En TopographieScience qui permet la mesure puis la représentation sur un plan ou une carte des formes et détails visibles sur le terrain., il est rare de rencontrer des terrains parfaitement rectangulaires. Pour calculer la surface d'un polygone quelconque, une méthode robuste et simple consiste à le décomposer en figures géométriques élémentaires, souvent des triangles. Cette méthode est appelée Triangulation (ou décomposition). La précision de cette méthode dépend directement de la qualité des mesures terrain (côtés et diagonales) et du soin apporté à la vérification géométrique.

Remarque Pédagogique : Cet exercice mobilise la formule de Héron, essentielle lorsque l'on connaît les longueurs des côtés d'un triangle mais pas sa hauteur. C'est une situation très fréquente sur le terrain où mesurer une hauteur (perpendiculaire) est souvent plus complexe et source d'erreurs que de mesurer les trois côtés d'un triangle.

Objectifs Pédagogiques

Savoir décomposer un polygone complexe en triangles à l'aide d'une diagonale.
Maîtriser l'application de la formule de Héron pour le calcul d'aires.
Comprendre le concept d'additivité des surfaces partielles.
Effectuer des conversions d'unités spécifiques au métier (m² vers ares/centiares).
Vérifier la cohérence géométrique par le calcul du demi-périmètre.

Données de l'étude

Soit une parcelle de terrain définie par quatre bornes A, B, C et D. Vous disposez des mesures des quatre côtés extérieurs ainsi que d'une diagonale mesurée sur le terrain pour verrouiller la géométrie.

Fiche Technique / Données

Caractéristique	Valeur
Précision des mesures	± 1 cm
MéthodeTechnique utilisée pour obtenir les dimensions (ici ruban ou tachéomètre).	Relevé direct (Chaînage)

Schéma du Système

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Côté AB	\(c_1\)	30.00	\(\text{m}\)
Côté BC	\(c_2\)	40.00	\(\text{m}\)
Côté CD	\(c_3\)	35.00	\(\text{m}\)
Côté DA	\(c_4\)	25.00	\(\text{m}\)
Diagonale AC	\(d\)	50.00	\(\text{m}\)

Questions à traiter

Identifier les triangles issus de la décomposition.
Calculer l'aire du triangle T1 (ABC).
Calculer l'aire du triangle T2 (ADC).
En déduire la surface totale de la parcelle.
Convertir le résultat en ares et centiares.

Les bases théoriques

Pour calculer l'aire d'un triangle quelconque dont on ne connaît que la longueur des trois côtés \(a\), \(b\) et \(c\), on utilise la formule de Héron. Cette méthode évite d'avoir à mesurer ou calculer la hauteur.

Étape 1 : Le demi-périmètre
On calcule d'abord le demi-périmètre, noté \(p\).

Calcul du demi-périmètre

p = \frac{a + b + c}{2}

Où :

\(p\) est le demi-périmètre
\(a, b, c\) sont les longueurs des côtés

Étape 2 : L'aire
On applique ensuite la formule de Héron pour obtenir la surface \(S\).

Formule de Héron

S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}

Où :

\(S\) est la Surface (ou Aire)
\(p\) est le demi-périmètre calculé précédemment

Additivité des Surfaces
La surface totale d'un polygone est égale à la somme des surfaces des figures qui le composent.

Surface Totale

S_{\text{totale}} = S_1 + S_2 + \dots + S_n

Où :

\(S_n\) est la surface de chaque élément (triangle)

Correction : Calcul de Surface par Triangulation

Question 1 : Identification de la décomposition

Principe

La première étape consiste à analyser la géométrie du terrain et à identifier comment la diagonale fournie (AC) divise la parcelle. Une diagonale interne est un segment qui relie deux sommets non adjacents. Dans un quadrilatère, elle permet de le scinder en deux triangles parfaitement définis dont les côtés sont connus grâce aux mesures périphériques et à la mesure de la diagonale elle-même.

Mini-Cours

Pourquoi trianguler ? En topographie, le triangle est la figure géométrique la plus stable ("indéformable") dès lors que ses trois côtés sont connus. Contrairement à un rectangle qui peut se déformer en parallélogramme si ses angles ne sont pas fixés, un triangle est figé par ses longueurs. C'est pourquoi la triangulation est la méthode de base pour le calcul de surfaces polygonales quelconques.

