Étude Topographique

Calcul de la Surface d’une Parcelle Triangulaire

Topographie : Calcul de la Surface d'une Parcelle Triangulaire

Calcul de la Surface d'une Parcelle Triangulaire

Contexte : La Délimitation de la Propriété Foncière

Le calcul de la surface, ou contenance, d'une parcelle est une des missions fondamentales du géomètre-topographe. Que ce soit pour une vente, un partage, une déclaration fiscale ou un aménagement, la surface est une donnée juridique et technique de première importance. Lorsque les sommets d'une parcelle ont été mesurés et que leurs coordonnées sont connues, il existe plusieurs méthodes de calcul de la surface. Cet exercice se concentre sur le cas simple d'une parcelle triangulaire et explore deux méthodes de calcul classiques : la formule de Héron et la méthode par les coordonnées.

Remarque Pédagogique : Le calcul d'une surface à partir de coordonnées est la base de tous les logiciels de Dessin Assisté par Ordinateur (DAO) et de Système d'Information Géographique (SIG). Comprendre la mécanique de ce calcul permet de mieux interpréter les résultats fournis par ces outils et de détecter d'éventuelles incohérences.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la distance entre deux points à partir de leurs coordonnées.
  • Appliquer la formule de Héron pour calculer une surface à partir des longueurs des côtés.
  • Appliquer la méthode de calcul de surface par les coordonnées des sommets.
  • Comparer les résultats des deux méthodes et comprendre leur équivalence.
  • Se familiariser avec la notion de contenance cadastrale.

Données de l'étude

Un géomètre a levé les trois sommets (A, B, C) d'une parcelle de terrain triangulaire. Les coordonnées planimétriques des sommets dans un système de projection local sont les suivantes :

Schéma de la Parcelle
A B C
SommetX (m)Y (m)
A100.00100.00
B200.00150.00
C150.0050.00

Questions à traiter

  1. Calculer les longueurs des trois côtés de la parcelle : \(D_{\text{AB}}\), \(D_{\text{BC}}\) et \(D_{\text{CA}}\).
  2. Calculer la surface de la parcelle en utilisant la formule de Héron.
  3. Calculer la surface de la parcelle en utilisant la méthode des coordonnées.
  4. Comparer les deux résultats et conclure.

Correction : Calcul de la Surface d'une Parcelle Triangulaire

Question 1 : Calcul des longueurs des côtés

Principe :
A B D = ? ΔX ΔY

La distance entre deux points dont on connaît les coordonnées se calcule par l'application directe du théorème de Pythagore. On calcule d'abord la différence des coordonnées en X (\(\Delta X\)) et en Y (\(\Delta Y\)), puis on applique la formule.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Ce calcul de distance à partir de coordonnées est l'une des opérations les plus fondamentales en topographie. Il sert de base à de très nombreux autres calculs, comme celui de la surface ou des gisements.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ D = \sqrt{(X_2 - X_1)^2 + (Y_2 - Y_1)^2} \Rightarrow \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2} \]
Calcul(s) pour \(D_{\text{AB}}\) :
\[ \Delta X_{\text{AB}} = X_{\text{B}} - X_{\text{A}} = 200.00 - 100.00 = 100.00 \, \text{m} \]
\[ \Delta Y_{\text{AB}} = Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}} = 150.00 - 100.00 = 50.00 \, \text{m} \]
\[ \begin{aligned} D_{\text{AB}} &= \sqrt{100.00^2 + 50.00^2} \\ &= \sqrt{10000 + 2500} \\ &= \sqrt{12500} \\ &= 111.803 \, \text{m} \end{aligned} \]
Calcul(s) pour \(D_{\text{BC}}\) :
\[ \Delta X_{\text{BC}} = X_{\text{C}} - X_{\text{B}} = 150.00 - 200.00 = -50.00 \, \text{m} \]
\[ \Delta Y_{\text{BC}} = Y_{\text{C}} - Y_{\text{B}} = 50.00 - 150.00 = -100.00 \, \text{m} \]
\[ \begin{aligned} D_{\text{BC}} &= \sqrt{(-50.00)^2 + (-100.00)^2} \\ &= \sqrt{2500 + 10000} \\ &= \sqrt{12500} \\ &= 111.803 \, \text{m} \end{aligned} \]
Calcul(s) pour \(D_{\text{CA}}\) :
\[ \Delta X_{\text{CA}} = X_{\text{A}} - X_{\text{C}} = 100.00 - 150.00 = -50.00 \, \text{m} \]
\[ \Delta Y_{\text{CA}} = Y_{\text{A}} - Y_{\text{C}} = 100.00 - 50.00 = 50.00 \, \text{m} \]
\[ \begin{aligned} D_{\text{CA}} &= \sqrt{(-50.00)^2 + 50.00^2} \\ &= \sqrt{2500 + 2500} \\ &= \sqrt{5000} \\ &= 70.711 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Calcul des différences : Faites attention à l'ordre de la soustraction pour \(\Delta X\) et \(\Delta Y\). Bien que le carré annule l'effet du signe pour le calcul de distance, conserver un ordre cohérent (Point final - Point initial) est une bonne pratique pour d'autres calculs, comme celui du gisement.

