Calcul des Gisements Compensés d’un Cheminement
Contexte : La TopographieTechnique permettant de mesurer puis de représenter sur un plan les formes et détails visibles sur le terrain. et les calculs planimétriques.
Un géomètre-topographe doit déterminer avec précision les coordonnées de plusieurs nouvelles bornes (S2, S3, S4) pour un projet d'aménagement. Pour cela, il réalise un cheminement polygonal ferméUn itinéraire polygonal qui part d'un point connu, passe par une série de points nouveaux, et revient au point de départ pour permettre un contrôle des mesures., partant d'un point connu S1, et y revenant après avoir stationné tous les sommets. Les mesures d'angles et de distances sur le terrain contiennent inévitablement de petites erreurs qu'il est indispensable de calculer et de compenser pour garantir la qualité du plan final.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers toutes les étapes réglementaires du calcul topométrique : de la vérification des tolérances à la compensation des mesures, jusqu'à l'obtention des coordonnées définitives.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer et contrôler la fermeture angulaire d'un cheminement.
- Calculer les gisements bruts puis les compenser.
- Calculer et contrôler la fermeture en coordonnées (planimétrique).
- Compenser les écarts et calculer les coordonnées définitives des points.
Données de l'étude
Données Initiales
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Coordonnées S1 (X, Y) | (1000.00 m, 5000.00 m) |
| Gisement S1 vers S2 | 125.0000 gon |
Schéma du Cheminement Polygonal
Carnet de Levé Terrain
| Station | Angle mesuré (gon) | Côté | Distance (m) |
|---|---|---|---|
| S1 | 105.1510 | S1-S2 | 150.00 |
| S2 | 88.8870 | S2-S3 | 111.80 |
| S3 | 120.3710 | S3-S4 | 170.00 |
| S4 | 85.6000 | S4-S1 | 180.28 |
Questions à traiter
- Calculer la somme des angles mesurés et déterminer la fermeture angulaire \(f_a\).
- La tolérance angulaire étant de \(0.02 \times \sqrt{n}\) gon (où n est le nombre de sommets), vérifier si le levé est acceptable.
- Calculer les angles compensés.
- Calculer les gisements compensés de chaque côté du cheminement.
- Calculer les coordonnées partielles (\(\Delta X\), \(\Delta Y\)) de chaque côté du cheminement.
Les bases du calcul de cheminement
Un cheminement est une méthode topographique fondamentale pour déterminer les coordonnées de points en s'appuyant sur des mesures d'angles et de distances. Le contrôle et la compensation des erreurs sont cruciaux.
1. Fermeture angulaire
Dans un polygone fermé à \(n\) sommets, la somme théorique des angles intérieurs est toujours égale à \((n-2) \times 200\) grades (ou gon). La différence entre la somme des angles que l'on a mesurés sur le terrain et cette somme théorique est l'erreur de fermeture angulaire \(f_a\).
\[ f_a = \sum \alpha_{\text{mesurés}} - (n-2) \times 200 \]
2. Calcul et report des Gisements
Le gisementAngle horizontal entre l'axe des Y (Nord) et une direction, compté dans le sens des aiguilles d'une montre (sens horaire). est l'angle qui définit l'orientation d'un segment. Pour passer d'un gisement \(G_{\text{A-B}}\) au suivant \(G_{\text{B-C}}\), on utilise l'angle mesuré en B :
\[ G_{\text{BC}} = G_{\text{AB}} + \alpha_B \pm 200 \]
On ajoute ou retire 200 gon pour ramener le résultat dans l'intervalle [0, 400].
