Calcul des éléments d'implantation

Contexte : Le raccordement circulaireCourbe à rayon constant utilisée pour relier deux alignements droits sécants dans le tracé d'une route, d'une voie ferrée ou d'un canal..

En conception routière, il est rare que le tracé soit une ligne droite continue. Pour assurer la sécurité et le confort des usagers, les changements de direction entre deux portions de route rectilignes (appelées alignements droits) sont réalisés progressivement grâce à des courbes. Le raccordement circulaire simple est l'élément de base permettant de joindre deux droites sécantes. Cet exercice vous guidera à travers les calculs topographiques nécessaires pour matérialiser sur le terrain (implanter) les points clés d'un tel raccordement.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra d'appliquer des formules de géométrie et de topométrie pour résoudre un cas pratique de Travaux Publics. Vous apprendrez à décomposer un problème complexe en étapes de calculs simples et à manipuler les coordonnées et les gisements, compétences fondamentales pour un technicien géomètre-topographe.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et calculer les éléments géométriques d'un raccordement circulaire (angle, tangente, développement).
Calculer les coordonnées des points caractéristiques de la courbe (points de tangence).
Maîtriser le calcul des éléments d'implantation (angles et distances) par la méthode du rayonnement.
Savoir décomposer un axe en plan pour son implantation sur le terrain.

Données de l'étude

On cherche à implanter l'axe d'une route définie par un raccordement circulaire entre deux alignements droits. On dispose des informations suivantes, issues du projet et du levé topographique.

Caractéristiques des Alignements

Schéma de principe du raccordement

Élément	Gisement (gon)	Coordonnées (m)
Alignement 1 (entrant)	75.0000	S (X=845.25, Y=2650.80)
Alignement 2 (sortant)	125.0000	S (X=845.25, Y=2650.80)

Caractéristiques du Projet et de la Station

Paramètre	Description	Valeur	Unité
Rayon	Rayon du raccordement circulaire	200.00	m
Station d'implantation	Coordonnées du point de station ST1	X=750.00, Y=2500.00	m
Pas d'implantation	Distance sur l'arc entre chaque point à implanter	25.00	m

Questions à traiter

Calculer l'angle au sommet \(\alpha\) (en grades) et la longueur de la tangente \(TS\).
Calculer le développement \(L\) de l'arc de cercle T1-T2.
Calculer les coordonnées des points de tangence T1 et T2.
Calculer les éléments d'implantation (gisement et distance) depuis la station ST1 pour les points de l'axe à implanter tous les 25 mètres sur l'arc (P1 à 25m, P2 à 50m, etc.).

Les bases du calcul de raccordement

Pour résoudre cet exercice, nous aurons besoin de quelques formules fondamentales de topométrie et de calcul de raccordements routiers.

1. Calcul des Gisements et Coordonnées
Le calcul de coordonnées d'un point P depuis un point A connu se fait par :
\(X_P = X_A + D_{AP} \cdot \sin(G_{AP})\)
\(Y_P = Y_A + D_{AP} \cdot \cos(G_{AP})\)
Avec \(D_{AP}\) la distance horizontale et \(G_{AP}\) le gisement de A vers P.

2. Géométrie du Raccordement Circulaire
L'angle au sommet \(\alpha\) est la différence des gisements. La longueur de la tangente \(TS\) (distance du sommet S aux points de tangence T1 et T2) et le développement \(L\) (longueur de l'arc) sont donnés par : \[ TS = R \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \] \[ L = R \cdot \alpha_{\text{rad}} \quad (\text{avec } \alpha \text{ en radians}) \]

Correction : Calcul des éléments d’implantation

Question 1 : Calcul de l'angle \(\alpha\) et de la tangente \(TS\)

Principe

Le concept physique est de déterminer l'angle formé par les deux directions de la route et de calculer la distance nécessaire depuis leur intersection pour démarrer la courbe en douceur, tangentiellement.

