Calcul de la surface d'un plan d'eau à partir de ses coordonnées
Contexte : Traitement des Données et Production Graphique en Topographie.
Lors d'un relevé topographique effectué au tachéomètre électronique, vous avez déterminé les coordonnées planimétriques (X, Y) des sommets délimitant un futur plan d'eau artificiel. Pour les besoins du dossier administratif et du calcul des volumes de terrassement, il est impératif de déterminer avec précision la Surface PlanimétriqueAire de la projection horizontale d'un terrain, indépendamment du relief. de ce polygone.
Remarque Pédagogique : Cet exercice met en application la méthode analytique de calcul de surface (dite Méthode de Gauss), fondamentale en géomatique pour valider les données issues des logiciels de DAO.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le principe du calcul de surface par coordonnées rectangulaires.
- Appliquer la formule des sommets (Méthode de Gauss) de manière rigoureuse.
- Vérifier la cohérence des résultats par une méthode graphique ou simplifiée.
Données de l'étude
Le plan d'eau est modélisé par un polygone fermé à 5 sommets notés A, B, C, D et E. Les coordonnées sont exprimées en mètres dans le système local du chantier.
Fiche Technique / Données
| Sommet | Coordonnée X (m) | Coordonnée Y (m) |
|---|---|---|
| A | 10.00 | 10.00 |
| B | 10.00 | 50.00 |
| C | 60.00 | 60.00 |
| D | 70.00 | 20.00 |
| E | 40.00 | 5.00 |
Schéma du Polygone (Plan d'eau)
| Nom du Paramètre | Symbole | Signification |
|---|---|---|
| Abscisse | \(X_i\) | Position Est |
| Ordonnée | \(Y_i\) | Position Nord |
| Surface Double | \(2S\) | Résultat brut de la formule |
Questions à traiter
- Rappeler la formule analytique permettant le calcul de surface (Méthode de Gauss).
- Dresser le tableau de calcul des produits croisés.
- Calculer la surface totale du plan d'eau en m².
- Convertir cette surface en hectares, ares et centiares.
Les bases théoriques
Le calcul de surface d'un polygone quelconque défini par les coordonnées de ses sommets repose sur la méthode des coordonnées rectangulaires, souvent appelée Méthode de GaussTechnique mathématique permettant de calculer l'aire d'un polygone à partir des coordonnées de ses sommets..
Principe
La surface double (\(2S\)) est égale à la somme algébrique des produits de l'abscisse (\(X\)) de chaque sommet par la différence des ordonnées (\(Y\)) du sommet suivant et du sommet précédent.
Formule des Sommets (Abscisses)
Où :
- \(i\) est l'indice du sommet courant.
- \(i+1\) est le sommet suivant.
- \(i-1\) est le sommet précédent.
Variante (Ordonnées)
On peut aussi utiliser les ordonnées pour le calcul. Le résultat final sera identique (au signe près selon le sens de parcours).
Formule des Sommets (Ordonnées)
Correction : Calcul de la surface d'un plan d'eau à partir de ses coordonnées
Question 1 : La formule analytique
Principe
Pour calculer l'aire d'un polygone non régulier dont on connaît les coordonnées des sommets, on utilise la méthode analytique des coordonnées rectangulaires. Cette méthode, issue du théorème de Green-Riemann discrétisé, calcule l'aire en additionnant algébriquement les surfaces des trapèzes formés par chaque côté du polygone et sa projection sur l'axe des X (ou des Y).
Mini-Cours
Cette méthode est systématique et facilement programmable sur calculatrice ou tableur. Elle est la base des calculs de surface dans les logiciels de topographie comme Covadis ou AutoCAD Map. Le terme \(X_i(Y_{i+1}-Y_{i-1})\) représente une aire élémentaire signée.
Remarque Pédagogique
Il est impératif de respecter l'ordre des sommets (sens de parcours). Pour le sommet \(i\), le "suivant" est \(i+1\) et le "précédent" est \(i-1\). Pour le dernier point, le suivant est le premier point. Pour le premier point, le précédent est le dernier (fermeture de la boucle).
Normes
Ce calcul respecte les règles de géométrie plane utilisées dans le système cadastral français, supposant une projection plane locale ou Lambert (altération linéaire négligée pour les petites surfaces).
Formule(s)
Formules utilisées
Nous rappelons ici la formule fondamentale de l'arpentage.
Calcul de la surface double
Cette formule additionne les produits de l'abscisse de chaque point par la différence des ordonnées des points adjacents.
