Étude Topographique

Calcul des Coordonnées Cartésiennes

Exercice de Topographie : Calcul de Coordonnées

Calcul des Coordonnées Cartésiennes en Topographie

Contexte : Le rayonnement topographique.

Le calcul de coordonnées est l'une des tâches les plus fondamentales en topographie. Il permet de déterminer la position précise de points sur le terrain (bornes, bâtiments, etc.) dans un système de référence planimétrique, comme le Lambert 93 en France. La méthode la plus courante pour déterminer les coordonnées d'un nouveau point à partir d'un point connu est le rayonnement. Elle consiste à mesurer un angle et une distance depuis une stationPoint connu en coordonnées (X, Y, Z) sur lequel un topographe installe son appareil de mesure (le théodolite ou tachéomètre). pour déterminer les coordonnées du point visé.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra la méthode de calcul de base pour passer des mesures de terrain (angles, distances) à des coordonnées cartésiennes (X, Y), une compétence essentielle pour tout technicien géomètre-topographe.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre et calculer un gisementAngle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de l'axe des ordonnées (Nord) vers une direction donnée. Il est généralement exprimé en grades (gon)..
  • Appliquer les formules fondamentales du calcul de coordonnées par rayonnement.
  • Maîtriser le calcul inverse pour déterminer le gisement et la distance entre deux points connus.

Données de l'étude

Un géomètre se trouve sur le point connu 'ST1' (la station) et souhaite déterminer les coordonnées de deux nouveaux points, 'P1' et 'P2'. Pour cela, il utilise une référence connue, le point 'REF', pour orienter son appareil.

Schéma de la situation sur le terrain
Y (Nord) X (Est) ST1 P1 P2 REF
Paramètre Description Valeur Unité
Coordonnées ST1 Coordonnées de la station de mesure X = 650 125.40
Y = 7 250 340.80		 mètres
Gisement ST1 vers REF Gisement de la direction de référence 225.0000 grades (gon)
Angle Horizontal (α) REF → P1 Angle mesuré entre REF et P1 125.0000 grades (gon)
Distance Horizontale (d) ST1 → P1 Distance mesurée entre ST1 et P1 212.13 mètres
Angle Horizontal (α) REF → P2 Angle mesuré entre REF et P2 85.0000 grades (gon)
Distance Horizontale (d) ST1 → P2 Distance mesurée entre ST1 et P2 180.00 mètres

Questions à traiter

  1. Calculer le gisement de la direction ST1 vers P1.
  2. Calculer les coordonnées cartésiennes (X, Y) du point P1.
  3. Calculer les coordonnées cartésiennes (X, Y) du point P2.
  4. Calculer le gisement et la distance entre les points P1 et P2.

Les bases du calcul topographique

Pour résoudre cet exercice, deux types de calculs sont nécessaires : le calcul par rayonnement et le calcul inverse.

1. Le Calcul par Rayonnement (pour trouver un point)
À partir d'un point A connu, on calcule un point P avec un gisement \(G_{\text{AP}}\) et une distance \(d_{\text{AP}}\). \[ X_{\text{P}} = X_{\text{A}} + d_{\text{AP}} \times \sin(G_{\text{AP}}) \] \[ Y_{\text{P}} = Y_{\text{A}} + d_{\text{AP}} \times \cos(G_{\text{AP}}) \]

2. Le Calcul Inverse (entre deux points connus)
À partir de deux points connus A et B, on calcule la distance et le gisement entre eux. \[ \Delta X = X_{\text{B}} - X_{\text{A}} \quad \text{et} \quad \Delta Y = Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}} \] \[ d_{\text{AB}} = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2} \] \[ G_{\text{AB}} = \arctan\left(\frac{\Delta X}{\Delta Y}\right) \quad \text{(avec correction de quadrant)} \]

Correction : Calcul des Coordonnées Cartésiennes

Question 1 : Calculer le gisement de la direction ST1 vers P1.