Remarque Pédagogique

Il est crucial de bien nommer les sommets et d'associer chaque mesure au bon segment pour ne pas mélanger les côtés lors des calculs suivants. Une erreur d'attribution à cette étape fausserait tout l'exercice.

Normes

En topographie, on identifie généralement les parcelles par les sommets (A, B, C, D) en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre (sens horaire) ou trigonométrique (anti-horaire), mais l'ordre doit toujours être consécutif pour définir le périmètre correctement.

Formule(s)

Formules utilisées

Décomposition Additive

S_{\text{Parcelle}} = S_{\text{T1}} + S_{\text{T2}}

Identification des Triangles

\begin{aligned} \text{T1} &= \text{Triangle } ABC \\ \text{T2} &= \text{Triangle } ADC \end{aligned}

Hypothèses

Pour appliquer cette décomposition, nous posons les hypothèses suivantes :

Le terrain est considéré comme une surface plane horizontale (projection planimétrique).
Les côtés sont des segments de droite rectilignes (pas d'arcs de cercle).
La diagonale AC est entièrement contenue à l'intérieur du polygone (polygone convexe).

Donnée(s)

Triangle	Sommets	Côté 1	Côté 2	Côté 3 (Commun)
T1	A, B, C	AB = 30m	BC = 40m	AC = 50m
T2	A, D, C	AD = 25m	CD = 35m	AC = 50m

Astuces

Sur votre brouillon ou carnet de terrain, repassez les contours de chaque triangle avec une couleur différente (ex: T1 en bleu, T2 en rouge). Cela aide le cerveau à isoler visuellement chaque forme pour le calcul.

Décomposition en Triangles

Calcul(s)

Identification

Nous identifions les triangles en listant leurs sommets et leurs côtés respectifs :

Liste des triangles

\begin{aligned} \text{T1} &= \{AB, BC, AC\} \\ \text{T2} &= \{AD, CD, AC\} \end{aligned}

Ces deux triangles partagent le côté AC. Il n'y a aucun recouvrement entre eux.

Calcul intermédiaire

Vérifions théoriquement le nombre de triangles attendus pour un polygone à \(n\) sommets décomposé par des diagonales issues d'un même sommet :

Vérification

\begin{aligned} \text{Nombre de triangles} &= n - 2 \\ &= 4 - 2 \\ &= 2 \end{aligned}

Le résultat est cohérent : un quadrilatère (\(n=4\)) se découpe bien en 2 triangles.

Calcul Principal

Résultat de l'analyse

La parcelle est composée de deux triangles adjacents par l'hypoténuse commune AC. Aucune surface n'est oubliée.

Validation

\text{Décomposition validée : Prêt pour le calcul}

Nous pouvons maintenant procéder au calcul individuel des surfaces de T1 et T2.

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Cette méthode de décomposition est universelle pour tout quadrilatère convexe. Si le quadrilatère était concave (avec un angle rentrant), la diagonale pourrait se retrouver à l'extérieur, ce qui compliquerait le calcul (il faudrait soustraire des aires). Ici, la parcelle est convexe, donc l'addition est la méthode correcte.

Points de vigilance

Ne pas confondre les triangles lors de l'extraction des données. Le triangle T1 utilise exclusivement les côtés AB et BC avec AC. Le triangle T2 utilise AD et DC avec AC. Ne mélangez pas AB avec CD par exemple !

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

Une diagonale interne divise toujours un quadrilatère convexe en 2 triangles.
La surface totale est la somme stricte des surfaces des triangles composants.
La diagonale est un côté commun : elle intervient dans le calcul des deux surfaces.

Le saviez-vous ?

Cette technique de décomposition (maillage) est exactement celle utilisée par les logiciels de CAO (comme AutoCAD ou Covadis) et les moteurs de jeux vidéo 3D pour représenter n'importe quelle surface complexe. Tout volume 3D est en réalité composé de milliers de petits triangles !

FAQ

Peut-on utiliser l'autre diagonale BD à la place ?

Oui, absolument. Si vous aviez mesuré la diagonale BD sur le terrain, vous auriez obtenu deux autres triangles (ABD et BCD). Le calcul de leurs surfaces donnerait des valeurs intermédiaires différentes, mais leur somme (la surface totale de la parcelle) serait strictement identique.