3. Fermeture en coordonnées
En partant d'un point et en y revenant, la somme de tous les déplacements en X (\(\Delta X\)) et en Y (\(\Delta Y\)) devrait être nulle. Les petites erreurs de mesure créent une erreur de fermeture linéaire (\(f_x\), \(f_y\)). On calcule les déplacements avec :
\[ \Delta X_{\text{AB}} = D_{\text{AB}} \times \sin(G_{\text{AB}}) \quad \text{et} \quad \Delta Y_{\text{AB}} = D_{\text{AB}} \times \cos(G_{\text{AB}}) \]
Et les fermetures avec : \[ f_x = \sum \Delta X \quad \text{et} \quad f_y = \sum \Delta Y \]
Correction : Calcul des Gisements Compensés d’un Cheminement
Question 1 : Calcul de la fermeture angulaire \(f_a\)
Principe
La première étape de tout calcul de cheminement est de vérifier la cohérence des mesures angulaires. On compare la somme des angles réellement mesurés sur le terrain à la somme théorique qu'ils devraient avoir dans une figure géométrique parfaite pour quantifier l'erreur de mesure globale.
Mini-Cours
La géométrie euclidienne nous enseigne que la somme des angles intérieurs d'un polygone convexe simple est une constante qui ne dépend que de son nombre de côtés. En topographie, cette propriété géométrique est le premier et le plus fondamental des contrôles : si nos mesures d'angles ne respectent pas cette loi (dans une certaine tolérance), c'est qu'une ou plusieurs d'entre elles sont fautives.
Remarque Pédagogique
Considérez cette étape comme la "fondation" de votre calcul. Si la fondation est mauvaise (erreur angulaire trop grande), tout ce que vous construirez dessus (coordonnées) sera fragile et incorrect. Ne sautez jamais cette vérification.
Normes
Les tolérances de fermeture sont définies par des cahiers des charges ou des normes professionnelles qui dépendent de la précision attendue des travaux (par exemple, cadastre, auscultation d'ouvrage, etc.).
Formule(s)
Formule de la fermeture angulaire
Hypothèses
On fait les hypothèses suivantes : le cheminement est bien fermé (on revient au point de départ), les angles mesurés sont les angles intérieurs du polygone, et on travaille sur un plan local (on néglige la courbure de la Terre).
Donnée(s)
Nous avons 4 stations (\(n=4\)), et les 4 angles mesurés.
- αS1 = 105.1510 gon
- αS2 = 88.8870 gon
- αS3 = 120.3710 gon
- αS4 = 85.6000 gon
- n = 4 sommets
Astuces
Pour un cheminement à 4 côtés (quadrilatère), la somme des angles doit faire 400 gon. C'est un cas facile à mémoriser pour une vérification rapide.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Somme des angles mesurés
Somme théorique des angles
Fermeture angulaire
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Le résultat est une valeur positive, ce qui signifie que nous avons mesuré "en trop". L'excédent est de 0.0090 gon, soit 9 milligrades. C'est une erreur très faible, ce qui est un bon signe sur la qualité des mesures.
Points de vigilance
Attention à ne pas faire d'erreur en additionnant les angles. Une simple faute de frappe sur la calculatrice peut fausser tout le reste du calcul. Vérifiez toujours votre somme deux fois.
Points à retenir
Pour valider la géométrie d'un cheminement, on compare toujours la somme des angles mesurés à la somme théorique \((n-2) \times 200\) gon. Cette différence est l'erreur à compenser, appelée fermeture angulaire \(f_a\).
Le saviez-vous ?
L'unité "grade" ou "gon" a été introduite en France après la Révolution, en même temps que le système métrique. Diviser l'angle droit en 100 unités (plutôt que 90 degrés) visait à simplifier les calculs en s'alignant sur le système décimal.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'angle mesuré en S1 avait été de 105.1600 gon au lieu de 105.1510, quelle aurait été la nouvelle fermeture angulaire \(f_a\) en gon ?
Question 2 : Vérification de la tolérance angulaire
Principe
L'erreur que nous avons calculée est-elle le fruit de petites imprécisions inévitables ou d'une faute de mesure grossière ? Pour le savoir, on compare la valeur absolue de la fermeture \(f_a\) à une tolérance réglementaire, qui dépend du nombre de stations et de la précision requise.
