Calcul des Coordonnées Partielles (ΔX, ΔY)
Contexte : Le calcul planimétrique en topographie.
En topographie, l'un des calculs les plus fondamentaux est la détermination des coordonnées d'un nouveau point à partir d'un point connu. Pour ce faire, un géomètre mesure un angle, appelé gisementAngle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord. Il définit l'orientation d'une ligne., et une distance horizontaleDistance entre deux points projetée sur un plan horizontal.. Ces deux mesures permettent de calculer les coordonnées partiellesLes variations en abscisse (ΔX) et en ordonnée (ΔY) entre deux points. Elles représentent les composantes d'un vecteur dans un système de coordonnées., notées ΔX (delta X) et ΔY (delta Y). Cet exercice vous guidera à travers ce calcul essentiel.
Remarque Pédagogique : Cet exercice a pour but de maîtriser l'application des formules trigonométriques de base (sinus, cosinus) dans un contexte professionnel concret, celui du géomètre-topographe.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la relation entre un gisement, une distance et les coordonnées partielles.
- Savoir appliquer correctement les formules trigonométriques pour calculer ΔX et ΔY.
- Se familiariser avec les conventions d'axes et de signes utilisées en topographie.
Données de l'étude
Fiche Technique du Levé
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Point de station | A |
| Point visé | B |
| Type de calcul | Planimétrique |
Schéma de la situation
| Nom du Paramètre | Description ou Formule | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Gisement AB | \( G_{\text{AB}} \) | 135.00 | gon (grade) |
| Distance horizontale AB | \( L_{\text{AB}} \) | 250.00 | m |
Questions à traiter
- Calculer la coordonnée partielle Est (ΔX) entre A et B.
- Calculer la coordonnée partielle Nord (ΔY) entre A et B.
- Sachant que les coordonnées du point A sont \( X_A = 1000.00 \text{ m} \) et \( Y_A = 5000.00 \text{ m} \), calculer les coordonnées du point B (\(X_B, Y_B\)).
- Calculer le gisement inverse, de B vers A (\(G_{\text{BA}}\)).
Les bases du calcul planimétrique
Le calcul des coordonnées partielles repose sur la décomposition d'un vecteur (défini par sa longueur L et son orientation G) en deux composantes rectangulaires (ΔX et ΔY).
1. Calcul de la Coordonnée Partielle Est (ΔX)
La variation sur l'axe des abscisses (Est) est obtenue en projetant la distance sur cet axe à l'aide de la fonction sinus du gisement.
\[ \Delta X = L \times \sin(G) \]
2. Calcul de la Coordonnée Partielle Nord (ΔY)
La variation sur l'axe des ordonnées (Nord) est obtenue en projetant la distance sur cet axe à l'aide de la fonction cosinus du gisement.
\[ \Delta Y = L \times \cos(G) \]
Correction : Calcul des Coordonnées Partielles (ΔX, ΔY)
Question 1 : Calculer la coordonnée partielle Est (ΔX) entre A et B.
Principe
Le concept physique ici est la projection d'un vecteur. Le segment AB, de longueur L et d'orientation G, est un vecteur. On cherche sa composante sur l'axe des abscisses (Est-Ouest), qui est ΔX.
Mini-Cours
En trigonométrie, dans un triangle rectangle formé par le vecteur et les axes, le côté opposé à l'angle (ici, le gisement G) est calculé avec le sinus. L'axe des X (Est) est par convention "opposé" à l'origine de la mesure du gisement (Nord), d'où l'utilisation de sin(G).
Remarque Pédagogique
Avant tout calcul, visualisez ! Un gisement de 135 gon est entre 100 gon (Est) et 200 gon (Sud). Le point B sera donc dans le quadrant Sud-Est par rapport à A. Par conséquent, son ΔX doit être positif.
Normes
Il n'y a pas de "norme" au sens réglementaire pour ce calcul, mais une convention universelle en topographie : le gisement est compté positivement dans le sens horaire depuis le Nord (Axe Y positif).
Formule(s)
Formule de la coordonnée partielle Est
Hypothèses
- Le calcul est effectué dans un plan euclidien (la courbure de la Terre est négligée).
- Les mesures (distance et gisement) sont supposées exactes, sans erreur.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Gisement de A vers B | \(G_{\text{AB}}\) | 135.00 | gon |
| Distance horizontale | \(L_{\text{AB}}\) | 250.00 | m |
Astuces
Vérifiez toujours le mode de votre calculatrice ! Pour la topographie, elle doit être en mode 'GRAD' ou 'GON'. Une erreur de mode est la cause N°1 des échecs à cet exercice.
Schéma (Avant les calculs)
Projection sur l'axe X
Calcul(s)
Calcul de la coordonnée partielle Est
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du résultat ΔX
Réflexions
Le résultat est positif (+237.76 m), ce qui confirme notre intuition : le point B est bien à l'Est du point A. La valeur est inférieure à la distance totale (250 m), ce qui est logique car il s'agit d'une projection.
Points de vigilance
Ne jamais oublier le signe ! Un signe erroné place le point dans le mauvais quadrant, ce qui est une erreur majeure en topographie.