Mini-Cours

En géométrie, la tangente à un cercle en un point est perpendiculaire au rayon aboutissant à ce point. Le triangle formé par le centre du cercle (O), le sommet (S) et un point de tangence (T1) est un triangle rectangle en T1. La bissectrice de l'angle au sommet \(\alpha\) passe par le centre du cercle, créant deux triangles rectangles identiques. C'est de cette propriété que découle la formule de la tangente.

Remarque Pédagogique

La première étape de tout problème de raccordement est toujours de trouver les deux éléments clés : l'angle au sommet et la longueur de la tangente. Ces deux valeurs conditionnent tous les calculs qui vont suivre. Assurez-vous de bien les maîtriser.

Normes

Les calculs de tracé en plan sont régis en France par des guides techniques comme l'ICTAAL (Instruction sur les Conditions Techniques d'Aménagement des Autoroutes de Liaison), qui définit les rayons minimaux et les règles de conception géométrique des routes pour assurer la sécurité.

Formule(s)

Formule de l'angle au sommet

\alpha = |G_{\text{sortant}} - G_{\text{entrant}}|

Formule de la longueur de la tangente

TS = R \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)

Hypothèses

Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes : le terrain est un plan horizontal (calcul en 2D), les alignements sont des droites parfaites, et le point S est l'intersection exacte de ces droites.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Gisement Entrant	\(G_{\text{entrant}}\)	75.0000	gon
Gisement Sortant	\(G_{\text{sortant}}\)	125.0000	gon
Rayon	R	200.00	m

Astuces

La fonction tangente est disponible sur toutes les calculatrices scientifiques. Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "Grades" (ou "Grad") pour ce calcul, et non en "Degrés" ou "Radians" !

Schéma (Avant les calculs)

Intersection des alignements et angle au sommet

Calcul(s)

Calcul de l'angle \(\alpha\)

\begin{aligned} \alpha &= |125.0000 \text{ gon} - 75.0000 \text{ gon}| \\ & = 50.0000 \text{ gon} \end{aligned}

Calcul de la tangente \(TS\)

\begin{aligned} TS &= 200.00 \cdot \tan\left(\frac{50.0000}{2}\right) \\ & = 200.00 \cdot \tan(25.0000 \text{ gon}) \\ & \approx 200.00 \cdot 0.40266 \\ & \Rightarrow TS \approx 80.53 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Tangente et points de tangence

Réflexions

Une longueur de tangente de 80.53m signifie que la courbe commencera 80.53m avant le sommet S, et se terminera 80.53m après sur l'alignement suivant. C'est une distance significative à prendre en compte pour planifier les travaux de terrassement et le positionnement des équipements de chantier.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier de configurer sa calculatrice en mode GRADES (gon) avant d'utiliser la fonction tangente. Une valeur en degrés ou en radians donnerait un résultat complètement faux.

Points à retenir

L'angle au sommet \(\alpha\) est la différence de direction entre les deux droites.
La longueur \(TS\) dépend directement du rayon \(R\) et de l'angle \(\alpha\). Plus ils sont grands, plus la tangente est longue.

Le saviez-vous ?

Le grade (ou gon) a été introduit en France après la Révolution française pour décimaliser les angles (un angle droit = 100 gon), dans le même esprit que le système métrique. Cependant, le degré sexagésimal (360°) reste le plus utilisé dans le monde.

FAQ

Résultat Final

L'angle au sommet est \(\alpha = 50.0000 \text{ gon}\) et la longueur de la tangente est \(TS = 80.53 \text{ m}\).

A vous de jouer

Si le gisement sortant était de 145.0000 gon (la courbe tourne plus), quelle serait la nouvelle valeur de la tangente TS ? (Rayon R = 200 m).

Question 2 : Calcul du développement \(L\) de l'arc

Principe

Le développement est la longueur réelle de la courbe, c'est-à-dire la distance que parcourra un véhicule le long de l'axe de la route entre le début (T1) et la fin (T2) du virage.

Mini-Cours

La longueur d'un arc de cercle est proportionnelle à l'angle au centre qui le sous-tend et au rayon du cercle. La formule \(L = R \cdot \alpha_{\text{rad}}\) découle directement de la définition du radian : un radian est l'angle qui intercepte un arc de longueur égale au rayon. Ainsi, pour un angle de \(\alpha_{\text{rad}}\) radians, la longueur de l'arc est \(\alpha_{\text{rad}}\) fois le rayon.