Mini-Cours
La théorie des erreurs nous apprend que les erreurs accidentelles s'accumulent de manière quadratique. C'est pourquoi la plupart des formules de tolérance en topométrie font intervenir une racine carrée du nombre d'opérations (ici, le nombre \(n\) de stations). Cela modélise le fait que les petites erreurs ont tendance à se compenser partiellement les unes les autres.
Remarque Pédagogique
C'est le "garde-fou" de votre travail. Si la fermeture est hors tolérance, il est inutile et professionnellement faux de continuer les calculs. La seule solution est d'identifier la source de l'erreur (souvent en retournant sur le terrain).
Normes
La formule \(0.02 \times \sqrt{n}\) gon est une tolérance "de chantier" courante en France pour des travaux de topographie générale. Des projets plus exigeants (comme le suivi d'ouvrages d'art) imposent des tolérances beaucoup plus strictes.
Formule(s)
Formule de la tolérance angulaire
Condition de validation
Hypothèses
On suppose que la formule de tolérance fournie est adaptée à la classe de précision des travaux à réaliser.
Donnée(s)
Les données d'entrée sont le nombre de sommets et la fermeture angulaire calculée à la question précédente.
- n = 4 sommets
- fa = +0.0090 gon
Astuces
Pour un cheminement de 4 à 9 points, la racine de \(n\) sera entre 2 et 3. Vous pouvez donc rapidement estimer que la tolérance sera entre 0.04 et 0.06 gon, ce qui vous donne un ordre de grandeur pour juger votre résultat avant même le calcul précis.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Calcul de la tolérance \(T_a\)
Vérification de la condition
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
L'erreur de 0.0090 gon est bien inférieure à la tolérance de 0.0400 gon. Les mesures angulaires sont donc de bonne qualité et peuvent être utilisées pour la suite des calculs. Nous avons le "feu vert" pour continuer.
Points de vigilance
N'oubliez pas de prendre la valeur absolue de \(f_a\). Une fermeture de -0.0300 gon est tout aussi acceptable qu'une de +0.0300 gon. L'important est la magnitude de l'erreur, pas son signe.
Points à retenir
La validation d'un levé passe par la comparaison de l'erreur \(|f_a|\) à une tolérance \(T_a\). Si \(|f_a| > T_a\), le levé est à refaire. Si \(|f_a| \le T_a\), on peut compenser l'erreur.
Le saviez-vous ?
Les réseaux géodésiques nationaux, comme le RGF93 en France, sont calculés par des méthodes de compensation par moindres carrés sur des milliers de points, ce qui permet d'atteindre des précisions relatives de l'ordre de quelques millimètres sur des centaines de kilomètres.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la tolérance angulaire \(T_a\) pour un cheminement de 9 sommets avec la même formule ?
Question 3 : Calcul des angles compensés
Principe
Puisque l'erreur angulaire est jugée acceptable, nous devons maintenant la "corriger" pour que la somme des angles soit mathématiquement parfaite. On répartit l'erreur \(f_a\) (changée de signe) sur tous les angles mesurés.
Mini-Cours
La méthode de compensation la plus simple, dite "équirépartition", consiste à supposer que chaque mesure d'angle a contribué de manière égale à l'erreur finale. On applique donc la même correction à chaque angle. Des méthodes plus complexes (comme les moindres carrés) pourraient pondérer la correction en fonction de la qualité de chaque mesure, mais l'équirépartition est très courante en pratique.
Remarque Pédagogique
Pensez à cette étape comme la création d'une version "idéale" et mathématiquement cohérente de vos mesures de terrain. Ces angles compensés, bien que légèrement différents des mesures brutes, sont considérés comme plus "vrais" car ils respectent les contraintes géométriques.
Normes
La répartition uniforme de l'erreur angulaire est une méthode standardisée dans les manuels de topométrie pour les cheminements polygonaux de précision courante.
