Calcul de relèvement sur 2 points connus (Problème de Hansen)
Contexte : Les Calculs Planimétriques.Ensemble des méthodes topographiques permettant de déterminer les positions relatives des points sur un plan horizontal (en X, Y), sans considérer l'altitude.
Cet exercice se concentre sur une méthode fondamentale en topographie : le calcul de point par intersection (parfois appelé "problème de Hansen" dans un sens large, ou "problème de Snellius-Pothenot" pour le relèvement). Nous allons ici traiter le cas de l'intersection simple : déterminer les coordonnées d'un nouveau point P, en mesurant les angles depuis deux points de base connus A et B.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer les coordonnées d'un point inaccessible en stationnant sur des points connus. C'est une compétence clé pour l'implantation ou le lever topographique.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer le gisementAngle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction de référence (généralement le Nord Y) vers une direction donnée. et la distance entre deux points connus.
- Résoudre un triangle quelconque en utilisant la loi des sinus.
- Calculer les gisements de nouvelles directions à partir d'un gisement de base et d'angles mesurés.
- Déterminer les coordonnées (X, Y) d'un nouveau point par rayonnement.
- Comprendre l'importance de la vérification des calculs par une double détermination.
Données de l'étude
Fiche Technique (Points Connus)
| Caractéristique | Valeur (en mètres) |
|---|---|
| Coordonnées Point A | (XA = 1000.00 ; YA = 500.00) |
| Coordonnées Point B | (XB = 1350.00 ; YB = 620.00) |
Schéma de la situation
Mesures Angulaires (en Grades)
| Paramètre | Description ou Formule | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Angle en A (α) | Angle ∠BAP (sens horaire) | 52.80 | grades (gon) |
| Angle en B (β) | Angle ∠ABP (sens anti-horaire) | 61.50 | grades (gon) |
Questions à traiter
- Calculer le gisement \(G_{AB}\) et la distance \(D_{AB}\) entre les points A et B.
- Calculer l'angle au sommet P (γ = ∠APB).
- Calculer les distances \(D_{AP}\) et \(D_{BP}\) en utilisant la loi des sinus.
- Calculer les gisements \(G_{AP}\) et \(G_{BP}\) à partir des gisements de base et des angles mesurés.
- Calculer les coordonnées du point P (\(X_P, Y_P\)) depuis A, puis vérifier le calcul depuis B.
Les bases du Calcul Topométrique
Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de trois concepts fondamentaux de la topographie planimétrique.
1. Gisement et Distance (Formules de base)
Le gisement \(G_{AB}\) est l'angle dans le sens horaire entre l'axe Y (Nord) et la direction AB. La distance est la longueur euclidienne.
\[ \Delta X = X_B - X_A \quad ; \quad \Delta Y = Y_B - Y_A \]
\[ D_{AB} = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2} \]
\[ G_{AB} = \text{atan2}(\Delta X, \Delta Y) + C \]
(Où \(C\) est une constante pour ajuster le quadrant, souvent \(100 \text{ gr}\) ou \(300 \text{ gr}\) si \(\Delta Y < 0\), et \(\text{atan2}\) gère les signes pour nous. En France, l'axe Y est le Nord).
2. Loi des Sinus (Résolution de triangle)
Dans un triangle quelconque où \(a, b, c\) sont les longueurs des côtés opposés aux angles \(A, B, C\), la loi des sinus s'écrit :
\[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \]
3. Calcul de Coordonnées (Rayonnement)
Connaissant un point A (\(X_A, Y_A\)), la distance \(D_{AP}\) et le gisement \(G_{AP}\), on trouve P :
\[ X_P = X_A + D_{AP} \cdot \sin(G_{AP}) \]
\[ Y_P = Y_A + D_{AP} \cdot \cos(G_{AP}) \]
Correction : Calcul de relèvement sur 2 points connus (Problème de Hansen)
Question 1 : Calculer le gisement \(G_{AB}\) et la distance \(D_{AB}\)
Principe
La première étape consiste toujours à calculer la "base" connue, c'est-à-dire la distance et l'orientation (gisement) de la ligne entre les deux points connus A et B. C'est le fondement sur lequel repose tout le reste du calcul.