Remarque Pédagogique

Ne confondez pas la longueur de la tangente \(TS\) avec le développement \(L\). \(TS\) est une distance en ligne droite, alors que \(L\) est une distance en courbe. Dans un raccordement circulaire, on a toujours \(L > 2 \cdot TS \cdot \cos(\alpha/2)\), la distance en courbe est toujours plus longue que la corde qui la sous-tend.

Normes

La longueur de l'axe est une donnée essentielle pour le métré des chaussées et des équipements (glissières, marquage au sol) ainsi que pour le calcul des profils en long.

Formule(s)

Formule du développement de l'arc

L = R \cdot \alpha_{\text{rad}}

Hypothèses

On suppose que l'axe de la route est parfaitement confondu avec l'arc de cercle mathématique, sans tenir compte de l'épaisseur de la chaussée ou du marquage.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Rayon	R	200.00	m
Angle au sommet	\(\alpha\)	50.0000	gon

Astuces

Pour convertir rapidement des grades en radians, divisez l'angle par 200 et multipliez par \(\pi\). Pour cet exercice : \(50 / 200 \times \pi = 0.25 \times \pi = \pi/4\).

Schéma (Avant les calculs)

Relation entre le développement, le rayon et l'angle au centre

Calcul(s)

Conversion de l'angle \(\alpha\) en radians

\begin{aligned} \alpha_{\text{rad}} &= 50.0000 \text{ gon} \cdot \frac{\pi}{200} \\ & = \frac{\pi}{4} \text{ rad} \end{aligned}

Calcul du développement \(L\)

\begin{aligned} L &= R \cdot \alpha_{\text{rad}} \\ & = 200.00 \cdot \frac{\pi}{4} \\ & = 50\pi \\ & \Rightarrow L \approx 157.08 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Développement de l'arc calculé

Réflexions

Une longueur de 157.08m correspond à la distance exacte à parcourir sur la courbe. Cette valeur est fondamentale pour le "chaînage" de l'axe, c'est-à-dire le repérage des points kilométriques (PK) le long du tracé.

Points de vigilance

La formule du développement de l'arc \(L = R \cdot \alpha\) n'est valide que si l'angle \(\alpha\) est exprimé en radians. Oublier cette conversion est une erreur très fréquente qui mène à des résultats absurdes !

Points à retenir

Le développement est la longueur de l'arc, pas une ligne droite.
La formule \(L=R\alpha\) nécessite que \(\alpha\) soit en radians. La conversion est \(\alpha_{\text{rad}} = \alpha_{\text{gon}} \cdot \pi / 200\).

Le saviez-vous ?

Le nombre \(\pi\), au cœur de ce calcul, fascine les mathématiciens depuis l'Antiquité. Il est irrationnel (ses décimales ne se répètent jamais) et transcendant (il n'est la solution d'aucune équation polynomiale à coefficients entiers).

FAQ

Résultat Final

Le développement de l'arc de cercle est de \(L = 157.08 \text{ m}\).

A vous de jouer

Avec un rayon de 250m (et toujours \(\alpha = 50\) gon), quel serait le nouveau développement de l'arc ?

Question 3 : Calcul des coordonnées de T1 et T2

Principe

Le but est de déterminer la position exacte (X, Y) du début et de la fin de la courbe dans le système de coordonnées du projet. On se "déplace" mathématiquement le long des alignements droits depuis le sommet S, dont on connaît les coordonnées.

Mini-Cours

Le calcul de coordonnées par "rayonnement" est un pilier de la topographie. Il repose sur la trigonométrie dans le cercle trigonométrique. A partir d'un point A connu \((X_A, Y_A)\), on trouve un point P avec la distance \(D_{AP}\) et le gisement \(G_{AP}\) (angle depuis le Nord) via les projections sur les axes : \(\Delta X = D \cdot \sin(G)\) et \(\Delta Y = D \cdot \cos(G)\).

