Calcul de la Surface Réelle d’une Parcelle
Contexte : Les fondamentaux de la topographieLa science qui permet la mesure puis la représentation sur un plan ou une carte des formes et détails visibles sur le terrain..
En topographie, la surface indiquée sur un plan cadastral, appelée surface planimétriqueSurface d'un terrain projetée sur un plan horizontal. C'est la surface "à plat", sans tenir compte du relief., ne correspond pas toujours à la surface réelle du terrain, surtout si celui-ci est en pente. La surface réelleSurface mesurée en suivant le relief du terrain. Elle est toujours supérieure ou égale à la surface planimétrique. tient compte de l'inclinaison du sol et est essentielle pour des estimations précises (clôtures, ensemencement, etc.). Cet exercice vous guidera dans le calcul de ces deux types de surfaces à partir d'un relevé de points.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à différencier la surface légale (planimétrique) de la surface physique (réelle) et à appliquer les corrections nécessaires, une compétence fondamentale pour tout technicien géomètre ou professionnel de l'aménagement.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la surface planimétrique d'un polygone à partir des coordonnées de ses sommets.
- Comprendre l'influence de la pente sur la surface d'un terrain.
- Calculer la surface réelle d'une parcelle en appliquant une correction due à la pente.
Données de l'étude
Schéma de la parcelle ABCD
| Point | Coordonnée X (m) | Coordonnée Y (m) | Altitude Z (m) |
|---|---|---|---|
| A | 700105.50 | 6800212.30 | 152.40 |
| B | 700192.80 | 6800225.10 | 158.90 |
| C | 700180.40 | 6800135.60 | 161.10 |
| D | 700095.20 | 6800121.90 | 155.30 |
| Pente moyenne | 8 % | ||
Questions à traiter
- Calculez la surface planimétrique (cadastrale) de la parcelle ABCD.
- Déterminez la surface réelle de la parcelle en tenant compte de la pente moyenne du terrain.
- Calculez l'écart relatif (en pourcentage) entre la surface réelle et la surface planimétrique.
- Quelle est la distance horizontale (projetée) entre les points A et C ?
- Si la pente moyenne était de 15% au lieu de 8%, quelle serait la nouvelle surface réelle et quel serait le nouvel écart relatif ?
Les bases de la topographie
Pour résoudre cet exercice, deux concepts clés sont nécessaires : le calcul de surface par coordonnées et la correction de pente.
1. Calcul de surface par la méthode des coordonnées
La surface d'un polygone dont les sommets sont connus par leurs coordonnées (X, Y) peut être calculée avec la formule dite "des lacets de soulier". Pour un polygone à n sommets (A, B, C, ...), la formule est :
\[ S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (X_i Y_{i+1} - X_{i+1} Y_i) \right| \]
Où \( (X_n, Y_n) \) est le dernier sommet et \( (X_{n+1}, Y_{n+1}) \) est une répétition du premier sommet \( (X_1, Y_1) \).
2. Correction de la surface due à la pente
La surface réelle est obtenue en corrigeant la surface planimétrique. La pente \( p \) (en %) est d'abord convertie en angle \( \alpha \) (en degrés ou radians). Ensuite, on applique la correction.
\[ \alpha = \arctan\left(\frac{p}{100}\right) \]
\[ S_{\text{réelle}} = \frac{S_{\text{planimétrique}}}{\cos(\alpha)} \]
Correction : Calcul de la Surface Réelle d’une Parcelle
Question 1 : Calculez la surface planimétrique (cadastrale) de la parcelle ABCD.
Principe
Le concept physique est de calculer une aire en 2D. On projette la parcelle sur un plan horizontal (X,Y) et on calcule sa surface. C'est la surface "vue du ciel", qui ignore le relief. C'est la surface légale utilisée dans les documents officiels comme le cadastre.
Mini-Cours
La méthode des coordonnées, aussi appelée formule de Gauss ou "formule des lacets", est une technique mathématique pour déterminer l'aire d'un polygone simple dont les sommets sont décrits par leurs coordonnées cartésiennes. Elle repose sur la décomposition du polygone en une série de trapèzes dont les aires sont ensuite additionnées ou soustraites algébriquement.
