Calcul des Gisements Compensés d'un Cheminement
Contexte : Orienter le Levé
Après avoir assuré la cohérence géométrique interne du polygone en compensant les angles, l'étape suivante consiste à l'orienter par rapport à une direction de référence, généralement le Nord géographique ou le Nord Lambert. Cette orientation se fait par le calcul des gisementsAngle horizontal entre la direction de référence (Nord) et une direction donnée, mesuré dans le sens horaire (de 0 à 400 gon).. Le gisement d'un côté est son angle par rapport au Nord. En connaissant le gisement d'un seul côté (le gisement de départ) et les angles intérieurs compensés, on peut "transmettre" cette orientation à tous les autres côtés du cheminement, de proche en proche.
Remarque Pédagogique : Si la compensation angulaire garantit que la "forme" du polygone est correcte, le calcul des gisements garantit que son "orientation" dans l'espace est correcte. Sans gisements, un plan serait une simple figure géométrique flottante ; avec les gisements, il devient une représentation orientée de la réalité, superposable à d'autres cartes.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la notion de gisement et son rôle en topographie.
- Maîtriser la formule de transmission des gisements.
- Calculer les gisements de tous les côtés d'un cheminement à partir d'un gisement de départ et des angles compensés.
- Utiliser le calcul du gisement de retour comme méthode de vérification des calculs.
Données de l'étude
Schéma du Cheminement et Gisement de Départ
- Gisement de départ : \(G_{S1 \to S2} = 45.1250 \, \text{gon}\)
- Angles intérieurs compensés (résultats de l'exercice précédent) :
Questions à traiter
- Calculer successivement les gisements \(G_{S2 \to S3}\), \(G_{S3 \to S4}\) et \(G_{S4 \to S1}\).
- À partir du gisement \(G_{S4 \to S1}\) que vous venez de calculer, calculez le gisement de retour \(G_{S1 \to S2}\). Que constatez-vous et que pouvez-vous en conclure ?
Correction : Calcul des Gisements Compensés d'un Cheminement
Question 1 : Calcul des Gisements Successifs
Principe :
Pour passer du gisement d'un côté au gisement du côté suivant, on part du gisement précédent, on y ajoute l'angle intérieur mesuré au sommet commun, puis on ajoute ou on soustrait 200 gon pour se ramener à l'orientation correcte. C'est le principe de la transmission de gisement.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : La règle du "± 200 gon" peut sembler confuse. Imaginez que vous prolongez le premier côté. Le gisement de ce prolongement est \(G_{\text{précédent}}\). Pour "tourner" et viser le point suivant, vous pivotez de l'angle intérieur \(\alpha\). L'opération \(G_{\text{précédent}} + \alpha\) vous donne ce nouvel angle. La correction de ± 200 gon sert simplement à convertir cet angle, qui est mesuré par rapport au prolongement, en un gisement, qui est mesuré par rapport au Nord.
Formule(s) utilisée(s) :
Règle de calcul : On calcule \(T = G_{\text{précédent}} + \alpha_{\text{sommet}}\).
Si \(T < 200\), on fait \(T + 200\).
Si \(200 < T < 600\), on fait \(T - 200\).
Si \(T > 600\), on fait \(T - 600\).
Donnée(s) :
- \(G_{S1 \to S2} = 45.1250 \, \text{gon}\)
- α₂ = 115.3225 gon
- α₃ = 78.9825 gon
- α₄ = 103.2425 gon
Calcul(s) :
Calcul de \(G_{S2 \to S3}\) :
Calcul de \(G_{S3 \to S4}\) :
Calcul de \(G_{S4 \to S1}\) :
Points de vigilance :
Le bon angle au bon sommet : L'erreur la plus fréquente est d'utiliser le mauvais angle. Pour calculer le gisement \(G_{B \to C}\), il faut utiliser le gisement \(G_{A \to B}\) et l'angle au sommet B (\(\alpha_2\)). On utilise toujours l'angle du sommet d'où l'on "repart".
Le saviez-vous ?
