Calcul d'un Angle par Double Retournement
Contexte : La quête de la précision en topographie.
En topographie, la mesure précise des angles est le fondement de tout plan, de toute implantation et de tout calcul. Cependant, les instruments de mesure, comme les théodolites ou les stations totales, ne sont jamais parfaits et possèdent des erreurs systématiques. La méthode du double retournementProcédure de mesure d'un angle horizontal en deux temps (Cercle Gauche et Cercle Droit) qui permet d'éliminer l'effet de plusieurs erreurs instrumentales, notamment l'erreur de collimation. est une procédure de terrain fondamentale qui permet d'éliminer l'influence de la plupart de ces erreurs instrumentales, garantissant ainsi une mesure d'angle fiable et précise. Cet exercice vous guidera à travers la procédure et les calculs de cette méthode incontournable.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre un principe clé de la métrologie : on ne cherche pas à avoir un instrument parfait (ce qui est impossible), mais à utiliser une méthode de mesure qui annule les imperfections de l'instrument. C'est une compétence essentielle pour tout technicien ou ingénieur qui effectue des mesures sur le terrain.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le principe et l'utilité du double retournement.
- Calculer un angle horizontal à partir de lectures en Cercle Gauche (CG) et Cercle Droit (CD).
- Déterminer l'angle moyen compensé, débarrassé des erreurs systématiques.
- Calculer l'erreur de collimationDéfaut de réglage d'un théodolite où l'axe optique de la lunette n'est pas parfaitement perpendiculaire à l'axe des tourillons (l'axe de basculement de la lunette). de l'instrument.
- Se familiariser avec les unités et notations topographiques (le Gon).
Données de l'étude
Schéma de la situation sur le terrain
| Position | Point Visé | Lecture Horizontale (gon) |
|---|---|---|
| Cercle Gauche (CG) | A | 12.3450 |
| B | 88.7650 | |
| Cercle Droit (CD) | B | 288.7710 |
| A | 212.3470 |
Questions à traiter
- Calculer l'angle horizontal \(\alpha_{\text{CG}}\) mesuré en Cercle Gauche.
- Calculer l'angle horizontal \(\alpha_{\text{CD}}\) mesuré en Cercle Droit.
- En déduire l'angle horizontal moyen compensé \(\alpha_{\text{moyen}}\).
- Calculer l'erreur de collimation \(c\) de l'instrument, en centigrades (cgon).
Les bases de la Topographie Instrumentale
Avant de corriger l'exercice, revoyons les principes de la mesure angulaire.
1. Le Cercle Gradué (Limbe) :
Un théodolite mesure les angles grâce à un disque de verre gradué, appelé le limbe. En France, ce cercle est généralement divisé en 400 GonsLe Gon, ou grade, est une unité d'angle où un tour complet vaut 400 gon. Un angle droit vaut 100 gon. Cette unité est pratique pour les calculs décimaux en topographie. (ou grades). La lecture est la valeur lue sur ce cercle lorsque l'on vise un point. Un angle est toujours la différence entre deux lectures.
2. Le Principe du Double Retournement :
Cette méthode consiste à mesurer le même angle deux fois : une première fois avec la lunette en position "Cercle à Gauche" (CG), puis une seconde fois après avoir fait subir à la lunette un double pivotement : 200 gon verticalement et 200 gon horizontalement. On se retrouve en position "Cercle à Droite" (CD). Cette manipulation a pour effet d'inverser l'influence de certaines erreurs instrumentales sur la lecture.
3. L'Annulation des Erreurs :
L'erreur de collimation, par exemple, va augmenter la lecture de l'angle en CG et la diminuer de la même quantité en CD (ou l'inverse). En faisant la moyenne des deux angles mesurés (\(\alpha_{\text{CG}}\) et \(\alpha_{\text{CD}}\)), l'erreur s'annule mathématiquement.
\[ \alpha_{\text{vrai}} = \frac{(\alpha_{\text{vrai}} + c) + (\alpha_{\text{vrai}} - c)}{2} = \frac{2\alpha_{\text{vrai}}}{2} = \alpha_{\text{vrai}} \]
C'est la magie et la puissance de cette méthode.