Hypothèses
Pour appliquer cette loi, nous posons les hypothèses suivantes :
- Le polygone est fermé (le dernier point rejoint le premier).
- Les côtés ne se croisent pas (polygone simple).
- Le repère est orthonormé (X, Y).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Description |
|---|---|---|
| Sommets | A, B, C, D, E | Points du contour |
Astuces
Écrivez les coordonnées en colonne et répétez le premier point à la fin de la liste pour visualiser facilement le "suivant" du dernier point.
Schéma : Principe de Parcours
Calcul(s)
Identification des indices
On définit \(i-1\), \(i\), et \(i+1\) pour chaque point. Par exemple pour le point B (i), le précédent est A (i-1) et le suivant est C (i+1).
Réflexions
La méthode est prête à être appliquée. L'utilisation des Y en différence (Delta Y) est souvent préférée car elle simplifie les signes si l'on tourne dans le sens gisement.
Points de vigilance
Ne confondez pas X et Y dans la formule ! C'est toujours une coordonnée multipliée par une différence de l'autre coordonnée (\(X \times \Delta Y\) ou \(Y \times \Delta X\)). Ne mélangez pas les deux méthodes.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- La formule donne la surface DOUBLE (2S).
- Il faut parcourir les points dans l'ordre.
Le saviez-vous ?
Cette formule est aussi appelée "Formule de l'arpenteur" (Surveyor's formula) ou "Shoelace formula" (formule des lacets) en anglais à cause du croisement visuel des termes dans le tableau.
FAQ
Peut-on commencer par n'importe quel point ?
Oui, tant que vous suivez l'ordre du périmètre (A->B->C... ou C->D->E...). Le point de départ n'a aucune importance sur le résultat final.
A vous de jouer
Quel est le "précédent" du point A dans notre polygone A-B-C-D-E ?
📝 Mémo
"X fois Y suivant moins Y précédent".
Question 2 : Tableau de calcul des produits croisés
Principe
L'utilisation d'un tableau permet d'organiser les calculs, d'éviter les oublis de termes et de faciliter la vérification des signes. C'est une étape intermédiaire cruciale pour sécuriser le calcul de surface. Chaque ligne du tableau correspond au calcul d'un terme de la somme.
Mini-Cours
La permutation circulaire : Pour le sommet \(i\), on utilise toujours les coordonnées du sommet suivant (\(i+1\)) et du sommet précédent (\(i-1\)). Cela garantit que chaque arête du polygone est prise en compte exactement une fois dans chaque direction.
Remarque Pédagogique
Vérifiez bien chaque ligne du tableau avant de passer à la somme. Une erreur de recopie de coordonnée est fatale pour la suite.
Normes
Standard de présentation des calculs topographiques manuels, permettant une relecture facile par un tiers vérificateur.
Formule(s)
Produit partiel
Pour chaque point \(i\), on calcule :
Ce produit intermédiaire n'a pas de signification physique directe mais contribue à la somme finale.
Hypothèses
Les coordonnées sont en mètres. Nous travaillons directement sur les valeurs brutes sans translation d'origine pour cet exercice.
- Pas de facteurs d'échelle appliqués ici.
- Précision au centimètre (2 décimales).
Donnée(s)
| Sommet | X (m) | Y (m) |
|---|---|---|
| A | 10.00 | 10.00 |
| B | 10.00 | 50.00 |
| C | 60.00 | 60.00 |
| D | 70.00 | 20.00 |
| E | 40.00 | 5.00 |
Astuces
La somme des \(\Delta Y\) (\(Y_{i+1} - Y_{i-1}\)) doit toujours être égale à 0. C'est un excellent moyen de contrôle mathématique : si vous trouvez autre chose que 0, il y a une erreur dans vos soustractions !
Schéma : Structure du Tableau
Calcul(s)
Détail pour le point A
Pour le point A (X=10), le précédent est E (Y=5) et le suivant est B (Y=50).
Calcul du Delta Y (Point A)
Calcul du Produit (Point A)
Détail pour le point B
Pour le point B (X=10), le précédent est A (Y=10) et le suivant est C (Y=60).
Calcul du Delta Y (Point B)
Calcul du Produit (Point B)
Détail pour le point C (Apparition des négatifs)
Pour le point C (X=60), le précédent est B (Y=50) et le suivant est D (Y=20). Attention, l'ordonnée diminue !