Question 2 : Vérification par Gisement de Retour
Principe :
Pour s'assurer qu'aucune erreur de calcul n'a été commise, on effectue une dernière transmission de gisement. En partant du dernier gisement calculé (\(G_{S4 \to S1}\)) et en utilisant le dernier angle (\(\alpha_1\)), on doit retomber exactement sur le gisement de départ (\(G_{S1 \to S2}\)). C'est la preuve que les calculs sont cohérents.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Cette vérification est fondamentale. Elle ne garantit pas que les mesures sur le terrain sont justes (c'était le rôle de la compensation angulaire), mais elle garantit que les calculs de transmission de gisement sont arithmétiquement corrects. C'est une sécurité indispensable avant de passer au calcul des coordonnées.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- Dernier gisement calculé : \(G_{S4 \to S1} = 142.6725 \, \text{gon}\)
- Premier angle : α₁ = 102.4525 gon
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Ne pas sauter la vérification : Il est tentant, une fois le dernier gisement calculé, de s'arrêter là. Cependant, une simple erreur de frappe sur la calculatrice dans l'un des calculs intermédiaires faussera tous les gisements suivants. Seule cette vérification finale permet de détecter une telle erreur.
Le saviez-vous ?
Simulation : Calculateur de Gisement
Entrez un gisement de départ et un angle intérieur pour calculer le gisement suivant et visualiser la transmission.
Paramètres de Transmission
Visualisation sur le Cercle Trigonométrique
Pour Aller Plus Loin : Calcul des Coordonnées
Maintenant que nous disposons des gisements compensés et des longueurs mesurées pour chaque côté, l'étape ultime du calcul planimétrique peut commencer : le calcul des coordonnées partielles (ΔX, ΔY) pour chaque côté avec les formules \( \Delta X = D \times \sin(G) \) et \( \Delta Y = D \times \cos(G) \). La somme de ces coordonnées partielles révélera une "fermeture en coordonnées", qui devra elle aussi être compensée pour obtenir les coordonnées finales de chaque sommet.
Le Saviez-Vous ?
Le terme "gisement" vient du vieux français "gésir" (être couché, être situé). En topographie, il définit la "position angulaire" d'une direction. Dans le domaine maritime, on utilise plutôt le terme "azimut", qui a la même signification mais qui est souvent mesuré depuis le Nord en degrés.
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi utiliser des angles intérieurs et non extérieurs ?
On peut utiliser les deux, à condition d'adapter la formule. Les angles intérieurs sont souvent plus intuitifs à mesurer sur le terrain. Si on utilisait l'angle extérieur \(\beta\), la formule deviendrait \(G_{\text{suivant}} = G_{\text{précédent}} - \beta \pm 200\), car tourner de l'angle extérieur revient à tourner en sens inverse de l'angle intérieur.
Le gisement de départ doit-il toujours être celui du premier côté ?
Non, on peut commencer avec le gisement connu de n'importe quel côté du cheminement. Il suffit d'adapter l'ordre des calculs. Par exemple, si on connaissait \(G_{S3 \to S4}\), on calculerait d'abord \(G_{S4 \to S1}\) avec \(\alpha_4\), puis \(G_{S1 \to S2}\) avec \(\alpha_1\), et ainsi de suite.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si \(G_{A \to B} = 50\) gon et l'angle intérieur en B est \(\alpha_B = 180\) gon, que vaut \(G_{B \to C}\) ?
2. Le calcul de gisement de retour permet de vérifier :
Glossaire
- Cheminement Polygonal
- Opération qui consiste à déterminer les positions de points successifs (stations) en mesurant les angles et les distances entre eux.
- Gisement (G)
- Angle horizontal entre la direction de référence (Nord) et une direction donnée, mesuré dans le sens horaire (de 0 à 400 gon).
- Transmission de Gisement
- Processus de calcul du gisement d'un côté d'un polygone en se basant sur le gisement du côté précédent et l'angle intérieur qui les relie.
- Angle Intérieur
- Angle mesuré à l'intérieur du polygone à un sommet, entre le côté précédent et le côté suivant.
D’autres exercices de calculs planimétriques:
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