Formule(s)
Formule de la compensation angulaire unitaire
Formule de l'angle compensé
Hypothèses
On fait l'hypothèse que chaque mesure d'angle a été réalisée dans des conditions similaires et est donc entachée d'une erreur de même ordre de grandeur, ce qui justifie une répartition égale de la correction.
Donnée(s)
Les données sont la fermeture \(f_a\), le nombre d'angles \(n\), et les angles mesurés.
- \(f_a\) = +0.0090 gon
- \(n\) = 4
- αS1 = 105.1510 gon
- αS2 = 88.8870 gon
- αS3 = 120.3710 gon
- αS4 = 85.6000 gon
Astuces
La somme de toutes les compensations que vous appliquez doit être exactement égale à l'opposé de la fermeture. Ici, \(4 \times (-0.00225) = -0.0090\). C'est une vérification simple et rapide.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Calcul de la compensation unitaire \(C_a\)
Application de la compensation
| Angle | Mesuré (gon) | Compensation (gon) | Compensé (gon) |
|---|---|---|---|
| α'S1 | 105.1510 | -0.00225 | 105.14875 |
| α'S2 | 88.8870 | -0.00225 | 88.88475 |
| α'S3 | 120.3710 | -0.00225 | 120.36875 |
| α'S4 | 85.6000 | -0.00225 | 85.59775 |
Vérification de la somme des angles compensés
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Nous avons maintenant un jeu d'angles dont la somme est mathématiquement parfaite. Ces angles "corrigés" seront la base pour la prochaine étape : le calcul des orientations (gisements) de chaque côté du polygone.
Points de vigilance
Le signe de la compensation est toujours l'opposé de celui de l'erreur. Si l'on a trop mesuré (\(f_a > 0\)), il faut enlever un peu à chaque angle (\(C_a < 0\)), et inversement.
Points à retenir
La compensation angulaire consiste à répartir l'erreur de fermeture \(f_a\) sur tous les angles mesurés pour satisfaire la condition géométrique du polygone. La correction par angle est \(C_a = -f_a / n\).
Le saviez-vous ?
Carl Friedrich Gauss a développé la méthode des moindres carrés, une technique de compensation bien plus sophistiquée, au début du 19ème siècle pour résoudre des problèmes d'astronomie et de géodésie. C'est aujourd'hui la base de tous les logiciels de calculs topométriques modernes.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la fermeture \(f_a\) avait été de -0.0120 gon, quelle aurait été la compensation \(C_a\) à appliquer sur chaque angle ?
Question 4 : Calcul des gisements compensés
Principe
Le gisement est l'angle qui oriente une ligne par rapport au Nord. En utilisant le gisement de départ (connu) et les angles intérieurs (maintenant compensés), on peut calculer l'orientation de chaque côté du polygone. On "transporte" le gisement de sommet en sommet.
Mini-Cours
Le report de gisement est une opération de "changement de repère". En station S1, on connaît G(S1-S2). Pour connaître l'orientation de S2 vers S3, on se place en S2. Le gisement G(S1-S2) devient notre référence. On y ajoute l'angle mesuré en S2 pour trouver la nouvelle direction. L'opération `± 200` gon sert simplement à passer du gisement "avant" (S1-S2) au gisement "arrière" (S2-S1) pour pouvoir ajouter l'angle intérieur.
Remarque Pédagogique
Imaginez que vous marchez le long de la ligne S1-S2 en regardant dans la direction du gisement G(S1-S2). Arrivé en S2, vous vous retournez (vous ajoutez ou retirez 200 gon), puis vous pivotez de l'angle \(\alpha'_{\text{S2}}\). Vous regardez maintenant dans la direction S2-S3. C'est ça, le transport de gisement.
Normes
La méthode de calcul des gisements par ajout des angles est un algorithme de base en calculs topométriques, décrit dans tous les ouvrages de référence du domaine.
Formule(s)
Formule de transmission des gisements
Hypothèses
On suppose que le gisement de départ, G(S1-S2), est connu et exempt d'erreur. Il sert de référence absolue pour l'orientation de tout le cheminement.