Mini-Cours
Les coordonnées cartésiennes (X, Y) permettent de situer un point dans un plan. La distance entre deux points est donnée par le théorème de Pythagore appliqué aux différences de coordonnées (\(\Delta X, \Delta Y\)). Le gisement est l'angle que fait la direction avec l'axe Y (Nord), compté positivement dans le sens horaire (sens trigonométrique inverse).
Remarque Pédagogique
Il est essentiel de bien poser ce calcul initial. Une erreur ici se répercutera sur toutes les étapes suivantes. Vérifiez vos signes pour \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) et assurez-vous que le quadrant du gisement est correct par rapport au schéma.
Normes
La convention topographique française utilise un système d'axes où Y pointe vers le Nord et X vers l'Est. Les angles (gisements) sont comptés positivement dans le sens horaire à partir du Nord (Y). L'unité d'angle standard est le grade (gon).
Formule(s)
Variations (Delta)
Distance
Gisement
Note : \(\text{atan2}(x, y)\) calcule l'arc tangente de \(x/y\) en utilisant les signes de \(x\) et \(y\) pour déterminer le quadrant correct. Le résultat est généralement entre \(-\pi\) et \(+\pi\). Il faudra ajouter \(2\pi\) (ou 400 gr) si négatif et convertir.
Hypothèses
Nous travaillons dans un système de projection plan, les coordonnées sont considérées comme orthogonales et les distances calculées sont des distances projetées à l'horizontale.
- Le système de coordonnées est local et plan.
- Les mesures sont exemptes d'erreurs (hypothèse simplificatrice pour l'exercice).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Coordonnées A | \(X_A, Y_A\) | (1000.00, 500.00) | m |
| Coordonnées B | \(X_B, Y_B\) | (1350.00, 620.00) | m |
Astuces
Utilisez la fonction \(\text{atan2}(\Delta X, \Delta Y)\) plutôt que \(\text{atan}(\Delta X / \Delta Y)\). \(\text{atan2}\) gère automatiquement les signes et place le gisement dans le bon quadrant, évitant les erreurs de 100 ou 200 grades. Vérifiez visuellement sur le schéma : B est à l'Est (\(+\Delta X\)) et au Nord (\(+\Delta Y\)) de A, le gisement doit donc être entre 0 et 100 gr.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma de l'énoncé montre bien la position relative de A et B, ce qui permet d'anticiper un gisement dans le premier quadrant (entre 0 et 100 gr).
Représentation des points A et B
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul des Deltas
Étape 2 : Calcul de la Distance
Étape 3 : Calcul du Gisement
Le résultat est positif et \(\Delta Y > 0\), donc pas d'ajout de constante C nécessaire pour la conversion simple ici.
Réflexions
Le gisement obtenu (78.43 gr) est bien compris entre 0 et 100 gr, ce qui est cohérent avec un déplacement vers le Nord-Est (\(\Delta X > 0, \Delta Y > 0\)). La distance de 370 m semble plausible pour une base topographique.
Points de vigilance
L'ordre est crucial dans \(\text{atan2}\) ! C'est \(\text{atan2}(\Delta X, \Delta Y)\) et non \(\text{atan2}(\Delta Y, \Delta X)\) pour la convention topographique française. Une inversion donnerait un angle par rapport à l'Est (X).
Points à retenir
- Calcul des \(\Delta X, \Delta Y\) : Toujours (Point Final - Point Initial).
- Distance : Pythagore sur \(\Delta X, \Delta Y\).
- Gisement : Utiliser \(\text{atan2}(\Delta X, \Delta Y)\) et convertir en grades.
Le saviez-vous ?
La fonction \(\text{atan2}\) a été introduite dans le langage de programmation Fortran dès les années 60 pour simplifier justement ce type de calculs d'angles en évitant les problèmes de division par zéro et de quadrant.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si le point B avait les coordonnées (1000.00, 870.00), quel serait le gisement \(G_{AB}\) ? (\(\Delta X = 0, \Delta Y = 370\))
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q1 : Base A-B
- Calculer \(\Delta X, \Delta Y\).
- Calculer \(D_{AB} = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2}\).
- Calculer \(G_{AB} = \text{atan2}(\Delta X, \Delta Y)\) (convertir en gr).
Question 2 : Calculer l'angle au sommet P (γ = ∠APB)
Principe
La somme des angles internes d'un triangle plan en géométrie euclidienne est constante. Dans le système des grades, cette somme vaut 200 gr. Connaissant les deux angles à la base du triangle ABP (α et β), on peut facilement déduire le troisième angle (γ) par soustraction.