Calcul du Delta Y (Point C)
Calcul du Produit (Point C)
Détail pour le point D
Pour le point D (X=70), le précédent est C (Y=60) et le suivant est E (Y=5).
Calcul du Delta Y (Point D)
Calcul du Produit (Point D)
Détail pour le point E (Fermeture)
Pour le point E (X=40), le précédent est D (Y=20) et le suivant est A (Y=10).
Calcul du Delta Y (Point E)
Calcul du Produit (Point E)
Tableau Récapitulatif Complet
En regroupant tous les résultats ci-dessus, nous obtenons le tableau final :
| Point (\(i\)) | \(X_i\) | \(Y_{i-1}\) (Préc.) | \(Y_{i+1}\) (Suiv.) | \(\Delta Y\) | Produit \(X_i \cdot \Delta Y\) |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 10.00 | 5.00 (E) | 50.00 (B) | 45.00 | 450.00 |
| B | 10.00 | 10.00 (A) | 60.00 (C) | 50.00 | 500.00 |
| C | 60.00 | 50.00 (B) | 20.00 (D) | -30.00 | -1800.00 |
| D | 70.00 | 60.00 (C) | 5.00 (E) | -55.00 | -3850.00 |
| E | 40.00 | 20.00 (D) | 10.00 (A) | -10.00 | -400.00 |
Schéma : Validation Calculs (Boucle Y)
Réflexions
Le tableau est complet. On remarque des termes positifs et négatifs importants. Les termes négatifs proviennent des segments où l'ordonnée diminue (descente vers le Sud).
Points de vigilance
Attention aux signes négatifs dans les produits ! Par exemple pour le point C : \(\Delta Y = -30\), donc le produit \(60 \times -30 = -1800\). L'oubli du signe moins est l'erreur numéro 1.
Points à Retenir
Organisation = Précision.
- Bien aligner les colonnes pour faciliter la somme.
- Vérifier systématiquement que la somme des \(\Delta Y\) est nulle.
Le saviez-vous ?
Les géomètres utilisaient des carnets de terrain papier avec ces colonnes pré-imprimées avant l'ère du numérique et des stations totales.
FAQ
Pourquoi la somme des Delta Y vaut 0 ?
Car on fait le tour complet du polygone en Y : on monte et on redescend pour revenir exactement à l'altitude du point de départ, la différence totale d'altitude est donc géométriquement nulle.
A vous de jouer
Calculez mentalement le Delta Y pour le point B (Ysuiv=60, Yprec=10).
📝 Mémo
Σ ΔY = 0. Toujours.
Question 3 : Calcul de la surface totale
Principe
Une fois le tableau rempli, la surface finale s'obtient en additionnant tous les produits partiels calculés. Le résultat de cette somme algébrique correspond à la surface double (\(2S\)). Il est impératif de diviser cette valeur par 2 pour obtenir la surface réelle (\(S\)) du plan d'eau.
Mini-Cours
Surface orientée : Le résultat mathématique de la somme peut être négatif si le sens de parcours des sommets est horaire (sens des aiguilles d'une montre). En mathématiques pures, le sens trigonométrique (anti-horaire) donne une aire positive. Cependant, une surface physique est toujours une grandeur positive. On utilise donc la valeur absolue : \(|S|\).
Remarque Pédagogique
Une surface physique n'est jamais négative. Le signe n'est qu'un indicateur du sens de rotation du géomètre lors du relevé.
Normes
Le résultat doit être exprimé avec une précision cohérente avec les données d'entrée (ici au m² près, voire à la décimale).
Formule(s)
Somme et Division
La formule finale relie la somme des produits à la surface cherchée.
Nous allons donc sommer la colonne "Produit" de notre tableau précédent.
Hypothèses
On considère que le polygone est planaire pour ce calcul.
- Pas de correction de courbure de terre pour cette échelle.
Donnée(s)
| Produits calculés (issus de Q2) |
|---|
| 450, 500, -1800, -3850, -400 |
Astuces
Faites la somme des termes positifs d'un côté et des termes négatifs de l'autre avant de faire la soustraction finale. Cela permet d'éviter les erreurs de saisie en chaîne sur la calculatrice.
Schéma : Résultat Graphique
Calcul(s)
Somme algébrique détaillée
Commençons par additionner tous les termes du tableau. Nous regroupons les positifs et les négatifs pour plus de clarté.
La somme algébrique est de -5100 m². C'est notre surface double orientée.
Division finale
Pour obtenir la surface finale, nous prenons la valeur absolue de ce résultat et nous la divisons par 2.