Remarque Pédagogique

Soyez très méthodique. Pour chaque point, identifiez bien le point de départ, la distance à parcourir et la direction (gisement). Une erreur sur le gisement de départ (par ex. oublier d'ajouter 200 gon pour "repartir en arrière") faussera tout le reste.

Normes

Les coordonnées calculées doivent être dans le système de référence national (en France, le RGF93 et une projection associée comme Lambert-93) pour être cohérentes avec les autres données du projet, le cadastre, et les levés GPS.

Formule(s)

Formule de calcul de la coordonnée X

X_P = X_A + D_{AP} \cdot \sin(G_{AP})

Formule de calcul de la coordonnée Y

Y_P = Y_A + D_{AP} \cdot \cos(G_{AP})

Hypothèses

Les coordonnées du sommet S sont considérées comme exactes et sans erreur de mesure. La longueur de la tangente TS calculée précédemment est également considérée comme exacte.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole/Valeur
Coordonnées de S	X=845.25, Y=2650.80
Tangente	TS = 80.53 m
Gisement entrant	\(G_{\text{AS}}\) = 75.0000 gon
Gisement sortant	\(G_{\text{ST2}}\) = 125.0000 gon

Astuces

Pour calculer le gisement "arrière" (de S vers T1), au lieu d'ajouter 200 gon, vous pouvez aussi soustraire 200 gon. Le résultat sera le même à 400 gon près, ce qui est trigonométriquement identique (\(G\) et \(G-400\) ont le même sinus et cosinus).

Schéma (Avant les calculs)

On part du point S connu pour trouver T1 (en "arrière") et T2 (en "avant").

Rayonnement des points de tangence depuis S

Calcul(s)

Gisement de S vers T1

\begin{aligned} G_{\text{ST1}} &= G_{\text{AS}} + 200 \text{ gon} \\ & = 75.0000 + 200.0000 \\ & = 275.0000 \text{ gon} \end{aligned}

Coordonnée X de T1

\begin{aligned} X_{\text{T1}} &= X_S + D_{\text{ST1}} \cdot \sin(G_{\text{ST1}}) \\ & = 845.25 + 80.53 \cdot \sin(275.0000 \text{ gon}) \\ & = 845.25 + 80.53 \cdot (-0.85264) \\ & \Rightarrow X_{\text{T1}} \approx 776.62 \text{ m} \end{aligned}

Coordonnée Y de T1

\begin{aligned} Y_{\text{T1}} &= Y_S + D_{\text{ST1}} \cdot \cos(G_{\text{ST1}}) \\ & = 2650.80 + 80.53 \cdot \cos(275.0000 \text{ gon}) \\ & = 2650.80 + 80.53 \cdot (-0.52250) \\ & \Rightarrow Y_{\text{T1}} \approx 2608.75 \text{ m} \end{aligned}

Gisement de S vers T2

G_{\text{ST2}} = 125.0000 \text{ gon}

Coordonnée X de T2

\begin{aligned} X_{\text{T2}} &= X_S + D_{\text{ST2}} \cdot \sin(G_{\text{ST2}}) \\ & = 845.25 + 80.53 \cdot \sin(125.0000 \text{ gon}) \\ & = 845.25 + 80.53 \cdot (0.85264) \\ & \Rightarrow X_{\text{T2}} \approx 913.88 \text{ m} \end{aligned}

Coordonnée Y de T2

\begin{aligned} Y_{\text{T2}} &= Y_S + D_{\text{ST2}} \cdot \cos(G_{\text{ST2}}) \\ & = 2650.80 + 80.53 \cdot \cos(125.0000 \text{ gon}) \\ & = 2650.80 + 80.53 \cdot (-0.52250) \\ & \Rightarrow Y_{\text{T2}} \approx 2608.75 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Position des points T1 et T2 dans le repère

Réflexions

On remarque que les points T1 et T2 ont la même ordonnée Y (à l'arrondi de calcul près). C'est une particularité de cet exercice, due à la symétrie de la géométrie (\(G_{\text{ST1}} = 400 - G_{\text{ST2}}\)). Cela signifie que la corde T1-T2 est parfaitement horizontale sur le plan. Ce n'est généralement pas le cas.

