Étude Topographique

Calcul d’un Cheminement de Nivellement Simple

Exercice : Calcul d'un Cheminement de Nivellement Simple

Calcul d’un Cheminement de Nivellement Simple

Contexte : Le Nivellement DirectEnsemble des opérations topographiques permettant de déterminer des altitudes ou des dénivelées avec un niveau et une mire..

Dans le cadre d'un projet d'aménagement, un topographe doit déterminer avec précision l'altitude de plusieurs points (B, C, D) situés entre deux repèresPoint fixe et stable dont l'altitude est connue avec une grande précision. Il sert de référence pour les mesures topographiques. connus, A et E. Pour ce faire, il réalise un cheminement de nivellement direct. Cet exercice vous guidera à travers toutes les étapes de calcul, depuis les lectures brutes sur le terrain jusqu'à l'obtention des altitudes compensées finales.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la méthode complète de traitement d'un cheminement de nivellement encadré. La maîtrise de ce processus est fondamentale pour tout technicien ou ingénieur en topographie, car elle garantit la fiabilité et la précision des données altimétriques, essentielles à la conception et à la réalisation de tout projet de construction.

Objectifs Pédagogiques

  • Savoir exploiter un carnet de nivellement pour calculer des dénivelées brutes.
  • Calculer et interpréter l'écart de fermeture d'un cheminement encadré.
  • Vérifier si la tolérance réglementaire est respectée.
  • Appliquer une compensation pour répartir l'erreur de fermeture.
  • Déterminer les altitudes finales et contrôlées des points du cheminement.

Données de l'étude

Un cheminement de nivellement a été effectué entre le Repère A (altitude connue) et le Repère E (altitude connue). Les lectures sur mire ont été consignées dans le carnet de nivellement ci-dessous.

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Repère de départ A, Altitude \( Z_A = 100.000 \text{ m} \)
Repère d'arrivée E, Altitude \( Z_E = 98.900 \text{ m} \)
Tolérance pour ce type de chantier \( T = \pm 20 \text{ mm} \sqrt{L_{\text{km}}} \)
Longueur totale du cheminement L = 400 m
Schéma de principe du cheminement
A B C D E S1 S2 S3 S4
Carnet de Nivellement
Point Visé Lecture Arrière (m) Lecture Avant (m)
A 1.255 -
B 1.890 0.865
C 1.110 1.950
D 0.580 1.765
E - 1.345

Questions à traiter

  1. Calculer les dénivelées brutes pour chaque tronçon (A vers B, B vers C, etc.).
  2. Calculer la dénivelée totale brute du cheminement, de A vers E.
  3. Déterminer l'écart de fermeture (ou erreur de fermeture) \(f_z\) du cheminement.
  4. Comparer l'écart de fermeture à la tolérance réglementaire et conclure.
  5. Calculer les altitudes compensées des points B, C et D.

Les bases sur le Nivellement Direct

Le nivellement direct est la méthode la plus précise pour déterminer l'altitude des points. Elle repose sur la mesure de la différence de hauteur verticale entre des mires positionnées sur les points à mesurer, grâce à un viseur horizontal fourni par un niveau.

1. Dénivelée entre deux points
La dénivelée (\(\Delta Z\)) entre un point arrière et un point avant est la différence entre la lecture faite sur la mire au point arrière (\(L_{AR}\)) et la lecture faite sur la mire au point avant (\(L_{AV}\)). \[ \Delta Z = L_{AR} - L_{AV} \] Une dénivelée positive signifie que l'on monte, une dénivelée négative signifie que l'on descend.

2. Fermeture et Tolérance
Dans un cheminement entre deux points connus A et E, la somme des dénivelées mesurées (\(\sum \Delta Z_{\text{mesurées}}\)) doit être égale à la dénivelée théorique (\(Z_E - Z_A\)). La différence est l'écart de fermeture \(f_z\). \[ f_z = \sum \Delta Z_{\text{mesurées}} - (Z_E - Z_A) \] Cet écart doit être inférieur à une tolérance, souvent fixée par la réglementation ou le cahier des charges du projet.