Remarque Pédagogique
Le conseil est de toujours lister vos points dans un ordre séquentiel (soit dans le sens des aiguilles d'une montre, soit dans le sens inverse) et de bien boucler le polygone en répétant les coordonnées du premier point à la fin de la liste. Cela structure le calcul et évite les erreurs.
Normes
Les calculs de surface pour les documents cadastraux en France sont régis par les tolérances définies par le Conseil Supérieur de l'Ordre des Géomètres-Experts. Bien que nous n'appliquions pas ici les calculs de tolérance, il est bon de savoir que ces opérations sont normées dans un cadre professionnel.
Formule(s)
Hypothèses
Nous faisons l'hypothèse que les coordonnées fournies sont exactes et déjà dans un système de projection cartographique plan (comme le Lambert 93 en France), ce qui nous permet d'appliquer directement les formules de la géométrie euclidienne.
Donnée(s)
- A: (700105.50, 6800212.30)
- B: (700192.80, 6800225.10)
- C: (700180.40, 6800135.60)
- D: (700095.20, 6800121.90)
Astuces
Pour simplifier les calculs manuels et réduire les erreurs, on peut translater les coordonnées en soustrayant les coordonnées du point A (ou d'un autre point) à tous les autres. La surface calculée sera la même, mais les nombres manipulés seront plus petits.
Schéma (Avant les calculs)
Représentation planimétrique de la parcelle
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul du premier terme (somme des \(X_i Y_{i+1}\))
Étape 2 : Calcul du second terme (somme des \(Y_i X_{i+1}\))
Étape 3 : Calcul de la surface
Schéma (Après les calculs)
Parcelle avec sa surface planimétrique
Réflexions
Le résultat de 8225.50 m² représente la surface légale de la parcelle. C'est cette valeur qui sera utilisée pour les taxes, les permis de construire et les actes de vente. Cependant, elle ne représente pas la surface de terrain que l'on parcourt physiquement si le terrain est en pente.
Points de vigilance
La principale erreur à éviter est une faute de frappe lors de la saisie des coordonnées. Une autre erreur commune est de ne pas suivre un ordre constant (horaire ou anti-horaire) pour les sommets, ce qui fausserait complètement le résultat.
Points à retenir
- La surface planimétrique se calcule uniquement avec les coordonnées X et Y.
- La formule des coordonnées (ou des lacets) est la méthode de référence.
- L'ordre des points est crucial pour l'application de la formule.
Le saviez-vous ?
La formule des coordonnées a été décrite par Carl Friedrich Gauss en 1795, mais elle était déjà connue de René Descartes. Elle est un exemple d'application du théorème de Green en géométrie plane.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si les coordonnées du point D étaient (700100.00, 6800120.00), quelle serait la nouvelle surface planimétrique ?
Question 2 : Déterminez la surface réelle de la parcelle.
Principe
Le concept physique est de "déplier" la surface projetée pour qu'elle épouse le relief du terrain. Imaginez une feuille de papier (surface planimétrique) posée sur une table inclinée. La surface réelle est la surface de la table sous la feuille, qui est plus grande. On utilise la trigonométrie pour faire cette correction.
Mini-Cours
La relation entre la surface réelle (\(S_r\)) et la surface planimétrique (\(S_p\)) est basée sur la projection. Dans un triangle rectangle formé par la distance horizontale (côté adjacent), le dénivelé (côté opposé) et la distance suivant la pente (hypoténuse), on a : \(\cos(\alpha) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\). En passant aux surfaces, on conserve cette relation : \(\cos(\alpha) = \frac{S_p}{S_r}\), d'où \(S_r = S_p / \cos(\alpha)\).
Remarque Pédagogique
Pensez toujours que la surface réelle est une correction qui vient "augmenter" la surface planimétrique (sauf si le terrain est plat). Le cosinus d'un angle entre 0° et 90° étant toujours inférieur ou égal à 1, diviser par ce nombre va logiquement augmenter la valeur de départ.
Normes
Il n'y a pas de norme réglementaire pour le calcul de la surface réelle, car c'est une donnée technique et non légale. Cependant, les méthodes de calcul sont standardisées dans les manuels de topographie et de géodésie.
Formule(s)
Hypothèses
L'hypothèse majeure ici est que la pente de 8% est uniforme sur toute la parcelle. Dans la réalité, un terrain a des pentes variables, et un calcul plus précis nécessiterait de le décomposer en plusieurs triangles (facettes) et de calculer la surface réelle de chaque facette.