Principe (le concept physique)

Le principe est de "transporter" l'orientation. On connaît l'orientation de la direction de référence ST1-REF (son gisement). En y ajoutant l'angle que l'appareil a tourné dans le sens horaire pour viser le nouveau point P1, on obtient l'orientation absolue (le gisement) de la nouvelle direction ST1-P1.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le cercle topographique est orienté avec le 0 (ou 400) au Nord (axe Y) et les angles augmentent dans le sens horaire. Le gisement est donc une mesure absolue d'orientation dans le système de coordonnées. L'angle mesuré sur le terrain (\(\alpha\)) est une mesure relative entre deux directions. La formule \(G_{\text{final}} = G_{\text{initial}} + \alpha_{\text{mesuré}}\) est l'opération fondamentale du "transport de gisement".

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Avant tout calcul, faites toujours un schéma rapide à main levée. Placez le Nord, la station, la référence et estimez la position du nouveau point. Cela vous donnera un ordre de grandeur du gisement attendu et vous permettra de détecter immédiatement une erreur de calcul grossière (par exemple, si votre schéma montre un point au Sud-Est et que votre calcul donne un gisement Nord-Ouest).

Normes (la référence réglementaire)

Bien qu'il s'agisse d'un calcul de base, il est le fondement de tous les levés topographiques qui doivent se conformer aux systèmes de coordonnées nationaux, comme le RGF93 (Réseau Géodésique Français 1993) associé aux projections type Lambert 93 ou Coniques Conformes 9 zones.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ G_{\text{ST1} \to \text{P1}} = G_{\text{ST1} \to \text{REF}} + \alpha_{\text{REF} \to \text{P1}} \pmod{400} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Les mesures d'angle et de distance sont considérées comme exemptes d'erreurs instrumentales ou humaines.
  • Le calcul est effectué dans un plan euclidien, ignorant la courbure de la Terre, ce qui est une approximation valide pour des distances courtes.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Gisement de référence\(G_{\text{ST1} \to \text{REF}}\)225.0000gon
Angle horizontal mesuré\(\alpha\)125.0000gon
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour visualiser rapidement un gisement, retenez les quarts de cercle : Nord = 0/400 gon, Est = 100 gon, Sud = 200 gon, Ouest = 300 gon. Un gisement de 225 gon est donc clairement au Sud-Ouest. Ajouter 125 gon nous amènera près de 350 gon, donc au Nord-Ouest.

Schéma (Avant les calculs)
Orientation Initiale et Angle Mesuré
N (0 gon)REF (225 gon)P1 ?α = 125 gon
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} G_{\text{ST1} \to \text{P1}} &= 225.0000 \text{ gon} + 125.0000 \text{ gon} \\ &= 350.0000 \text{ gon} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Gisement Final Calculé
N (0 gon)P1G = 350 gon
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat est 350.0000 gon. Comme cette valeur est comprise entre 0 et 400 gon, il n'y a pas besoin de la corriger. Ce gisement indique une direction orientée vers le Nord-Ouest (le 4ème quadrant du cercle trigonométrique topographique), ce qui est cohérent avec notre schéma mental.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention au sens de rotation ! En topographie, les angles sont mesurés dans le sens horaire ("tourner à droite"). Une inversion du sens de l'angle (lecture d'un angle trigonométrique anti-horaire) est une erreur fréquente qui fausserait complètement le calcul du gisement.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le gisement est l'angle de référence par rapport au Nord.
  • Le calcul d'un nouveau gisement se fait par : \(G_{\text{nouveau}} = G_{\text{référence}} + \alpha_{\text{mesuré}}\).
  • Le résultat doit toujours être ramené dans l'intervalle [0, 400[ gon.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le grade (ou gon) est une invention française issue de la Révolution. Il a été créé en même temps que le système métrique pour décimaliser les angles (100 grades pour un angle droit), simplifiant ainsi les calculs par rapport au système sexagésimal (90 degrés).

FAQ (pour lever les doutes)
Que faire si l'angle \(\alpha\) avait été mesuré "à gauche" (sens anti-horaire) ?

Si l'angle est mesuré dans le sens anti-horaire, il faut le soustraire du gisement de référence au lieu de l'additionner : \(G = G_{\text{REF}} - \alpha\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le gisement de la direction ST1 vers P1 est de 350.0000 gon.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Si l'angle mesuré (\(\alpha\)) vers P1 avait été de 50.0000 gon, quel aurait été le nouveau gisement ?