3. Compensation
Si l'écart de fermeture est acceptable, on le répartit sur toutes les mesures pour "corriger" les altitudes. La correction à appliquer à chaque dénivelée est l'opposé de l'erreur, répartie équitablement. Pour \(n\) dénivelées, la correction unitaire \(C_i\) est : \[ C_i = -\frac{f_z}{n} \] L'altitude finale d'un point est alors calculée en ajoutant la dénivelée compensée (\(\Delta Z_{\text{brute}} + C_i\)) à l'altitude du point précédent.

Correction : Calcul d'un Cheminement de Nivellement Simple

Question 1 : Calculer les dénivelées brutes

Principe

La première étape consiste à calculer la différence d'altitude brute entre chaque paire de points successifs où la mire a été positionnée. Cette différence, appelée "dénivelée", est obtenue en soustrayant la lecture sur la mire au point "avant" de la lecture sur la mire au point "arrière", pour une même position de l'instrument (station).

Mini-Cours

En nivellement direct, l'instrument (le niveau) génère un plan de visée parfaitement horizontal. La lecture sur la mire correspond à la distance verticale entre ce plan et le pied de la mire (le point au sol). La différence entre deux lectures depuis une même station donne donc directement la différence d'altitude (dénivelée) entre les deux points où la mire a été posée, indépendamment de l'altitude de l'instrument lui-même.

Remarque Pédagogique

Pensez-y comme si vous étiez au bord d'une piscine avec une règle. Le niveau de l'eau est votre plan de visée horizontal. Si vous mesurez la hauteur de l'eau sur une marche (lecture arrière) puis sur la marche suivante (lecture avant), la différence des deux mesures vous donne la hauteur de la marche (la dénivelée).

Normes

Le calcul lui-même est une formule mathématique de base, mais la précision des lectures et les procédures de mesure (par exemple, la longueur maximale des visées) sont encadrées par des normes techniques et des cahiers des charges propres aux chantiers, souvent inspirés des recommandations de l'Ordre des Géomètres-Experts ou de normes internationales comme la série ISO 17123 pour les instruments.

Formule(s)

Formule de la dénivelée brute

\[ \Delta Z_{I \rightarrow J} = L_{AR(I)} - L_{AV(J)} \]
Hypothèses

Pour ce calcul, on admet plusieurs hypothèses fondamentales :

  • L'axe de visée de l'instrument est parfaitement horizontal.
  • La mire est tenue parfaitement verticale (d'où l'utilisation d'une nivelle sphérique sur la mire).
  • Les graduations de la mire sont exactes.
  • Sur les courtes distances de visée, les effets de la courbure de la Terre et de la réfraction atmosphérique sont négligeables.
Donnée(s)

Nous utilisons les lectures successives du carnet de nivellement. Par exemple, pour la première dénivelée, nous prenons la lecture arrière sur A et la lecture avant sur B.

TronçonLecture Arrière (m)Lecture Avant (m)
A vers B1.2550.865
B vers C1.8901.950
C vers D1.1101.765
D vers E0.5801.345
Astuces

Une astuce simple pour un auto-contrôle rapide sur le terrain : si la lecture avant est plus petite que la lecture arrière, le terrain monte. Si elle est plus grande, le terrain descend. Cela permet de détecter une éventuelle erreur de signe avant même de poser le calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisons la première station (S1) entre les points A et B. Le niveau crée un plan de visée horizontal. On mesure L_AR sur A et L_AV sur B.

Visées depuis la station S1
S1AL_AR = 1.255BL_AV = 0.865
Calcul(s)

Calcul de la dénivelée A vers B

\[ \begin{aligned} \Delta Z_{A \rightarrow B} &= 1.255 - 0.865 \\ &= +0.390 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de la dénivelée B vers C

\[ \begin{aligned} \Delta Z_{B \rightarrow C} &= 1.890 - 1.950 \\ &= -0.060 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de la dénivelée C vers D

\[ \begin{aligned} \Delta Z_{C \rightarrow D} &= 1.110 - 1.765 \\ &= -0.655 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de la dénivelée D vers E

\[ \begin{aligned} \Delta Z_{D \rightarrow E} &= 0.580 - 1.345 \\ &= -0.765 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une série de vecteurs verticaux (les dénivelées) qui, mis bout à bout, décrivent le profil du terrain.