Points à retenir
Pour trouver le déplacement Est-Ouest (ΔX), on multiplie la distance par le SINUS du gisement.
Le saviez-vous ?
L'unité "gon" ou "grade" a été introduite en France après la Révolution, dans une tentative de décimaliser toutes les unités. Un angle droit mesure 100 gon, et un cercle complet 400 gon, ce qui simplifie certains calculs mentaux.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Avec L = 150.00 m et G = 225.00 gon, que vaut ΔX ?
Question 2 : Calculer la coordonnée partielle Nord (ΔY) entre A et B.
Principe
Similaire à la question 1, le concept physique est la projection du vecteur AB. Cette fois, on cherche sa composante sur l'axe des ordonnées (Nord-Sud), qui est ΔY.
Mini-Cours
En trigonométrie, le côté adjacent à l'angle est calculé avec le cosinus. L'axe des Y (Nord) est l'axe de référence du gisement (angle 0). Il est donc "adjacent" à l'angle, ce qui justifie l'utilisation de cos(G).
Remarque Pédagogique
Reprenons notre analyse : le gisement de 135 gon est dans le quadrant Sud-Est. Le déplacement se fait donc vers le Sud. Par conséquent, son ΔY doit être négatif.
Normes
La convention topographique veut que l'axe Y soit orienté vers le Nord géographique, le rendant positif. Un déplacement vers le Sud se traduit donc par une valeur de ΔY négative.
Formule(s)
Formule de la coordonnée partielle Nord
Hypothèses
- Les mêmes hypothèses que pour la question 1 s'appliquent (calcul plan, mesures parfaites).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Gisement de A vers B | \(G_{\text{AB}}\) | 135.00 | gon |
| Distance horizontale | \(L_{\text{AB}}\) | 250.00 | m |
Astuces
Pour se souvenir des formules : "X" a une forme "croisée" comme la lettre "S" de Sinus. "Y" n'a pas cette forme, on utilise donc le cosinus. C'est un moyen mnémotechnique simple.
Schéma (Avant les calculs)
Projection sur l'axe Y
Calcul(s)
Calcul de la coordonnée partielle Nord
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du résultat ΔY
Réflexions
Le résultat ΔY est négatif, ce qui est cohérent avec un déplacement vers le Sud. Les signes de ΔX et ΔY confirment bien que le point B se trouve dans le quadrant Sud-Est par rapport à A.
Points de vigilance
Faites attention aux arrondis. Il est conseillé de garder toutes les décimales de la calculatrice pour les calculs intermédiaires et de n'arrondir qu'à la toute fin pour garantir la précision requise en topographie (généralement 2 ou 3 décimales).
Points à retenir
Pour trouver le déplacement Nord-Sud (ΔY), on multiplie la distance par le COSINUS du gisement.
Le saviez-vous ?
Les systèmes de coordonnées topographiques ne sont pas toujours orientés vers le Nord géographique. Ils peuvent être orientés vers un "Nord Lambert" (projection cartographique) ou même un nord local arbitraire pour un chantier spécifique.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Avec L = 150.00 m et G = 225.00 gon, que vaut ΔY ?
Question 3 : Calcul des coordonnées du point B (\(X_B, Y_B\))
Principe
Le principe est l'addition vectorielle. Les coordonnées d'un point peuvent être vues comme un vecteur position depuis l'origine du repère. Pour trouver le vecteur position de B, on ajoute le vecteur déplacement AB au vecteur position de A.
Mini-Cours
C'est le fondement du calcul par "cheminement" en topographie. En connaissant un point de départ et une série de vecteurs (mesures de gisements et distances), on peut calculer les coordonnées de tous les points d'un parcours en propageant le calcul de proche en proche.
Remarque Pédagogique
C'est l'étape finale qui donne un sens concret aux coordonnées partielles. Elles ne sont pas une fin en soi, mais un outil pour déterminer la position absolue d'un point sur un plan (comme une carte).
Normes
Les coordonnées finales (\(X_B, Y_B\)) sont exprimées dans un système de projection cartographique de référence (par exemple, en France, le système RGF93 et la projection conique conforme de Lambert-93).
Formule(s)
Formule de la coordonnée Est finale
Formule de la coordonnée Nord finale
Hypothèses
On suppose que les coordonnées du point A sont connues et exactes dans le système de référence utilisé.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Coordonnée X de A | \(X_{\text{A}}\) | 1000.00 | m |
| Coordonnée Y de A | \(Y_{\text{A}}\) | 5000.00 | m |
| Coordonnée partielle Est | \(\Delta X_{\text{AB}}\) | +237.76 | m |
| Coordonnée partielle Nord | \(\Delta Y_{\text{AB}}\) | -77.25 | m |
Astuces
Il n'y a pas d'astuce particulière ici, si ce n'est d'être rigoureux avec les signes lors de l'addition.
Schéma (Avant les calculs)
Détermination des coordonnées de B
Calcul(s)
Calcul de la coordonnée \(X_B\)
Calcul de la coordonnée \(Y_B\)
Schéma (Après les calculs)
Position finale du point B
Réflexions
La coordonnée X de B est plus grande que celle de A, et sa coordonnée Y est plus petite. Cela confirme une fois de plus la position de B au Sud-Est de A. Les coordonnées absolues permettent de positionner B sans ambiguïté sur une carte.