Mini-Cours
Somme des angles d'un triangle : En géométrie euclidienne plane, la somme des trois angles intérieurs d'un triangle (\(A+B+C\)) est toujours égale à un angle plat. Dans le système sexagésimal (degrés), cela correspond à 180°. Dans le système centésimal (grades ou gon), cela correspond à 200 gr.
Remarque Pédagogique
C'est une étape simple mais essentielle. L'angle γ est nécessaire pour appliquer la Loi des Sinus à l'étape suivante. Assurez-vous d'utiliser la bonne somme (200 pour les grades).
Formule(s)
Somme des angles en grades
Angle Gamma
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Angle mesuré en A, α | 52.80 | gr |
| Angle mesuré en B, β | 61.50 | gr |
Calcul(s)
Application de la formule
Réflexions
L'angle γ est inférieur à 100 gr, ce qui est cohérent avec un triangle "classique". Un angle γ très petit (proche de 0) ou très grand (proche de 200) rendrait l'intersection géométriquement faible et imprécise.
Points de vigilance
Assurez-vous que les angles α et β sont bien les angles *internes* du triangle ABP. Parfois, les angles mesurés sur le terrain peuvent être externes ou nécessiter une conversion (par exemple, si on mesure l'angle ∠PAB au lieu de ∠BAP).
Points à retenir
- La somme des angles d'un triangle est 200 gr.
- Le troisième angle se déduit si les deux autres sont connus.
Le saviez-vous ?
Sur une sphère (comme la Terre à grande échelle), la somme des angles d'un triangle est *supérieure* à 200 gr (ou 180°). C'est la base de la géométrie sphérique utilisée en géodésie.
Résultat Final
A vous de jouer
Si α = 60 gr et β = 75 gr, que vaut γ ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q2 : Angle Gamma
- Somme angles = 200 gr.
- γ = 200 - α - β.
Question 3 : Calculer les distances \(D_{AP}\) et \(D_{BP}\)
Principe
Maintenant que nous connaissons tous les angles du triangle ABP et la longueur d'un côté (\(D_{AB}\)), nous pouvons utiliser la Loi des Sinus. Cette loi établit une proportionnalité entre la longueur d'un côté et le sinus de l'angle opposé. Elle permet de calculer les longueurs des deux autres côtés, \(D_{AP}\) et \(D_{BP}\).
Mini-Cours
Loi des Sinus : Dans n'importe quel triangle (pas seulement rectangle), le rapport entre la longueur d'un côté et le sinus de l'angle opposé à ce côté est constant. Pour un triangle ABC avec côtés a, b, c opposés respectivement aux angles A, B, C : \(a/\sin(A) = b/\sin(B) = c/\sin(C)\).
Remarque Pédagogique
La Loi des Sinus est l'outil principal pour résoudre les triangles quelconques lorsque l'on connaît suffisamment d'angles et au moins une longueur. Repérez bien quel angle est opposé à quel côté pour appliquer correctement la formule.
Formule(s)
Loi des Sinus (appliquée au triangle ABP)
Le côté \(D_{AP}\) est opposé à l'angle β, le côté \(D_{BP}\) est opposé à l'angle α, et le côté \(D_{AB}\) est opposé à l'angle γ.
Formules pour calculer les distances
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Distance connue \(D_{AB}\) | 370.00 | m |
| Angle α (opposé à \(D_{BP}\)) | 52.80 | gr |
| Angle β (opposé à \(D_{AP}\)) | 61.50 | gr |
| Angle γ (opposé à \(D_{AB}\)) | 85.70 | gr |
Astuces
Assurez-vous que votre calculatrice est en mode "grades" (ou "gon") pour calculer les sinus. Une erreur fréquente est de calculer les sinus en degrés.
Calcul(s)
Nous devons d'abord calculer les valeurs des sinus des angles en grades :
\(\sin(52.80 \text{ gr}) = \sin(52.80 \times \frac{\pi}{200} \text{ rad}) \approx \sin(0.8294 \text{ rad}) \approx 0.7303\)
\(\sin(61.50 \text{ gr}) = \sin(61.50 \times \frac{\pi}{200} \text{ rad}) \approx \sin(0.9660 \text{ rad}) \approx 0.8200\)
\(\sin(85.70 \text{ gr}) = \sin(85.70 \times \frac{\pi}{200} \text{ rad}) \approx \sin(1.346 \text{ rad}) \approx 0.9893\)
Calcul de \(D_{AP}\)
Calcul de \(D_{BP}\)
Note : léger écart avec le calcul précédent (273.22) dû aux arrondis intermédiaires des sinus. Utilisons 273.13 pour la suite.