Question 2 : Calculer les coordonnées cartésiennes (X, Y) du point P1.

Principe (le concept physique)

Le principe est de décomposer le vecteur ST1-P1, dont on connaît la longueur (distance) et l'orientation (gisement), en ses deux composantes rectangulaires selon les axes X (Est) et Y (Nord). Ces composantes, notées ΔX et ΔY, représentent le déplacement à effectuer depuis les coordonnées de ST1 pour atteindre celles de P1.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ce calcul est une application directe de la trigonométrie dans un triangle rectangle. Le vecteur ST1-P1 est l'hypoténuse (distance d). Le gisement (G) est l'angle par rapport à l'axe Y. Le côté adjacent à l'angle G est ΔY, et le côté opposé est ΔX. On a donc naturellement : \(\Delta Y = d \times \cos(G)\) et \(\Delta X = d \times \sin(G)\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Retenez le moyen mnémotechnique "Sinus = X, Cosinus = Y". C'est l'inverse du cercle trigonométrique mathématique classique (où X est en cosinus) car en topographie, l'angle 0 est au Nord (axe Y) et non à l'Est (axe X).

Normes (la référence réglementaire)

Les tolérances de calcul et de précision pour les levés topographiques sont définies par des arrêtés, notamment l'arrêté du 16 septembre 2003 en France, qui fixe les classes de précision pour les points planimétriques et altimétriques.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ X_{\text{P1}} = X_{\text{ST1}} + d \times \sin(G_{\text{ST1} \to \text{P1}}) \]
\[ Y_{\text{P1}} = Y_{\text{ST1}} + d \times \cos(G_{\text{ST1} \to \text{P1}}) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Les coordonnées de la station ST1 sont considérées comme parfaites.
  • La distance mesurée est la distance horizontale projetée dans le plan de calcul.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Coordonnées X de ST1\(X_{\text{ST1}}\)650 125.40m
Coordonnées Y de ST1\(Y_{\text{ST1}}\)7 250 340.80m
Distance ST1-P1\(d\)212.13m
Gisement ST1-P1\(G\)350.0000gon
Astuces (Pour aller plus vite)

Avant de calculer, vérifiez le signe attendu de ΔX et ΔY en fonction du quadrant du gisement. Pour 350 gon (Nord-Ouest), on s'attend à un ΔX négatif (vers l'Ouest) et un ΔY positif (vers le Nord). Si vos calculs donnent des signes différents, l'erreur vient probablement du mode de votre calculatrice.

Schéma (Avant les calculs)
Décomposition du Vecteur ST1-P1
YXST1P1G=350ΔY = ?ΔX = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Calcul de ΔX et ΔY

\[ \begin{aligned} \Delta X &= 212.13 \times \sin(350.0000 \text{ gon}) \\ &= 212.13 \times (-0.707107...) \\ &\approx -150.00 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta Y &= 212.13 \times \cos(350.0000 \text{ gon}) \\ &= 212.13 \times (0.707107...) \\ &\approx +150.00 \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul des coordonnées de P1

\[ \begin{aligned} X_{\text{P1}} &= 650 125.40 + (-150.00) \\ &= 649 975.40 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{P1}} &= 7 250 340.80 + 150.00 \\ &= 7 250 490.80 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Position Finale du Point P1
YXST1 (650125, 7250340)P1 (649975, 7250490)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le déplacement en X (ΔX) est négatif (-150m), et le déplacement en Y (ΔY) est positif (+150m). Cela signifie que pour aller de ST1 à P1, on se déplace de 150m vers l'Ouest et de 150m vers le Nord. Ceci est parfaitement cohérent avec un gisement de 350 gon et une distance de 212.13m (diagonale d'un carré de 150m de côté).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Vérifiez le mode de votre calculatrice ! C'est le point le plus critique. Une calculatrice en mode Degrés ou Radians donnera des résultats de sinus et cosinus incorrects pour des angles en grades. Assurez-vous qu'elle est bien en mode "GRAD" ou "GON".

