Calcul de l'altitude d'un point sous une arche
Contexte : Mesurer ce qui est caché
En topographie, on est souvent confronté à des points inaccessibles. Un cas particulier est celui d'un point situé directement sous un obstacle, comme la clé de voûte d'une arche, un pont, ou le dessous d'une corniche. Il est impossible de poser un prisme directement sur ce point et de le viser. La solution consiste à utiliser un intermédiaire : une mireAussi appelée "stadia" ou "règle graduée". Règle verticale graduée (souvent en centimètres) que l'on tient sur un point pour permettre une lecture de hauteur. ou un mètre ruban tenu verticalement sur le point. Le topographe vise un point lisible sur la mire, calcule son altitude, puis soustrait la hauteur lue sur la mire pour en déduire l'altitude du point au sol.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre une astuce de terrain fondamentale. Il combine un calcul de nivellement trigonométrique classique avec une simple soustraction pour résoudre un problème d'inaccessibilité verticale. C'est une méthode très utilisée pour les levés d'ouvrages d'art et de détails de bâtiments.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer l'altitude d'un point intermédiaire visé sur une mire.
- Comprendre le rôle de la lecture sur la mire.
- Appliquer une correction de hauteur pour trouver l'altitude d'un point masqué.
- Maîtriser la chaîne de calcul complète pour une visée indirecte.
Données de l'étude
Schéma de la mesure
- Altitude de la station S : \(Alt_S = 52.140 \, \text{m}\)
- Hauteur de l'instrument : \(h_t = 1.615 \, \text{m}\)
- Distance horizontale : \(D_h = 42.85 \, \text{m}\)
- Angle vertical : \(V = 101.5200 \, \text{gon}\)
- Lecture sur la mire : \(L = 1.240 \, \text{m}\)
Questions à traiter
- Calculer l'altitude du point visé sur la mire (\(Alt_{\text{visé}}\)).
- En déduire l'altitude du point P au sol (\(Alt_P\)).
Correction : Calcul d'un Point sous une Arche
Question 1 : Altitude du Point Visé sur la Mire
Principe :
La première étape est un calcul de nivellement trigonométrique standard pour trouver l'altitude du point exact qui a été visé sur la mire. On part de l'altitude de la station, on ajoute la hauteur de l'instrument, puis on ajoute la dénivelée brute calculée.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : La visée est descendante (V > 100 gon), on s'attend donc à une dénivelée brute négative. L'altitude du point visé sur la mire sera donc plus basse que l'altitude de l'axe des tourillons de l'instrument.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- \(Alt_S = 52.140 \, \text{m}\), \(h_t = 1.615 \, \text{m}\)
- \(D_h = 42.85 \, \text{m}\), \(V = 101.5200 \, \text{gon}\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Ne pas confondre mire et prisme : Dans les exercices précédents, on soustrayait la hauteur du prisme (\(h_p\)) à cette étape. Ici, on ne le fait pas, car on cherche l'altitude du point visé lui-même, pas encore celle du point au sol. La hauteur lue sur la mire (\(L\)) sera utilisée dans la question suivante.
Le saviez-vous ?
Question 2 : Altitude du Point P au Sol
Principe :
L'altitude du point P au sol est simplement l'altitude du point que nous avons visé sur la mire, à laquelle on soustrait la hauteur lue sur cette même mire. La mire fait le lien vertical entre le point visé (en l'air) et le point au sol.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : C'est la correction finale qui permet de passer de la mesure indirecte à la coordonnée réelle du point cherché. Cette étape simple est cruciale et ne doit jamais être oubliée lorsque l'on ne vise pas directement le point final.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- Altitude du point visé \(Alt_{\text{visé}} = 52.727 \, \text{m}\)
- Lecture sur la mire \(L = 1.240 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Verticalité de la mire : Le calcul n'est exact que si la mire est tenue parfaitement à la verticale. Si l'aide-opérateur la penche, la lecture L sera incorrecte et l'altitude finale fausse. C'est pourquoi les mires sont équipées d'un niveau à bulle sphérique.
Le saviez-vous ?
Simulation du Calcul sous Arche
Faites varier les paramètres de la mesure pour observer l'impact sur l'altitude finale du point P.
Paramètres de la Visée
Composition de l'Altitude
Pour Aller Plus Loin : Le Nivellement par Rayonnement
Lever de multiples points : La technique de cet exercice peut être répétée des dizaines de fois depuis la même station pour lever tous les points nécessaires à la description d'un terrain ou d'un ouvrage. L'opérateur vise successivement les mires tenues par un ou plusieurs aides sur tous les points caractéristiques (coins de bâtiments, bordures de trottoirs, pieds de talus...). C'est la méthode de base pour la création de plans topographiques détaillés.
Le Saviez-Vous ?
Le mot "stadia", parfois utilisé pour désigner la mire, vient du grec "stadion", une unité de longueur antique (environ 185 mètres). Les premiers instruments de mesure de distance, appelés "stadiomètres", utilisaient des fils dans la lunette (fils stadimétriques) pour encadrer une mire et en déduire la distance par la hauteur interceptée.
Foire Aux Questions (FAQ)
Que se passe-t-il si la mire n'est pas tenue verticalement ?
C'est une source d'erreur importante. Si la mire est penchée vers l'instrument, la lecture \(L\) sera trop petite et l'altitude calculée trop haute. Si elle est penchée vers l'arrière, la lecture sera trop grande et l'altitude trop basse. C'est pourquoi les cannes porte-prisme et les mires sont équipées de niveaux à bulle pour garantir leur verticalité.
Peut-on utiliser cette méthode pour mesurer la hauteur libre sous un pont ?
Oui, c'est une application parfaite. On mesure d'abord l'altitude du dessous du pont en utilisant une mire inversée, puis l'altitude de la route en dessous avec une mire normale. La différence entre les deux altitudes donne la hauteur libre exacte à cet endroit.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si l'aide-opérateur lit 2.500 m sur la mire au lieu de 1.500 m, l'altitude finale calculée pour le point P sera :
2. Pour calculer l'altitude du point P, quelle information n'est PAS strictement nécessaire ?
Glossaire
- Mire (ou Stadia)
- Règle verticale graduée, généralement en centimètres, que l'on positionne sur un point pour permettre une lecture de hauteur à distance via un instrument optique (niveau ou station totale).
- Point Visé
- Point précis sur lequel l'opérateur dirige la lunette de son instrument. Dans ce cas, c'est un point sur la mire, et non le point final au sol.
- Visée Indirecte
- Technique de mesure où l'on ne vise pas directement le point d'intérêt, mais un objet intermédiaire (mire, prisme) positionné sur ce point.
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