Profil schématique des dénivelées
Z_AABCDE+0.390-0.060-0.655-0.765
Réflexions

L'analyse des signes nous renseigne sur la topographie du terrain : le terrain monte de A à B (+0.390 m), puis descend de B à E, avec une pente particulièrement forte entre C et E. Ces valeurs brutes sont notre première estimation des variations d'altitude.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'inverser Lecture Arrière et Lecture Avant dans la formule. Soyez méthodique : toujours la lecture sur le point "d'où l'on vient" moins la lecture sur le point "où l'on va". Une erreur de transcription depuis le carnet de terrain est aussi un risque majeur.

Points à retenir

La maîtrise de la formule \(\Delta Z = L_{AR} - L_{AV}\) est la compétence clé de cette étape. Il faut comprendre qu'elle représente la différence d'altitude entre les pieds des deux mires pour une seule station de l'instrument.

Le saviez-vous ?

Les mires modernes, notamment les mires Invar à code-barres utilisées en nivellement de haute précision, permettent d'atteindre des précisions sub-millimétriques. L'instrument lit le code-barres automatiquement, éliminant les erreurs humaines de lecture.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Pourquoi y a-t-il deux lectures pour le point B ?

Le point B est un "point de changement". On fait une lecture avant sur B depuis la station S1, puis on déplace l'instrument en S2, et on fait une lecture arrière sur B. B sert de pivot pour continuer le cheminement.

Résultat Final
Les dénivelées brutes sont : \(+0.390 \text{ m}\) (A-B), \(-0.060 \text{ m}\) (B-C), \(-0.655 \text{ m}\) (C-D) et \(-0.765 \text{ m}\) (D-E).
A vous de jouer

Si, pour le tronçon C vers D, la lecture avant sur D avait été de 1.655 m au lieu de 1.765 m, quelle aurait été la nouvelle dénivelée \(\Delta Z_{C \rightarrow D}\) ?

Question 2 : Calculer la dénivelée totale brute

Principe

La dénivelée totale brute est la somme algébrique de toutes les dénivelées individuelles. Elle représente la différence d'altitude totale "mesurée" sur le terrain entre le point de départ et le point d'arrivée, avant toute correction.

Mini-Cours

Un cheminement est une chaîne de mesures. Pour connaître la différence totale d'altitude, il suffit d'additionner les différences de chaque maillon. Mathématiquement, cela équivaut à la différence entre la somme de toutes les lectures arrières et la somme de toutes les lectures avants, ce qui constitue une méthode de vérification puissante et systématique sur le terrain et au bureau.

Remarque Pédagogique

C'est comme calculer le résultat d'un voyage en plusieurs étapes. Si vous montez de 390m, puis descendez de 60m, puis encore de 655m, etc., votre altitude finale par rapport au départ est simplement la somme de ces déplacements. L'ordre des opérations n'a pas d'importance, mais les signes sont cruciaux.

Normes

La tenue d'un carnet de nivellement inclut de manière réglementaire le calcul des sommes des lectures arrières et avants. La vérification \(\sum \Delta Z = \sum L_{AR} - \sum L_{AV}\) est une procédure de contrôle de base exigée dans les bonnes pratiques de la topographie.

Formule(s)

Formule de la dénivelée totale

\[ \sum \Delta Z_{\text{brutes}} = \Delta Z_{A \rightarrow B} + \Delta Z_{B \rightarrow C} + \dots \]

Formule de vérification

\[ \sum \Delta Z_{\text{brutes}} = \sum L_{AR} - \sum L_{AV} \]
Hypothèses

On suppose que les calculs de la Question 1 sont exacts et qu'il n'y a pas d'erreur d'arrondi significative lors de la sommation. Les hypothèses de la mesure elle-même (mire verticale, etc.) restent valables.

Donnée(s)

Les données d'entrée sont les quatre dénivelées brutes calculées précédemment : +0.390 m, -0.060 m, -0.655 m, -0.765 m.

