Calcul de Volume de Terrassement par Profils

Contexte : Projet d'infrastructure routière linéaire.

Vous êtes technicien géomètre en charge du calcul des cubatures (volumes de terre) pour un tronçon de route. Vous devez estimer le volume de déblai entre deux Profils en TraversCoupe perpendiculaire à l'axe du projet permettant de visualiser le terrain et la future route. successifs P1 et P2. Pour cela, vous devrez d'abord calculer les sections de chaque profil à partir des cotes du projet (largeur de plateforme, profondeur et pente de talus).

Remarque Pédagogique : Dans la réalité, les sections ne sont pas données. Il faut les calculer géométriquement (méthode des triangles, trapèzes) ou via un logiciel.

Objectifs Pédagogiques

Calculer une surface de tranchée (profil trapézoïdal).
Appliquer la formule de la moyenne des aires.
Calculer un volume de terrassement entre deux profils.
Intégrer la notion de foisonnement pour le transport.

Données de l'étude

On considère un tronçon de route rectiligne délimité par deux profils P1 et P2 de forme trapézoïdale (tranchée courante).

Fiche Technique / Données Géométriques

Caractéristique	Symbole	Valeur	Unité
Largeur Plateforme (fond de fouille)	\(b\)	4.00	\(\text{m}\)
Pente des talus (Horiz/Vert)	\(m\)	1/1 (45°)	-
Profondeur tranchée P1	\(h_1\)	2.00	\(\text{m}\)
Profondeur tranchée P2	\(h_2\)	3.00	\(\text{m}\)
Distance entre profils	\(L\)	20.00	\(\text{m}\)
Coefficient de foisonnement	\(K_{\text{f}}\)	1.20	-

Schéma du Profil Type (Trapèze)

Vue en Coupe Longitudinale (Profil en long)

Questions à traiter

Calculer la surface du Profil P1 (\(S_1\)).
Calculer la surface du Profil P2 (\(S_2\)).
Calculer la section moyenne des deux profils.
Déterminer le volume géométrique de déblai (V).
Calculer le volume foisonné à évacuer.

Les bases théoriques

Pour cet exercice, nous devons d'abord maîtriser la géométrie plane (aire d'un trapèze) avant la géométrie spatiale (volume).

Aire d'une tranchée trapézoïdale
L'aire \(S\) dépend de la largeur de base \(b\), de la hauteur \(h\) et de la pente de talus \(m\) (où 1H pour 1V signifie \(m=1\)).

S = h \times (b + m \times h)

Ou la formule classique du trapèze : \(S = \frac{(\text{Base} + \text{base}) \times h}{2}\)

Volume (Moyenne des aires)
Une fois les sections calculées, on applique la formule des aires aboutissantes.

V = \frac{S_1 + S_2}{2} \times L

Correction : Calcul de Volume de Terrassement par Profils

Question 1 : Calcul de la surface S1

Principe

Le profil P1 est un trapèze dont nous connaissons la petite base (fond de fouille) et la hauteur. La grande base (ouverture en surface) dépend de la pente des talus. Pour calculer sa surface, on décompose souvent la figure en un rectangle central et deux triangles latéraux.

Mini-Cours

Pour un talus à 1/1 (45°), la largeur horizontale supplémentaire est égale à la hauteur. Si la pente était 3/2 (3H pour 2V), \(m\) vaudrait 1.5. Ici, \(m=1\) simplifie grandement les calculs car le triangle du talus est isocèle rectangle.

Remarque Pédagogique

Toujours bien identifier \(b\) (largeur au fond, constante du projet) et \(h\) (profondeur verticale, variable selon le terrain).

Normes

Les pentes de talus sont normalisées selon la nature du sol (ex: 1/1 pour terre meuble, 3/1 pour rocher, 2/3 pour remblai courant). Le respect de cette pente est une obligation de sécurité.

Formule(s)

Surface trapèze

S_1 = h_1 \times (b + m \times h_1)

Hypothèses

On suppose le terrain naturel (TN) horizontal au-dessus de la tranchée, ce qui nous donne un trapèze symétrique parfait.

