Calcul d'un Angle Vertical pour une Pente de 2%
Contexte : Le Calcul AltimétriquePartie de la topographie qui s'occupe de la mesure des altitudes et des dénivelées (différences d'altitude)..
En topographie, la maîtrise de la relation entre la pente, la distance et la dénivelée est fondamentale. Que ce soit pour la construction de routes, de voies ferrées ou de réseaux d'assainissement, il est crucial de savoir implanter sur le terrain un alignement avec une pente précise. Cet exercice se concentre sur le calcul inverse : déterminer l'angle vertical qu'un opérateur doit "afficher" ou viser avec son appareil (tachéomètre ou théodolite) pour matérialiser une pente donnée.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à convertir une donnée de projet (une pente en pourcentage) en une donnée d'implantation sur le terrain (un angle vertical). C'est une compétence de base pour tout technicien géomètre-topographe.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la relation mathématique entre la pente (en %) et l'angle vertical.
- Calculer un angle vertical (en degrés décimaux) à partir d'une pente.
- Convertir un angle de degrés décimaux en degrés-minutes-secondes (DMS).
- Convertir un angle de degrés en grades (gon).
Données de l'étude
Visualisation du Problème
Schéma de principe de la pente
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Pente requise | \( p \) | +2 | % |
Questions à traiter
- Calculer l'angle vertical \( Av \) (en degrés décimaux) que l'opérateur doit viser pour matérialiser cette pente.
- Convertir cet angle en degrés, minutes, secondes (DMS).
- Convertir cet angle en grades (gon).
Bases de l'Altimétrie : Pente et Angles
En topographie, la pente est une mesure de l'inclinaison d'un terrain ou d'un ouvrage. Elle est fondamentale pour les projets de terrassement, de voirie ou d'assainissement.
1. Définition de la Pente (p)
La pente est le rapport entre la différence d'altitude (dénivelée, \( \Delta H \)) et la distance horizontale (\( D \)) entre deux points. Elle est le plus souvent exprimée en pourcentage (%).
\[ p (\%) = \frac{\Delta H}{D} \times 100 \]
Une pente de 2% signifie que l'on s'élève (ou s'abaisse) de 2 mètres pour une distance horizontale de 100 mètres.
2. Relation entre Pente et Angle Vertical (Av)
L'angle vertical \( Av \) (aussi appelé angle d'inclinaison ou \( i \)) est l'angle mesuré depuis le plan horizontal. La trigonométrie nous donne la relation directe via la tangente :
\[ \tan(Av) = \frac{\Delta H}{D} \]
En combinant les deux équations, on obtient :
\[ \tan(Av) = \frac{p (\%)}{100} \]
Pour trouver l'angle, on utilise donc la fonction arc tangente (inverse de la tangente) :
\[ Av = \arctan\left(\frac{p (\%)}{100}\right) \]
Correction : Calcul d'un Angle Vertical pour une Pente de 2%
Question 1 : Calculer l'angle vertical \( Av \) (en degrés décimaux)
Principe
L'objectif est de trouver l'angle \( Av \) dont la tangente est égale à la valeur de la pente. Une pente de 2% équivaut à un rapport de 2/100, soit 0.02. Nous cherchons donc l'angle dont la tangente vaut 0.02. C'est une application directe de la fonction trigonométrique inverse `arc tangente` (notée `atan` ou `tan⁻¹`).
Mini-Cours
Relation Pente et Angle :
La relation trigonométrique directe dans un triangle rectangle est :
\[ \tan(Av) = \frac{\text{Côté Opposé}}{\text{Côté Adjacent}} = \frac{\Delta H}{D} \]
Comme la pente \( p (\%) = (\Delta H / D) \times 100 \), on peut écrire \( \Delta H / D = p / 100 \).
On obtient donc la formule directe :
\[ Av = \arctan\left(\frac{p (\%)}{100}\right) \]
Remarque Pédagogique
Cette opération est la base du "piquetage" ou de "l'implantation d'un projet". L'opérateur sur le terrain saisit cet angle vertical dans son tachéomètre. En visant une mire, l'appareil peut alors indiquer à l'aide-opérateur de combien il doit monter ou descendre le porte-prisme pour être exactement sur la pente de 2%.