Correction : Calcul d'un Angle par Double Retournement
Question 1 : Calculer l'angle horizontal \(\alpha_{\text{CG}}\)
Principe (le concept physique)
L'angle horizontal entre deux points est la mesure de la séparation angulaire entre les directions de ces deux points, projetée sur un plan horizontal. Il est obtenu en faisant la différence entre les lectures azimutales (horizontales) sur le limbe de l'instrument pour chaque direction.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
En topographie, les angles horizontaux sont mesurés dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre). La valeur de l'angle est donc toujours la lecture sur le point de droite moins la lecture sur le point de gauche. Si le résultat est négatif, on y ajoute 400 gon (un tour complet).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La première mesure en Cercle Gauche est la mesure "brute". Elle est simple à obtenir mais potentiellement entachée d'erreurs. Considérez-la comme la première moitié du travail. La rigueur en topographie exige de ne jamais se contenter de cette seule mesure pour des travaux de précision.
Normes (la référence réglementaire)
Les carnets de terrain et les logiciels de topographie sont standardisés pour enregistrer les lectures CG et CD. Les normes de tolérance pour les levés topographiques (par exemple, les classes de précision) imposent souvent l'utilisation du double retournement pour garantir la qualité des mesures angulaires.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour un angle ASB mesuré depuis S, dans le sens horaire :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que l'instrument est resté parfaitement stable sur son trépied entre la visée du point A et celle du point B. On suppose également que les points A et B sont fixes et clairement définis (par un prisme ou une mire).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Lecture CG sur A : \(L_{A, \text{CG}} = 12.3450 \, \text{gon}\)
- Lecture CG sur B : \(L_{B, \text{CG}} = 88.7650 \, \text{gon}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Avant de calculer, estimez mentalement le résultat. 88 - 12, ça fait environ 76. Si votre calculatrice donne un résultat très différent, vous avez probablement fait une faute de frappe. Cette vérification rapide évite beaucoup d'erreurs.
Schéma (Avant les calculs)
Lectures en Cercle Gauche
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique directement la formule.
Schéma (Après les calculs)
Angle Mesuré en Cercle Gauche
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette valeur de 76.4200 gon est notre première estimation de l'angle. Elle est probablement proche de la réalité, mais nous ne pouvons pas encore la considérer comme définitive car elle inclut les erreurs systématiques de l'instrument.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est d'inverser la soustraction (\(L_A - L_B\)). Cela donnerait un angle négatif, qui correspondrait à l'angle mesuré dans le sens anti-horaire. Il faut toujours faire "lecture de droite - lecture de gauche".
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Un angle est la différence entre deux lectures.
- En Cercle Gauche, la procédure standard est de viser A (gauche) puis B (droite).
- Le calcul est \(\alpha = L_B - L_A\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Sur les anciens théodolites optiques, le cercle vertical était physiquement situé à gauche de la lunette pour l'opérateur, d'où le nom "Cercle Gauche". Même avec les instruments électroniques modernes où cette disposition n'est plus visible, la terminologie est restée.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Avec une lecture sur A de 100.0000 gon et sur B de 195.5000 gon, quel serait \(\alpha_{\text{CG}}\) ?
Simulateur 3D : Visée Angulaire
Question 2 : Calculer l'angle horizontal \(\alpha_{\text{CD}}\)
Principe (le concept physique)
Après avoir retourné la lunette (rotation de 200 gon sur l'axe horizontal et 200 gon sur l'axe vertical), on mesure à nouveau l'angle. Les lectures sont maintenant décalées d'environ 200 gon, et surtout, l'effet des erreurs systématiques est inversé par rapport à la mesure en Cercle Gauche.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Idéalement, une lecture en Cercle Droit devrait être égale à la lecture en Cercle Gauche + 200 gon (\(L_{\text{CD}} = L_{\text{CG}} + 200\)). En pratique, les erreurs instrumentales créent un léger écart par rapport à cette relation théorique. C'est cet écart qui nous permet de calculer et de compenser les erreurs.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La procédure de terrain standard en CD est de viser le dernier point visé en CG (ici, B) puis le premier (A). Le calcul de l'angle reste le même : lecture de droite (B) moins lecture de gauche (A). Cela assure la cohérence et la simplicité des calculs au bureau.