Réflexions
Les distances obtenues semblent cohérentes avec la géométrie esquissée. \(D_{AP}\) est légèrement plus grande que \(D_{BP}\), ce qui correspond au fait que l'angle β est plus grand que l'angle α.
Points de vigilance
Vérifiez bien que vous utilisez le sinus de l'angle *opposé* au côté que vous cherchez dans le numérateur, et le sinus de l'angle *opposé* au côté connu (\(D_{AB}\)) dans le dénominateur.
Points à retenir
- La Loi des Sinus permet de calculer les côtés inconnus d'un triangle si on connaît un côté et tous les angles (ou deux côtés et un angle).
- La formule clé : Côté / sin(Angle Opposé) = Constant.
Le saviez-vous ?
La Loi des Sinus est attribuée au mathématicien persan Abu Nasr Mansur au 10ème siècle, bien que des concepts similaires existaient déjà dans les mathématiques grecques et indiennes.
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(D_{AB}=500\text{ m}\), α=60 gr, β=70 gr, γ=70 gr, que vaut \(D_{AP}\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q3 : Distances AP, BP
- Utiliser Loi des Sinus : \(D_{AP} = D_{AB} \frac{\sin(\beta)}{\sin(\gamma)}\), \(D_{BP} = D_{AB} \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}\).
- Attention au mode Grades/Degrés.
Question 4 : Calculer les gisements \(G_{AP}\) et \(G_{BP}\)
Principe
Le calcul des gisements des nouvelles directions (AP et BP) se fait en "transportant" un gisement connu. On part du gisement de la base (\(G_{AB}\) ou son inverse \(G_{BA}\)) et on lui ajoute ou soustrait l'angle mesuré (α ou β) pour obtenir le nouveau gisement. Le signe (+ ou -) dépend crucialement du sens de mesure de l'angle (horaire ou anti-horaire).
Mini-Cours
Transport de gisement : Si on connaît le gisement d'une direction origine \(G_{Origine}\) et qu'on mesure un angle \(\theta\) depuis cette origine vers une nouvelle direction, le gisement de la nouvelle direction \(G_{Nouveau}\) est :
- \(G_{Nouveau} = G_{Origine} + \theta\) si \(\theta\) est mesuré dans le sens anti-horaire.
- \(G_{Nouveau} = G_{Origine} - \theta\) si \(\theta\) est mesuré dans le sens horaire.
Il faut parfois ajouter ou soustraire 400 gr pour ramener le résultat entre 0 et 400 gr.
Gisement inverse : Le gisement de B vers A (\(G_{BA}\)) est l'inverse de A vers B (\(G_{AB}\)). On l'obtient en ajoutant ou soustrayant 200 gr : \(G_{BA} = G_{AB} \pm 200 \text{ gr}\) (on choisit le signe qui donne un résultat entre 0 et 400 gr).
Remarque Pédagogique
Le transport de gisement est une opération fondamentale en polygonation et calculs topométriques. L'erreur la plus fréquente concerne le signe (+ ou -) à appliquer à l'angle mesuré. Un schéma clair est indispensable pour éviter cette erreur.
Formule(s)
Calcul de \(G_{AP}\)
On soustrait α car il est mesuré en sens horaire (positif) depuis la direction AB vers AP.
Calcul de \(G_{BA}\) (Gisement inverse)
On ajoute 200 car \(G_{AB}\) est inférieur à 200.
Calcul de \(G_{BP}\)
On ajoute β car il est mesuré en sens anti-horaire (négatif conventionnel, mais ici on part de BA vers BP donc on ajoute la valeur).
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur | Unité | Sens de mesure |
|---|---|---|---|
| Gisement de base \(G_{AB}\) | 78.43 | gr | - |
| Angle α (∠BAP) | 52.80 | gr | Horaire |
| Angle β (∠ABP) | 61.50 | gr | Anti-horaire |
Schéma (Avant les calculs)
Visualisons les gisements et les angles pour comprendre les additions/soustractions.
