Étude Topographique

Calcul de l’Incertitude d’une Dénivelée

Calcul de l'Incertitude d'une Dénivelée

Calcul de l'Incertitude d'une Dénivelée

Contexte : Le Nivellement DirectOpération de topographie qui consiste à déterminer la différence d'altitude (dénivelée) entre deux points à l'aide d'un niveau et d'une mire..

En topographie, déterminer l'altitude de points est une tâche fondamentale. Le nivellement direct est la méthode la plus précise pour mesurer des différences d'altitude, appelées dénivelées. Cependant, aucune mesure n'est parfaite. Chaque lecture est affectée par de petites erreurs instrumentales et humaines. Cet exercice a pour but de vous apprendre à quantifier la qualité d'une mesure de dénivelée en calculant son incertitudeParamètre, associé au résultat d'un mesurage, qui caractérise la dispersion des valeurs qui pourraient raisonnablement être attribuées au mesurande., ce qui est indispensable pour garantir la fiabilité des plans topographiques et la conformité des ouvrages de génie civil.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera dans l'application de la théorie de propagation des erreurs, un concept statistique essentiel pour tout technicien ou ingénieur, dans le cas pratique et réglementé du nivellement topographique.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre les sources d'erreurs et la notion de tolérance en nivellement.
  • Calculer un écart de fermeture et le comparer à la tolérance réglementaire.
  • Appliquer la loi de propagation des variances pour évaluer un écart-type.
  • Déterminer l'incertitude élargie d'une mesure pour un niveau de confiance donné.

Données de l'étude

Un géomètre a réalisé un nivellement direct aller-retour entre deux repères A et B pour déterminer la dénivelée \(\Delta Z_{\text{AB}}\). L'objectif est de valider la mesure et de fournir le résultat final accompagné de son incertitude.

Fiche Technique de l'Opération
Caractéristique Valeur
Instrument utilisé Niveau numérique de précision
Méthode employée Nivellement direct par cheminement fermé
Points de contrôle Repère A (départ/arrivée), Repère B (intermédiaire)
Schéma du Cheminement de Nivellement
Point A Point B Aller Retour
Paramètre Symbole Valeur Unité
Dénivelée Aller (A vers B) \(\Delta Z_{\text{aller}}\) +5.214 m
Dénivelée Retour (B vers A) \(\Delta Z_{\text{retour}}\) -5.208 m
Longueur du cheminement (aller simple) \(L\) 400 m
Nombre de stations (aller simple) \(n\) 8 -

Questions à traiter

  1. Calculer la dénivelée moyenne compensée entre A et B.
  2. Déterminer l'écart de fermeture du cheminement.
  3. Vérifier si cet écart respecte la tolérance pour un nivellement de précision (\(T_{\text{mm}} \le 8 \sqrt{L_{\text{km}}}\)).
  4. Estimer l'écart-type sur la dénivelée moyenne compensée.
  5. Calculer l'incertitude élargie à 95% (facteur d'élargissement k=2) et présenter le résultat final.

Les bases sur l'Incertitude en Topographie

En topographie, il est crucial de distinguer l'erreur (la différence entre une valeur mesurée et la valeur vraie, qui est inconnue) de l'incertitude (la quantification du doute sur le résultat de la mesure). On ne calcule jamais l'erreur vraie, mais on estime l'incertitude à partir de la dispersion des mesures.

1. Compensation par moyenne
Pour des mesures répétées ou redondantes (comme un nivellement aller-retour), la valeur la plus probable est la moyenne des observations. Pour une dénivelée, on moyenne la mesure aller et l'opposé de la mesure retour. \[ \Delta Z_{\text{moyen}} = \frac{\Delta Z_{\text{aller}} + (-\Delta Z_{\text{retour}})}{2} \]

2. Propagation des variances
L'incertitude sur un résultat calculé à partir de plusieurs mesures indépendantes se détermine avec la loi de propagation des variances. Pour une somme ou différence \(Y = aX_1 \pm bX_2\), la variance est la somme des variances pondérées : \[ \sigma_Y^2 = a^2\sigma_{X_1}^2 + b^2\sigma_{X_2}^2 \] L'écart-type \(\sigma_Y\) est la racine carrée de la variance.