Points de vigilance
Attention à ne pas inverser ΔX et ΔY ou à les additionner aux mauvaises coordonnées de départ. \(X_{\text{B}} = X_{\text{A}} + \Delta X_{\text{AB}}\) et non \(X_{\text{A}} + \Delta Y_{\text{AB}}\).
Points à retenir
Coordonnée d'arrivée = Coordonnée de départ + Coordonnée partielle.
Le saviez-vous ?
Les coordonnées de plusieurs millions de points de référence (bornes géodésiques) sont connues avec une très grande précision sur le territoire français. Elles servent de base à tous les travaux topographiques.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(X_A = 200 \text{ m}\), \(Y_A = 300 \text{ m}\), \(\Delta X = -50 \text{ m}\) et \(\Delta Y = +75 \text{ m}\), quelles sont les coordonnées de B ?
Question 4 : Calcul du gisement inverse (\(G_{\text{BA}}\))
Principe
Le gisement inverse est le gisement de la ligne orientée dans le sens opposé. La direction de A vers B est diamétralement opposée à la direction de B vers A. Cet écart correspond à un demi-cercle.
Mini-Cours
Un cercle complet mesurant 400 gon, un demi-cercle mesure 200 gon. La relation entre le gisement direct (\(G_{\text{AB}}\)) et le gisement inverse (\(G_{\text{BA}}\)) est donc une simple addition ou soustraction de 200 gon. Le but est de s'assurer que le gisement final reste dans l'intervalle [0, 400[ gon.
Remarque Pédagogique
C'est une opération essentielle pour fermer un cheminement ou pour faire des vérifications. Si un géomètre mesure le gisement AB puis le gisement BA, il doit trouver une différence de 200 gon, sous peine d'erreur de mesure.
Normes
Cette règle de calcul est une propriété mathématique fondamentale des angles et ne dépend pas d'une norme spécifique, mais elle est appliquée dans tous les manuels de topographie.
Formule(s)
Cas 1 : Gisement initial inférieur à 200 gon
Cas 2 : Gisement initial supérieur ou égal à 200 gon
Hypothèses
Aucune hypothèse supplémentaire n'est nécessaire.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Gisement de A vers B | \(G_{\text{AB}}\) | 135.00 | gon |
Astuces
Pensez à un cadran de montre. Si vous avancez de 3 heures (90°), pour revenir au point de départ, vous devez reculer de 3 heures. Pour les angles, "reculer" signifie ajouter ou enlever un demi-tour.
Schéma (Avant les calculs)
Gisement Direct et Inverse
Calcul(s)
Comme \(G_{\text{AB}} = 135.00 \text{ gon}\), ce qui est inférieur à 200 gon, nous appliquons la première formule.
Calcul du gisement inverse
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du Gisement Inverse
Réflexions
Un gisement de 335 gon se situe dans le quadrant Nord-Ouest. C'est logiquement l'opposé du quadrant Sud-Est (où se trouvait le gisement \(G_{\text{AB}}\)). Cela confirme que si A->B va vers le Sud-Est, alors B->A doit aller vers le Nord-Ouest.
Points de vigilance
Assurez-vous d'utiliser la bonne opération (+ ou - 200). Ajouter 200 à un gisement de 300 gon donnerait 500 gon, ce qui est incorrect. Le résultat doit toujours être compris entre 0 et 400 gon.
Points à retenir
Gisement Inverse = Gisement Direct ± 200 gon.
Le saviez-vous ?
La boussole indique le Nord magnétique, qui est différent du Nord géographique. En topographie de précision, on doit appliquer une correction, appelée "déclinaison magnétique", pour passer d'un relèvement boussole à un gisement géographique.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le gisement de C vers D est de 270 gon, quel est le gisement de D vers C ?
Outil Interactif : Simulateur de Calcul
Utilisez les curseurs ci-dessous pour faire varier le gisement et la distance, et observez en temps réel l'impact sur les coordonnées partielles ΔX et ΔY.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Que représente la coordonnée partielle ΔX ?
2. Un gisement de 200 gon correspond à quelle direction cardinale ?
3. Si ΔX est négatif et ΔY est positif, dans quel quadrant se situe le point visé ?
4. Quelle est la formule correcte pour calculer ΔY ?
5. Un cercle complet est divisé en combien de grades (gons) ?
Glossaire
- Gisement
- Angle horizontal mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre, à partir de la direction de référence du Nord (axe Y). Il est souvent exprimé en grades (gons) en topographie.
- Coordonnées Partielles (ΔX, ΔY)
- Désignent la différence de coordonnées en abscisse (ΔX) et en ordonnée (ΔY) entre un point de départ et un point d'arrivée. Elles représentent les composantes d'un vecteur dans un repère planimétrique.
- Planimétrie
- Partie de la topographie qui s'occupe de la représentation sur un plan horizontal des détails du terrain, sans tenir compte des altitudes.
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