Décomposition : T1 (ABC) et T2 (ADC)

A vous de jouer
Combien de triangles obtiendrait-on au minimum en décomposant un pentagone (terrain à 5 côtés) à partir d'un seul sommet ?

📝 Mémo
Toujours identifier clairement les sous-ensembles et vérifier la convexité du polygone avant de lancer les calculs.

Question 2 : Calcul de l'aire du triangle T1 (ABC)

Principe

Pour le triangle T1, nous connaissons les longueurs de ses trois côtés : AB=30m, BC=40m et AC=50m. Nous ne connaissons pas la hauteur. La méthode la plus adaptée est donc la formule de Héron, qui permet de calculer l'aire d'un triangle quelconque uniquement à partir de ses côtés.

Mini-Cours

Héron d'Alexandrie (1er siècle ap. J.-C.) a établi cette formule célèbre. Elle est particulièrement utile en arpentage car mesurer des longueurs au ruban ou au distancemètre est simple, alors que déterminer une hauteur perpendiculaire sur le terrain sans instruments optiques est difficile et imprécis.

Remarque Pédagogique

Pour éviter les erreurs de saisie et d'arrondi, commencez toujours par calculer le demi-périmètre \(p\) et stockez-le en mémoire de votre calculatrice. La précision du résultat final en dépend.

Normes

Les calculs intermédiaires doivent conserver un maximum de décimales (au moins 3 ou 4) pour éviter la propagation des erreurs d'arrondi. Le résultat final sera arrondi selon les exigences du cadastre (généralement au m² ou 0.1 m²).

Formule(s)

Formules utilisées

Demi-périmètre

p = \frac{a+b+c}{2}

Aire (Héron)

S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

Hypothèses

Pour appliquer cette loi, nous posons les hypothèses suivantes :

Les longueurs mesurées sont justes et précises (pas d'erreur systématique).
L'unité est homogène : tous les côtés sont exprimés en mètres.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Côté a (AB)	\(a\)	30.00	\(\text{m}\)
Côté b (BC)	\(b\)	40.00	\(\text{m}\)
Côté c (AC)	\(c\)	50.00	\(\text{m}\)

Astuces

Reconnaissance de motif : Observez les valeurs : 30, 40, 50. Divisez-les par 10, vous obtenez 3, 4, 5. C'est le fameux triplet Pythagoricien ! Cela signifie que le triangle est rectangle en B. Dans ce cas précis, on aurait pu calculer l'aire plus vite avec \( (\text{Base} \times \text{Hauteur}) / 2 = (30 \times 40) / 2 \). Mais Héron fonctionne dans tous les cas !

Triangle T1 (Isolé)

Calcul(s)

Demi-périmètre

La première étape est de déterminer le demi-périmètre \(p\). C'est la somme des trois côtés divisée par deux :

Calcul de p

\begin{aligned} p &= \frac{30 + 40 + 50}{2} \\ &= \frac{120}{2} \\ &= 60 \text{ m} \end{aligned}

Nous obtenons un demi-périmètre de 60 mètres. Cette valeur servira de référence pour les soustractions suivantes.

Termes intermédiaires

Calculons maintenant les termes intermédiaires \((p - \text{côté})\). Ces valeurs doivent toujours être positives :

Différences (p - côté)

\begin{aligned} (p-a) &= 60 - 30 \\ &= \mathbf{30} \\ (p-b) &= 60 - 40 \\ &= \mathbf{20} \\ (p-c) &= 60 - 50 \\ &= \mathbf{10} \end{aligned}

Nous avons nos trois termes : 30, 20 et 10. Nous pouvons passer à la formule finale.

Calcul Principal

Application numérique

Appliquons la formule de Héron : \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\). Nous remplaçons chaque terme par sa valeur :

Calcul de l'Aire S1

\begin{aligned} S_{\text{T1}} &= \sqrt{p \times (p-a) \times (p-b) \times (p-c)} \\ &= \sqrt{60 \times 30 \times 20 \times 10} \\ &= \sqrt{360\,000} \\ &= \mathbf{600} \end{aligned}

Le calcul sous la racine donne 360 000. La racine carrée parfaite de ce nombre est 600. L'aire est donc exactement 600 m².