Le saviez-vous ?

La distance 3D entre deux points se calculerait de la même manière en ajoutant le carré de la différence d'altitude : \(D_{3D} = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2 + \Delta Z^2}\).

FAQ en rapport avec la question :
Le signe de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) a-t-il une importance ici ?

Pour le calcul de la distance, non, car les valeurs sont élevées au carré, ce qui rend le résultat toujours positif. Cependant, le signe est crucial pour le calcul du gisement d'un côté, car il détermine le quadrant de l'angle.

Résultats : \(D_{\text{AB}} = 111.803 \, \text{m}\), \(D_{\text{BC}} = 111.803 \, \text{m}\), \(D_{\text{CA}} = 70.711 \, \text{m}\). (Le triangle est isocèle en B).

Question 2 : Calcul de la surface par la formule de Héron

Principe :

La formule de Héron d'Alexandrie permet de calculer l'aire d'un triangle en ne connaissant que la longueur de ses trois côtés. On calcule d'abord le demi-périmètre du triangle, puis on applique la formule.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette méthode est très puissante car elle ne nécessite aucune mesure d'angle. Elle est particulièrement utile pour calculer la surface d'une parcelle à partir d'anciennes mesures où seules les longueurs des côtés étaient consignées.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ p = \frac{D_{\text{AB}} + D_{\text{BC}} + D_{\text{CA}}}{2} \]
\[ S = \sqrt{p(p - D_{\text{AB}})(p - D_{\text{BC}})(p - D_{\text{CA}})} \]
Donnée(s) :
  • \(D_{\text{AB}} = 111.803 \, \text{m}\)
  • \(D_{\text{BC}} = 111.803 \, \text{m}\)
  • \(D_{\text{CA}} = 70.711 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} p &= \frac{111.803 + 111.803 + 70.711}{2} \\ &= \frac{294.317}{2} \\ &= 147.1585 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} S &= \sqrt{147.1585 \times (147.1585 - 111.803) \times (147.1585 - 111.803) \times (147.1585 - 70.711)} \\ &= \sqrt{147.1585 \times 35.3555 \times 35.3555 \times 76.4475} \\ &= \sqrt{14062499.1} \\ &= 3750.00 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Précision des arrondis : Il est primordial de conserver un maximum de décimales pour les longueurs des côtés et le demi-périmètre. Arrondir trop tôt les valeurs intermédiaires peut entraîner un écart notable sur la surface finale.

Le saviez-vous ?

Héron d'Alexandrie (Ier siècle apr. J.-C.) était un ingénieur et mathématicien grec dont les travaux couvraient de nombreux domaines. Il est notamment l'inventeur de l'éolipyle, considérée comme la première machine à vapeur.

FAQ en rapport avec la question :
Cette formule fonctionne-t-elle pour tous les triangles ?

Oui, la formule de Héron est universelle et fonctionne pour n'importe quel triangle (rectangle, isocèle, scalène...), du moment que l'on connaît la longueur de ses trois côtés.

Résultat : La surface de la parcelle par la formule de Héron est de 3750 m².

Question 3 : Calcul de la surface par les coordonnées

Principe :

Cette méthode, parfois appelée "formule du lacet" ou "formule du géomètre", permet de calculer directement la surface d'un polygone à partir des coordonnées de ses sommets. Pour un triangle, la formule est une application simplifiée de ce principe général.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est la méthode la plus utilisée en pratique par les logiciels de DAO/SIG car elle est directe, rapide et ne nécessite pas de calculs intermédiaires de distances. Elle est également facilement programmable.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ 2S = |(X_{\text{A}}Y_{\text{B}} + X_{\text{B}}Y_{\text{C}} + X_{\text{C}}Y_{\text{A}}) - (Y_{\text{A}}X_{\text{B}} + Y_{\text{B}}X_{\text{C}} + Y_{\text{C}}X_{\text{A}})| \]
Donnée(s) :
  • A(100.00, 100.00)
  • B(200.00, 150.00)
  • C(150.00, 50.00)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \text{Terme 1} &= (100.00 \times 150.00) + (200.00 \times 50.00) + (150.00 \times 100.00) \\ &= 15000 + 10000 + 15000 \\ &= 40000 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{Terme 2} &= (100.00 \times 200.00) + (150.00 \times 150.00) + (50.00 \times 100.00) \\ &= 20000 + 22500 + 5000 \\ &= 47500 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 2S &= |40000 - 47500| \\ &= |-7500| \\ &= 7500 \end{aligned} \]
\[ S = \frac{7500}{2} = 3750 \, \text{m}^2 \]
Points de vigilance :

Ordre des sommets : Il est impératif de parcourir les sommets toujours dans le même sens (horaire ou anti-horaire) pour les deux termes du calcul. Inverser l'ordre d'un seul point fausserait le résultat. La valeur absolue à la fin garantit une surface positive.