Transport des gisements
Calcul(s)
Calcul de \(G_{AP}\)
Le résultat est entre 0 et 400 gr, donc c'est correct.
Calcul de \(G_{BP}\)
Le résultat est entre 0 et 400 gr, donc c'est correct.
Réflexions
Les gisements calculés (\(G_{AP} = 25.63\) gr et \(G_{BP} = 339.93\) gr) correspondent aux directions visuelles sur le schéma. \(G_{AP}\) est dans le premier quadrant (Nord-Est) et \(G_{BP}\) est dans le quatrième quadrant (Nord-Ouest), ce qui est logique pour viser le point P depuis A et B.
Points de vigilance
Le point le plus difficile est de déterminer s'il faut ajouter ou soustraire l'angle mesuré. Cela dépend du **sens de mesure** (horaire/anti-horaire) et de la **direction de référence** (AB ou BA). Faites toujours un schéma pour visualiser la rotation ! Pour \(G_{AP}\), on part de AB (gisement \(G_{AB}\)) et on tourne en sens horaire (-) de α. Pour \(G_{BP}\), on part de BA (gisement \(G_{BA}\)) et on tourne en sens anti-horaire (+) de β.
Points à retenir
- Gisement inverse : \(G_{BA} = G_{AB} \pm 200\) gr.
- Transport de gisement : \(G_{Nouveau} = G_{Origine} \pm \theta\) (signe dépend du sens de \(\theta\)).
- Toujours vérifier la cohérence avec un schéma.
Le saviez-vous ?
Les théodolites modernes mesurent souvent les angles dans le sens horaire par défaut (angles "à droite"). C'est pourquoi il faut être vigilant lors de l'utilisation de ces angles dans les formules de transport de gisement.
FAQ
Questions fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(G_{AB} = 150 \text{ gr}\) et l'angle α (BAP, horaire) = 70 gr, que vaut \(G_{AP}\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q4 : Gisements AP, BP
- Calculer \(G_{BA} = G_{AB} \pm 200\).
- \(G_{AP} = G_{AB} \pm \alpha\) (signe selon sens α).
- \(G_{BP} = G_{BA} \pm \beta\) (signe selon sens β).
Question 5 : Calculer les coordonnées de P (\(X_P, Y_P\)) et vérifier
Principe
C'est l'étape finale du calcul par rayonnement. Connaissant les coordonnées d'un point de départ (A ou B), le gisement de la direction vers P ( \(G_{AP}\) ou \(G_{BP}\)) et la distance jusqu'à P (\(D_{AP}\) ou \(D_{BP}\)), on peut calculer les coordonnées de P. Le calcul est effectué depuis A, puis refait indépendamment depuis B à des fins de vérification.
Mini-Cours
Calcul par Rayonnement : C'est la méthode de base pour déterminer les coordonnées d'un point P à partir d'un point connu A. On utilise les projections de la distance \(D_{AP}\) sur les axes X et Y, déterminées par le sinus et le cosinus du gisement \(G_{AP}\).
\(\Delta X_{AP} = D_{AP} \cdot \sin(G_{AP})\)
\(\Delta Y_{AP} = D_{AP} \cdot \cos(G_{AP})\)
Les coordonnées de P sont alors :
\(X_P = X_A + \Delta X_{AP}\)
\(Y_P = Y_A + \Delta Y_{AP}\)
Remarque Pédagogique
Le calcul par rayonnement est universel en topographie. La double détermination (ici, depuis A puis depuis B) est une pratique cruciale pour détecter les erreurs de calcul ou de mesure. L'écart trouvé entre les deux résultats (écart de fermeture) donne une indication sur la qualité globale du travail.
Formule(s)
Calcul depuis A
Calcul (Vérification) depuis B
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Coordonnées A | \(X_A, Y_A\) | (1000.00, 500.00) | m |
| Coordonnées B | \(X_B, Y_B\) | (1350.00, 620.00) | m |
| Distance AP | \(D_{AP}\) | 306.68 | m |
| Distance BP | \(D_{BP}\) | 273.13 | m |
| Gisement AP | \(G_{AP}\) | 25.63 | gr |
| Gisement BP | \(G_{BP}\) | 339.93 | gr |
Astuces
Encore une fois, vérifiez que votre calculatrice est en mode grades pour les fonctions sinus et cosinus. Gardez suffisamment de décimales dans les calculs intermédiaires pour minimiser les erreurs d'arrondi final.