Normes/Conventions
En topographie, l'angle vertical \( Av \) (ou \( i \)) est généralement mesuré depuis l'horizontale (0° ou 0 gon). Un angle est positif s'il est montant (vers le zénith) et négatif s'il est descendant (vers le nadir). Une pente de "+2%" correspondra donc à un angle \( Av \) positif. C'est une convention d'angle "relatif" par rapport à l'horizon.
Formule(s)
Nous utiliserons la formule de base :
Calcul de l'angle en degrés
Hypothèses
Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :
- La pente est montante, donc \( p = +2\% \). L'angle \( Av \) sera positif.
- Le calcul se fait dans le plan vertical (pas de dévers).
Donnée(s)
La seule donnée d'entrée pour le calcul est la pente souhaitée.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| PenteRapport entre la dénivelée et la distance horizontale, exprimé en pourcentage. | p | +2 | % |
Astuces
Avant de faire le calcul sur votre machine, vérifiez impérativement qu'elle est en mode "Degrés" (DEG). Si elle est en "Radians" (RAD) ou "Grades" (GRAD/GON), le résultat de `atan(0.02)` sera incorrect pour cette étape.
Schéma (Avant les calculs)
Nous cherchons l'angle \( Av \) d'un triangle rectangle où le côté opposé (ΔH) vaut 2 unités et le côté adjacent (D) vaut 100 unités.
Modélisation du problème
Calcul(s)
Nous allons décomposer le calcul en étapes claires :
Étape 1 : Convertir la pente en valeur décimale
La formule utilise le rapport \( p / 100 \), et non le pourcentage lui-même.
Le calcul est le suivant :
Cette valeur (0.02) est la tangente de l'angle que nous cherchons (\( \tan(Av) = 0.02 \)).
Étape 2 : Appliquer la fonction Arc Tangente (Réponse Q1)
Pour trouver l'angle \( Av \) à partir de sa tangente, nous utilisons la fonction inverse, l'arc tangente (notée `atan` ou `tan⁻¹` sur une calculatrice).
On applique la fonction à notre valeur :
Ce calcul doit être fait avec la calculatrice en mode Degrés (DEG). On obtient un angle de 1.14576... degrés.
On arrondit généralement à 4 décimales pour les conversions suivantes : \( Av \approx 1.1458^{\circ} \).
Schéma (Après les calculs)
Le schéma est désormais complet avec la valeur de l'angle calculée. Cela permet de visualiser le résultat.
Résultat de la modélisation
Réflexions
Un angle de 1.146° est un angle très faible, ce qui est tout à fait cohérent avec une pente de 2% utilisée en voirie. Une erreur de calcul (par exemple, calculer `tan(2)` au lieu de `atan(0.02)`) donnerait un résultat de `0.0349` (en degrés), ce qui est absurde. L'ordre de grandeur semble donc correct.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est de se tromper de mode de calculatrice (DEG, RAD, GRAD). Pour ce calcul, le mode Degré (DEG) est impératif.
Points à retenir
- La formule de base pour passer de la pente à l'angle est : \( Av = \arctan(p / 100) \).
Le saviez-vous ?
Une pente de 100% ne correspond pas à un angle de 90° (un mur vertical), mais à un angle de 45° ! En effet, \( \arctan(100/100) = \arctan(1) = 45^{\circ} \). Une pente de 100% signifie qu'on monte de 100m à la verticale pour 100m à l'horizontale.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final (Question 1)
A vous de jouer
Quelle serait la pente (en %) correspondant à un angle vertical montant de 5° ? (Indice : \( p = \tan(Av) \times 100 \))
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : Conversion Pente (%) vers Angle (degrés).
- Formule Essentielle : \( Av_{\text{degrés}} = \arctan(p / 100) \).
- Point de Vigilance : Mode "DEG" de la calculatrice.