Points de vigilance

Attention aux signes des sinus et cosinus en fonction du quadrant ! Un gisement de 275 gon est dans le 3ème quadrant (Sud-Ouest), où le sinus et le cosinus sont tous les deux négatifs.

Points à retenir

Pour trouver T1 (point "arrière"), on utilise le gisement de l'alignement entrant + 200 gon.
Pour trouver T2 (point "avant"), on utilise directement le gisement de l'alignement sortant.

Le saviez-vous ?

Les premiers systèmes de coordonnées géographiques (latitude/longitude) ont été développés par les Grecs anciens, notamment par Hipparque au IIe siècle av. J.-C. Les systèmes de projection modernes comme le Lambert Conique Conforme utilisé en France sont bien plus récents et visent à minimiser les déformations lors de la représentation de la Terre sphérique sur un plan.

FAQ

Résultat Final

Les coordonnées des points de tangence sont :
T1 (X=776.62 m, Y=2608.75 m)
T2 (X=913.88 m, Y=2608.75 m)

A vous de jouer

Si le point S avait les coordonnées (X=1000.00, Y=3000.00), quelles seraient les nouvelles coordonnées X et Y du point T2 ?

Question 4 : Éléments d'implantation des points sur l'arc

Principe

L'objectif final est de fournir au géomètre sur le terrain une liste d'angles et de distances qu'il pourra utiliser avec son appareil (le tachéomètre) pour planter les piquets matérialisant l'axe de la route. On calcule d'abord la position de chaque piquet, puis on en déduit les instructions d'implantation depuis la station.

Mini-Cours

Pour trouver les coordonnées d'un point sur le cercle, on rayonne depuis le centre O. Le gisement de O vers un point Pi de l'arc est égal au gisement du rayon de départ (\(G_{\text{OT1}}\)) auquel on ajoute l'angle au centre \(\delta_i\) correspondant à la longueur d'arc parcourue. Cet angle \(\delta_i\) se calcule par une simple règle de trois : si un arc de longueur \(L\) correspond à un angle \(\alpha\), un arc de longueur \(d_i\) correspond à un angle \(\delta_i = \alpha \cdot (d_i/L)\).

Remarque Pédagogique

Cette étape est la synthèse de tout l'exercice. Elle combine le calcul des coordonnées du centre, le calcul des points sur l'arc, et enfin le calcul d'un gisement et d'une distance entre deux points connus. C'est la routine quotidienne d'un projeteur ou d'un topographe de chantier.

Normes

La précision de l'implantation des points est définie par le Cahier des Clauses Techniques Particulières (CCTP) du projet. Pour un axe routier, la tolérance planimétrique est souvent de l'ordre de 2 à 3 centimètres.

Formule(s)

Angle au centre pour un point sur l'arc

\delta_i (\text{gon}) = \frac{d_i}{R} \cdot \frac{200}{\pi} \quad \text{avec } d_i \text{ la distance sur l'arc}

Gisement du centre vers un point sur l'arc

G_{\text{OPi}} = G_{\text{OT1}} + \delta_i

Puis calcul des coordonnées de Pi depuis O, et enfin calcul du gisement et de la distance entre ST1 et Pi.

Hypothèses

La station ST1 est considérée comme parfaitement stable et ses coordonnées sont exactes. On néglige les erreurs instrumentales du tachéomètre et les erreurs de manipulation.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
Coordonnées de O	X=839.11, Y=2418.54
Coordonnées de ST1	X=750.00, Y=2500.00
Gisement du rayon de départ	\(G_{\text{OT1}}\) = 375.0000 gon
Pas d'implantation	25.00 m

Astuces

Pour gagner du temps, on peut calculer une fois pour toutes le gisement \(G_{\text{ST1} \to O}\) et la distance \(D_{\text{ST1} \to O}\). Ensuite, dans le triangle (ST1, O, Pi), on connaît deux côtés (\(D_{\text{ST1O}}\) et \(R\)) et l'angle en O (\(G_{\text{OPi}} - G_{\text{OST1}}\)), ce qui permet de trouver le troisième côté et les autres angles avec Al-Kashi.