Normes (la référence réglementaire)
Les procédures de contrôle des instruments topographiques (décrites dans les manuels et les normes de métrologie) sont basées sur l'analyse des écarts entre les lectures CG et CD. Un écart trop important (\(|L_{\text{CD}} - L_{\text{CG}} - 200| > \text{tolérance}\)) signale un défaut de l'instrument.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La formule reste identique à celle du Cercle Gauche :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les erreurs systématiques de l'instrument sont restées constantes pendant toute la durée de la mesure (CG et CD). C'est pourquoi il est important de réaliser la séquence complète rapidement, sans changer les réglages.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Lecture CD sur A : \(L_{A, \text{CD}} = 212.3470 \, \text{gon}\)
- Lecture CD sur B : \(L_{B, \text{CD}} = 288.7710 \, \text{gon}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Vérifiez rapidement la cohérence des lectures : \(L_{A, \text{CD}} \approx L_{A, \text{CG}} + 200\) (212.3470 vs 12.3450+200=212.3450). C'est bon. \(L_{B, \text{CD}} \approx L_{B, \text{CG}} + 200\) (288.7710 vs 88.7650+200=288.7650). C'est bon aussi. Cette vérification simple permet de détecter une grosse erreur de lecture sur le terrain.
Schéma (Avant les calculs)
Lectures en Cercle Droit (décalées de 200g)
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule. L'ordre des visées sur le terrain (B puis A) est une convention, le calcul de l'angle reste la différence des lectures sur les deux points dans le sens horaire (B - A).
Schéma (Après les calculs)
Angle Mesuré en Cercle Droit
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'angle mesuré en CD (76.4240 gon) est légèrement différent de celui mesuré en CG (76.4200 gon). Cette petite différence est normale et attendue. Elle est la manifestation des erreurs systématiques que nous cherchons à éliminer.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne soyez pas tenté de "corriger" vos lectures CD en leur soustrayant 200 gon avant le calcul. Calculez directement avec les lectures brutes. La compensation se fait à l'étape suivante, en moyennant les deux angles calculés \(\alpha_{\text{CG}}\) et \(\alpha_{\text{CD}}\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La mesure en CD est la seconde moitié de la procédure.
- Les lectures sont décalées d'environ 200 gon par rapport au CG.
- Le calcul de l'angle \(\alpha_{\text{CD}}\) suit la même logique : \(L_B - L_A\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans les levés de très haute précision (géodésie, auscultation d'ouvrages), les topographes ne se contentent pas d'une seule séquence de double retournement. Ils en réalisent plusieurs (on parle de "séries d'observations") en décalant à chaque fois l'origine des lectures sur le limbe pour minimiser les erreurs de graduation du cercle.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Avec une lecture CD sur A de 300.0050 gon et sur B de 395.5070 gon, quel serait \(\alpha_{\text{CD}}\) ?
Simulateur 3D : Le Retournement
Question 3 : Calculer l'angle moyen compensé \(\alpha_{\text{moyen}}\)
Principe (le concept physique)
La moyenne arithmétique est l'outil statistique le plus simple et le plus puissant pour estimer une valeur centrale à partir de plusieurs mesures. Dans le cas du double retournement, la moyenne des deux angles (CG et CD) a la propriété remarquable d'annuler les erreurs qui sont de signe opposé dans les deux positions, nous donnant ainsi la meilleure estimation de l'angle vrai.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Soit \(\alpha_{\text{vrai}}\) l'angle vrai et \(c\) l'erreur de collimation. On mesure \(\alpha_{\text{CG}} = \alpha_{\text{vrai}} - c\) et \(\alpha_{\text{CD}} = \alpha_{\text{vrai}} + c\). En faisant la moyenne, on obtient : \(\frac{(\alpha_{\text{vrai}} - c) + (\alpha_{\text{vrai}} + c)}{2} = \frac{2\alpha_{\text{vrai}}}{2} = \alpha_{\text{vrai}}\). L'erreur \(c\) est parfaitement éliminée, quelle que soit sa valeur.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est le résultat le plus important de votre mesure. C'est cette valeur, et non les mesures individuelles, qui doit être reportée et utilisée pour la suite des calculs. Elle représente la mesure la plus probable et la plus juste de l'angle sur le terrain.