Correction : Calcul de l'Incertitude d'une Dénivelée

Question 1 : Calculer la dénivelée moyenne compensée entre A et B.

Principe

La dénivelée aller et la dénivelée retour sont deux mesures de la même grandeur physique (avec un signe opposé). Pour obtenir la meilleure estimation possible, on calcule la moyenne de la mesure aller (\(\Delta Z_{\text{aller}}\)) et de l'opposé de la mesure retour (\(-\Delta Z_{\text{retour}}\)). Cette opération s'appelle la compensation.

Mini-Cours

En théorie de la mesure, lorsque l'on dispose de plusieurs observations d'une même grandeur (ici, la dénivelée entre A et B), la moyenne arithmétique est considérée comme l'estimateur le plus probable de la valeur vraie, à condition que les mesures aient la même qualité (même poids). C'est une application du principe des moindres carrés dans son cas le plus simple.

Remarque Pédagogique

Le concept de "compensation" est fondamental. On ne se contente pas de prendre une mesure, on la contrôle par une seconde (le retour) et on combine les deux pour obtenir un résultat plus fiable que chacune des mesures prises isolément. Pensez toujours à la redondance de vos mesures.

Normes

La compensation des mesures redondantes par la moyenne est une pratique standard universelle en sciences et en ingénierie, formalisée dans tous les manuels de topographie et de calcul d'erreurs.

Formule(s)

Formule de la dénivelée moyenne

\[ \Delta Z_{\text{moy}} = \frac{\Delta Z_{\text{aller}} - \Delta Z_{\text{retour}}}{2} \]
Hypothèses

On suppose que les deux mesures (aller et retour) ont été réalisées dans des conditions similaires et avec la même précision. On leur accorde donc le même "poids" dans le calcul de la moyenne. On suppose également l'absence de faute (erreur grossière) dans les mesures.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Dénivelée Aller\(\Delta Z_{\text{aller}}\)+5.214m
Dénivelée Retour\(\Delta Z_{\text{retour}}\)-5.208m
Astuces

Pour un calcul mental rapide, vérifiez que le résultat se trouve bien "entre" les deux valeurs utilisées pour la moyenne (ici, entre 5.214 et 5.208). Si ce n'est pas le cas, vous avez probablement une erreur de signe.

Calcul(s)

Étape 1 : Application de la formule

\[ \Delta Z_{\text{moy}} = \frac{5.214 - (-5.208)}{2} \]

Étape 2 : Simplification du numérateur

\[ \Delta Z_{\text{moy}} = \frac{10.422}{2} \]

Étape 3 : Calcul final

\[ \Delta Z_{\text{moy}} = 5.211 \text{ m} \]
Réflexions

Le résultat compensé, +5.211 m, est la valeur la plus juste que nous puissions déduire de nos mesures. Elle répartit l'écart constaté entre l'aller et le retour de manière égale entre les deux parcours.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est une erreur de signe. La dénivelée de B vers A est l'opposée de celle de A vers B. La formule \(\Delta Z_{\text{aller}} - \Delta Z_{\text{retour}}\) intègre déjà ce changement de signe. Faites attention à ne pas l'appliquer deux fois !

Points à retenir

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : La redondance (mesure aller-retour) permet de contrôler et d'améliorer la précision.
  • Formule Essentielle : \(\Delta Z_{\text{moy}} = (\Delta Z_{\text{aller}} - \Delta Z_{\text{retour}}) / 2\).
  • Principe : La moyenne est le meilleur estimateur d'une grandeur mesurée plusieurs fois.
Le saviez-vous ?

La méthode de compensation par les moindres carrés, dont la moyenne arithmétique est un cas particulier, a été développée indépendamment par Carl Friedrich Gauss et Adrien-Marie Legendre au début du 19ème siècle. Elle reste aujourd'hui le fondement de tous les calculs de topométrie et de géodésie.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions. Voici une liste des interrogations les plus fréquentes.