Question 2 : Convertir cet angle en degrés, minutes, secondes (DMS)
Principe
L'angle de \( 1.1458^{\circ} \) est en "degrés décimaux". Nous devons le convertir dans le système "sexagésimal" (base 60) utilisé pour les minutes et les secondes. La partie entière (\( 1^{\circ} \)) est conservée, et la partie décimale (\( 0.1458 \)) est multipliée par 60 pour obtenir les minutes. La nouvelle partie décimale est à son tour multipliée par 60 pour obtenir les secondes.
Mini-Cours
Système Sexagésimal (DMS) :
Ce système décompose 1 degré en 60 minutes d'arc, et 1 minute en 60 secondes d'arc.
- \( 1^{\circ} = 60' \) (60 minutes)
- \( 1' = 60'' \) (60 secondes)
Remarque Pédagogique
Bien que les calculs modernes se fassent en décimal, de nombreux plans, documents cadastraux ou appareils plus anciens utilisent la notation DMS. Savoir convertir entre les deux est une compétence essentielle.
Formule(s)
La méthode de conversion est algorithmique :
Conversion Degrés Décimaux (DD) vers DMS
Donnée(s)
Nous reprenons le résultat de la question 1.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Angle en degrés décimaux | \( Av_{\text{degrés}} \) | 1.1458 | ° |
Astuces
La plupart des calculatrices scientifiques ont une touche dédiée (souvent marquée `DMS`, `→° ' ''` ou similaire) pour effectuer cette conversion automatiquement. C'est un excellent moyen de vérifier votre calcul manuel.
Calcul(s)
Nous décomposons la valeur \( 1.1458^{\circ} \) :
Étape 1 : Extraire les degrés
On prend la partie entière. C'est le nombre de degrés.
L'opération est :
Nous avons donc 1 degré entier.
Étape 2 : Calculer les minutes
On prend la partie décimale restante (\( 1.1458 - 1 = 0.1458 \)) et on la multiplie par 60.
Premier calcul pour les minutes :
Ce résultat (8.748) est le nombre total de minutes.
On prend la partie entière de ce résultat. Ce sont les minutes.
On extrait la partie entière :
Nous avons donc 8 minutes entières.
Étape 3 : Calculer les secondes
On prend la *nouvelle* partie décimale (\( 8.748 - 8 = 0.748 \)) et on la multiplie par 60.
Calcul final pour les secondes :
Ce qui nous donne 44.88 secondes.
On arrondit ce dernier résultat à l'entier le plus proche.
Arrondi :
Nous avons donc 45 secondes.
Étape 4 : Combiner
En combinant le tout, on obtient : \( 1^{\circ} 08' 45'' \).
Points de vigilance
L'erreur classique est de mal gérer la partie décimale. Il faut bien multiplier uniquement la partie décimale par 60 à chaque étape. Ne calculez pas \( 1.1458 \times 60 \).
Points à retenir
- Le système DMS fonctionne en base 60.
- On multiplie la partie décimale par 60 pour les minutes.
- On multiplie la *nouvelle* partie décimale par 60 pour les secondes.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final (Question 2)
A vous de jouer
Essayez de convertir l'angle \( 25.42^{\circ} \) en DMS.
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : Conversion Degrés Décimaux vers DMS (base 60).
- Calcul : \( D = \text{entier}(A) \); \( M = \text{entier}((A-D) \times 60) \); \( S = ... \).
Question 3 : Convertir cet angle en grades (gon)
Principe
L'unité "grade" (ou "gon") est l'unité standard en topographie. La conversion se base sur la relation qu'un angle droit (\( 90^{\circ} \)) équivaut à 100 grades. Le ratio de conversion est donc de \( 100/90 \).
Mini-Cours
Système Centésimal (Grades) :
Le grade (gon) est une unité d'angle où l'angle droit est divisé en 100 unités. Un cercle complet fait 400 gon.
- \( 1 \text{ angle droit} = 100 \text{ gon} = 90^{\circ} \)
- \( 1 \text{ cercle} = 400 \text{ gon} = 360^{\circ} \)
Remarque Pédagogique
Les topographes préfèrent les grades car ils s'alignent sur le système décimal (base 10), rendant les additions et soustractions d'angles aussi simples que pour des nombres classiques.