Donnée(s)
- Surface planimétrique : \(S_{\text{planimétrique}} = 8225.50 \text{ m}^2\)
- Pente moyenne : \(p = 8 \%\)
Astuces
Pour les petites pentes (inférieures à 10%), on peut utiliser une approximation : \(S_{\text{réelle}} \approx S_{\text{planimétrique}} \times (1 + \frac{p^2}{20000})\). Pour 8%, cela donne \(8225.50 \times (1 + \frac{64}{20000}) \approx 8251.82\) m², un résultat très proche du calcul exact.
Schéma (Avant les calculs)
Relation entre Surface Planimétrique et Réelle
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de l'angle de pente
Étape 2 : Calcul de la surface réelle
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Surfaces
Réflexions
La surface réelle est supérieure de plus de 26 m² à la surface planimétrique. Cette différence, bien que faible en pourcentage, est concrète. Elle représente la surface d'une petite pièce. Pour un agriculteur, c'est une surface supplémentaire à cultiver ; pour un aménageur, c'est une longueur de clôture additionnelle à prévoir.
Points de vigilance
Ne jamais multiplier par le cosinus, mais bien diviser. C'est une erreur d'inversion fréquente. Rappelez-vous que la surface réelle doit être plus grande. Si votre résultat est plus petit, vous avez fait une erreur.
Points à retenir
- La surface réelle est calculée à partir de la surface planimétrique et de l'angle de pente.
- La formule clé est \(S_{\text{réelle}} = S_{\text{planimétrique}} / \cos(\alpha)\).
- La surface réelle est toujours supérieure ou égale à la surface planimétrique.
Le saviez-vous ?
En Suisse, pays très montagneux, la législation agricole tient compte de la surface réelle (appelée "surface utile") pour l'attribution de certaines subventions, reconnaissant ainsi l'effort supplémentaire requis pour cultiver des terrains en pente.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Avec la même surface planimétrique de 8225.50 m², quelle serait la surface réelle pour une pente de 5% ?
Question 3 : Calculez l'écart relatif (en pourcentage) entre les deux surfaces.
Principe
Le concept est de mesurer l'importance de la correction de pente. Un écart de 26 m² est-il grand ou petit ? En le rapportant à la surface totale, le pourcentage nous donne une mesure relative de cette importance, indépendante de la taille de la parcelle.
Mini-Cours
L'écart relatif (ou erreur relative) est un concept fondamental en sciences et en ingénierie. Il se calcule en divisant la différence absolue entre deux valeurs (la valeur mesurée/calculée et une valeur de référence) par la valeur de référence. Le multiplier par 100 l'exprime en pourcentage, ce qui est plus intuitif.
Remarque Pédagogique
Cette question vous apprend à communiquer un résultat. Dire "il y a 26 m² de différence" est factuel, mais dire "la pente augmente la surface de 0.32%" donne une information plus générale et comparable à d'autres projets, permettant de juger si l'effet de la pente est négligeable ou non.
Normes
Il n'y a pas de norme spécifique, mais en ingénierie, on considère souvent que les écarts inférieurs à 1% ou 0.5% sont faibles, tandis que ceux dépassant 5% sont significatifs. Cela dépend entièrement du contexte de l'étude.
Formule(s)
Hypothèses
Aucune nouvelle hypothèse n'est nécessaire. Ce calcul découle directement des résultats précédents.
Donnée(s)
- \(S_{\text{planimétrique}} = 8225.50 \text{ m}^2\)
- \(S_{\text{réelle}} = 8251.87 \text{ m}^2\)
Astuces
Le calcul est direct et ne nécessite pas d'astuce particulière pour être simplifié.
Schéma (Avant les calculs)
Un schéma n'est pas particulièrement utile pour ce calcul purement arithmétique.
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la différence absolue
Étape 2 : Calcul du ratio et mise en pourcentage
Schéma (Après les calculs)
Non pertinent pour ce type de calcul.
Réflexions
Un écart de 0.32% est généralement considéré comme faible. Pour une vente immobilière, il est négligeable. Pour un projet de terrassement très précis où les volumes de déblai/remblai sont critiques, il pourrait être pris en compte. L'interprétation dépend donc toujours de la finalité des calculs.