Pourquoi ne pas simplement utiliser la mesure aller, qui semble plus directe ?

Une mesure unique ne contient aucune information sur sa propre qualité. On pourrait avoir commis une faute de lecture ou de calcul sans le savoir. Le retour est indispensable pour valider la mesure et augmenter sa fiabilité.

Résultat Final
La dénivelée moyenne compensée est de \(\Delta Z_{\text{moy}} = +5.211 \text{ m}\).
A vous de jouer

Si la mesure aller était de +2.345 m et la mesure retour de -2.339 m, quelle serait la dénivelée moyenne ?

Question 2 : Déterminer l'écart de fermeture du cheminement.

Principe

Un cheminement aller-retour est un cheminement fermé : on part d'un point A pour arriver à un point B, puis on revient au point A. Théoriquement, la dénivelée totale sur ce parcours fermé devrait être nulle. La valeur non nulle obtenue est appelée "écart de fermeture" et représente l'accumulation des erreurs aléatoires commises sur le parcours.

Mini-Cours

En topographie, un cheminement est dit "fermé" s'il revient à son point de départ. La somme théorique des dénivelées d'un cheminement fermé est toujours zéro. La vérification de cette condition géométrique est le principal moyen de contrôle sur le terrain. L'écart de fermeture est la matérialisation de l'ensemble des petites erreurs inévitables (lecture, mise en station, etc.).

Remarque Pédagogique

L'écart de fermeture est le premier indicateur de la qualité de votre travail sur le terrain. Un géomètre calcule toujours cet écart avant même de quitter le chantier pour s'assurer que son travail est acceptable. C'est un réflexe professionnel crucial.

Normes

Le calcul et la vérification de l'écart de fermeture sont des étapes obligatoires dans toutes les normes et cahiers des charges relatifs aux travaux de nivellement, que ce soit pour des projets de construction, de voirie ou de surveillance d'ouvrages.

Formule(s)

Formule de l'écart de fermeture

\[ f_z = \Delta Z_{\text{aller}} + \Delta Z_{\text{retour}} \]
Hypothèses

On suppose que le point de départ A et le point d'arrivée du retour sont physiquement les mêmes (le repère n'a pas bougé entre les deux mesures).

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Dénivelée Aller\(\Delta Z_{\text{aller}}\)+5.214m
Dénivelée Retour\(\Delta Z_{\text{retour}}\)-5.208m
Astuces

L'écart de fermeture est égal à la différence entre la dénivelée aller et l'opposé de la dénivelée retour : \(f_z = 5.214 - 5.208 = 6\) mm. C'est souvent plus simple à calculer mentalement.

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de l'Écart de Fermeture
A B Chemin Aller Chemin Retour fz
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la somme algébrique

\[ f_z = 5.214 + (-5.208) \]

Étape 2 : Résultat du calcul

\[ f_z = +0.006 \text{ m} \]
Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma additionnel requis.

Réflexions

Un écart de fermeture de 6 mm sur un parcours total de 800 m (400 m aller + 400 m retour) est un résultat très honorable pour un nivellement de précision, ce qui suggère que les mesures ont été effectuées avec soin.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de se tromper dans les signes. La dénivelée retour a un signe opposé à la dénivelée aller. L'écart de fermeture est bien une somme algébrique, pas une différence !

Points à retenir

Synthèse de la Question 2 :

  • Concept Clé : Un cheminement fermé permet un autocontrôle.
  • Formule Essentielle : \(f_z = \sum \Delta Z = \Delta Z_{\text{aller}} + \Delta Z_{\text{retour}}\).
  • Principe : L'écart de fermeture quantifie l'erreur globale de la mesure.
Le saviez-vous ?

On distingue les erreurs aléatoires (qui causent l'écart de fermeture) des erreurs systématiques (qui s'accumulent toujours dans le même sens, comme une mire mal étalonnée) et des fautes (erreurs grossières, comme une lecture de 1.8 m au lieu de 1.3 m). Le nivellement aller-retour permet d'éliminer certaines erreurs systématiques et de détecter les fautes.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Que faire si l'écart de fermeture est très grand ?