Schéma (Avant les calculs)

Calcul du centre O et d'un point P sur l'arc

Calcul(s)

Calcul des coordonnées du centre O (rappel)

\begin{aligned} G_{\text{T1O}} &= 175.0000 \text{ gon} \\ X_O &= 839.11 \text{ m} \\ Y_O &= 2418.54 \text{ m} \end{aligned}

Calcul du gisement de départ du rayon OT1

\begin{aligned} G_{\text{OT1}} &= G_{\text{T1O}} + 200 \text{ gon} \\ & = 175.0000 + 200.0000 \\ & = 375.0000 \text{ gon} \end{aligned}

Détail du calcul pour le point P1 (distance sur l'arc d₁ = 25.00 m)

1. Angle au centre \(\delta_1\)

\begin{aligned} \delta_1 &= \frac{d_1}{R} \cdot \frac{200}{\pi} \\ &= \frac{25.00}{200.00} \cdot \frac{200}{\pi} \\ &\Rightarrow \delta_1 \approx 7.9577 \text{ gon} \end{aligned}

2. Gisement du rayon OP1

\begin{aligned} G_{\text{OP1}} &= G_{\text{OT1}} + \delta_1 \\ &= 375.0000 + 7.9577 \\ &= 382.9577 \text{ gon} \end{aligned}

3. Coordonnées de P1

\begin{aligned} X_{\text{P1}} &= X_O + R \cdot \sin(G_{\text{OP1}}) \\ &= 839.11 + 200 \cdot \sin(382.9577 \text{ gon}) \\ &\Rightarrow X_{\text{P1}} = 786.01 \text{ m} \\ Y_{\text{P1}} &= Y_O + R \cdot \cos(G_{\text{OP1}}) \\ &= 2418.54 + 200 \cdot \cos(382.9577 \text{ gon}) \\ &\Rightarrow Y_{\text{P1}} = 2611.36 \text{ m} \end{aligned}

4. Éléments d'implantation de P1 depuis ST1

\begin{aligned} \Delta X &= X_{\text{P1}} - X_{\text{ST1}} = 786.01 - 750.00 = 36.01 \text{ m} \\ \Delta Y &= Y_{\text{P1}} - Y_{\text{ST1}} = 2611.36 - 2500.00 = 111.36 \text{ m} \\ G_{\text{ST1} \to \text{P1}} &= \arctan\left(\frac{\Delta X}{\Delta Y}\right) \cdot \frac{200}{\pi} \\ &\Rightarrow G_{\text{ST1} \to \text{P1}} = 19.9038 \text{ gon} \\ D_{\text{ST1} \to \text{P1}} &= \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2} \\ &\Rightarrow D_{\text{ST1} \to \text{P1}} = 117.04 \text{ m} \end{aligned}

Le même processus est répété pour chaque point suivant. Voici le détail pour le point P2, puis les résultats sont compilés dans le tableau final.

Détail du calcul pour le point P2 (distance sur l'arc d₂ = 50.00 m)

1. Angle au centre \(\delta_2\)

\begin{aligned} \delta_2 &= \frac{50.00}{200.00} \cdot \frac{200}{\pi} \Rightarrow \delta_2 \approx 15.9155 \text{ gon} \end{aligned}

2. Gisement du rayon OP2

\begin{aligned} G_{\text{OP2}} = 375.0000 + 15.9155 = 390.9155 \text{ gon} \end{aligned}

3. Coordonnées de P2

\begin{aligned} X_{\text{P2}} &= 839.11 + 200 \cdot \sin(390.9155 \text{ gon}) \Rightarrow X_{\text{P2}} = 811.33 \text{ m} \\ Y_{\text{P2}} &= 2418.54 + 200 \cdot \cos(390.9155 \text{ gon}) \Rightarrow Y_{\text{P2}} = 2616.51 \text{ m} \end{aligned}

4. Éléments d'implantation de P2 depuis ST1

\begin{aligned} \Delta X &= 61.33 \text{ m}, \Delta Y = 116.51 \text{ m} \\ G_{\text{ST1} \to \text{P2}} &\Rightarrow 32.5599 \text{ gon} \\ D_{\text{ST1} \to \text{P2}} &\Rightarrow 131.65 \text{ m} \end{aligned}

Tableau récapitulatif d'implantation

On applique cette méthode pour tous les points jusqu'à la fin de l'arc (\(L=157.08\) m).