Points de vigilance
L'erreur classique est de diviser par la mauvaise valeur de référence. Il faut toujours diviser par la valeur initiale ou de base, qui est ici la surface planimétrique.
Points à retenir
L'écart relatif permet de juger de l'ordre de grandeur d'une variation. Il se calcule en rapportant la différence absolue à la valeur de référence.
Le saviez-vous ?
En physique expérimentale, l'écart relatif est crucial pour comparer un résultat de mesure à une valeur théorique et ainsi valider (ou invalider) une hypothèse ou la qualité d'une expérience.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Cette question étant une conclusion des deux précédentes, l'exercice interactif se trouve dans les questions précédentes.
Question 4 : Quelle est la distance horizontale (projetée) entre les points A et C ?
Principe
Le concept physique est la mesure d'une distance dans un plan 2D. On utilise la relation de Pythagore dans un repère cartésien pour trouver la longueur de la diagonale AC, en se basant sur les "côtés" que sont les différences de coordonnées en X et en Y.
Mini-Cours
En géométrie analytique, la distance entre deux points \(P_1(X_1, Y_1)\) et \(P_2(X_2, Y_2)\) est donnée par la formule \(D = \sqrt{(X_2 - X_1)^2 + (Y_2 - Y_1)^2}\). Cette formule est une application directe du théorème de Pythagore, où les différences \(\Delta X = X_2 - X_1\) et \(\Delta Y = Y_2 - Y_1\) forment les deux côtés d'un triangle rectangle dont la distance D est l'hypoténuse.
Remarque Pédagogique
N'oubliez pas que le carré d'un nombre négatif est positif. Ainsi, peu importe si vous calculez \(X_C - X_A\) ou \(X_A - X_C\), le résultat après l'élévation au carré sera identique. L'ordre n'a pas d'importance pour le calcul de distance.
Normes
Ce calcul relève des mathématiques pures (géométrie euclidienne) et n'est pas soumis à une norme d'ingénierie spécifique, si ce n'est les définitions fondamentales de la géométrie.
Formule(s)
Hypothèses
Comme pour la question 1, nous supposons que les coordonnées sont dans un système plan et que la Terre est localement plate, ce qui est une hypothèse valide pour des distances aussi courtes.
Donnée(s)
- A: (700105.50, 6800212.30)
- C: (700180.40, 6800135.60)
Astuces
Pour vérifier rapidement un ordre de grandeur, vous pouvez estimer mentalement les différences de coordonnées (\(\Delta X \approx 75\) m, \(\Delta Y \approx 77\) m). Comme les deux côtés sont similaires, on sait que le résultat sera supérieur au plus grand des deux côtés (77 m) et inférieur à leur somme (152 m).
Schéma (Avant les calculs)
Calcul de la distance AC
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de l'écart en X (\(\Delta X\))
Étape 2 : Calcul de l'écart en Y (\(\Delta Y\))
Étape 3 : Application du théorème de Pythagore
Schéma (Après les calculs)
Résultat du calcul de distance
Réflexions
Cette distance de 107.20 m est la distance "sur la carte". Si l'on devait mesurer cette distance sur le terrain avec un ruban, on trouverait une valeur légèrement supérieure à cause de la pente. Cette distance horizontale est fondamentale pour les plans d'implantation.
Points de vigilance
Attention à ne pas oublier la racine carrée à la fin du calcul. C'est une omission fréquente qui donne un résultat incohérent (l'aire de la surface au lieu de la longueur).
Points à retenir
La distance horizontale entre deux points se calcule avec la formule de Pythagore appliquée aux différences de coordonnées X et Y.
Le saviez-vous ?
En topographie, on mesure quasi exclusivement des distances suivant la pente sur le terrain. On mesure ensuite l'angle vertical pour pouvoir calculer et reporter la distance horizontale sur les plans. Tous les plans topographiques sont des projections horizontales.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle est la distance horizontale entre les points B et D ?
Question 5 : Si la pente moyenne était de 15%, quelle serait la nouvelle surface réelle et le nouvel écart relatif ?
Principe
Le but est de comprendre la sensibilité du résultat à une variation d'un paramètre d'entrée. On refait les mêmes calculs que précédemment, mais avec une nouvelle donnée de pente, pour analyser l'impact de ce changement.