Un grand écart de fermeture (au-delà de la tolérance) indique soit une faute, soit des conditions de mesure très dégradées. Dans tous les cas, il est impératif de refaire entièrement le cheminement de nivellement.

Résultat Final
L'écart de fermeture est de \(f_z = +6 \text{ mm}\).
A vous de jouer

Avec \(\Delta Z_{\text{aller}} = +10.112\) m et \(\Delta Z_{\text{retour}} = -10.121\) m, quel serait l'écart de fermeture en mm ?

Question 3 : Vérifier si cet écart respecte la tolérance.

Principe

Les opérations de topographie sont encadrées par des tolérances réglementaires ou contractuelles qui définissent la précision maximale admissible pour un type de travail donné. Si l'écart de fermeture mesuré est inférieur à la tolérance, la mesure est acceptée. Sinon, elle doit être refaite.

Mini-Cours

Les formules de tolérance en nivellement sont empiriques, basées sur des milliers d'observations. Elles prennent généralement la forme \(T = C \sqrt{L}\), où L est la longueur du parcours. La constante C dépend de la classe de précision visée. La racine carrée de L traduit le fait que les erreurs aléatoires s'accumulent de manière quadratique, et non linéaire.

Remarque Pédagogique

Comparer l'écart à la tolérance est l'étape de décision : "Mon travail est-il acceptable ou non ?". C'est un moment de responsabilité pour le technicien. Il ne faut jamais "arranger" un calcul pour qu'il passe ; la sécurité des futurs ouvrages peut en dépendre.

Normes

La formule \(T_{\text{mm}} \le 8 \sqrt{L_{\text{km}}}\) est une tolérance couramment utilisée en France pour le nivellement de précision (anciennement "nivellement de précision ordinaire"). D'autres pays ou projets peuvent avoir des formules légèrement différentes.

Formule(s)

Formule de la tolérance

\[ T_{\text{mm}} = 8 \sqrt{L_{\text{km}}} \]

Note: L est la longueur totale du cheminement aller-retour.

Hypothèses

On suppose que la formule de tolérance fournie dans l'énoncé est celle qui s'applique contractuellement à la mission du géomètre.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Écart de fermeture\(f_z\)6mm
Longueur aller simple\(L_{\text{aller}}\)400m
Astuces

La plus grande source d'erreur est la conversion d'unités. Assurez-vous d'utiliser la longueur TOTALE (aller + retour) et de la convertir en KILOMÈTRES avant de l'injecter dans la formule.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison à la Tolérance
0 mmTolérance (T)|fz| mesuré
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la longueur totale du parcours en kilomètres

\[ \begin{aligned} L_{\text{total}} &= L_{\text{aller}} + L_{\text{retour}} \\ &= 400 \text{ m} + 400 \text{ m} \\ &= 800 \text{ m} \\ &= 0.8 \text{ km} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de la tolérance T

\[ \begin{aligned} T &= 8 \sqrt{0.8} \\ &\approx 8 \times 0.894 \\ &\approx 7.15 \text{ mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma requis.

Réflexions

On compare la valeur absolue de l'écart de fermeture à la tolérance calculée.
\(|f_z| = 6\) mm.
\(T = 7.15\) mm.
Puisque \(|f_z| < T\), le critère de tolérance est respecté. La mesure est donc validée et peut être utilisée.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'oublier de prendre la racine carrée, ou d'utiliser la longueur en mètres au lieu de kilomètres. Une double vérification des unités est indispensable.

Points à retenir

Synthèse de la Question 3 :

  • Concept Clé : Toute mesure doit être comparée à une tolérance pour être validée.
  • Formule Essentielle : La structure de la formule \(T = C \sqrt{L}\) est à retenir.
  • Principe : Si \(|f_z| \le T\), la mesure est acceptée. Sinon, elle est rejetée.
Le saviez-vous ?