Astuces

Pour éviter les erreurs de calcul mental, regroupez les nombres positifs et les nombres négatifs. Somme des négatifs : (-0.060) + (-0.655) + (-0.765) = -1.480 m. Puis : 0.390 - 1.480 = -1.090 m.

Schéma (Avant les calculs)

Le concept est de "concaténer" les vecteurs dénivelées. Un schéma conceptuel peut montrer cette addition.

Sommation des dénivelées
Départ+0.390-0.060-0.655-0.765Total = -1.090
Calcul(s)

Calcul de la dénivelée totale brute

\[ \begin{aligned} \sum \Delta Z_{\text{brutes}} &= (+0.390) + (-0.060) + (-0.655) + (-0.765) \\ &= -1.090 \text{ m} \end{aligned} \]

Somme des lectures Arrière

\[ \begin{aligned} \sum L_{AR} &= 1.255 + 1.890 + 1.110 + 0.580 \\ &= 4.835 \text{ m} \end{aligned} \]

Somme des lectures Avant

\[ \begin{aligned} \sum L_{AV} &= 0.865 + 1.950 + 1.765 + 1.345 \\ &= 5.925 \text{ m} \end{aligned} \]

Vérification de la dénivelée totale

\[ \begin{aligned} \sum L_{AR} - \sum L_{AV} &= 4.835 - 5.925 \\ &= -1.090 \text{ m} \end{aligned} \]
Réflexions

Les deux méthodes donnent exactement le même résultat. Cela nous donne une grande confiance dans le calcul des dénivelées individuelles. Le résultat final de -1.090 m indique que, selon nos mesures, le point E est 1.090 m plus bas que le point A.

Points de vigilance

La principale source d'erreur ici est le calcul mental ou une mauvaise utilisation de la calculatrice. L'utilisation systématique de la méthode de vérification par la somme des lectures permet de se prémunir contre ces erreurs.

Points à retenir

La dénivelée totale d'un cheminement est la somme de ses parties. La vérification par la différence des sommes de lectures est une étape de contrôle incontournable de la profession.

Le saviez-vous ?

Le mathématicien Carl Friedrich Gauss est considéré comme l'un des pères de la géodésie moderne. Il a développé la méthode des moindres carrés, une technique statistique bien plus avancée que la simple répartition uniforme, pour compenser les erreurs dans les réseaux de mesures topographiques.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Pourquoi faire la vérification si on est sûr de ses calculs ?

Pour garantir la qualité. En topographie, chaque étape de calcul doit être vérifiable. C'est un principe de rigueur qui permet de détecter rapidement les erreurs et d'assurer la fiabilité des résultats finaux, qui ont des implications financières et légales importantes.

Résultat Final
La dénivelée totale brute entre A et E est de \(-1.090 \text{ m}\).
A vous de jouer

Si la dénivelée \(\Delta Z_{B \rightarrow C}\) avait été de -0.160 m au lieu de -0.060 m (une erreur de 10cm), quelle aurait été la nouvelle dénivelée totale brute ?

Question 3 : Déterminer l'écart de fermeture \(f_z\)

Principe

L'écart de fermeture est la différence entre la réalité (la dénivelée théorique, connue grâce aux altitudes des repères) et notre mesure (la dénivelée totale brute). C'est l'indicateur clé de la qualité et de la précision de notre travail sur le terrain.

Mini-Cours

Tout processus de mesure physique contient des erreurs : erreurs instrumentales (imprécision du niveau), erreurs opératoires (mauvaise verticalité de la mire, erreur de lecture), et erreurs naturelles (réfraction, vent). L'écart de fermeture est la somme de toutes ces petites erreurs inévitables. L'objectif n'est pas d'avoir un écart nul (ce qui est suspect), mais un écart suffisamment petit.

Remarque Pédagogique

Imaginez que vous deviez mesurer une distance de 100m avec un mètre-ruban. Vous mesurez 99.98m. Votre "écart de fermeture" est de 99.98m - 100.00m = -0.02m. Vous avez mesuré "trop court". Ici, c'est le même principe mais en altitude.

Normes

Le calcul de l'écart de fermeture est une procédure standardisée dans tous les manuels et normes de topographie. Sa valeur est systématiquement calculée et reportée dans les rapports de mesure officiels.