Point	Dist. Arc (m)	\(\delta_i\) (gon)	\(G_{\text{OPi}}\) (gon)	X (m)	Y (m)	\(G_{\text{ST1} \to \text{Pi}}\) (gon)	\(D_{\text{ST1} \to \text{Pi}}\) (m)

Schéma (Après les calculs)

Schéma d'implantation depuis la station ST1

Réflexions

Le tableau final est le document de travail du géomètre sur le terrain. Il entre les deux dernières colonnes (gisement et distance) dans son tachéomètre qui le guidera ensuite pour positionner les piquets. On remarque que les gisements et distances évoluent de manière logique et continue, ce qui permet de détecter une éventuelle erreur de calcul grossière.

Points de vigilance

Une erreur dans le calcul des coordonnées du centre O se répercutera sur TOUS les points de l'arc. Il est crucial de vérifier ce calcul, par exemple en le refaisant depuis T2 (\(G_{\text{T2O}} = G_{\text{SB}} - 100 \text{ gon}\)).

Points à retenir

La méthode d'implantation la plus rigoureuse consiste à calculer les coordonnées de tous les points à implanter.
Le document final d'implantation contient toujours des couples "direction, distance" (ou "angle, distance") depuis une station connue.

Le saviez-vous ?

Les tachéomètres modernes sont "robotisés" et équipés de systèmes de guidage par laser et GPS. Un seul opérateur peut effectuer l'implantation : l'appareil à la station se tourne automatiquement vers le prisme tenu par le géomètre, qui voit directement sur son carnet électronique si il doit avancer, reculer, aller à droite ou à gauche.

FAQ

Résultat Final

Les éléments d'implantation pour chaque point de l'arc sont calculés et présentés dans le tableau récapitulatif.

A vous de jouer

Quels seraient le gisement et la distance pour implanter directement le point T1 depuis la station ST1 ?

Outil Interactif : Simulateur de Raccordement

Utilisez les curseurs pour modifier le rayon de la courbe et l'angle au sommet. Observez en temps réel comment ces paramètres influencent la longueur de la tangente et le développement de la courbe.

Paramètres d'Entrée

Rayon (R) 200 m

Angle au sommet (\(\alpha\)) 50 gon

Résultats Clés

Tangente (TS) -

Développement (L) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si l'on double le rayon d'un raccordement circulaire (l'angle α restant constant), que devient la longueur de la tangente TS ?

Elle est divisée par deux.
Elle double.
Elle reste identique.

2. Quelle est l'unité d'angle à utiliser obligatoirement dans la formule du développement \(L = R \cdot \alpha\) ?

Le radian
Le grade (gon)
Le degré sexagésimal

3. Le gisement du rayon OT1 (Centre vers Point de Tangence) est :

Le même que le gisement de la tangente entrante.
Décalé de 200 gon par rapport à la tangente entrante.
Perpendiculaire au gisement de la tangente entrante.

Gisement: Angle horizontal mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre (sens horaire) à partir de la direction de référence (généralement le Nord Lambert), variant de 0 à 400 grades (gon).
Implantation par rayonnement: Méthode topographique consistant à matérialiser un point sur le terrain en utilisant un angle (gisement) et une distance depuis un point connu (la station).
Raccordement Circulaire: Courbe à rayon constant utilisée pour relier deux alignements droits sécants dans le tracé d'une route, d'une voie ferrée ou d'un canal.
Point de Tangence: Point où un alignement droit se termine et où la courbe commence (T1), ou point où la courbe se termine et où l'alignement droit suivant commence (T2).
Développement: Longueur de l'arc de la courbe, mesurée le long de l'axe du projet.