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Le résultat tombe rond, ce qui est rare dans la réalité. Cependant, cela permet de valider la méthode : si on utilise la formule du triangle rectangle \( (30 \times 40) / 2 \), on trouve aussi 600. La formule de Héron est donc cohérente.

Points de vigilance

Erreur classique : N'oubliez pas la racine carrée à la toute fin du calcul ! Une erreur fréquente chez les étudiants est de donner le résultat du produit sous la racine (ici 360 000) comme étant la surface. 360 000 m², c'est 36 hectares, ce qui est absurde pour des côtés de 30m ! Vérifiez toujours l'ordre de grandeur.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

Calculer d'abord \(p\) (demi-périmètre).
Vérifier que \(p\) est toujours plus grand que le plus grand côté (sinon \(p-c\) serait négatif).
L'unité du résultat est le carré de l'unité des longueurs (m \(\rightarrow\) m²).

Le saviez-vous ?

Cette méthode est très stable numériquement, même pour les triangles très plats ("aiguilles"), ce qui en fait un algorithme de choix pour les logiciels de calcul numérique.

FAQ

La formule fonctionne-t-elle si le triangle n'est pas rectangle ?

Oui, absolument ! C'est tout l'intérêt de la formule de Héron. Elle est universelle pour tout triangle plan, qu'il soit rectangle, isocèle, ou scalène (quelconque).

Surface T1 = 600.00 m²

A vous de jouer
Si le périmètre total d'un triangle était de 100m, que vaudrait son demi-périmètre \(p\) ?

📝 Mémo
Le calcul du demi-périmètre est une étape intermédiaire simple mais fondamentale : une erreur ici fausse tout le reste.

Question 3 : Calcul de l'aire du triangle T2 (ADC)

Principe

Nous répétons l'opération pour le second triangle T2. Les côtés sont AD=25m, CD=35m et AC=50m (la diagonale commune). Ce triangle est quelconque (scalène), il n'a pas d'angle droit évident.

Mini-Cours

Pour un triangle quelconque où la hauteur n'est pas connue, la méthode de Héron est souvent la seule méthode analytique directe possible sans passer par la trigonométrie (calcul d'angles avec Al-Kashi).

Remarque Pédagogique

Attention, contrairement au triangle précédent, ici les valeurs ne donneront pas un "compte rond". Vous obtiendrez un nombre avec beaucoup de décimales. Il faudra gérer les arrondis correctement à la fin.

Normes

Le résultat sera arrondi à 2 décimales (centimètre carré) conformément aux standards usuels pour des surfaces de cette taille (m²).

Formule(s)

Formules utilisées

Héron

S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

Hypothèses

Pour appliquer cette loi, nous posons les hypothèses suivantes :

Les mesures sont fiables.
La calculatrice est utilisée avec suffisamment de chiffres significatifs.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Côté a (AD)	\(a\)	25.00	\(\text{m}\)
Côté b (CD)	\(b\)	35.00	\(\text{m}\)
Côté c (AC)	\(c\)	50.00	\(\text{m}\)

Astuces

Vérifiez toujours l'inégalité triangulaire : la somme de deux côtés doit être supérieure au troisième (\(a+b > c\)). Ici \(25+35=60 > 50\). Le triangle est "constructible". Si vous aviez \(25+20=45 < 50\), le triangle serait impossible (le sommet D ne pourrait pas rejoindre A et C) !

Triangle T2 (Isolé)

Calcul(s)

Demi-périmètre

Comme pour le premier triangle, commençons par le demi-périmètre \(p\) avec les côtés 25m, 35m et 50m :

Calcul de p

\begin{aligned} p &= \frac{25 + 35 + 50}{2} \\ &= \frac{110}{2} \\ &= \mathbf{55 \text{ m}} \end{aligned}

Le demi-périmètre est de 55 mètres. Notez qu'il est bien supérieur au plus grand côté (50m), ce qui valide l'existence du triangle.