Formule(s)

Formule de la dénivelée théorique

\[ \Delta Z_{\text{théorique}} = Z_{\text{arrivée}} - Z_{\text{départ}} \]

Formule de l'écart de fermeture

\[ f_z = \sum \Delta Z_{\text{mesurées}} - \Delta Z_{\text{théorique}} \]
Hypothèses

On formule une hypothèse cruciale : les altitudes des repères de départ (A) et d'arrivée (E) sont considérées comme exactes et sans erreur. Elles constituent notre référence absolue.

Donnée(s)

- Altitude de A : \(Z_A = 100.000 \text{ m}\)
- Altitude de E : \(Z_E = 98.900 \text{ m}\)
- Dénivelée totale mesurée (de Q2) : \(\sum \Delta Z = -1.090 \text{ m}\)

Astuces

Pour interpréter le signe : si \(f_z\) est positif, cela veut dire que votre mesure est "au-dessus" de la réalité (vous avez trop monté ou pas assez descendu). Si \(f_z\) est négatif, votre mesure est "en-dessous" de la réalité.

Schéma (Avant les calculs)

On peut représenter la dénivelée théorique et la dénivelée mesurée. L'écart de fermeture est la petite différence verticale entre les deux.

Comparaison Mesure vs Réalité
A (Z=100.000)E (Z=98.900)ΔZ Théorique = -1.100mΔZ Mesuré = -1.090mfz = +0.010m
Calcul(s)

Calcul de la dénivelée théorique

\[ \begin{aligned} \Delta Z_{A \rightarrow E (\text{théo})} &= Z_E - Z_A \\ &= 98.900 \text{ m} - 100.000 \text{ m} \\ &= -1.100 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de l'écart de fermeture

\[ \begin{aligned} f_z &= (-1.090) - (-1.100) \\ &= -1.090 + 1.100 \\ &= +0.010 \text{ m} \\ &= +10 \text{ mm} \end{aligned} \]
Réflexions

Un écart positif de +10 mm signifie que notre dénivelée mesurée (-1.090 m) est "moins négative" que la dénivelée réelle (-1.100 m). Autrement dit, notre mesure globale nous a fait "monter" de 10 mm de trop (ou "descendre" de 10 mm de moins) par rapport à la réalité. C'est cette erreur que nous allons devoir corriger.

Points de vigilance

Attention au double signe "moins" dans le calcul ! Une erreur fréquente est d'oublier une parenthèse et de mal calculer \( \text{mesuré} - (\text{théorique}) \). Prenez le temps de bien poser l'opération. L'unité finale doit être cohérente (m ou mm).

Points à retenir

L'écart de fermeture est la pierre angulaire du contrôle qualité en nivellement. Sa formule et son interprétation sont à maîtriser parfaitement. C'est la différence entre la somme des mesures et la valeur de contrôle connue.

Le saviez-vous ?

Les grands réseaux de nivellement nationaux, comme le réseau NGF-IGN69 en France, sont calculés par des méthodes de compensation en bloc (moindres carrés) sur des milliers de kilomètres de mesures pour garantir une cohérence et une précision maximales sur tout le territoire.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Que faire si on n'a pas de repère d'arrivée connu ?

On parle alors d'un "cheminement ouvert". Il n'y a pas de contrôle possible, la précision est donc inconnue et faible. Une alternative est le "cheminement fermé" qui part d'un repère A et revient sur ce même repère A. Dans ce cas, la dénivelée théorique est de 0.

Résultat Final
L'écart de fermeture du cheminement est de \(f_z = +10 \text{ mm}\).
A vous de jouer

Si l'altitude du repère d'arrivée E avait été de 98.885 m, quel aurait été le nouvel écart de fermeture \(f_z\) en millimètres ?

Question 4 : Comparer à la tolérance et conclure

Principe

La tolérance est le "droit à l'erreur". C'est la limite maximale d'écart de fermeture jugée acceptable pour un type de travail donné. Si notre erreur est dans cette limite, on considère que les mesures ont été réalisées avec le soin requis. Sinon, il y a probablement une faute (grosse erreur de lecture, mire qui a bougé...) et il faut recommencer.