Mini-Cours
La fonction cosinus n'est pas linéaire. L'écart entre \(\cos(0^\circ)=1\) et \(\cos(10^\circ)\approx0.985\) est de 1.5%. Mais l'écart entre \(\cos(30^\circ)\approx0.866\) et \(\cos(40^\circ)\approx0.766\) est de 10%. Cela signifie que l'augmentation de la surface réelle s'accélère à mesure que la pente augmente. Une petite augmentation de pente à forte inclinaison a beaucoup plus d'impact qu'à faible inclinaison.
Remarque Pédagogique
Cette question de type "analyse de sensibilité" est très courante en ingénierie. Elle permet de comprendre quels paramètres ont le plus d'influence sur le résultat final et donc lesquels doivent être mesurés avec le plus de précision.
Normes
Il n'y a pas de norme spécifique, il s'agit d'une analyse de sensibilité et non d'un calcul de conformité.
Formule(s)
Les formules utilisées sont les mêmes que pour les questions précédentes, appliquées à la nouvelle valeur de pente.
Hypothèses
Les hypothèses sont identiques à celles des questions 2 et 3.
Donnée(s)
- \(S_{\text{planimétrique}} = 8225.50 \text{ m}^2\)
- Nouvelle pente moyenne : \(p' = 15 \%\)
Astuces
Le calcul étant une simple répétition, il n'y a pas d'astuce particulière. La rigueur dans la ré-application des formules est la clé.
Schéma (Avant les calculs)
On peut se référer au graphique du simulateur pour anticiper que le point sur la courbe sera plus haut pour une pente de 15% que pour 8%.
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul du nouvel angle de pente
Étape 2 : Calcul de la nouvelle surface réelle
Étape 3 : Calcul du nouvel écart relatif
Schéma (Après les calculs)
Le graphique du simulateur confirme visuellement ce résultat : la courbe de la surface réelle monte de plus en plus vite à mesure que la pente augmente.
Réflexions
En doublant presque la pente (de 8% à 15%), l'écart de surface a plus que triplé (de 0.32% à 1.12%). Cela confirme la relation non-linéaire et l'importance croissante de la correction de pente à mesure que le terrain devient plus accidenté.
Points de vigilance
Ne pas arrondir les valeurs intermédiaires (comme le cosinus de l'angle) de manière trop agressive pour conserver la précision du résultat final.
Points à retenir
L'impact de la pente sur la surface réelle n'est pas linéaire. Il augmente de plus en plus vite à mesure que la pente s'accroît.
Le saviez-vous ?
Les analyses de sensibilité sont au cœur des méthodes de conception modernes comme le "Six Sigma", où l'on cherche à identifier et maîtriser les paramètres les plus influents pour garantir la qualité et la fiabilité d'un produit ou d'un système.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Cette question étant une analyse comparative, elle ne se prête pas à un exercice "à vous de jouer" simple. L'essentiel est d'avoir compris la tendance montrée par le calcul.
Outil Interactif : Simulateur d'Impact de la Pente
Utilisez cet outil pour visualiser comment la surface réelle d'un terrain change en fonction de sa pente. Entrez une surface planimétrique et faites varier la pente pour voir l'impact direct sur la surface réelle.
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Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. La surface planimétrique est...
2. Si la pente d'un terrain augmente, sa surface réelle...
3. Une pente de 100% correspond à un angle de...
4. Pour calculer la surface planimétrique à partir de coordonnées, on a besoin des...
5. La formule de correction \(S_{\text{réelle}} = S_{\text{plan}} / \cos(\alpha)\) est correcte car...
- Surface Planimétrique
- Aussi appelée surface cadastrale ou surface projetée. C'est la surface d'un terrain comme si elle était vue de dessus, parfaitement à plat. C'est la surface officielle utilisée pour les transactions immobilières.
- Surface Réelle
- Aussi appelée surface topographique. C'est la surface mesurée en suivant le relief du terrain (montées et descentes). Elle est cruciale pour les calculs de matériaux, de terrassement ou de travaux agricoles.
- Pente
- L'inclinaison d'un terrain par rapport à l'horizontale. Elle est souvent exprimée en pourcentage (%), qui représente le dénivelé vertical pour 100 mètres de déplacement horizontal.
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