Termes intermédiaires

Préparons les termes de la multiplication en soustrayant chaque côté au demi-périmètre :

Différences

\begin{aligned} (p-a) &= 55 - 25 \\ &= \mathbf{30} \\ (p-b) &= 55 - 35 \\ &= \mathbf{20} \\ (p-c) &= 55 - 50 \\ &= \mathbf{5} \end{aligned}

Les termes sont 30, 20 et 5. Le calcul s'annonce plus complexe que pour T1.

Calcul Principal

Application numérique

Multiplions le demi-périmètre par ces trois différences, puis extrayons la racine carrée :

Calcul de l'Aire S2

\begin{aligned} S_{\text{T2}} &= \sqrt{p \times (p-a) \times (p-b) \times (p-c)} \\ &= \sqrt{55 \times 30 \times 20 \times 5} \\ &= \sqrt{165\,000} \\ &\approx 406.20192... \end{aligned}

Le produit sous la racine est 165 000. Ce n'est pas un carré parfait. La calculatrice nous donne une valeur irrationnelle que nous arrondissons à deux décimales : 406,20 m².

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Le résultat n'est pas entier, ce qui est normal avec des racines carrées. La valeur est cohérente par rapport aux dimensions (base 50, hauteur approx 16m).

Points de vigilance

Arrondis : Ne pas arrondir \(\sqrt{165000}\) trop grossièrement (ex: 406). Gardez "406.20" pour l'addition finale afin de ne pas perdre en précision.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

La formule de Héron fonctionne pour tous les triangles (scalènes inclus).
La précision du résultat final dépend directement de la précision des mesures initiales des côtés.

Le saviez-vous ?

Le nombre sous la racine doit toujours être positif. Si vous obtenez un nombre négatif sous la racine, c'est que le triangle est impossible à construire (inégalité triangulaire non respectée).

FAQ

Que faire si je trouve une aire négative ou une erreur mathématique ?

C'est impossible géométriquement pour un triangle réel. Vérifiez vos calculs de \(p-a\), \(p-b\), \(p-c\). L'un d'eux est probablement négatif, ce qui signifie que votre demi-périmètre est plus petit qu'un des côtés, donc que \(a+b < c\), ce qui est impossible.

Surface T2 ≈ 406.20 m²

A vous de jouer
Calculez \(\sqrt{165000}\) avec votre calculatrice pour vérifier.

📝 Mémo
Le calcul est terminé pour T2. Nous avons maintenant les deux pièces du puzzle.

Question 4 : Calcul de la Surface Totale

Principe

Nous avons calculé les surfaces partielles de T1 et T2. La surface totale de la parcelle ABCD est simplement l'addition de ces deux surfaces. C'est le principe d'additivité des aires.

Mini-Cours

L'aire d'une figure plane composée de plusieurs parties disjointes est la somme des aires de ces parties. C'est un axiome fondamental de la mesure (théorie de la mesure de Lebesgue pour les plus curieux, mais intuitivement évident en géométrie euclidienne).

Remarque Pédagogique

C'est une addition simple, mais attention à l'alignement des décimales si vous le posez à la main. En informatique ou sur calculatrice, utilisez les mémoires pour additionner les valeurs exactes (non arrondies) si possible.

Normes

Le résultat total doit être exprimé avec la même précision que les surfaces partielles (ici 2 décimales).

Formule(s)

Formules utilisées

Somme

S_{\text{tot}} = S_{\text{T1}} + S_{\text{T2}}

Hypothèses

Pour appliquer cette loi, nous posons les hypothèses suivantes :

Les triangles T1 et T2 ne se chevauchent pas (vérifié par la construction géométrique).
L'union de T1 et T2 couvre exactement toute la surface de la parcelle (pas de "trou").

Donnée(s)

Surface	Valeur
S1 (Triangle ABC)	600.00 m²
S2 (Triangle ADC)	406.20 m²

Astuces

Faites le calcul deux fois ou vérifiez l'ordre de grandeur : 600 + 400 font environ 1000. Si vous trouvez 10 000 ou 100, il y a une erreur de saisie.

Assemblage

Calcul(s)

Addition

L'aire totale de la parcelle est la somme des aires des deux triangles T1 et T2. Posons l'addition :

Calcul Somme

\begin{aligned} S_{\text{tot}} &= 600.00 + 406.20 \\ &= 1006.20 \end{aligned}

Nous additionnons les valeurs exactes (ou arrondies avec soin) :

Calcul Principal

Application numérique

Le résultat de cette opération nous donne :

Total

S_{\text{tot}} = \mathbf{1006.20 \text{ m}^2}

Nous obtenons ainsi la superficie géométrique totale de la parcelle en mètres carrés.