Mini-Cours

La formule de tolérance en \(\sqrt{L}\) est basée sur la théorie de la propagation des erreurs aléatoires. On considère que les erreurs de lecture à chaque station sont des variables aléatoires indépendantes. La variance de la somme est la somme des variances. L'écart-type (qui représente l'erreur) évolue donc en racine carrée du nombre de stations, qui est lui-même proportionnel à la longueur du cheminement.

Remarque Pédagogique

C'est comme un contrôle de qualité. Avant de vendre un produit, on vérifie que ses défauts sont en dessous d'un certain seuil. Ici, avant de "livrer" nos altitudes, on vérifie que l'erreur globale de notre "production" est acceptable. C'est une étape de validation cruciale avant de passer à la suite.

Normes

Les tolérances sont fixées par des réglementations ou des cahiers des charges. La formule \( T = K \sqrt{L_{\text{km}}} \) est très courante en France. La constante K (ici 20 mm/km^0.5) dépend de la précision requise : on l'appelle "écart-type kilométrique". 20 mm/km^0.5 correspond à un nivellement ordinaire de chantier.

Formule(s)

Formule de la tolérance

\[ T = \pm 20 \text{ mm} \sqrt{L_{\text{km}}} \]

Condition de validation

\[ |f_z| \le T \]
Hypothèses

On suppose que la longueur du cheminement (400 m) a été estimée avec une précision suffisante pour le calcul de la tolérance. Une erreur de quelques mètres sur cette longueur n'aurait pas d'impact significatif sur le résultat de T.

Donnée(s)

- Écart de fermeture (de Q3) : \(f_z = +10 \text{ mm}\)
- Longueur du cheminement : \(L = 400 \text{ m}\)

Calcul(s)

Calcul de la tolérance

\[ \begin{aligned} T &= \pm 20 \sqrt{0.4} \\ &\approx \pm 20 \times 0.632 \\ &\approx \pm 12.65 \text{ mm} \end{aligned} \]

Valeur absolue de l'écart de fermeture

\[ |f_z| = |+10 \text{ mm}| = 10 \text{ mm} \]

Comparaison à la tolérance

\[ 10 \text{ mm} \le 12.65 \text{ mm} \Rightarrow \text{Condition respectée} \]
Réflexions

Notre erreur est de 10 mm, alors que nous avions droit à 12.65 mm. Le travail est donc de qualité suffisante. On peut avoir confiance dans les mesures et procéder à la dernière étape : la compensation pour obtenir les altitudes finales. Si l'erreur avait été de 13 mm, il aurait fallu refaire tout le travail sur le terrain.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'oublier de convertir la longueur en kilomètres ! Si vous calculez \(\sqrt{400}\), vous obtiendrez une tolérance de 400 mm, ce qui est absurdement grand et invaliderait le contrôle. Toujours vérifier les unités de la formule.

Points à retenir

La validation d'une mesure se fait en comparant l'erreur (l'écart de fermeture) à une limite acceptable (la tolérance). Cette étape conditionne toute la suite des calculs.

Le saviez-vous ?

Pour le Nivellement de Haute Précision (réseaux nationaux), la tolérance est beaucoup plus stricte, de l'ordre de 1 à 2 mm par kilomètre de cheminement. Cela nécessite des instruments spécialisés, des mires en Invar (un alliage à très faible dilatation thermique) et un mode opératoire extrêmement rigoureux.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

D'où vient la constante "20" ?

C'est une valeur empirique et réglementaire qui dépend de la qualité attendue. Elle représente l'écart-type statistique pour 1 km de nivellement. Pour des travaux plus précis, on pourrait utiliser K=10, pour des travaux moins précis ( terrassement), on pourrait utiliser K=30 ou plus.

Résultat Final
L'écart de fermeture (10 mm) est inférieur à la tolérance (12.65 mm). Le cheminement est donc acceptable et peut être compensé.
A vous de jouer

Si le cheminement avait eu une longueur de 900 m (0.9 km), quelle aurait été la tolérance T en millimètres (arrondie à deux décimales) ?