Donnée(s)
On utilise le gisement initial et les angles compensés de la question précédente.
- G(S1-S2) = 125.0000 gon
- \(\alpha'_{\text{S1}}=105.14875\) gon
- \(\alpha'_{\text{S2}}=88.88475\) gon
- \(\alpha'_{\text{S3}}=120.36875\) gon
- \(\alpha'_{\text{S4}}=85.59775\) gon
Astuces
Pour savoir s'il faut ajouter ou enlever 200, une règle simple est de faire le calcul `G_précédent + α'`. Si le résultat est inférieur à 200, on ajoute 200. S'il est supérieur à 200, on enlève 200. L'objectif est de ramener le gisement de la visée "arrière" dans le bon quadrant pour y ajouter l'angle intérieur.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Calcul de G(S2-S3)
Calcul de G(S3-S4)
Calcul de G(S4-S1)
Contrôle de fermeture (bouclage)
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Le fait de retomber exactement sur le gisement de départ après avoir fait le tour complet du polygone est une vérification cruciale. Cela confirme que nos angles compensés sont corrects et que nos calculs de report sont justes. Toute la géométrie du levé est maintenant cohérente.
Points de vigilance
Une erreur dans le choix de `+200` ou `-200` à une étape faussera tous les gisements suivants. Le contrôle de bouclage final est donc indispensable pour détecter ce type d'erreur.
Points à retenir
Le gisement d'une ligne est son orientation par rapport au Nord. On le transmet de point en point en utilisant les angles intérieurs compensés. La formule est \(G_{\text{suivant}} = G_{\text{précédent}} + \alpha'_{\text{sommet}} \pm 200\).
Le saviez-vous ?
En France, les coordonnées et les gisements sont calculés par rapport au "Nord Lambert", une direction de référence définie par un système de projection cartographique, qui ne coïncide pas exactement avec le Nord géographique (pôle) ni avec le Nord magnétique (boussole).
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si le gisement de départ G(S1-S2) avait été de 100.0000 gon, quel aurait été le gisement G(S2-S3) ? (Utilisez l'angle compensé \(\alpha'_{\text{S2}}=88.88475\) gon).
Question 5 : Calcul des coordonnées partielles (\(\Delta X\), \(\Delta Y\))
Principe
Maintenant que nous avons l'orientation (gisement) et la longueur (distance) de chaque segment, nous pouvons les décomposer en leurs composantes selon les axes du système de coordonnées : un déplacement en X (Est-Ouest) et un déplacement en Y (Nord-Sud). On utilise pour cela la trigonométrie de base.
Mini-Cours
En topographie, le gisement (G) est compté depuis l'axe Y (Nord). Dans un cercle trigonométrique classique, les angles sont comptés depuis l'axe X. C'est pourquoi les formules sont "inversées" par rapport aux mathématiques pures : le sinus est utilisé pour l'axe des X et le cosinus pour l'axe des Y. C'est une convention fondamentale en topographie.
Remarque Pédagogique
Cette étape transforme des mesures de terrain (polaires) en un format cartésien (X,Y) qui peut être dessiné sur un plan. C'est le cœur de la transformation de la réalité du terrain en une représentation cartographique. Faites très attention aux signes (+/-) qui indiquent le quadrant du déplacement (Nord-Est, Sud-Ouest, etc.).
Normes
Ce sont les formules fondamentales de la trigonométrie appliquées au système de coordonnées topographique rectangulaire, une norme de fait dans le monde entier (même si les axes peuvent être inversés dans certains systèmes).
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que les distances mesurées sont des distances horizontales. Si des distances inclinées avaient été mesurées sur un terrain en pente, il aurait fallu les réduire à l'horizon avant ce calcul.
Donnée(s)
On utilise les distances mesurées et les gisements compensés.