Le saviez-vous ?

La méthode des coordonnées est une application du calcul du déterminant. La surface du triangle ABC est égale à la moitié de la valeur absolue du déterminant de la matrice formée par les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).

FAQ en rapport avec la question :
Comment cette formule se généralise-t-elle à un polygone à N côtés ?

La formule se généralise très bien. Pour un polygone à N sommets (P1, P2, ..., PN) listés dans l'ordre, la formule est : \(2S = |(X_1Y_2 + X_2Y_3 + ... + X_NY_1) - (Y_1X_2 + Y_2X_3 + ... + Y_NX_1)|\). On "boucle" toujours en revenant au premier point.

Résultat : La surface de la parcelle par la méthode des coordonnées est de 3750 m².

Question 4 : Comparaison et conclusion

Principe :

On compare les deux valeurs de surface obtenues. En théorie, si les calculs sont justes, elles doivent être identiques. C'est une excellente méthode d'auto-vérification.

Calcul(s) :
\[ \text{Ecart} = |S_{\text{Héron}} - S_{\text{Coordonnées}}| \]
\[ \begin{aligned} \text{Ecart} &= |3750.00 - 3750.00| \\ &= 0.00 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Analyse :

L'écart entre les deux méthodes est nul (aux arrondis de calcul près). Cela confirme la validité des coordonnées des sommets, des longueurs de côtés calculées, et de l'application des deux formules. Les deux méthodes sont cohérentes et valident le résultat.

Conclusion : Les deux méthodes donnent un résultat identique. La surface de la parcelle est de **3750 m²** (soit 37 ares et 50 centiares).

Pour Aller Plus Loin : Division de Parcelles

Partager un terrain : Une tâche courante est la division d'une parcelle en deux ou plusieurs lots de surfaces égales ou données. Par exemple, pour diviser notre parcelle ABC en deux lots de surface égale par une ligne partant du sommet A, il faudrait trouver les coordonnées d'un point M sur le segment [BC] tel que la surface du triangle ABM soit égale à la moitié de la surface totale. Cela se résout par des calculs de proportionnalité sur les coordonnées de B et C.

Le Saviez-Vous ?

En France, la surface officielle d'une parcelle est la "contenance cadastrale", inscrite dans la documentation du Cadastre. Cette surface est souvent issue de plans anciens et peut différer de la surface réelle mesurée sur le terrain. Lors d'un bornage, le géomètre-expert détermine la surface réelle, qui peut ensuite servir à mettre à jour la contenance cadastrale.

Foire Aux Questions (FAQ)

Quelle est la surface à prendre en compte : la surface horizontale ou la surface réelle du terrain ?

Légalement et pour toutes les transactions, c'est la surface en projection horizontale qui fait foi. La surface réelle du terrain (qui suit les pentes) est toujours supérieure, mais elle n'a pas de valeur juridique. Tous les calculs topographiques de surface se font sur les coordonnées projetées (X, Y).

Que faire si la parcelle a des côtés courbes ?

Si un côté est une courbe (arc de cercle, etc.), on ne peut plus utiliser ces formules directement. Le topographe doit alors lever une série de points le long de la courbe pour la "discrétiser" en une succession de petits segments. La surface est ensuite calculée en additionnant l'aire du polygone principal et les aires des petits triangles ou trapèzes formés par les points sur la courbe.

Glossaire

Surface (ou Contenance)
Mesure de l'étendue d'une parcelle, exprimée en mètres carrés (m²). En topographie, il s'agit toujours de la surface en projection horizontale.
Formule de Héron
Formule mathématique permettant de calculer l'aire d'un triangle à partir de la longueur de ses trois côtés.
Demi-périmètre (p)
La moitié de la somme des longueurs des côtés d'un polygone. C'est une valeur intermédiaire utilisée dans la formule de Héron.
Méthode des coordonnées
Méthode de calcul de surface d'un polygone basée directement sur les coordonnées (X, Y) de ses sommets.
Calcul de la Surface d'une Parcelle Triangulaire
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