Pour le Nivellement Général de la France (NGF), qui définit les altitudes officielles, les tolérances sont extrêmement faibles. Pour le nivellement de haute précision, la formule est de l'ordre de \(T = 2 \sqrt{L_{\text{km}}}\), soit 4 fois plus exigeante que dans notre exercice !

FAQ

Questions fréquentes :

Que se passe-t-il si mon écart est de 7.2 mm, soit juste au-dessus de la tolérance de 7.15 mm ?

En théorie, la mesure doit être rejetée et refaite. Dans la pratique, l'ingénieur peut, selon le contexte du projet, accepter la mesure en justifiant sa décision, mais c'est une exception qui engage sa responsabilité.

Résultat Final
La mesure est acceptée car l'écart de fermeture (6 mm) est inférieur à la tolérance réglementaire (7.15 mm).
A vous de jouer

Pour un parcours aller de 1.2 km, quelle serait la tolérance de fermeture maximale en mm ?

Question 4 : Estimer l'écart-type sur la dénivelée moyenne compensée.

Principe

L'écart-type est une mesure statistique qui quantifie la dispersion des erreurs aléatoires. Il représente la "précision" de notre mesure. En se basant sur l'écart de fermeture, qui est une manifestation concrète de ces erreurs, on peut estimer l'écart-type de notre résultat final (la dénivelée moyenne).

Mini-Cours

L'écart-type (\(\sigma\)) est la racine carrée de la variance (\(\sigma^2\)). La variance d'une somme ou différence de variables indépendantes est la somme de leurs variances. La variance de la moyenne de \(n\) mesures de même variance \(\sigma^2\) est \(\sigma^2/n\). En combinant ces principes, on peut démontrer que l'écart-type de la dénivelée moyenne \(\Delta Z_{\text{moy}}\) est lié à l'écart de fermeture \(f_z\).

Remarque Pédagogique

Cette étape fait le pont entre le contrôle qualité (la tolérance) et le calcul d'incertitude. L'écart de fermeture n'est pas seulement une valeur à comparer à une limite, c'est aussi la donnée d'entrée qui va nous permettre de chiffrer la fiabilité de notre résultat. Ne jetez jamais vos écarts de fermeture !

Normes

Les formules utilisées ici sont des applications directes de la théorie de la propagation des variances, qui est un pilier des statistiques et est décrite dans des standards internationaux comme le GUM (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement).

Formule(s)

Formule de l'écart-type de la dénivelée moyenne

\[ \sigma_{\Delta Z} = \frac{|f_z|}{2\sqrt{2}} \]
Hypothèses

On suppose que l'écart de fermeture \(f_z\) est principalement dû aux erreurs aléatoires et que les erreurs systématiques ont été minimisées ou se sont annulées grâce au protocole aller-retour.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Écart de fermeture\(f_z\)6mm
Astuces

La formule finale \(\sigma_{\Delta Z} = |f_z| / (2\sqrt{2})\) est une simplification très pratique pour le cas d'un nivellement aller-retour. Rappelez-vous que \(2\sqrt{2} \approx 2.83\), donc l'écart-type est environ l'écart de fermeture divisé par 3.

Schéma (Avant les calculs)
Signification de l'Écart-Type
Valeur MoyenneIntervalle de +/- 1 sigma (68% des cas)
Calcul(s)

Étape 1 : Application de la formule

\[ \sigma_{\Delta Z} = \frac{6 \text{ mm}}{2 \sqrt{2}} \]

Étape 2 : Calcul de la valeur

\[ \sigma_{\Delta Z} \approx 2.12 \text{ mm} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat et son Écart-Type
5.211 m Intervalle sigma = +/- 2.1 mm
Réflexions

Un écart-type de 2.1 mm signifie que si nous refaisions la mesure un grand nombre de fois, environ 68% de nos résultats se situeraient dans un intervalle de \(\pm 2.1\) mm autour de la moyenne. C'est une mesure de la précision (ou répétabilité) de notre protocole de mesure.