TN horizontal transverse
Fond de fouille plat et horizontal

Donnée(s)

Paramètre	Valeur	Unité
Largeur \(b\)	4.00	\(\text{m}\)
Hauteur \(h_1\)	2.00	\(\text{m}\)
Pente \(m\)	1.00	-

Astuces

Astuce mentale : C'est un rectangle de \(b \times h\) plus deux triangles qui, mis côte à côte, forment un carré de \(h \times h\) (car m=1).

Schéma (Avant les calculs)

Profil P1 (h=2m) - Vue en coupe

Calcul(s)

Application numérique détaillée

Nous appliquons la formule de l'aire du trapèze. D'abord, nous déterminons la largeur en surface en ajoutant le déport des talus (\(m \times h\)) à la largeur du fond (\(b\)).

\begin{aligned} S_1 &= h_1 \times (b + m \times h_1) \\ &= 2.00 \times (4.00 + 1 \times 2.00) \\ &= 2.00 \times (4.00 + 2.00) \\ &= 2.00 \times 6.00 \\ &= 12.00 \, \text{m}^2 \end{aligned}

Interprétation : La section transversale au niveau du profil P1 représente une surface de 12 mètres carrés à excaver.

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

La largeur en gueule (en haut) est de \(4 + 2\times2 = 8\text{m}\). La surface calculée de 12\text{m}^2 semble cohérente pour une tranchée de cette taille (profondeur moyenne x largeur moyenne = 2 x 6 = 12).

Points de vigilance

N'oubliez pas les parenthèses dans le calcul ! \(h \times b + m \times h\) est faux car la multiplication est prioritaire. Il faut bien multiplier h par toute la largeur moyenne.

Points à Retenir

La surface d'une tranchée augmente plus vite que sa profondeur à cause de l'élargissement des talus.

Le saviez-vous ?

Le fruit (pente) des talus assure la stabilité des terres. Un talus trop vertical s'effondrerait sous son propre poids et celui de l'eau.

FAQ

Si la pente était verticale ?

Alors \(m=0\), et la surface serait \(S = h \times b\) (rectangle). C'est le cas des tranchées blindées en milieu urbain.

Surface P1 : 12.00 \(\text{m}^2\)

A vous de jouer
Calculez S1 si h = 3m (avec b=4 et m=1).

📝 Mémo
S1 est la "petite entrée" de notre volume.

Question 2 : Calcul de la surface S2

Principe

Le profil P2 est plus profond (3m). Avec la même pente de talus, l'ouverture en surface sera plus grande, donc la surface augmente considérablement. Nous appliquons la même méthode géométrique.

Mini-Cours

La géométrie est identique à P1 (trapèze), seule la hauteur \(h\) change. La largeur \(b\) reste constante car la route garde la même largeur. Seule l'emprise au sol change.

Remarque Pédagogique

Notez que si on double la hauteur d'un triangle, on quadruple sa surface. Ici c'est un trapèze, l'augmentation est moins brutale mais significative (fonction quadratique de h).

Normes

En projet routier, la largeur \(b\) est fixe (largeur de chaussée + accotements + fossés). Elle est définie par le "Profil en Travers Type".

Formule(s)

Surface trapèze P2

S_2 = h_2 \times (b + m \times h_2)

Hypothèses

Mêmes hypothèses de terrain plat et horizontal que pour P1. La pente des talus reste constante (même nature de sol).

TN horizontal, m = constant

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
Largeur \(b\)	4.00 \(\text{m}\)
Hauteur \(h_2\)	3.00 \(\text{m}\)
Pente \(m\)	1.00

Astuces

Vérifiez toujours que \(S_2 > S_1\) puisque \(h_2 > h_1\). L'écart doit être significatif.