Formule(s)
La formule de conversion est :
Conversion Degrés vers Grades
Conversion Grades vers Degrés
Donnée(s)
Nous repartons de la valeur en degrés décimaux non arrondie pour une précision maximale.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Angle en degrés décimaux | \( Av_{\text{degrés}} \) | 1.14576... | ° |
Astuces
Pour mémoriser la conversion : on veut passer des degrés (base 90) aux grades (base 100). On divise donc par 90 et on multiplie par 100. (On "divise par l'ancienne base, on multiplie par la nouvelle").
Calcul(s)
Étape 1 : Calculer le facteur de conversion
Le rapport \( 100/90 \) est le facteur par lequel multiplier l'angle en degrés.
Calcul du facteur :
Ce facteur est d'environ 1.1111...
Étape 2 : Appliquer la conversion (Réponse Q3)
On multiplie notre angle en degrés (la valeur la plus précise possible) par ce facteur.
Application de la formule :
Le résultat est 1.27307... grades.
On arrondit généralement à 4 décimales, ce qui est la précision habituelle des appareils topographiques : \( Av \approx 1.2731 \text{ gon} \).
Schéma (Après les calculs)
Le schéma reste visuellement le même que pour la question 1, mais la valeur de l'angle peut être exprimée en grades.
Résultat (en grades)
Réflexions
La valeur en grades (1.2731 gon) est légèrement supérieure à celle en degrés (1.1458°), ce qui est attendu car il y a "plus" de grades (100) que de degrés (90) dans un angle droit. L'ordre de grandeur est donc cohérent.
Points de vigilance
Ne pas inverser le rapport de conversion. Une erreur fréquente est de multiplier par \( 90/100 \), ce qui donnerait un résultat plus petit, ce qui est incorrect.
Points à retenir
- La conversion clé : \( 90^{\circ} = 100 \text{ gon} \).
- Formule : \( \text{grades} = \text{degrés} \times 100 / 90 \).
Le saviez-vous ?
Les pentes des voies ferrées sont encore plus faibles que les pentes routières. Elles sont souvent exprimées en "pour mille" (‰). Une pente de 2% (20‰) est déjà considérée comme une rampe très forte pour un train. Les lignes à grande vitesse (LGV) visent des pentes maximales de 1.25% (12.5‰) dans la mesure du possible.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final (Question 3)
A vous de jouer
Convertissez 50 gon en degrés.
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : Conversion Degrés vers Grades (base 100).
- Formule Essentielle : \( \text{grades} = \text{degrés} \times 100 / 90 \).
Outil Interactif : Simulateur Pente ↔ Angle
Utilisez le curseur ci-dessous pour faire varier la pente (en %) et voir en temps réel l'angle vertical correspondant en degrés et en grades. Le graphique montre la relation (non-linéaire) entre la pente et l'angle.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Une dénivelée de 5 mètres sur une distance horizontale de 100 mètres correspond à une pente de :
2. Combien de grades (gon) y a-t-il dans un angle de 90° ?
3. Une pente de 100% correspond à un angle vertical de :
4. Un opérateur vise l'horizontale parfaite. Son tachéomètre, réglé en angles zénithaux (Z), affichera :
5. Pour calculer un angle à partir d'une pente, quelle est la fonction mathématique correcte ?
Glossaire
- Angle vertical (Av ou i)
- Angle mesuré dans un plan vertical, à partir d'une référence horizontale (0° ou 0 gon). Il est positif en élévation (vers le zénith) et négatif en dépression (vers le nadir).
- Angle Zénithal (Z)
- Angle mesuré dans un plan vertical, mais à partir du zénith (la verticale "vers le haut", 0 gon). L'horizontale correspond donc à Z = 100 gon.
- Grade (gon)
- Unité d'angle où l'angle droit vaut 100 grades et un cercle complet 400 grades. Très utilisée en topographie pour sa nature décimale.
- Pente (p)
- Rapport entre la dénivelée (différence d'altitude, \( \Delta H \)) et la distance horizontale (\( D \)). Le plus souvent exprimé en pourcentage (\( p = (\Delta H / D) \times 100 \)).
- Tachéomètre
- Appareil de topographie (station totale) permettant de mesurer les angles horizontaux, les angles verticaux et les distances.
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