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Coordonnée X calculée avec le SINUS du gisement.
  • Coordonnée Y calculée avec le COSINUS du gisement.
  • Les ΔX et ΔY sont des déplacements relatifs ; il faut les ajouter aux coordonnées du point de départ.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les coordonnées Lambert 93 utilisées en France sont de grands nombres pour éviter les coordonnées négatives sur tout le territoire métropolitain. Le "7 millions" dans la coordonnée Y indique que nous sommes dans la partie nord de la France.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le sinus est-il pour X et le cosinus pour Y ?

Cela vient de la définition du gisement. L'angle est mesuré depuis l'axe Y (Nord). Dans le cercle trigonométrique topographique, la projection sur l'axe X (Est) correspond donc au côté opposé (sinus) et la projection sur l'axe Y (Nord) au côté adjacent (cosinus).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les coordonnées du point P1 sont :
X = 649 975.40 m
Y = 7 250 490.80 m
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Avec les mêmes données de départ, si la distance vers P1 avait été de 100.00 m, quelle aurait été la coordonnée X de P1 ?

Question 3 : Calculer les coordonnées cartésiennes (X, Y) du point P2.

Principe (le concept physique)

Le principe est identique à celui de la question précédente. On utilise la même station ST1 et la même référence REF. On calcule d'abord le gisement de la direction ST1-P2, puis on utilise ce gisement et la distance ST1-P2 pour calculer les déplacements ΔX et ΔY, et enfin les coordonnées de P2.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La méthode de rayonnement est puissante car elle permet de déterminer les coordonnées de multiples points depuis une seule station. Chaque point est calculé indépendamment des autres, en se basant toujours sur les mêmes éléments de départ : les coordonnées de la station et le gisement de référence.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La répétition est la clé de la maîtrise. Refaire le même processus pour un deuxième point permet de solidifier votre compréhension et d'automatiser les étapes de calcul, réduisant ainsi les risques d'erreur.

Normes (la référence réglementaire)

La méthodologie reste encadrée par les mêmes normes et systèmes de référence nationaux que pour le premier point. La cohérence du levé est assurée par l'utilisation de la même station et de la même référence.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ G_{\text{ST1} \to \text{P2}} = G_{\text{ST1} \to \text{REF}} + \alpha_{\text{REF} \to \text{P2}} \]
\[ X_{\text{P2}} = X_{\text{ST1}} + d_{\text{ST1} \to \text{P2}} \times \sin(G_{\text{ST1} \to \text{P2}}) \]
\[ Y_{\text{P2}} = Y_{\text{ST1}} + d_{\text{ST1} \to \text{P2}} \times \cos(G_{\text{ST1} \to \text{P2}}) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Les hypothèses sont identiques à celles des questions précédentes.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Coordonnées ST1(X,Y)(650125.40, 7250340.80)m
Gisement de référence\(G_{\text{REF}}\)225.0000gon
Angle vers P2\(\alpha_2\)85.0000gon
Distance vers P2\(d_2\)180.00m
Astuces (Pour aller plus vite)

Le gisement de référence est 225 gon (SO). L'angle de 85 gon est un peu moins qu'un angle droit (100 gon). On s'attend donc à un gisement final proche de 225 + 85 = 310 gon, ce qui est dans le quadrant Ouest-Sud. On s'attend donc à un ΔX négatif et un ΔY négatif.

Schéma (Avant les calculs)
Calcul de la position de P2
NREFα = 85 gon
Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Calcul du Gisement ST1 → P2

\[ \begin{aligned} G_{\text{ST1} \to \text{P2}} &= 225.0000 \text{ gon} + 85.0000 \text{ gon} \\ &= 310.0000 \text{ gon} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de ΔX et ΔY pour P2

\[ \begin{aligned} \Delta X_2 &= 180.00 \times \sin(310.0000 \text{ gon}) \\ &= 180.00 \times (-0.95105...) \\ &\approx -171.19 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta Y_2 &= 180.00 \times \cos(310.0000 \text{ gon}) \\ &= 180.00 \times (-0.30901...) \\ &\approx -55.62 \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 3 : Calcul des coordonnées de P2