Schéma (Avant les calculs)

Profil P2 (h=3m) - Comparaison visuelle

Calcul(s)

Application numérique détaillée

Pour le profil P2, la profondeur augmente à 3m. Le déport des talus augmente donc proportionnellement (\(1 \times 3 = 3\text{m}\)).

\begin{aligned} S_2 &= h_2 \times (b + m \times h_2) \\ &= 3.00 \times (4.00 + 1 \times 3.00) \\ &= 3.00 \times (4.00 + 3.00) \\ &= 3.00 \times 7.00 \\ &= 21.00 \, \text{m}^2 \end{aligned}

Interprétation : La surface de la tranchée s'est considérablement élargie au profil P2, atteignant 21 mètres carrés.

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Passer de 2m à 3m de fond (+50%) fait passer la surface de 12 à 21 \(\text{m}^2\) (+75%). L'impact de la profondeur sur le volume est plus que proportionnel.

Points de vigilance

Une erreur classique est d'oublier que la largeur en tête augmente avec la profondeur (ici elle passe à 10m). La surface n'est pas simplement proportionnelle à la hauteur.

Points à Retenir

Plus on creuse profond, plus on doit "ouvrir" large en haut, ce qui augmente drastiquement le volume de terrassement.

Le saviez-vous ?

Au-delà d'une certaine profondeur (souvent 6-8m), on ne fait plus une pente continue mais on crée des "banquettes" (paliers) pour casser l'érosion.

FAQ

Pourquoi m=1 ?

C'est une valeur standard pour simplifier l'exercice (45°). En argile humide, on prendrait plutôt m=1.5 ou 2 pour éviter le glissement.

Surface P2 : 21.00 \(\text{m}^2\)

A vous de jouer
Calculez S2 si h = 4m (avec b=4 et m=1).

📝 Mémo
S2 est la "grande sortie" du volume.

Question 3 : Calcul de la section moyenne

Principe

Nous disposons maintenant des deux surfaces extrêmes calculées : \(S_1\) et \(S_2\). Pour calculer le volume du prisme (ou tronc de prisme), la méthode usuelle en TP est de faire la moyenne arithmétique des deux surfaces.

Mini-Cours

La méthode des aires aboutissantes suppose une variation linéaire de la section le long de l'axe longitudinal. C'est une approximation acceptable tant que les profils ne sont pas trop éloignés (L < 50m) et que la différence de surface n'est pas gigantesque.

Remarque Pédagogique

Imaginez que vous transformez votre tranchée variable en un tunnel rectangulaire constant qui aurait la même capacité.

Normes

Calculs usuels en topographie de chantier (Terrassement VRD). Pour des ouvrages d'art, on utiliserait des méthodes plus fines.

Formule(s)

Moyenne arithmétique

S_{\text{moy}} = \frac{S_1 + S_2}{2}

Hypothèses

Variation linéaire du terrain entre P1 et P2. Pas de "bosse" ou de "creux" caché entre les deux profils.

Variation régulière et continue.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur
Section P1	\(S_1\)	12.00 \(\text{m}^2\)
Section P2	\(S_2\)	21.00 \(\text{m}^2\)

Astuces

Moyenne rapide : 12 et 21 sont distants de 9. La moitié de 9 est 4.5. Donc 12 + 4.5 = 16.5.

Schéma (Avant les calculs)

Interpolation

Calcul(s)

Application numérique détaillée

Nous cherchons la valeur moyenne entre la section d'entrée \(S_1\) et la section de sortie \(S_2\).

\begin{aligned} S_{\text{moy}} &= \frac{S_1 + S_2}{2} \\ &= \frac{12.00 + 21.00}{2} \\ &= \frac{33.00}{2} \\ &= 16.50 \, \text{m}^2 \end{aligned}

Interprétation : Tout se passe comme si nous avions une tranchée constante de 16.50 m² sur toute la longueur du tronçon.

Schéma (Après les calculs)

Smoy = 16.50 m²

(La section de calcul retenue)

Réflexions

La valeur est bien comprise strictement entre 12 et 21. Elle est plus proche de la réalité que de prendre juste S1 ou juste S2.

Points de vigilance

Ne pas arrondir ce résultat intermédiaire trop tôt. Gardez au moins 2 ou 3 décimales pour le calcul de volume final.