Normes (la référence réglementaire)
Toutes les spécifications techniques pour les travaux topographiques exigent que les angles finaux soient issus de procédures de compensation. Le double retournement est la méthode de base pour cette compensation sur le terrain.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les seules erreurs significatives sont celles qui sont éliminées par la procédure (collimation, tourillonnement). Les erreurs aléatoires (comme une petite erreur de pointé de l'opérateur) ne sont pas éliminées mais leur effet est réduit par la moyenne.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Angle en CG, \(\alpha_{\text{CG}} = 76.4200 \, \text{gon}\)
- Angle en CD, \(\alpha_{\text{CD}} = 76.4240 \, \text{gon}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
L'angle moyen sera toujours compris entre l'angle CG et l'angle CD. Si votre résultat est en dehors de cet intervalle, vous avez fait une erreur de calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Convergence vers la Moyenne
Calcul(s) (l'application numérique)
Schéma (Après les calculs)
Angle Moyen Compensé
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La valeur de 76.4220 gon est notre meilleure estimation de l'angle réel ASB. Elle est plus fiable que l'une ou l'autre des mesures individuelles car elle est corrigée des défauts de l'instrument. C'est cette valeur qui sera utilisée dans les calculs topographiques ultérieurs (calcul de coordonnées, etc.).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Veillez à utiliser suffisamment de décimales dans vos calculs intermédiaires pour ne pas introduire d'erreur d'arrondi. En topographie, on conserve généralement les quatre décimales du gon (le décimilligrade) jusqu'au résultat final.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'angle moyen est la moyenne arithmétique des angles CG et CD.
- Il représente la valeur la plus probable de l'angle vrai.
- Cette moyenne annule les erreurs systématiques comme la collimation.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La méthode de compensation par la moyenne est un cas simple de la méthode plus générale des "moindres carrés", une technique statistique fondamentale utilisée en topographie et en géodésie pour ajuster des réseaux de mesures complexes (avec de nombreux points et de nombreuses mesures) afin d'obtenir les coordonnées les plus probables pour chaque point.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si \(\alpha_{\text{CG}}\) = 110.2030 gon et \(\alpha_{\text{CD}}\) = 110.2090 gon, quel est l'angle moyen ?
Simulateur 3D : Compensation par la Moyenne
Question 4 : Calculer l'erreur de collimation \(c\)
Principe (le concept physique)
L'erreur de collimation est un défaut géométrique de l'instrument : l'axe de visée de la lunette n'est pas parfaitement à 90 gon de son axe de rotation horizontal (l'axe des tourillons). Ce défaut décale la lecture d'une petite quantité \(c\). Lors du retournement, ce décalage s'applique dans le sens opposé, ce qui fait varier la mesure de l'angle. La différence entre les mesures CG et CD est donc égale à deux fois l'erreur de collimation.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La relation entre les angles est \(\alpha_{\text{CG}} = \alpha_{\text{vrai}} - c\) et \(\alpha_{\text{CD}} = \alpha_{\text{vrai}} + c\). En soustrayant la première équation de la seconde, on obtient : \(\alpha_{\text{CD}} - \alpha_{\text{CG}} = (\alpha_{\text{vrai}} + c) - (\alpha_{\text{vrai}} - c) = 2c\). Il suffit donc de diviser par deux la différence des angles pour isoler \(c\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le calcul de l'erreur de collimation est un excellent réflexe de contrôle. Il vous renseigne sur la "santé" de votre instrument. Si vous faites ce calcul à chaque mesure, vous verrez cette valeur évoluer dans le temps et saurez quand votre matériel a besoin d'un passage en atelier pour un réglage.