Points de vigilance

Ne pas confondre l'écart-type de la dénivelée moyenne (\(\sigma_{\Delta Z}\)) avec l'écart-type kilométrique (\(\sigma_0\)), qui caractérise la méthode sur une distance standard de 1 km. La précision du résultat final dépend de la longueur du parcours, ce que la formule prend en compte.

Points à retenir

Synthèse de la Question 4 :

  • Concept Clé : L'écart-type mesure la dispersion due aux erreurs aléatoires.
  • Formule Essentielle : \(\sigma_{\Delta Z} = |f_z|/(2\sqrt{2})\).
  • Principe : L'écart de fermeture permet d'estimer la précision de la mesure finale.
Le saviez-vous ?

Le facteur \(2\sqrt{2}\) peut paraître mystérieux. Le '2' au dénominateur vient du fait qu'on fait la moyenne de deux mesures (aller et retour), ce qui divise la variance par 2. Le '\(\sqrt{2}\)' supplémentaire vient du fait que l'écart de fermeture est la différence entre deux grandeurs (aller et retour), ce qui additionne leurs variances. La combinaison des deux effets mène à ce facteur.

FAQ

Question fréquente :

Pourquoi l'écart-type est-il plus petit que l'écart de fermeture ?

L'écart de fermeture \(f_z\) est la somme des erreurs sur l'aller ET le retour. L'écart-type \(\sigma_{\Delta Z}\) caractérise la dénivelée moyenne, qui est une valeur plus précise que les mesures individuelles. Il est donc logique que la dispersion de la moyenne soit plus faible que la dispersion totale observée.

Résultat Final
L'écart-type estimé sur la dénivelée moyenne est \(\sigma_{\Delta Z} \approx 2.1 \text{ mm}\).
A vous de jouer

Avec un écart de fermeture de 12 mm, quel serait l'écart-type de la dénivelée moyenne ?

Question 5 : Calculer l'incertitude élargie et présenter le résultat final.

Principe

L'écart-type donne un intervalle de confiance de 68%, ce qui est souvent insuffisant pour des applications d'ingénierie. Pour fournir un résultat avec un intervalle de confiance plus élevé (généralement 95%), on calcule l'incertitude élargie (U) en multipliant l'écart-type par un "facteur d'élargissement" k, qui vaut 2 dans la plupart des cas.

Mini-Cours

L'incertitude-type (qui est l'écart-type, \(\sigma\)) est combinée avec un facteur d'élargissement (k) pour obtenir une incertitude élargie (\(U = k \cdot \sigma\)). Le choix de k dépend du niveau de confiance désiré et de la loi de probabilité des erreurs. Pour une loi Normale (Gaussienne), un facteur k=1.96 correspond à un niveau de confiance de 95%. Par convention et pour simplifier, on utilise très souvent k=2.

Remarque Pédagogique

La présentation finale d'un résultat de mesure sous la forme "valeur ± incertitude" est le langage universel de l'ingénieur et du scientifique. Elle transmet non seulement une valeur, mais aussi le degré de confiance que l'on peut lui accorder. Un résultat sans son incertitude est une information incomplète.

Normes

La méthodologie de calcul et de présentation des incertitudes est standardisée au niveau international par le "Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement" (GUM), document de référence pour tous les domaines de la métrologie.

Formule(s)

Formule de l'incertitude élargie

\[ U = k \times \sigma_{\Delta Z} \]
Hypothèses

On suppose que les erreurs de mesure suivent une loi de distribution Normale (courbe de Gauss), ce qui justifie l'utilisation du facteur d'élargissement k=2 pour un niveau de confiance de 95%.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Écart-type de la dénivelée\(\sigma_{\Delta Z}\)2.12mm
Facteur d'élargissement\(k\)2-
Astuces

Pour un aller-retour, l'incertitude U (avec k=2) est simplement \(|f_z| / \sqrt{2}\). C'est un raccourci utile. \(|f_z| / 1.414 \approx 0.7 \times |f_z|\). L'incertitude à 95% vaut donc environ 70% de l'écart de fermeture.