Points à Retenir

La section moyenne permet de ramener un problème 3D complexe à une simple multiplication (surface x longueur).

Le saviez-vous ?

Il existe une formule plus précise (formule des prismatoides) : \(V = L/6 * (S1 + S2 + 4*S_{\text{moy}})\), mais elle nécessite de calculer la section réelle à mi-parcours.

FAQ

Pourquoi diviser par 2 ?

Car c'est une moyenne arithmétique simple (barycentre pondéré de manière égale) entre deux extrémités.

Section Moyenne : 16.50 \(\text{m}^2\)

A vous de jouer
Quelle est la moyenne entre 10 et 30 ?

📝 Mémo
On a notre surface de base pour le calcul final du volume.

Question 4 : Calcul du Volume Géométrique (V)

Principe

Le volume en place (avant foisonnement) est le produit de la section moyenne par la longueur du tronçon. C'est le volume du solide géométrique théorique.

Mini-Cours

Volume = Surface de base \(\times\) Hauteur. Ici la "Base" est \(S_{\text{moy}}\) et la "Hauteur" est la Longueur L de la route. C'est le principe d'extrusion.

Remarque Pédagogique

C'est ce volume qui définit le "vide" créé dans le terrain, indépendamment de ce qu'on fait de la terre ensuite.

Normes

Unités standard SI : le mètre pour les longueurs et le mètre cube pour les volumes. Les marchés publics sont souvent réglés sur ce volume "en place".

Formule(s)

\begin{aligned} V &= S_{\text{moy}} \times L \\ \end{aligned}

Hypothèses

L est la longueur horizontale mesurée sur l'axe du projet, entre les deux profils P1 et P2.

L = 20.00 m (donnée fixe)

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
\(S_{\text{moy}}\)	16.50 \(\text{m}^2\)
\(L\)	20.00 m

Astuces

Calcul mental : Multiplier par 20 revient à multiplier par 2 puis décaler la virgule. 16.5 * 2 = 33. 33 * 10 = 330.

Schéma (Avant les calculs)

Volume = Extrusion

Calcul(s)

Application numérique détaillée

Le volume est obtenu en extrudant cette surface moyenne sur la longueur \(L\) séparant les deux profils.

\begin{aligned} V &= S_{\text{moy}} \times L \\ &= 16.50 \, \text{m}^2 \times 20.00 \, \text{m} \\ &= 330.00 \, \text{m}^3 \end{aligned}

Interprétation : Il y a un volume géométrique total de 330 mètres cubes de terre compacte à retirer du sol.

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

330 \(\text{m}^3\) est un volume conséquent pour un petit tronçon de 20m. Cela représente environ 330 tonnes de terre (si densité = 1).

Points de vigilance

Bien vérifier que L est en mètres. Si L était en km, le résultat serait faux de facteur 1000.

Points à Retenir

Le volume en place est la base du paiement du terrassement à l'entreprise principale.

Le saviez-vous ?

Pour de grandes longueurs, la courbure de la terre est négligeable, mais sur des projets de plusieurs km, on utilise des coordonnées projetées spécifiques.

FAQ

Et si la route tourne ?

Dans les courbes (virages), on applique une correction de Guldin basée sur l'excentricité du centre de gravité des profils par rapport à l'axe.

Volume en place : 330.00 \(\text{m}^3\)

A vous de jouer
Volume pour la même section si L=10m ?

📝 Mémo
330 m³ "compacts" à extraire.

Question 5 : Calcul du Volume Foisonné

Principe

On applique le coefficient de foisonnement pour connaître le volume réel à transporter. La terre prend du volume lorsqu'elle est désagrégée.

Mini-Cours

Le foisonnement est l'augmentation du volume apparent des terres lors de leur extraction (introduction de vides d'air). Le rapport est \(K_{\text{f}} = V_{\text{vrac}} / V_{\text{place}}\).

