Calcul de Surface par la Méthode des Trapèzes
Contexte : Le Calcul de Surfaces Irrégulières
Toutes les parcelles de terrain ne sont pas des polygones simples aux côtés droits. Souvent, une ou plusieurs limites sont irrégulières, comme la rive d'une rivière, le bord d'une forêt ou une ancienne clôture sinueuse. Dans ces cas, il est impossible de calculer la surface avec les formules polygonales classiques. La méthode des trapèzes est une technique d'approximation numérique qui permet d'obtenir une estimation fiable de la surface. Elle consiste à établir une ligne de base droite (ou "axe"), puis à mesurer une série de longueurs perpendiculaires (des "ordonnées" ou "offsets") de cet axe jusqu'à la limite irrégulière. La surface est alors la somme des aires des petits trapèzes ainsi formés.
Remarque Pédagogique : Cette méthode est une introduction pratique à l'intégration numérique. Elle montre comment on peut approximer l'aire sous une courbe (la limite irrégulière) en la décomposant en une multitude de formes géométriques simples dont l'aire est facile à calculer. Plus les trapèzes sont nombreux et étroits, plus l'approximation est précise.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le principe de la décomposition d'une surface complexe en trapèzes élémentaires.
- Appliquer la formule de l'aire d'un trapèze.
- Mettre en œuvre la formule générale de la méthode des trapèzes pour une série de mesures.
- Calculer la surface totale d'une parcelle délimitée par une ligne de base et une rive irrégulière.
- Appréhender la notion d'approximation dans les calculs de surface.
Données de l'étude
Schéma du Levé par Ordonnées
| Abscisse sur la base (m) | Ordonnée (longueur jusqu'à la rive, m) |
|---|---|
| 0 | 5.20 (h₀) |
| 10 | 6.80 (h₁) |
| 20 | 7.50 (h₂) |
| 30 | 8.10 (h₃) |
| 40 | 7.30 (h₄) |
| 50 | 6.40 (h₅) |
Question à traiter
En utilisant la méthode des trapèzes, calculer la surface totale de la parcelle comprise entre la clôture et la rive du ruisseau.
Correction : Calcul de Surface par la Méthode des Trapèzes
Calcul de la surface
Principe :
La surface totale est la somme des aires des trapèzes élémentaires formés par chaque paire d'ordonnées consécutives. L'aire d'un trapèze se calcule en multipliant la moyenne de ses deux bases (les ordonnées) par sa hauteur (l'intervalle constant 'd' entre les mesures).
Remarque Pédagogique :
Point Clé : La formule générale est une factorisation du calcul. On remarque que toutes les ordonnées intermédiaires (de h₁ à h₄) sont utilisées deux fois (une fois comme grande base, une fois comme petite base), tandis que les ordonnées extrêmes (h₀ et h₅) ne sont utilisées qu'une seule fois. La formule générale reflète cette observation.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- Intervalle constant : \(d = 10 \, \text{m}\)
- Ordonnées extrêmes : \(h_0 = 5.20 \, \text{m}\), \(h_5 = 6.40 \, \text{m}\)
- Ordonnées intermédiaires : \(h_1=6.80, h_2=7.50, h_3=8.10, h_4=7.30\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Ne pas oublier le facteur 2 : L'erreur la plus commune dans cette formule est d'oublier de multiplier la somme des ordonnées intermédiaires par 2. Il est aussi important de bien identifier les ordonnées extrêmes (la première et la dernière) qui, elles, ne sont pas doublées.
Le saviez-vous ?
Pour Aller Plus Loin : La Méthode de Simpson
Une meilleure approximation : La méthode des trapèzes approxime la courbe par des segments de droite. Une méthode plus précise, la règle de Simpson, approxime la courbe par des arcs de parabole passant par trois points consécutifs. Elle nécessite un nombre pair d'intervalles. Sa formule est \(S = \frac{d}{3} [h_0 + h_n + 4(\text{somme des ordonnées impaires}) + 2(\text{somme des ordonnées paires})] \). Elle donne généralement un résultat plus proche de la surface réelle que la méthode des trapèzes.
Le Saviez-Vous ?
Le planimètre est un instrument mécanique fascinant, aujourd'hui de collection, qui permettait de mesurer l'aire d'une surface sur un plan en suivant son contour avec une pointe. La surface était lue directement sur un vernier gradué. Il réalisait une intégration mécanique, bien avant l'arrivée des ordinateurs.
Foire Aux Questions (FAQ)
Comment choisir l'intervalle 'd' sur le terrain ?
Le choix de l'intervalle est un compromis. Un intervalle plus petit (mesures plus rapprochées) donnera une meilleure précision mais demandera plus de travail sur le terrain. On choisit un intervalle plus court dans les zones où la limite est très sinueuse, et on peut l'allonger dans les zones où la limite est presque droite.
Cette méthode fonctionne-t-elle si la ligne de base n'est pas un des côtés de la parcelle ?
Oui. On peut matérialiser une ligne de base à l'intérieur ou à l'extérieur de la parcelle, et mesurer des ordonnées de part et d'autre. Il faudra alors calculer la surface de chaque côté de la ligne de base et les additionner. La ligne de base sert uniquement de référence pour les mesures perpendiculaires.
Glossaire
- Méthode des Trapèzes
- Technique d'intégration numérique pour approximer l'aire sous une courbe en la décomposant en une série de trapèzes.
- Ligne de Base
- Ligne droite, matérialisée sur le terrain, qui sert de référence pour les mesures d'abscisses et d'ordonnées.
- Ordonnée (ou Offset)
- Distance mesurée perpendiculairement à la ligne de base, jusqu'à la limite irrégulière de la parcelle.
- Règle de Simpson
- Méthode d'intégration numérique plus précise que celle des trapèzes, qui approxime une courbe par des arcs de parabole au lieu de segments de droite.
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