Schéma (Avant les calculs)
Intervalle de Confiance à 95%
Valeur MoyenneIntervalle de +/- U (95% de confiance)
Calcul(s)

Calcul de l'incertitude élargie

\[ \begin{aligned} U &= 2 \times 2.12 \text{ mm} \\ &= 4.24 \text{ mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Présentation du Résultat Final
5.211 m Incertitude U = +/- 4.2 mm (Confiance 95%)
Réflexions

Le résultat final de la mesure doit toujours être présenté sous la forme : Valeur ± Incertitude. Cela signifie qu'il y a 95% de chances que la "vraie" valeur de la dénivelée se trouve dans l'intervalle [5.211 m - 0.00424 m ; 5.211 m + 0.00424 m]. On arrondit généralement l'incertitude à un ou deux chiffres significatifs, soit 4.2 mm.

Points de vigilance

Ne jamais donner un résultat avec une précision supérieure à celle de son incertitude. Écrire "5.2110 m ± 4.2 mm" n'a pas de sens. L'incertitude étant au dixième de millimètre, le résultat doit aussi être donné au dixième de millimètre (ou au millimètre).

Points à retenir

Synthèse de la Question 5 :

  • Concept Clé : L'incertitude élargie définit un intervalle de confiance pour le résultat.
  • Formule Essentielle : \(U = k \cdot \sigma\).
  • Principe : Le résultat final s'écrit toujours sous la forme \(\text{Valeur} \pm U\).
Le saviez-vous ?

Le facteur k=2 est une approximation. Pour être parfaitement rigoureux, il faudrait utiliser la distribution de Student, qui dépend du nombre de mesures. Mais pour les applications courantes en topographie, où le nombre d'observations est suffisant, l'approximation par la loi Normale avec k=2 est universellement acceptée.

FAQ

Question fréquente :

Quelle est la différence entre précision et exactitude ?

La précision est liée aux erreurs aléatoires et est mesurée par l'écart-type (faible écart-type = grande précision). L'exactitude (ou justesse) est liée aux erreurs systématiques. Un mesure peut être très précise (résultats groupés) mais inexacte (loin de la valeur vraie). Le protocole aller-retour vise à améliorer à la fois la précision (en moyennant) et l'exactitude (en annulant des erreurs systématiques).

Résultat Final
La dénivelée finale est : \(\Delta Z_{\text{AB}} = +5.211 \text{ m} \pm 4.2 \text{ mm}\) (à 95% de confiance).
A vous de jouer

Si l'écart-type d'une autre mesure était de 3.5 mm, quelle serait son incertitude élargie à 95% ?

Outil Interactif : Simulateur d'Incertitude

Utilisez cet outil pour voir comment la longueur du parcours et l'écart de fermeture mesuré influencent la tolérance et l'incertitude finale de la mesure.

Paramètres d'Entrée
400 m
6 mm
Résultats Clés
Tolérance réglementaire (mm) -
Incertitude élargie U (mm) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce que l'écart de fermeture en nivellement aller-retour ?

2. La tolérance de fermeture d'un cheminement dépend principalement de :

3. Si l'écart-type d'une mesure est de 2 mm, quelle est son incertitude élargie à 95% (avec k=2) ?

4. Pourquoi réalise-t-on un nivellement "aller-retour" ?

5. Si on réalise un cheminement deux fois plus long avec la même méthode, la tolérance sera :

Dénivelée
Différence d'altitude entre deux points.
Nivellement Direct
Ensemble des opérations topographiques permettant de déterminer la dénivelée entre des points par des visées horizontales à l'aide d'un niveau.
Écart-type
Mesure statistique de la dispersion d'un ensemble de valeurs de données par rapport à sa moyenne. C'est la racine carrée de la variance.
Incertitude Élargie
Intervalle dans lequel la valeur vraie d'une mesure a une forte probabilité de se trouver (généralement 95%). Obtenue en multipliant l'écart-type par un facteur k.
Écart de fermeture
Dans un cheminement fermé, différence entre la valeur théorique (souvent zéro) et la valeur mesurée après retour au point de départ. Il quantifie l'erreur globale de la mesure.
Calcul de l'Incertitude d'une Dénivelée

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