Remarque Pédagogique

C'est essentiel pour dimensionner la flotte de camions. Si vous oubliez ce coeff, il vous manquera 20% de camions !

Normes

Coefficients usuels du GTR (Guide des Terrassements Routiers) : 1.1 à 1.4 selon les matériaux.

Formule(s)

V_{\text{f}} = V_{\text{place}} \times K_{\text{f}}

Hypothèses

Sol homogène sur tout le tronçon, Kf constant.

Kf = 1.20

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
Volume en place	330.00 \(\text{m}^3\)
Kf	1.20

Astuces

Multiplier par 1.2 revient à ajouter 20%. 10% de 330 = 33. 20% = 66. 330 + 66 = 396.

Schéma (Avant les calculs)

Concept de Foisonnement

Calcul(s)

Application numérique détaillée

La terre extraite n'est plus tassée. Nous appliquons le coefficient de foisonnement \(K_{\text{f}}\) de 1.20 (soit +20%) pour trouver le volume apparent.

\begin{aligned} V_{\text{foisonné}} &= V \times K_{\text{f}} \\ &= 330.00 \times 1.20 \\ &= 330.00 + (330.00 \times 0.20) \\ &= 330.00 + 66.00 \\ &= 396.00 \, \text{m}^3 \end{aligned}

Interprétation : Le volume final à charger dans les camions représente 396 mètres cubes.

Schéma (Après les calculs)

Volume Tas = 396 m³

Réflexions

Presque 400 \(\text{m}^3\) à évacuer. L'augmentation de 66 \(\text{m}^3\) n'est pas négligeable (c'est l'équivalent de 3 ou 4 camions supplémentaires).

Points de vigilance

Ne jamais utiliser le volume foisonné pour payer l'entreprise de terrassement (sauf clause spécifique), mais pour payer les transporteurs ou la mise en décharge.

Points à Retenir

Volume transporté > Volume creusé. Toujours.

Le saviez-vous ?

Le foisonnement peut atteindre 1.50 (50% de plus !) pour de la roche dure dynamitée, à cause des gros vides entre les blocs.

FAQ

Combien de camions de 18m3 faut-il ?

396 / 18 = 22 camions pleins.

Volume à évacuer = 396.00 \(\text{m}^3\)

A vous de jouer
Volume foisonné si V=100 et Kf=1.3 ?

📝 Mémo
Prévoir 22 rotations de camions pour évacuer le tas.

Schéma Bilan de l'Exercice

Récapitulatif des calculs.

📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument

🔑
Point Clé 1 : La Surface
Il faut d'abord calculer les surfaces des profils (trapèzes) avant de penser volume.
📐
Point Clé 2 : La Formule
\(S = h(b + mh)\) puis \(V = \frac{S_1 + S_2}{2} \times L\)
⚠️
Point Clé 3 : Foisonnement
Ne jamais oublier le coefficient de foisonnement pour le transport (camions) !

🎛️ Simulateur de Cubature

Modifiez les surfaces des profils pour voir l'évolution du volume (Longueur fixée à 20m).

Paramètres

Surface Calculée P1 (\(\text{m}^2\)) : 12

Surface Calculée P2 (\(\text{m}^2\)) : 21

Surface Moyenne : -

Volume Total (\(\text{m}^3\)) : -

📝 Quiz final : Testez vos connaissances

1. Si je double la profondeur h, la surface d'un trapèze...

Plus que double (car la largeur en tête augmente aussi).
Double exactement.
Reste la même.

2. Le volume foisonné est-il généralement supérieur au volume en place ?

Non, il est inférieur (tassement).
Oui, la terre prend plus de volume une fois extraite.

📚 Glossaire

Profil en travers: Coupe verticale perpendiculaire à l'axe du projet routier.
Cubature: Ensemble des calculs permettant d'évaluer les volumes de terres (déblais et remblais).
Déblai: Action d'enlever des terres pour abaisser le niveau du terrain.
Remblai: Action d'ajouter des terres pour surélever le niveau du terrain.
Entre-profils: Distance horizontale séparant deux profils en travers successifs.