Normes (la référence réglementaire)
Les constructeurs d'instruments topographiques spécifient les tolérances de réglage pour leurs appareils. Une erreur de collimation calculée qui dépasse la tolérance du constructeur indique un besoin de maintenance. Les procédures de certification et d'étalonnage des instruments incluent obligatoirement la mesure et l'ajustement de cette erreur.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que l'erreur de collimation est la seule source de différence entre \(\alpha_{\text{CG}}\) et \(\alpha_{\text{CD}}\). En réalité, d'autres petites erreurs peuvent exister, mais la collimation est généralement la plus prépondérante pour les angles horizontaux.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Angle en CG, \(\alpha_{\text{CG}} = 76.4200 \, \text{gon}\)
- Angle en CD, \(\alpha_{\text{CD}} = 76.4240 \, \text{gon}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
La différence entre les angles est de 0.0040 gon. La moitié est 0.0020 gon. Pour passer des gon aux centigrades (cgon), il suffit de décaler la virgule de deux rangs vers la droite. 0.0020 gon devient donc 2 cgon.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de l'Erreur de Collimation
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calculer l'erreur en gon :
2. Convertir en centigrades (cgon) en multipliant par 100 :
Schéma (Après les calculs)
Erreur de Collimation Calculée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Une erreur de collimation de 2 cgon est une valeur faible, indiquant que l'instrument est bien réglé. Les tolérances pour les instruments de précision sont de l'ordre de quelques centigrades. Connaître cette valeur permet de juger de l'état de l'instrument et de la nécessité éventuelle d'un réglage en atelier.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas oublier de diviser la différence par deux ! La différence entre les angles est égale à \(2c\), pas à \(c\). C'est une erreur classique qui conduit à surestimer l'erreur de l'instrument.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'erreur de collimation \(c\) est la moitié de la différence entre \(\alpha_{\text{CD}}\) et \(\alpha_{\text{CG}}\).
- Elle quantifie un défaut de réglage de l'instrument.
- Son calcul est un indicateur de la "santé" de l'appareil.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Sur les stations totales modernes, il est possible de mesurer l'erreur de collimation (et d'autres erreurs) via un programme interne. L'instrument stocke alors ces valeurs et peut corriger automatiquement toutes les mesures en temps réel. La procédure du double retournement reste néanmoins une bonne pratique pour vérifier que cette correction automatique fonctionne bien.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si \(\alpha_{\text{CG}}\) = 80.1020 gon et \(\alpha_{\text{CD}}\) = 80.0960 gon, quelle est l'erreur de collimation en cgon ?
Simulateur 3D : Effet de la Collimation
Outil Interactif : Influence de l'Erreur de Collimation
Modifiez la lecture initiale et l'erreur de collimation pour voir leur influence sur les mesures.
Paramètres d'Entrée
Résultats Calculés
Le Saviez-Vous ?
Le Gon (ou grade) a été introduit en France peu après la Révolution Française, en même temps que le système métrique. L'idée était de décimaliser toutes les unités, y compris les angles. Un angle droit valant 100 gon et un tour complet 400 gon simplifiait les calculs à la main. Bien que le degré reste dominant au niveau international, le gon est toujours très utilisé par les géomètres en France, en Belgique et en Suisse.
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi faut-il inverser l'ordre des visées en Cercle Droit ?
C'est une convention de terrain pour garder un flux de travail logique. Après avoir visé B en CG, on retourne l'instrument. Le point B est toujours dans le champ de la lunette, il est donc plus rapide de le re-viser en CD avant de chercher le point A. Cela n'a pas d'impact sur le calcul final tant que l'on soustrait les bonnes lectures.
Quelles autres erreurs sont corrigées par le double retournement ?
Outre l'erreur de collimation horizontale (la plus importante), cette méthode corrige aussi l'erreur d'inclinaison de l'axe des tourillons (l'axe secondaire n'est pas parfaitement horizontal) et l'excentricité du limbe (le centre du cercle gradué ne coïncide pas parfaitement avec l'axe de rotation principal de l'instrument).
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Un angle mesuré en CG est de 50.1250 gon. L'angle mesuré en CD est de 50.1350 gon. L'instrument...
2. Si un géomètre oublie de faire le double retournement et ne mesure qu'en Cercle Gauche, sa mesure sera...
- Double Retournement
- Procédure de mesure d'un angle horizontal en deux séquences (Cercle Gauche et Cercle Droit) pour éliminer l'effet de plusieurs erreurs instrumentales et obtenir une mesure de haute précision.
- Cercle Gauche / Cercle Droit (CG/CD)
- Désigne la position du cercle de lecture vertical de l'instrument par rapport à l'opérateur. En CG, il est à gauche. Après retournement, il est à droite (CD).
- Erreur de Collimation
- Défaut de réglage d'un théodolite où l'axe optique (ligne de visée) n'est pas parfaitement perpendiculaire à l'axe secondaire (axe de basculement de la lunette).
- Gon (ou Grade)
- Unité d'angle divisant le cercle en 400 parties. 100 gon équivalent à 90 degrés. Très utilisée en topographie pour sa compatibilité avec le système décimal.
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