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Un peu plus de 1000 m², c'est une parcelle de taille standard pour une maison individuelle avec jardin (environ 10 ares).

Points de vigilance

Ne pas oublier l'unité (m²) à la fin. Un chiffre sans unité n'a aucune valeur physique ou légale.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

L'additivité est toujours vraie pour des surfaces disjointes qui se touchent.
La précision du total est limitée par la précision du terme le moins précis.

Le saviez-vous ?

Pour les terrains très complexes (centaines de points), les géomètres utilisent la "formule des trapèzes" ou le calcul par coordonnées polaires/cartésiennes, qui sont des généralisations automatisées de ce principe d'addition.

FAQ

Et si on soustrayait au lieu d'additionner ?

On utilise la soustraction uniquement si on calcule une surface en "négatif", par exemple en calculant l'aire d'un grand rectangle englobant la parcelle puis en soustrayant les triangles "vides" aux coins. C'est une autre méthode valide (méthode du rectangle englobant).

Surface Totale = 1006.20 m²

A vous de jouer
Si S1 valait 500 et S2 500, quel serait le total ?

📝 Mémo
Surface finale brute obtenue. Reste à la convertir pour l'usage cadastral.

Question 5 : Conversion et Cohérence

Principe

En France et dans le domaine du foncier (notaires, géomètres, agriculteurs), on utilise des unités agraires spécifiques : l'Hectare (ha), l'Are (a) et le Centiare (ca). Il est indispensable de savoir convertir le résultat final de m² vers ces unités pour rédiger un document officiel.

Mini-Cours : Unités Agraires

Le système est basé sur l'are :

1 centiare (ca) = 1 m² (c'est exactement la même chose).
1 are (a) = 100 m² (un carré de 10m x 10m).
1 hectare (ha) = 100 ares = 10 000 m² (un carré de 100m x 100m).

Remarque Pédagogique

C'est une simple division par 100 pour obtenir des ares, et par 10 000 pour des hectares. Visuellement, cela revient à grouper les chiffres par paquets de deux en partant de la virgule vers la gauche.

Normes

L'écriture officielle sur un acte notarié sépare les unités : "00 ha 10 a 06 ca". On ne met pas de virgule.

Formule(s)

Formules utilisées

Conversion

1 \text{ a} = 100 \text{ m}^2

Hypothèses

Pour appliquer cette conversion, nous posons les hypothèses suivantes :

Nous sommes dans le système métrique standard.

Donnée(s)

Surface m²	Valeur
S_tot	1006.20

Astuces

La technique des "tiroirs" : Écrivez votre nombre entier de m² (1006). En partant de la droite (unité), les deux premiers chiffres sont les centiares (06). Les deux suivants sont les ares (10). Les suivants sont les hectares (00). Donc 00 ha 10 a 06 ca.

Conversion

Calcul(s)

Division

On divise la surface totale par 100 pour trouver le nombre d'ares entiers :

Calcul Ares

\begin{aligned} \frac{1006.20}{100} &= 10.0620 \text{ ares} \\ &\rightarrow \mathbf{10} \text{ ares entiers} \end{aligned}

La partie entière est 10. Nous avons donc 10 ares.

Reste (Centiares)

On prend le reste décimal (0.0620 ares) et on le remet en m² (centiares) en multipliant par 100 :

Calcul Centiares

\begin{aligned} 0.0620 \times 100 &= 6.20 \text{ ca} \\ &\rightarrow \mathbf{06} \text{ ca et } 20 \text{ dm}^2 \end{aligned}

Soit 6 centiares et 20 dm². En cadastre, on arrondit souvent à l'entier pour les centiares, ou on garde les décimales si haute précision.

Calcul Principal

Résultat Final

On combine les "tiroirs" (ha / a / ca) :

Écriture Cadastrale

10 \text{ a } 06 \text{ ca } 20

Écrit couramment : 10 a 06 ca.