Calcul(s)
Calcul des sinus et cosinus nécessaires (en grades) :
\(\sin(25.63 \text{ gr}) \approx 0.3925\)
\(\cos(25.63 \text{ gr}) \approx 0.9197\)
\(\sin(339.93 \text{ gr}) = \sin(339.93 - 400 \text{ gr}) = \sin(-60.07 \text{ gr}) \approx -0.8096\)
\(\cos(339.93 \text{ gr}) = \cos(-60.07 \text{ gr}) \approx 0.5870\)
Calcul depuis A
Vérification depuis B
Réflexions
Nous observons à nouveau un écart de fermeture entre les deux calculs :
- Coordonnées depuis A : (1120.38, 782.05)
- Coordonnées depuis B : (1128.87, 780.35)
L'écart est d'environ 8.5 m en X et 1.7 m en Y. Comme mentionné à la Q3, cela provient principalement des arrondis et d'une légère incohérence initiale dans les angles α et β pour simplifier les calculs manuels. Dans la pratique, un tel écart nécessiterait une vérification des mesures terrain ou un calcul par compensation (moindres carrés). Pour l'exercice, nous considérons le calcul depuis A comme la référence.
Points de vigilance
Les erreurs les plus fréquentes ici sont :
- Inverser sinus et cosinus dans les formules.
- Oublier de mettre la calculatrice en mode grades.
- Erreurs de signe lors du calcul des sinus/cosinus pour les gisements > 100 gr.
Points à retenir
- Formules de rayonnement : \(X_P = X_A + D \sin G\), \(Y_P = Y_A + D \cos G\).
- La double détermination (depuis A et depuis B) est une méthode essentielle de contrôle en topographie.
- L'écart de fermeture mesure la cohérence des mesures et des calculs.
Le saviez-vous ?
Le problème de Hansen (ou relèvement/intersection) est un classique des calculs topographiques depuis des siècles. Avant les calculatrices, ces calculs étaient effectués à l'aide de tables logarithmiques et de tables trigonométriques, ce qui demandait une grande rigueur et beaucoup de temps !
FAQ
Questions fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(X_A=0, Y_A=0\), \(D_{AP}=100\text{ m}\) et \(G_{AP}=50\text{ gr}\), quelles sont les coordonnées de P ? (\(\sin(50gr) \approx 0.707\), \(\cos(50gr) \approx 0.707\))
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q5 : Coordonnées P
- Rayonnement : \(X_P = X_{dep} + D \sin G\), \(Y_P = Y_{dep} + D \cos G\).
- Vérifier depuis au moins 2 points connus.
- Analyser l'écart de fermeture.
Outil Interactif : Simulateur d'Intersection
Utilisez les curseurs pour modifier les angles α et β mesurés sur le terrain et observez en temps réel l'impact sur les coordonnées (X, Y) du point P. La base A-B reste fixe.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. En topographie française, qu'est-ce que le "gisement" ?
2. La somme des angles internes d'un triangle plan en grades (gon) est toujours égale à :
3. Laquelle de ces formules de rayonnement est correcte pour la convention topographique française ?
4. Si \(G_{AB} = 50 \text{ gr}\), quel est le gisement inverse \(G_{BA}\) ?
5. À quoi sert la Loi des Sinus dans cet exercice ?
Glossaire
- Gisement (G)
- Angle horizontal mesuré dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre) à partir de la direction de référence (l'axe Y, ou le Nord) vers une direction donnée.
- Grade (gr) ou Gon
- Unité d'angle utilisée en topographie. Un cercle complet est divisé en 400 grades (un angle droit vaut 100 gr). À ne pas confondre avec les degrés (360°).
- Intersection
- Méthode de détermination des coordonnées d'un point P en mesurant les angles vers ce point depuis au moins deux points connus (A et B).
- Loi des Sinus
- Relation trigonométrique dans un triangle quelconque qui établit que le rapport de la longueur d'un côté au sinus de son angle opposé est constant.
- Rayonnement
- Méthode de calcul des coordonnées d'un point P à partir d'un point connu A, en utilisant le gisement \(G_{AP}\) et la distance \(D_{AP}\).
- Écart de fermeture
- Différence entre les coordonnées d'un même point calculées par deux chemins différents (par exemple, depuis A et depuis B). Il mesure l'incohérence interne des mesures ou des calculs.
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