.987
B	-	0.702

Schéma du Cheminement

Questions à traiter

Calculer les altitudes brutes des points 1 et 2.
Calculer l'altitude brute de B et en déduire l'erreur de fermeture du cheminement.
Calculer la compensation à appliquer par dénivelée et déterminer les altitudes compensées des points 1, 2 et B.

Correction : Calcul d'un Cheminement Simple

Question 1 : Altitudes Brutes des Points 1 et 2

Principe

Le calcul se fait étape par étape. Pour chaque station, on détermine l'altitude du plan de visée (\(H_{\text{i}}\)) en utilisant la visée arrière sur le point précédent (dont l'altitude est connue). Ensuite, on calcule l'altitude du point suivant en utilisant la visée avant. Ce point devient la nouvelle référence pour la station d'après.

Remarque Pédagogique

Point Clé : Le cheminement est comme une chaîne. Chaque maillon (chaque calcul de dénivelée) doit être solide. Une erreur au début se propage tout au long du calcul.

Points de Vigilance

Attention : Bien identifier la visée arrière (sur le point connu de la station) et la visée avant (sur le point inconnu à calculer). Dans le carnet, pour le Point 1, 2.011 est la visée arrière de la station 2, pas celle de la station 1.

Données utilisées

\(\text{Altitude}_{\text{A}} = 42.152 \, \text{m}\) Lectures du carnet de terrain pour les stations 1 et 2

Étape 1 : Calcul de l'altitude du Point 1

\begin{aligned} H_{\text{i1}} &= \text{Altitude}_{\text{A}} + V_{\text{arr,A}} \\ &= 42.152 \, \text{m} + 1.875 \, \text{m} = 44.027 \, \text{m} \\ \text{Altitude}_{\text{1}} &= H_{\text{i1}} - V_{\text{av,1}} \\ &= 44.027 \, \text{m} - 1.254 \, \text{m} = \mathbf{42.773 \, \text{m}} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de l'altitude du Point 2

\begin{aligned} H_{\text{i2}} &= \text{Altitude}_{\text{1}} + V_{\text{arr,1}} \\ &= 42.773 \, \text{m} + 2.011 \, \text{m} = 44.784 \, \text{m} \\ \text{Altitude}_{\text{2}} &= H_{\text{i2}} - V_{\text{av,2}} \\ &= 44.784 \, \text{m} - 1.987 \, \text{m} = \mathbf{42.797 \, \text{m}} \end{aligned}

Résultat Question 1 : L'altitude brute du Point 1 est de 42.773 m et celle du Point 2 est de 42.797 m.

Question 2 : Altitude Brute de B et Erreur de Fermeture

Principe

On termine le cheminement en calculant l'altitude de B. L'erreur de fermeture est la différence entre cette altitude calculée et l'altitude connue de B. C'est la mesure de la précision globale du levé.

Remarque Pédagogique

Point Clé : Le calcul de la fermeture est un contrôle qualité indispensable. Sans point d'arrivée connu, on ne peut pas savoir si les mesures sont précises. Un cheminement "en l'air" (sans fermeture) est à proscrire pour des travaux de précision.

Points de Vigilance

Attention : Le signe de l'erreur est crucial. Une erreur positive signifie que votre calcul arrive "trop haut" par rapport à la réalité. Une erreur négative signifie que vous arrivez "trop bas". La compensation sera de signe opposé.

Étape 1 : Calcul de l'altitude brute de B

\begin{aligned} H_{\text{i3}} &= \text{Altitude}_{\text{2}} + V_{\text{arr,2}} \\ &= 42.797 \, \text{m} + 1.115 \, \text{m} = 43.912 \, \text{m} \\ \text{Altitude}_{\text{B,calc}} &= H_{\text{i3}} - V_{\text{av,B}} \\ &= 43.912 \, \text{m} - 0.702 \, \text{m} = \mathbf{43.210 \, \text{m}} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de l'Erreur de Fermeture (\(f_H\))

\begin{aligned} f_H &= \text{Altitude}_{\text{B,calc}} - \text{Altitude}_{\text{B,connue}} \\ &= 43.210 \, \text{m} - 43.088 \, \text{m} \\ &= +0.122 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat Question 2 : L'altitude calculée de B est 43.210 m. L'erreur de fermeture est de +122 mm.

Question 3 : Compensation et Altitudes Définitives

Principe

Si l'erreur de fermeture est acceptable, on la "compense", c'est-à-dire qu'on la répartit sur toutes les mesures pour corriger les altitudes. La méthode la plus simple est une répartition proportionnelle au nombre de dénivelées. La compensation à appliquer est l'opposé de l'erreur de fermeture.

Remarque Pédagogique

Point Clé : La compensation "rabote" ou "remonte" proportionnellement les altitudes calculées pour que le cheminement "retombe" parfaitement sur l'altitude connue du point d'arrivée. C'est l'étape finale qui garantit la cohérence du levé.

Points de Vigilance

Attention : La compensation est cumulative. Le Point 1 reçoit une part de la correction, le Point 2 en reçoit deux parts, et le point B reçoit les trois parts, ce qui le ramène exactement à son altitude connue.

Étape 1 : Calcul de la compensation par station

C = - \frac{f_H}{\text{Nombre de dénivelées}} = - \frac{+0.122 \, \text{m}}{3} \approx -0.041 \, \text{m}

Étape 2 : Calcul des altitudes compensées

\begin{aligned} \text{Alt}_{\text{1,comp}} &= \text{Alt}_{\text{1,brute}} + 1 \times C \\ &= 42.773 - 0.041 = \mathbf{42.732 \, \text{m}} \\ \text{Alt}_{\text{2,comp}} &= \text{Alt}_{\text{2,brute}} + 2 \times C \\ &= 42.797 - (2 \times 0.041) = \mathbf{42.715 \, \text{m}} \\ \text{Alt}_{\text{B,comp}} &= \text{Alt}_{\text{B,brute}} + 3 \times C \\ &= 43.210 - (3 \times 0.041) \approx \mathbf{43.087 \, \text{m}} \end{aligned}

Résultat Question 3 : Les altitudes compensées sont 42.732 m pour le Point 1 et 42.715 m pour le Point 2.