\[ \begin{aligned} X_{\text{P2}} &= 650125.40 + (-171.19) \\ &= 649954.21 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{P2}} &= 7250340.80 + (-55.62) \\ &= 7250285.18 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Position Finale des Points P1 et P2
YXST1P1P2
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les déplacements ΔX et ΔY sont tous deux négatifs, ce qui place le point P2 au Sud-Ouest de la station ST1. Ceci est parfaitement cohérent avec un gisement de 310 gon (3ème quadrant).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne mélangez pas les données ! Une erreur classique est d'utiliser l'angle de P1 avec la distance de P2 ou vice-versa. Soyez méthodique et annotez clairement vos calculs pour chaque point.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La méthode de calcul est la même pour chaque point rayonné.
  • Chaque calcul de point est indépendant.
  • L'organisation est essentielle pour ne pas confondre les données.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les tachéomètres modernes robotisés peuvent enchaîner des centaines de mesures de ce type automatiquement. Le travail du géomètre est alors de planifier le levé, de contrôler la qualité des données et d'interpréter les résultats, le calcul brut étant réalisé par l'ordinateur de bord.

FAQ (pour lever les doutes)
Pouvait-on calculer P2 à partir de P1 ?

Non, pas directement avec les données fournies. Les deux points P1 et P2 ont été mesurés depuis ST1. Pour calculer P2 depuis P1, il aurait fallu se stationner en P1 et mesurer une nouvelle distance et un nouvel angle vers P2.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les coordonnées du point P2 sont :
X = 649 954.21 m
Y = 7 250 285.18 m
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Si la distance vers P2 avait été de 200.00 m, quelle aurait été sa coordonnée Y ?

Question 4 : Calculer le gisement et la distance entre les points P1 et P2.

Principe (le concept physique)

C'est le problème "inverse" du rayonnement. Au lieu de calculer des coordonnées à partir d'un angle et d'une distance, on calcule un angle (gisement) et une distance à partir de deux paires de coordonnées connues. On crée un triangle rectangle dont les côtés sont les différences de coordonnées (ΔX et ΔY).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La distance est calculée avec le théorème de Pythagore : \(d = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2}\). Le gisement est calculé avec la fonction arc tangente : \(G' = \arctan(|\Delta X / \Delta Y|)\). L'angle G' est l'angle de base dans le premier quadrant. Il faut ensuite le corriger en fonction des signes de ΔX et ΔY pour le placer dans le bon quadrant (par ex., si ΔX < 0 et ΔY < 0, on est dans le 3ème quadrant, donc \(G = 200 + G'\)).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La correction de quadrant pour l'arc tangente est une étape cruciale. Dessinez toujours les axes et placez le point de départ (P1) et d'arrivée (P2) pour visualiser le quadrant et éviter les erreurs. Un ΔX négatif signifie un déplacement vers l'Ouest, un ΔY négatif un déplacement vers le Sud.

Normes (la référence réglementaire)

Ce calcul est fondamental pour les vérifications de levés. Les normes de tolérance imposent souvent des contrôles en fermant des polygones ou en mesurant des distances entre points calculés pour s'assurer de la cohérence globale du travail.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ \Delta X = X_{\text{P2}} - X_{\text{P1}} \quad ; \quad \Delta Y = Y_{\text{P2}} - Y_{\text{P1}} \]
\[ d_{\text{P1} \to \text{P2}} = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2} \]
\[ G_{\text{P1} \to \text{P2}} = \arctan\left(\frac{\Delta X}{\Delta Y}\right) + \text{Correction Quadrant} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Les coordonnées de P1 et P2 calculées précédemment sont considérées comme exactes pour ce calcul.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
PointCoordonnée X (m)Coordonnée Y (m)
P1649 975.407 250 490.80
P2649 954.217 250 285.18
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour la correction de quadrant :
• ΔX > 0, ΔY > 0 : G = G'
• ΔX > 0, ΔY < 0 : G = 200 - G'
• ΔX < 0, ΔY < 0 : G = 200 + G'
• ΔX < 0, ΔY > 0 : G = 400 - G'