Question 5 : Calculer les altitudes compensées

Principe

La compensation consiste à répartir "équitablement" l'erreur de fermeture sur toutes les mesures. L'erreur étant de +10 mm, nous devons appliquer une correction totale de -10 mm. Cette correction est divisée par le nombre de dénivelées et appliquée à chacune. On recalcule ensuite les altitudes de proche en proche à partir de l'altitude de départ connue.

Mini-Cours

La répartition uniforme de l'erreur est la méthode la plus simple. Elle suppose que l'erreur s'est accumulée de manière régulière tout au long du cheminement, c'est-à-dire que chaque station de nivellement a contribué de manière égale à l'erreur finale. C'est une hypothèse acceptable pour un cheminement aux portées (distances de visée) régulières comme celui-ci.

Remarque Pédagogique

Le but est de "faire coller" nos mesures à la réalité. Puisque nos calculs se terminent à 98.910 m alors qu'ils auraient dû se terminer à 98.900 m, nous avons 10 mm "en trop". La logique est donc d'enlever un peu de cette erreur à chaque étape pour qu'à la fin, on arrive pile sur la bonne valeur. On ajuste le chemin pour atteindre la bonne destination.

Normes

Les méthodes de compensation sont également des procédures standard. La compensation uniforme est la plus courante pour les cheminements simples. Les logiciels de calcul topographique modernes peuvent appliquer des compensations plus complexes (par moindres carrés) qui tiennent compte de la redondance des mesures pour un résultat statistiquement plus robuste.

Formule(s)

Formule de la correction unitaire

\[ C_{\text{unitaire}} = -\frac{f_z}{n} \quad (\text{où } n \text{ est le nombre de dénivelées}) \]

Formule de la dénivelée compensée

\[ \Delta Z_{\text{comp}} = \Delta Z_{\text{brute}} + C_{\text{unitaire}} \]

Formule de calcul d'altitude

\[ Z_J = Z_I + \Delta Z_{I \rightarrow J (\text{comp})} \]
Hypothèses

L'hypothèse principale de cette méthode est que l'erreur s'est produite de façon homogène sur tout le parcours. Chaque dénivelée est considérée comme ayant la même "qualité" et reçoit donc la même correction.

Donnée(s)

- Écart de fermeture : \(f_z = +0.010 \text{ m}\)
- Nombre de dénivelées : \(n = 4\)
- Altitude de départ : \(Z_A = 100.000 \text{ m}\)
- Dénivelées brutes (de Q1)

Astuces

Pour éviter les erreurs d'arrondi, gardez plus de décimales que nécessaire dans les calculs intermédiaires (par exemple, 4 décimales pour la correction), et n'arrondissez le résultat final de l'altitude qu'à la toute fin (généralement au millimètre, soit 3 décimales).

Calcul(s)

Calcul de la correction unitaire

\[ \begin{aligned} C_{\text{unitaire}} &= -\frac{f_z}{n} \\ &= -\frac{+0.010 \text{ m}}{4} \\ &= -0.0025 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de l'altitude compensée de B

\[ \begin{aligned} Z_B &= Z_A + (\Delta Z_{A \rightarrow B} + C) \\ &= 100.000 + (0.390 - 0.0025) \\ &= 100.3875 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de l'altitude compensée de C

\[ \begin{aligned} Z_C &= Z_B + (\Delta Z_{B \rightarrow C} + C) \\ &= 100.3875 + (-0.060 - 0.0025) \\ &= 100.3250 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de l'altitude compensée de D

\[ \begin{aligned} Z_D &= Z_C + (\Delta Z_{C \rightarrow D} + C) \\ &= 100.3250 + (-0.655 - 0.0025) \\ &= 99.6675 \text{ m} \end{aligned} \]

Vérification finale sur le point E

\[ \begin{aligned} Z_E &= Z_D + (\Delta Z_{D \rightarrow E} + C) \\ &= 99.6675 + (-0.765 - 0.0025) \\ &= 98.9000 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le schéma final montre le profil altimétrique définitif et corrigé, qui s'ajuste parfaitement aux altitudes connues des repères de départ et d'arrivée.