- D(S1-S2) = 150.00 m, G(S1-S2) = 125.0000 gon
- D(S2-S3) = 111.80 m, G(S2-S3) = 13.88475 gon
- D(S3-S4) = 170.00 m, G(S3-S4) = 334.25350 gon
- D(S4-S1) = 180.28 m, G(S4-S1) = 219.85125 gon
Astuces
Avant de calculer, regardez le quadrant de votre gisement pour anticiper les signes de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) :
• 0-100 gon (NE): \(\Delta X+\), \(\Delta Y+\)
• 100-200 gon (SE): \(\Delta X+\), \(\Delta Y-\)
• 200-300 gon (SO): \(\Delta X-\), \(\Delta Y-\)
• 300-400 gon (NO): \(\Delta X-\), \(\Delta Y+\)
C'est un excellent moyen de détecter une erreur de calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Relation Trigonométrique
Calcul(s)
\(\Delta X_{\text{S1-S2}}\)
\(\Delta Y_{\text{S1-S2}}\)
\(\Delta X_{\text{S2-S3}}\)
\(\Delta Y_{\text{S2-S3}}\)
\(\Delta X_{\text{S3-S4}}\)
\(\Delta Y_{\text{S3-S4}}\)
\(\Delta X_{\text{S4-S1}}\)
\(\Delta Y_{\text{S4-S1}}\)
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Chaque ligne du tableau représente maintenant le "vecteur de déplacement" pour aller d'un point au suivant. La prochaine étape logique, qui sort du cadre de cet exercice simplifié, serait de les additionner pour trouver les fermetures \(f_x\) et \(f_y\) et achever le calcul.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune ici est d'oublier de mettre sa calculatrice en mode "grades" (ou "gon"). Si elle est en degrés, tous les résultats de sinus et cosinus seront faux, et le reste du calcul s'effondrera.
Points à retenir
Les coordonnées partielles d'un segment sont calculées avec `\(\Delta X = D \times \sin(G)\)` et `\(\Delta Y = D \times \cos(G)\)`. N'oubliez pas le mode 'gon' de votre calculatrice.
Le saviez-vous ?
Les fonctions sinus et cosinus, fondamentales ici, tirent leur origine de l'astronomie indienne antique. Le mot "sinus" vient d'une mauvaise traduction latine du mot sanskrit "jya-ardha" qui signifiait "demi-corde" d'un arc de cercle.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Pour un côté de distance D=250.00 m et de gisement G=250.00 gon, quelles seraient les valeurs de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) ?
Outil Interactif : Impact des erreurs
Utilisez les curseurs pour modifier l'une des mesures initiales et observez en temps réel son impact sur les erreurs de fermeture angulaire et linéaire.
Paramètres d'Entrée
Résultats des Fermetures
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la raison principale pour laquelle on calcule une fermeture angulaire ?
2. Si la fermeture angulaire \(f_a\) est positive, cela signifie que :
3. La formule \(\Delta Y = D \times \cos(G)\) sert à calculer :
4. Si la fermeture linéaire \(f_L\) dépasse la tolérance admise, que doit faire le topographe ?
5. La compensation des coordonnées est dite "proportionnelle aux longueurs". Cela signifie que :
- Cheminement
- Opération topographique consistant à déterminer les coordonnées d'une suite de points par mesures successives d'angles et de distances.
- Gisement
- Angle horizontal mesuré dans le sens horaire entre la direction du Nord (axe Y) et une direction donnée.
- Fermeture Angulaire (fa)
- Différence entre la somme des angles mesurés d'un polygone et sa somme théorique. Elle quantifie l'erreur de mesure sur les angles.
- Fermeture Linéaire (fL)
- Distance entre le point de départ et le point de retour d'un cheminement fermé après calculs. Elle quantifie l'erreur globale sur les distances et les angles.
- Compensation
- Processus de répartition des erreurs de fermeture (angulaire et linéaire) sur l'ensemble des mesures pour obtenir un résultat mathématiquement cohérent.
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