Schéma (Avant les calculs)
Vecteur P1 → P2
YXP1P2ΔXΔY
Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Calcul de ΔX et ΔY

\[ \begin{aligned} \Delta X &= 649954.21 - 649975.40 \\ &= -21.19 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta Y &= 7250285.18 - 7250490.80 \\ &= -205.62 \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de la distance P1 → P2

\[ \begin{aligned} d &= \sqrt{(-21.19)^2 + (-205.62)^2} \\ &= \sqrt{449.0161 + 42279.5844} \\ &\approx 206.71 \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 3 : Calcul du gisement P1 → P2

ΔX < 0 et ΔY < 0, nous sommes dans le 3ème quadrant (Sud-Ouest). La correction sera de +200 gon.

\[ \begin{aligned} G' &= \arctan\left(\left|\frac{-21.19}{-205.62}\right|\right) \\ &= \arctan(0.10305...) \\ &\approx 6.5600 \text{ gon} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} G &= 200 + 6.5600 \\ &= 206.5600 \text{ gon} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Gisement et Distance P1 → P2
P1NordP2G=206.56 gond=206.71 m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le gisement de 206.5600 gon est juste après le Sud (200 gon), ce qui correspond bien à un déplacement vers le Sud et un petit peu vers l'Ouest. La distance de 206.71 m est cohérente avec les déplacements calculés. Ce calcul permet de valider la géométrie entre les points P1 et P2.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente dans le calcul inverse est la gestion du quadrant pour l'arc tangente. Une simple calculatrice donnera un résultat entre -100 et +100 gon. Il est impératif d'utiliser les signes de ΔX et ΔY pour appliquer la bonne correction (+200, 200-, 400-).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le calcul inverse part des coordonnées pour trouver gisement et distance.
  • La distance se calcule avec Pythagore.
  • Le gisement se calcule avec Arc tangente, mais nécessite une correction de quadrant.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Cette fonction de calcul inverse est souvent appelée "COGO" (Coordinate Geometry) dans les logiciels de topographie et de DAO (Dessin Assisté par Ordinateur). C'est l'une des fonctions les plus utilisées pour interroger une base de données de points.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si ΔY est nul ?

Si ΔY est nul, la division par zéro est impossible. Cela signifie que la direction est plein Est (G=100 gon, si ΔX > 0) ou plein Ouest (G=300 gon, si ΔX < 0).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La distance P1-P2 est de 206.71 m et le gisement P1→P2 est de 206.5600 gon.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Si les coordonnées de P2 étaient (649975.40, 7250285.18), quelle serait la distance P1-P2 ?

Outil Interactif : Simulateur de Rayonnement

Utilisez les curseurs pour modifier l'angle mesuré et la distance, et observez en temps réel comment les coordonnées du point P1 sont affectées. Le point de départ ST1 et la référence REF sont fixes.

Paramètres d'Entrée
125 gon
212 m
Coordonnées Calculées de P1
Coordonnée X (m) -
Coordonnée Y (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce qu'un gisement en topographie ?

2. Quelle est la plage de valeurs normale pour un gisement en grades (gon) ?

3. Dans la formule \(X_{\text{P}} = X_{\text{A}} + d \times \sin(G)\), quelle fonction trigonométrique est associée à l'axe des X ?

4. Un gisement de 100 gon correspond à quelle direction cardinale ?

5. Si vous calculez un gisement et obtenez 450 gon, quelle est la valeur correcte à utiliser ?

Glossaire

Coordonnées Cartésiennes
Système permettant de définir la position d'un point dans un plan à l'aide de deux valeurs numériques (X et Y) par rapport à deux axes perpendiculaires.
Gisement
Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord (axe Y) vers une direction donnée. Il est généralement exprimé en grades (gon).
Grade (gon)
Unité d'angle où un cercle complet est divisé en 400 grades. 100 gon équivalent à 90 degrés.
Rayonnement
Méthode topographique de base pour déterminer les coordonnées d'un point en mesurant un angle et une distance depuis une station connue.
Station
Point de coordonnées connues sur lequel un topographe installe son appareil de mesure (tachéomètre) pour effectuer des relevés.
Exercice de Topographie : Calcul de Coordonnées

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