Profil Compensé du Cheminement
A (100.000)B (100.388)C (100.325)D (99.668)E (98.900)
Réflexions

Le calcul de vérification sur le point E est crucial : retomber exactement sur 98.900 m prouve que notre compensation a été correctement menée. Les altitudes finales sont maintenant cohérentes avec les repères connus et peuvent être utilisées pour le projet. L'arrondi au millimètre est la pratique standard en topographie.

Points de vigilance

La principale erreur est d'appliquer la correction avec le mauvais signe. Rappelez-vous : la correction est l'opposé de l'erreur. Si \(f_z\) est positif, la correction est négative. Une autre erreur est d'oublier d'appliquer la correction à CHAQUE dénivelée.

Points à retenir

La compensation est une étape logique qui découle de l'acceptation de la mesure. Retenez le principe : la correction est l'opposé de l'erreur. Si vous avez mesuré "trop haut" (fz > 0), vous devez corriger en "abaissant" vos résultats (correction négative).

Le saviez-vous ?

Dans la pratique, ces calculs sont aujourd'hui entièrement automatisés. Les niveaux électroniques enregistrent les lectures, et les logiciels de topographie effectuent les calculs de dénivelées, de fermeture, la comparaison à la tolérance et la compensation en quelques clics. Comprendre le processus manuel reste cependant indispensable pour interpréter les résultats et détecter les anomalies.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Pourquoi arrondir les altitudes finales à 3 décimales ?

Car le millimètre est la précision usuelle et significative en nivellement de chantier. Donner plus de décimales serait une "fausse précision" qui n'a pas de sens physique, car les incertitudes de mesure sont de l'ordre du millimètre.

Résultat Final
Les altitudes compensées finales (arrondies au millimètre le plus proche) sont :
Altitude de B = 100.388 m
Altitude de C = 100.325 m
Altitude de D = 99.668 m
A vous de jouer

En gardant les données de l'exercice, si l'erreur de fermeture avait été de \(f_z = -8 \text{ mm}\), quelle aurait été la nouvelle altitude compensée du point B (en mètres) ?

Outil Interactif : Simulateur de Nivellement

Utilisez cet outil pour voir comment un changement de l'altitude de départ ou d'une seule mesure de terrain peut impacter l'ensemble du calcul et l'erreur de fermeture. Les autres lectures du carnet restent fixes.

Paramètres d'Entrée
100.0 m
1.345 m
Résultats Clés
Altitude calculée de E (m) -
Écart de fermeture fz (mm) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce qu'une "lecture arrière" (backsight) en nivellement ?

2. Si l'écart de fermeture \( f_z \) est de +12 mm pour un cheminement de 6 dénivelées, quelle correction est appliquée à chaque dénivelée ?

3. Une dénivelée brute est calculée comme :

4. Un écart de fermeture positif (\( f_z > 0 \)) signifie que :

5. À quoi sert la vérification sur un repère d'altitude connue à la fin d'un cheminement ?

Glossaire

Nivellement Direct
Opération de topographie qui consiste à déterminer la différence d'altitude entre des points à l'aide d'un niveau (instrument optique fournissant une ligne de visée horizontale) et d'une mire (règle graduée).
Repère de Nivellement
Point matériel, stable, dont l'altitude est connue avec une grande précision et qui sert de référence pour les opérations de nivellement.
Lecture Arrière (L_AR)
Première lecture effectuée depuis une station de niveau, sur une mire positionnée sur un point d'altitude déjà connue (soit le point de départ, soit le point précédent du cheminement).
Lecture Avant (L_AV)
Dernière lecture effectuée depuis une station de niveau, sur une mire positionnée sur un point dont on cherche à déterminer l'altitude, avant de déplacer l'instrument.
Écart de Fermeture (fz)
Différence entre la dénivelée totale mesurée sur le terrain et la dénivelée théorique (connue) entre le point de départ et le point d'arrivée du cheminement. Elle représente l'erreur globale commise.
Compensation
Processus de répartition de l'écart de fermeture sur l'ensemble des mesures du cheminement, afin que les altitudes calculées soient cohérentes et que l'altitude du point d'arrivée corresponde à sa valeur connue.
Exercice de Nivellement Direct

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