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

L'unité agraire est beaucoup plus parlante pour les professionnels du terrain. Dire "j'ai 10 ares" permet de visualiser immédiatement un terrain de 1000m².

Points de vigilance

Attention : Ne confondez pas 1 are (100 m²) avec 1 hectare (10 000 m²). Une erreur de facteur 100 est dramatique sur un prix de vente !

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

1 ca = 1 m²
1 a = 100 m²
1 ha = 10 000 m²
Technique des paquets de 2 chiffres : XX ha YY a ZZ ca

Le saviez-vous ?

L'arpent est une vieille mesure d'avant la Révolution française qui valait environ 30 à 50 ares selon les régions. Elle n'est plus légale mais le terme subsiste dans le langage courant ("arpenter un terrain").

FAQ

Et si j'avais plus de 10 000 m² ?

Vous auriez basculé dans les hectares. Ex: 15 400 m² = 1 ha 54 a 00 ca.

10 ares 06 centiares

A vous de jouer
Combien font 500 m² en ares ?

📝 Mémo
Fin de l'exercice complet. Vous savez maintenant calculer et convertir une surface par triangulation.

Schéma Bilan de la Surface

📝 Grand Mémo : Triangulation

Pour réussir vos calculs de surfaces en topographie, voici la méthode infaillible :

📐
1. Décomposer : Divisez toujours le polygone complexe en triangles simples à l'aide des diagonales. Tracez un croquis clair.
🧮
2. Calculer (Héron) : Si vous avez les 3 côtés, utilisez \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\). N'oubliez pas de calculer \(p\) d'abord !
➕
3. Additionner : Sommez toutes les surfaces partielles pour obtenir le total.
⚠️
4. Convertir : Passez en unités agraires. 100 m² = 1 are. C'est l'unité des pros.

"Diviser pour mieux mesurer : la clé de la triangulation efficace."

🎛️ Simulateur : Aire d'un Triangle (Base x Hauteur)

Visualisez l'évolution de la surface d'un triangle en modifiant sa base et sa hauteur. Bien que nous ayons utilisé Héron (par les côtés), comprendre le lien Base/Hauteur est utile pour estimer des ordres de grandeur.

Paramètres du triangle

Base (m) : 50

Hauteur (m) : 20

Surface Calculée (m²) : -

En Ares (a) : -

📝 Quiz final : Validation des acquis

1. Quelle donnée est indispensable pour calculer l'aire d'un quadrilatère quelconque par triangulation ?

Le périmètre extérieur uniquement
La longueur d'au moins une diagonale
L'angle du Nord magnétique

2. Combien font 1500 m² en ares ?

1,5 ares
15 ares
150 ares

3. Dans la formule de Héron, que représente 'p' ?

Le demi-périmètre
Le périmètre total
La plus petite hauteur

📚 Glossaire Technique

Triangulation: Méthode géométrique consistant à diviser une surface complexe en une série de triangles adjacents pour en faciliter le calcul ou la mesure.
Héron (Formule de): Formule attribuée à Héron d'Alexandrie permettant de calculer l'aire d'un triangle en connaissant uniquement la longueur de ses trois côtés, sans connaître sa hauteur.
Are: Unité de mesure de superficie utilisée pour les terrains, valant 100 mètres carrés. Symbole : a.
Centiare: Sous-unité de l'are, valant 1 mètre carré. Symbole : ca.
Polygonale: Ligne brisée formée d'une suite de segments de droite reliant des points topographiques. Elle peut être ouverte ou fermée (comme ici pour la parcelle).

Le Saviez-vous ?

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Calcul de Surface par Triangulation

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique / Données

Schéma du Système

Questions à traiter

Les bases théoriques

Correction : Calcul de Surface par Triangulation

Question 1 : Identification de la décomposition

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Décomposition en Triangles

Calcul(s)

Identification

Calcul intermédiaire

Calcul Principal

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 2 : Calcul de l'aire du triangle T1 (ABC)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Triangle T1 (Isolé)

Calcul(s)

Demi-périmètre

Termes intermédiaires

Calcul Principal

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 3 : Calcul de l'aire du triangle T2 (ADC)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Triangle T2 (Isolé)

Calcul(s)

Demi-périmètre

Termes intermédiaires

Calcul Principal

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 4 : Calcul de la Surface Totale

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces