Calcul de l'Altitude du Faîtage d'un Toit

Contexte : Le Nivellement DirectMéthode de topographie permettant de déterminer des altitudes en visant une mire graduée avec un niveau (instrument optique horizontal)..

Cet exercice met en application les principes du nivellement direct pour déterminer des altitudes. À partir d'un repère connu, nous allons calculer l'altitude de la base d'un bâtiment, puis utiliser les caractéristiques géométriques du toit (pente, largeur) pour trouver l'altitude de son point le plus haut : le faîtage.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à enchaîner les calculs altimétriques (calcul de visée, points rayonnés) et à les combiner avec des calculs géométriques simples (pentes, trigonométrie) pour résoudre un problème concret de topographie du bâtiment.

Objectifs Pédagogiques

Maîtriser le calcul d'un plan de visée par nivellement direct.
Déterminer l'altitude d'un point par rapport à une visée.
Calculer une hauteur à partir d'une pente et d'une distance horizontale.
Enchaîner les calculs pour déterminer une altitude finale (le faîtage).

Données de l'étude

Un géomètre doit déterminer l'altitude du faîtage d'un bâtiment. Il utilise un niveau optique et une mire. Il part d'un repère topographique (R) dont l'altitude est connue.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Projet	Implantation d'une nouvelle construction
Localisation	Parcelle 101, Zone B
Instrument	Niveau optique N-24

Géométrie du toit

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Altitude Repère R	\(Alt_{\text{R}}\)	100.000	m
Lecture Arrière (sur R)	\(L_{\text{AR}}\)	1.850	m
Lecture Avant (pied de mur)	\(L_{\text{AV_Mur}}\)	1.200	m
Hauteur Mur	\(H_{\text{Mur}}\)	3.500	m
Largeur Bâtiment	\(L_{\text{Bat}}\)	8.000	m
Pente du toit	Pente	40	%

Questions à traiter

Calculer l'altitude du plan de visée de l'instrument (\(Alt_{\text{Visee}}\)).
Calculer l'altitude du pied du mur (\(Alt_{\text{Pied_Mur}}\)).
Calculer la hauteur du pignon (\(H_{\text{Pignon}}\)), c'est-à-dire la différence de hauteur entre le faîtage et le haut du mur.
Calculer l'altitude du faîtage (\(Alt_{\text{Faitage}}\)).
Calculer la nouvelle altitude du faîtage si la pente était de 30% au lieu de 40%.

Les bases du Nivellement Direct et de la Géométrie

Pour cet exercice, deux concepts sont essentiels : le nivellement direct pour l'altimétrie et le calcul de pente pour la géométrie du toit.

1. Nivellement Direct (Altimétrie)
Le nivellement direct consiste à déterminer l'altitude d'un point en utilisant une ligne de visée horizontale. L'altitude du plan de visée (\(Alt_{\text{Visee}}\)) est calculée à partir d'un repère connu (\(Alt_{\text{R}}\)) et d'une lecture arrière (\(L_{\text{AR}}\)) sur ce repère : \[ Alt_{\text{Visee}} = Alt_{\text{R}} + L_{\text{AR}} \] L'altitude d'un nouveau point (\(Alt_{\text{Point}}\)) est ensuite trouvée en faisant une lecture avant (\(L_{\text{AV}}\)) sur ce point : \[ Alt_{\text{Point}} = Alt_{\text{Visee}} - L_{\text{AV}} \]

2. Calcul de Pente (Géométrie)
La pente d'un toit est le rapport entre la hauteur verticale (la montée) et la distance horizontale (la course). Elle est souvent exprimée en pourcentage (%). \[ \text{Pente } (\%) = \frac{\text{Hauteur Verticale (H)}}{\text{Distance Horizontale (D)}} \times 100 \] Pour un toit à deux pans symétrique de largeur \(L_{\text{Bat}}\), la distance horizontale pour un pan est \(D = L_{\text{Bat}} / 2\). On peut donc trouver la hauteur du pignon (\(H_{\text{Pignon}}\)) : \[ H_{\text{Pignon}} = \frac{\text{Pente } (\%)}{100} \times \left( \frac{L_{\text{Bat}}}{2} \right) \]

Correction : Calcul de l'Altitude du Faîtage d'un Toit

Question 1 : Calculer l'altitude du plan de visée de l'instrument (\(Alt_{Visee}\))

Principe

L'altitude du plan de visée (ou "altitude de l'horizon de l'instrument") est l'altitude "dans les airs" où se situe le trait horizontal de la lunette du niveau. On la trouve en se "calant" sur un point d'altitude connue (le repère R) et en y ajoutant la hauteur lue sur la mire.

Mini-Cours

Comme vu dans les rappels, l'altitude de la visée est la somme de l'altitude du point connu et de la lecture *arrière* (L_AR) effectuée sur ce point. C'est le "transport" de l'altitude du sol jusqu'à l'instrument.

Remarque Pédagogique

Pensez-y comme si vous étiez sur le repère R (à 100.000m) et que vous teniez une perche (la mire) qui mesure 1.850m. L'altitude du haut de la perche (le plan de visée) est votre altitude plus la longueur de la perche.

Normes

Ce calcul correspond à la procédure standard de "nivellement par rayonnement" ou de "cheminement" en topographie.

Formule(s)

Altitude du plan de visée

Alt_{\text{Visee}} = Alt_{\text{R}} + L_{\text{AR}}

Hypothèses

On suppose que le niveau est parfaitement horizontal (la "bulle" est bien réglée) et que la mire est tenue parfaitement verticale.

Niveau horizontal.
Mire verticale.

Donnée(s)

Nous n'avons besoin que de deux données de l'énoncé pour cette question.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Altitude Repère R	\(Alt_{R}\)	100.000	m
Lecture Arrière (sur R)	\(L_{AR}\)	1.850	m

Astuces

La Lecture Arrière (L_AR) s'Ajoute toujours à l'altitude connue. La Lecture Avant (L_AV) se retrAnche toujours de l'altitude de visée.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du calcul du plan de visée.

Calcul du Plan de Visée

Calcul(s)

C'est le cœur de la résolution. Nous allons maintenant appliquer la formule vue précédemment avec les données du problème, en décomposant chaque étape au sein d'un même bloc de calcul.

Étape 1 : Application de la formule

On reprend la formule de base et on substitue les valeurs connues : \(Alt_{\text{R}}\) (100.000 m) et \(L_{\text{AR}}\) (1.850 m).

\begin{aligned} Alt_{\text{Visee}} &= Alt_{\text{R}} + L_{\text{AR}} \\ &= 100.000 \text{ m} + 1.850 \text{ m} \\ &= 101.850 \text{ m} \end{aligned}

Le résultat, 101.850 m, est notre nouvelle altitude de référence pour tous les calculs suivants.

Schéma (Après les calculs)

Le schéma précédent est maintenant complété avec la valeur calculée.

Plan de Visée Calculé

Réflexions

L'altitude de visée (101.850 m) est logiquement supérieure à l'altitude du repère (100.000 m), car l'instrument est "au-dessus" du sol. La valeur est cohérente.

Points de vigilance

Ne jamais soustraire une lecture arrière (L_AR) de l'altitude du repère. C'est l'erreur la plus fréquente. On "monte" du repère à la visée, donc on additionne.

Points à retenir

Altitude Visée = Altitude Point Connu + Lecture Arrière.

Le saviez-vous ?

Le "zéro" des mires de topographie est toujours à la base (le "talon") de la mire, ce qui permet ces calculs directs. Si le zéro était en haut, les calculs seraient bien plus complexes !

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

L'altitude du plan de visée est de 101.850 m.

A vous de jouer

Si l'altitude du Repère R était de 50.000 m et la Lecture Arrière (L_AR) de 2.100 m, quelle serait l'altitude de visée ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Calcul du plan de visée.
Formule Essentielle : \(Alt_{Visee} = Alt_{R} + L_{AR}\).
Résultat : 101.850 m.

Question 2 : Calculer l'altitude du pied du mur (\(Alt_{Pied\_Mur}\))

Principe

Maintenant que nous connaissons l'altitude de notre plan de visée (101.850 m), nous l'utilisons comme une référence horizontale fixe pour déterminer l'altitude de n'importe quel autre point visible, comme le pied du mur.

Mini-Cours

Pour trouver l'altitude d'un nouveau point, on "descend" depuis le plan de visée. On soustrait la Lecture Avant (L_AV) de l'altitude du plan de visée (\(Alt_{Visee}\)). C'est le principe du nivellement par rayonnement.

Remarque Pédagogique

La Lecture Avant (\(L_{AV}\)) représente la "profondeur" du point au sol par rapport à votre plan de visée. Pour trouver l'altitude du sol, on prend l'altitude de la visée et on "enlève" cette profondeur.

Normes

Procédure standard de nivellement direct pour la détermination de points par rayonnement.

Formule(s)

Altitude d'un point rayonné

Alt_{\text{Point}} = Alt_{\text{Visee}} - L_{\text{AV}}

Hypothèses

Les mêmes que pour la Q1 : l'instrument est horizontal et la mire est tenue verticalement.

Niveau horizontal.
Mire verticale.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Q1 et une nouvelle donnée de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Altitude Plan de Visée (de Q1)	\(Alt_{Visee}\)	101.850	m
Lecture Avant (pied de mur)	\(L_{AV\_Mur}\)	1.200	m

Astuces

Mnémonique : L_**AV** = "À V"enlever (Soustraire). C'est la logique inverse de la L_**A**R (Ajouter).

Schéma (Avant les calculs)

On ajoute le pied du mur à notre schéma de nivellement.

Calcul du Point Rayonné (Pied de Mur)

Calcul(s)

Nous appliquons la formule du point rayonné en utilisant l'altitude de visée que nous venons de calculer à la Question 1.

Étape 1 : Application de la formule

On substitue l'altitude de visée (\(Alt_{Visee}\) = 101.850 m) et la lecture avant sur le mur (\(L_{\text{AV\_Mur}}\) = 1.200 m).

\begin{aligned} Alt_{\text{Pied_Mur}} &= Alt_{\text{Visee}} - L_{\text{AV_Mur}} \\ &= 101.850 \text{ m} - 1.200 \text{ m} \\ &= 100.650 \text{ m} \end{aligned}

L'altitude du pied du mur, qui est la base de nos futurs calculs de hauteur, est donc de 100.650 m.

Schéma (Après les calculs)

Le schéma est complété avec l'altitude calculée du pied de mur.

Résultat Point Rayonné

Réflexions

L'altitude du pied du mur (100.650 m) est plus élevée que celle du repère R (100.000 m). Cela signifie que le bâtiment est construit sur un terrain légèrement plus haut que le repère, ce qui est cohérent. La différence de niveau entre le repère R et le pied de mur est de \(1.850 - 1.200 = 0.650 \text{ m}\). On vérifie : \(100.000 + 0.650 = 100.650 \text{ m}\).

Points de vigilance

Ne pas mélanger L_AR et L_AV. La L_AV est toujours soustraite de l'altitude de visée pour trouver l'altitude d'un point au sol.

Points à retenir

Altitude Point = Altitude Visée - Lecture Avant.

Le saviez-vous ?

En topographie, un point mesuré "en avant" est appelé un "point rayonné". Un géomètre peut "rayonner" des dizaines de points (trottoirs, regards, arbres...) depuis une seule station d'instrument, en utilisant toujours la même altitude de visée.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

L'altitude du pied du mur est de 100.650 m.

A vous de jouer

Avec la même altitude de visée (101.850 m), si la Lecture Avant avait été de 0.800 m, quelle serait l'altitude du pied de mur ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Calcul d'un point rayonné.
Formule Essentielle : \(Alt_{Point} = Alt_{Visee} - L_{\text{AV}}\).
Résultat : 100.650 m.

Question 3 : Calculer la hauteur du pignon (\(H_{Pignon}\))

Principe

Nous passons maintenant de l'altimétrie (topographie) à la géométrie pure. Nous devons trouver la hauteur verticale du toit (le "pignon") en utilisant sa pente (en %) et sa largeur (en m).

Mini-Cours

La pente (40%) représente la montée verticale pour une certaine distance horizontale. Pour un toit symétrique à deux pans, la distance horizontale ("la course") qui correspond à la hauteur du pignon est la moitié de la largeur totale du bâtiment.

Remarque Pédagogique

C'est un simple calcul de proportionnalité. Si une pente de 40% signifie "monter de 40 cm pour 100 cm à l'horizontale", on se demande : "pour 400 cm (la demi-largeur) à l'horizontale, de combien monte-t-on ?".

Normes

Calcul géométrique de base (proportionnalité). En dessin technique, cela correspond à la définition d'une pente.

Formule(s)

Distance Horizontale (Course)

D_{\text{Horizontale}} = \frac{L_{\text{Bat}}}{2}

Hauteur du Pignon (Montée)

H_{\text{Pignon}} = D_{\text{Horizontale}} \times \left( \frac{\text{Pente } (\%)}{100} \right)

Hypothèses

On suppose que le toit est parfaitement symétrique (faîtage au milieu) et que la pente est constante.

Toit symétrique à deux pans.
Pente constante.

Donnée(s)

Nous n'avons besoin que des données géométriques du bâtiment.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Largeur Bâtiment	\(L_{Bat}\)	8.000	m
Pente du toit	Pente	40	%

Astuces

Une pente de 40% s'écrit simplement 0.40 en valeur décimale. Le calcul devient alors : \(H = D \times 0.40\). C'est plus rapide et moins source d'erreur que de diviser par 100 dans la calculatrice.

Schéma (Avant les calculs)

Zoom sur la géométrie du toit (identique au schéma de l'énoncé).

Géométrie du Toit

Calcul(s)

Le calcul se fait en trois temps : trouver la distance horizontale (la course), convertir la pente, puis appliquer la formule de la hauteur (la montée).

Étape 1 : Calcul de la distance horizontale (D)

La course (distance horizontale) correspond à la moitié de la largeur du bâtiment (\(L_{Bat}\) = 8.000 m).

\begin{aligned} D_{\text{Horizontale}} &= \frac{L_{\text{Bat}}}{2} \\ &= \frac{8.000 \text{ m}}{2} \\ &= 4.000 \text{ m} \end{aligned}

La distance horizontale pour un pan de toit est donc de 4.000 m.

Étape 2 : Conversion de la pente

On convertit la pente de 40% en une valeur décimale utilisable pour le calcul.

\text{Pente} = 40\% = \frac{40}{100} = 0.40

Étape 3 : Calcul de la hauteur du pignon (H)

On applique la formule de la pente : \(H = D \times \text{Pente}\). On utilise la distance (4.000 m) et la pente (0.40) calculées précédemment.

\begin{aligned} H_{\text{Pignon}} &= D_{\text{Horizontale}} \times \text{Pente} \\ &= 4.000 \text{ m} \times 0.40 \\ &= 1.600 \text{ m} \end{aligned}

La hauteur verticale du pignon est de 1.600 m.

Schéma (Après les calculs)

Le schéma géométrique complété avec les valeurs calculées.

Géométrie du Toit (Calculée)

Réflexions

Une hauteur de 1.600 m pour une demi-largeur de 4.000 m est un résultat plausible pour une pente de 40%. Le calcul est direct et repose sur la définition même de la pente.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'oublier de diviser la largeur totale par 2 ! La pente s'applique sur la demi-largeur (la "course") de chaque pan de toit.

Points à retenir

La pente se calcule sur la distance horizontale (demi-largeur pour un toit symétrique).
Pente(%) / 100 = Pente (valeur décimale).

Le saviez-vous ?

La pente en pourcentage (\%) est différente de la pente en degrés (°). Une pente de 100% correspond à un angle de 45° (monter de 1m pour 1m horizontal). Une pente de 40% correspond à \(\arctan(0.40) \approx 21.8^\circ\).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La hauteur du pignon (\(H_{Pignon}\)) est de 1.600 m.

A vous de jouer

Si la largeur du bâtiment était de 10 m (avec la même pente de 40%), quelle serait la hauteur du pignon ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Calcul de hauteur par pente.
Formule Essentielle : \(H = (L/2) \times (Pente/100)\).
Résultat : 1.600 m.

Question 4 : Calculer l'altitude du faîtage (\(Alt_{Faitage}\))

Principe

Nous allons maintenant assembler tous nos résultats. L'altitude du faîtage est l'altitude du point le plus bas (le pied du mur) à laquelle on ajoute toutes les élévations verticales (la hauteur du mur, puis la hauteur du pignon).

Mini-Cours

C'est une simple addition d'altitudes et de hauteurs. On "empile" les différentes composantes : on part du sol (\(Alt_{Pied\_Mur}\)), on ajoute la hauteur du mur (\(H_{Mur}\)) pour arriver au haut du mur, puis on ajoute la hauteur du pignon (\(H_{Pignon}\)) pour arriver au faîtage.

Remarque Pédagogique

Visualisez un "empilement" : l'altitude finale est la somme de l'altitude de base et de toutes les hauteurs successives. C'est le cœur de l'exercice : combiner les données topo (Q2) et géo (Q3).

Normes

Composition d'altitudes et de hauteurs.

Formule(s)

Altitude du haut du mur

Alt_{\text{Haut\_Mur}} = Alt_{\text{Pied_Mur}} + H_{\text{Mur}}

Altitude finale du Faîtage

Alt_{\text{Faitage}} = Alt_{\text{Haut_Mur}} + H_{\text{Pignon}}

Formule combinée

Alt_{\text{Faitage}} = Alt_{\text{Pied_Mur}} + H_{\text{Mur}} + H_{\text{Pignon}}

Hypothèses

On suppose que le pignon est posé directement sur le haut du mur (pas de "sablière" ou autre élément à prendre en compte).

Continuité verticale des éléments.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des questions précédentes et une donnée de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Altitude Pied de Mur (de Q2)	\(Alt_{Pied\_Mur}\)	100.650	m
Hauteur Mur	\(H_{Mur}\)	3.500	m
Hauteur Pignon (de Q3)	\(H_{Pignon}\)	1.600	m

Astuces

Faire le calcul en deux étapes (d'abord \(Alt_{Haut\_Mur}\), puis \(Alt_{Faitage}\)) permet de mieux structurer le raisonnement et de vérifier les résultats intermédiaires.

Schéma (Avant les calculs)

Schéma d'ensemble montrant l'addition des altitudes.

Composition des Altitudes

Calcul(s)

Nous allons "empiler" les hauteurs. On part de l'altitude du sol (pied de mur), on ajoute la hauteur du mur, puis on ajoute la hauteur du pignon.

Étape 1 : Calcul de l'altitude du haut du mur

On additionne l'altitude du pied de mur (de Q2 : 100.650 m) et la hauteur du mur (de l'énoncé : 3.500 m).

\begin{aligned} Alt_{\text{Haut_Mur}} &= Alt_{\text{Pied_Mur}} + H_{\text{Mur}} \\ &= 100.650 \text{ m} + 3.500 \text{ m} \\ &= 104.150 \text{ m} \end{aligned}

L'altitude du haut du mur, à la base du pignon, est de 104.150 m.

Étape 2 : Calcul de l'altitude du faîtage

On additionne cette altitude du haut du mur (104.150 m) et la hauteur du pignon (de Q3 : 1.600 m).

\begin{aligned} Alt_{\text{Faitage}} &= Alt_{\text{Haut_Mur}} + H_{\text{Pignon}} \\ &= 104.150 \text{ m} + 1.600 \text{ m} \\ &= 105.750 \text{ m} \end{aligned}

L'altitude finale du faîtage est de 105.750 m.

Schéma (Après les calculs)

Schéma final avec toutes les altitudes complétées.

Altitudes Finales

Réflexions

L'altitude finale de 105.750 m est le résultat de l'enchaînement de tous les calculs précédents. C'est la réponse finale au problème initial posé au géomètre.

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier une étape. Il faut bien additionner l'altitude du pied de mur, PUIS la hauteur du mur, PUIS la hauteur du pignon. Ne pas additionner le pignon directement à l'altitude du pied de mur.

Points à retenir

L'altitude finale est la somme de l'altitude de base et de toutes les hauteurs intermédiaires.
\(Alt_{Faitage} = Alt_{Pied\_Mur} + H_{Mur} + H_{Pignon}\)

Le saviez-vous ?

L'altitude du faîtage est une donnée cruciale pour les règles d'urbanisme (PLU - Plan Local d'Urbanisme) qui fixent souvent une hauteur maximale autorisée pour les constructions, mesurée depuis le terrain naturel (ici, notre pied de mur).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

L'altitude du faîtage (\(Alt_{Faitage}\)) est de 105.750 m.

A vous de jouer

En gardant \(Alt_{Haut\_Mur} = 104.150 \text{ m}\), si la hauteur du pignon (\(H_{Pignon}\)) avait été de 2.000 m, quelle serait l'altitude finale du faîtage ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Sommation des altitudes et hauteurs.
Formule Essentielle : \(Alt_{Final} = Alt_{Base} + H_{Mur} + H_{Pignon}\).
Résultat : 105.750 m.

Question 5 : Calculer la nouvelle altitude du faîtage si la pente était de 30%

Principe

Cette question teste votre compréhension du processus en vous demandant de modifier un seul paramètre (la pente) et de recalculer le résultat final. C'est une analyse de sensibilité : on identifie les calculs impactés et on les met à jour.

Mini-Cours

Les calculs de nivellement (Q1 et Q2) ne dépendent pas de la géométrie du toit. L'altitude du pied de mur (\(100.650 \text{ m}\)) est donc inchangée. L'altitude du haut du mur (\(104.150 \text{ m}\)) est aussi inchangée. Seul le calcul de \(H_{Pignon}\) (Q3) et le calcul final de \(Alt_{Faitage}\) (Q4) sont impactés.

Remarque Pédagogique

C'est un test pour voir si vous avez bien compris la chaîne de dépendance des calculs. Un bon technicien ne recalcule pas tout depuis le début, mais repart du dernier calcul valide non impacté (ici, \(Alt_{Haut\_Mur}\)).

Normes

Logique de calcul et analyse de sensibilité.

Formule(s)

Nouvelle Hauteur Pignon

H_{\text{Pignon_Nouveau}} = D_{\text{Horizontale}} \times \left( \frac{\text{Pente_Nouvelle } (\%)}{100} \right)

Nouvelle Altitude Faîtage

Alt_{\text{Faitage_Nouveau}} = Alt_{\text{Haut_Mur}} + H_{\text{Pignon_Nouveau}}

Hypothèses

Toutes les autres données de l'énoncé sont inchangées (Largeur, Hauteur Mur, Altitudes...).

Seule la pente change.

Donnée(s)

Nous gardons toutes les données, sauf la nouvelle pente.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Altitude Haut Mur (inchangée)	\(Alt_{Haut\_Mur}\)	104.150	m
Distance Horizontale (inchangée)	\(D_{Horizontale}\)	4.000	m
Nouvelle Pente	Pente'	30	%

Astuces

Ne pas tout recalculer depuis le début ! Repartir du calcul de \(H_{Pignon}\) est la méthode la plus rapide et la plus sûre.

Schéma (Avant les calculs)

On peut reprendre le schéma du toit, en notant la nouvelle pente.

Géométrie du Toit (Variante)

Calcul(s)

On ne recalcule que ce qui est impacté par la nouvelle pente : la hauteur du pignon, puis l'altitude finale.

Étape 1 : Calcul de la nouvelle hauteur de pignon (avec Pente = 30%)

On reprend la formule de la hauteur du pignon, en gardant \(D_{Horizontale}\) = 4.000 m mais en changeant la pente à 30% (soit 0.30).

\begin{aligned} H_{\text{Pignon\_Nouveau}} &= D_{\text{Horizontale}} \times \left( \frac{\text{Pente_Nouvelle } (\%)}{100} \right) \\ &= 4.000 \text{ m} \times \left( \frac{30}{100} \right) \\ &= 4.000 \text{ m} \times 0.30 \\ &= 1.200 \text{ m} \end{aligned}

La nouvelle hauteur de pignon est de 1.200 m (plus petite que 1.600 m, ce qui est logique).

Étape 2 : Calcul de la nouvelle altitude de faîtage

On reprend la formule de l'altitude du faîtage, en utilisant l'altitude du haut du mur (inchangée : 104.150 m) et la *nouvelle* hauteur de pignon (1.200 m).

\begin{aligned} Alt_{\text{Faitage_Nouveau}} &= Alt_{\text{Haut_Mur}} + H_{\text{Pignon_Nouveau}} \\ &= 104.150 \text{ m} + 1.200 \text{ m} \\ &= 105.350 \text{ m} \end{aligned}

La nouvelle altitude finale du faîtage, avec une pente de 30%, est de 105.350 m.

Schéma (Après les calculs)

Le schéma de composition avec la nouvelle hauteur de pignon.

Altitudes Finales (Variante)

Réflexions

La nouvelle altitude (105.350 m) est plus basse que l'ancienne (105.750 m). C'est logique : une pente plus faible (30% < 40%) donne un toit moins pointu, donc un faîtage moins élevé. La différence est de \(1.600 - 1.200 = 0.400 \text{ m}\).

Points de vigilance

Ne pas réutiliser l'ancienne valeur de \(H_{Pignon}\) (1.600 m). Il faut impérativement recalculer cette valeur intermédiaire avant de calculer le résultat final.

Points à retenir

Un changement dans un paramètre en amont (la pente) affecte tous les calculs en aval qui en dépendent (Hauteur Pignon et Altitude Faîtage).
Les calculs indépendants (Altitude Pied Mur) ne sont pas affectés.

Le saviez-vous ?

Les pentes de toit sont souvent dictées par le climat. Les régions à forte neige (comme les Alpes) ont des pentes très fortes (>60%) pour évacuer la neige, tandis que les régions plus sèches du sud peuvent avoir des pentes très faibles (<20%).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La nouvelle altitude du faîtage (avec 30% de pente) serait de 105.350 m.

A vous de jouer

Et si la pente était de 50% ? Quelle serait la nouvelle altitude du faîtage ? (Base de calcul : \(Alt_{Haut\_Mur} = 104.150 \text{ m}\) et \(D = 4.000 \text{ m}\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Analyse de sensibilité (variation d'un paramètre).
Formule Essentielle : Recalcul de \(H\) et \(Alt_{Final}\).
Résultat : 105.350 m.

Outil Interactif : Simulateur d'Altitude de Faîtage

Ce simulateur vous permet de voir comment l'altitude du faîtage change en fonction de la pente du toit et de la largeur du bâtiment. L'altitude du haut du mur est fixée à 104.150 m (calculée dans l'exercice).

Paramètres d'Entrée

Pente du toit (%) 40 %

Largeur Bâtiment (m) 8 m

Résultats Clés

Hauteur Pignon (m) -

Altitude Faîtage (m) -

Glossaire

Nivellement Direct: Méthode de topographie permettant de déterminer des altitudes en visant une mire graduée avec un niveau (instrument optique à visée horizontale).
Lecture Arrière (L_AR): Lecture faite sur une mire positionnée sur un point d'altitude connue (un repère). Elle sert à calculer l'altitude du plan de visée.
Lecture Avant (L_AV): Lecture faite sur une mire positionnée sur un point dont on souhaite déterminer l'altitude.
Faîtage: Ligne de rencontre la plus haute des deux pans d'un toit. C'est le point le plus élevé de la toiture.
Pente (en %): Rapport entre la hauteur verticale (la "montée") et la distance horizontale (la "course"), multiplié par 100.
Altitude Plan de Visée: L'altitude de la ligne d'horizon horizontale de l'instrument (niveau). C'est la référence de calcul pour toutes les lectures avant.

Calcul de l’Altitude du Faîtage d’un Toit

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique

Géométrie du toit

Questions à traiter

Les bases du Nivellement Direct et de la Géométrie

Correction : Calcul de l'Altitude du Faîtage d'un Toit

Question 1 : Calculer l'altitude du plan de visée de l'instrument (\(Alt_{Visee}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul du Plan de Visée

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Plan de Visée Calculé

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Calculer l'altitude du pied du mur (\(Alt_{Pied\_Mur}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul du Point Rayonné (Pied de Mur)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Résultat Point Rayonné

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Calculer la hauteur du pignon (\(H_{Pignon}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Géométrie du Toit

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Géométrie du Toit (Calculée)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

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Mini Fiche Mémo

Question 4 : Calculer l'altitude du faîtage (\(Alt_{Faitage}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)