Tableau Récapitulatif (Carnet de Nivellement Compensé)

Voici le carnet de nivellement complet avec les altitudes brutes, la compensation et les altitudes définitives.

Point	V. Arrière	V. Avant	Alt. Brute	Comp.	Alt. Compensée
A	1.875	-	42.152	0.000	42.152
Point 1	2.011	1.254	...	...	...
Point 2	1.115	1.987	...	...	...
B	-	0.702	...	...	...
Sommes	5.041	3.943

À vous de jouer ! (Défi)

Défi : Vérifiez le calcul de la dénivelée totale brute de deux manières : 1) \(\text{Alt}_{\text{B,calc}} - \text{Alt}_{\text{A}}\) et 2) \(\Sigma V_{\text{arr}} - \Sigma V_{\text{av}}\). Le résultat doit être identique.

Dénivelée totale (m) :

Pièges à Éviter

Oublier de changer de ligne pour le PC : Dans le carnet, un point de changement (comme le Point 1 et 2 ici) a une lecture en visée avant sur sa ligne, et une lecture en visée arrière sur la même ligne, car il sert de pivot.

Erreur de signe dans la compensation : La compensation est toujours de signe **opposé** à l'erreur de fermeture. Si l'erreur est positive (on a trop monté), la compensation doit être négative (on doit "redescendre").

Mauvaise répartition de la compensation : Une répartition simple se fait par station, mais des méthodes plus rigoureuses la répartissent proportionnellement à la distance de chaque visée.

Outils pour la Maîtrise

Vérificateur de Fermeture

Vérifiez rapidement la cohérence d'un carnet de nivellement.

Pour Aller Plus Loin

Nivellement par Rayonnement : Depuis une seule station de niveau, on peut déterminer l'altitude de plusieurs points autour de soi en effectuant uniquement des visées avant sur ces points (après avoir fait une visée arrière sur un repère connu). C'est très efficace pour lever le détail d'une zone, comme les coins d'un bâtiment.

Tolérances de Fermeture : Les chantiers imposent des tolérances pour l'erreur de fermeture. Par exemple, pour un nivellement de précision, on peut exiger \(f_H \le 12 \sqrt{L_{\text{km}}}\) mm. Si notre cheminement faisait 1 km, notre erreur de 122 mm serait inacceptable et il faudrait refaire les mesures.

Le Saviez-Vous ?

L'altitude "zéro" en France métropolitaine, appelée NGF (Nivellement Général de la France), est déterminée par un marégraphe situé à Marseille. Toutes les altitudes officielles du pays sont rattachées à ce point de référence fondamental, qui mesure le niveau moyen de la mer Méditerranée.

Foire Aux Questions (FAQ)

Quelle est la différence entre un cheminement "encadré" et "fermé" ?

Un cheminement encadré part d'un repère connu (A) et se termine sur un autre repère connu (B), comme dans notre exercice. Un cheminement fermé part d'un repère connu (A) et revient sur ce même repère A. Les deux méthodes permettent de calculer une erreur de fermeture pour contrôler la qualité des mesures.

Pourquoi doit-on essayer de placer le niveau à égale distance des deux mires ?

Placer le niveau à mi-distance entre le point arrière et le point avant est une bonne pratique appelée "compensation des portées". Cela permet d'annuler automatiquement certaines erreurs systématiques, notamment l'erreur de collimation de l'instrument (si l'axe de visée n'est pas parfaitement horizontal) et les effets de la courbure de la Terre et de la réfraction atmosphérique.

Que faire si l'erreur de fermeture est trop grande ?

Si l'erreur de fermeture dépasse la tolérance admise pour le projet, le cheminement doit être entièrement refait. On ne peut pas compenser une erreur trop importante car elle indique probablement une faute grossière (erreur de lecture, mire qui a bougé, erreur de calcul...) et non de petites imprécisions de mesure.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un carnet de nivellement, un point qui a à la fois une lecture en Visée Avant et en Visée Arrière est un...

Repère de départ
Point de détail
Point de changement

2. L'erreur de fermeture est de +20 mm. La compensation à appliquer à la fin du cheminement est de :

+20 mm
-20 mm
0 mm

3. La somme des visées arrière d'un cheminement est 8.450 m. La somme des visées avant est 7.950 m. Quelle est la dénivelée totale ?

+0.500 m
-0.500 m
16.400 m

Glossaire

Altitude: Élévation verticale d'un point par rapport à une surface de référence (par exemple, le niveau de la mer).
Dénivelée: Différence d'altitude entre deux points. Se calcule par Alt(B) - Alt(A) ou par Varr - Vav.
Fermeture: Différence entre l'altitude connue d'un point d'arrivée et son altitude calculée par le cheminement. Elle mesure l'erreur globale du levé.
Point de Changement (PC): Point intermédiaire stable utilisé pour "pivoter" lors d'un cheminement. Il reçoit une visée avant depuis une station, puis une visée arrière depuis la station suivante.
Visée Arrière (Varr): Lecture sur la mire posée sur un point d'altitude connue. Permet de calculer l'altitude du plan de visée de l'instrument.
Visée Avant (Vav): Lecture sur la mire posée sur un point dont on cherche à déterminer l'altitude (un point de changement ou le point final).