Nous obtenons ainsi la surface physique réelle du plan d'eau.
Schéma : Validation
Réflexions
Le signe négatif indique un parcours horaire des sommets A, B, C, D, E. La valeur 2550 m² est cohérente avec les dimensions approximatives du terrain (environ 60m x 50m).
Points de vigilance
N'oubliez jamais de diviser la somme finale par 2 ! C'est l'erreur la plus fréquente. La formule donne bien 2S, pas S.
Points à Retenir
Surface = (Somme Produits) / 2.
- Valeur absolue obligatoire pour le résultat final.
Le saviez-vous ?
Un géomètre expert engage sa responsabilité décennale sur ce type de calcul de surface (Loi Carrez, bornage, etc.).
FAQ
Et si j'obtiens 0 ?
C'est impossible pour un polygone non croisé ayant une surface réelle. Si vous obtenez 0, vous avez fait une erreur de calcul majeure, ou les points sont tous alignés (surface nulle).
A vous de jouer
Si 2S valait 1000, combien vaudrait S ?
📝 Mémo
"Je somme tout et je divise par deux". C'est l'étape finale indispensable.
Question 4 : Conversions d'unités
Principe
Pour finaliser le dossier topographique, la surface doit être exprimée en unités agraires (hectare, are, centiare). Ce système permet d'éviter l'usage de grands nombres de m² et est le standard du Cadastre français. Il s'agit d'un système de conversion basé sur des puissances de 100.
Mini-Cours
Système Agraire :
- Hectare (ha) : 100m x 100m = 10 000 m². C'est l'unité principale pour les grands terrains agricoles.
- Are (a) : 10m x 10m = 100 m².
- Centiare (ca) : 1m x 1m = 1 m². C'est l'équivalent exact du mètre carré.
Remarque Pédagogique
Dans l'écriture cadastrale officielle, on utilise toujours 2 chiffres pour les ares et les centiares (ex: 05 a, et non 5 a) pour éviter toute confusion lors de la lecture manuscrite.
Normes
Notation cadastrale standard en vigueur en France.
Formule(s)
Conversion
Les facteurs de conversion à connaître par cœur :
Hypothèses
Surface entière en m².
- On arrondit généralement au centiare le plus proche (m²) pour le cadastre.
Donnée(s)
| Surface S à convertir |
|---|
| 2550 m² |
Astuces
La méthode visuelle : Écrivez votre nombre en m² (ex: 2550). Découpez-le en tranches de 2 chiffres en partant de la droite. Les 2 premiers sont les ca, les 2 suivants les a, le reste les ha.
Schéma : Découpage Visuel
Calcul(s)
Décomposition arithmétique
Commençons par les hectares. On divise la surface totale par 10 000 (valeur d'un hectare).
Il reste 2550 m². Passons aux ares. On divise ce reste par 100 (valeur d'un are).
Enfin, on regarde ce qu'il reste après avoir retiré les ares. Ce sont les centiares.
Résultat
En combinant ces trois valeurs, nous obtenons l'écriture complète.
Schéma : Résultat Final
00 ha 25 a 50 ca
Réflexions
La surface correspond à un quart d'hectare, ce qui est la taille d'un très grand jardin ou d'un petit parc urbain.
Points de vigilance
Attention aux zéros ! 50 m² s'écrit "00 ha 00 a 50 ca". Ne confondez pas 50 ca (50 m²) et 50 a (5000 m²). Le positionnement des chiffres est capital.
Points à Retenir
Facteur 100 entre chaque unité.
- Ca -> A -> Ha
- Toujours 2 chiffres par colonne pour ca et a.
Le saviez-vous ?
L'arpent était une ancienne mesure de surface utilisée avant le système métrique, variant selon les régions (arpent de Paris vs arpent des Eaux et Forêts).
FAQ
Comment écrire 5 m² en notation cadastrale ?
00 ha 00 a 05 ca.
A vous de jouer
Combien d'ares dans 500 m² ?
📝 Mémo
"Ca, A, Ha" -> "Ça, Ah, Ah !" (Moyen mnémotechnique : 2 chiffres par unité en partant de la fin).
Schéma Bilan Technique
Vue d'ensemble du processus complet de calcul de surface topographique.
📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument
Voici la synthèse des points clés méthodologiques et physiques abordés dans cet exercice :
-
🔑
Point Clé 1 : Méthode
La méthode de Gauss permet de calculer une surface exacte à partir de coordonnées rectangulaires, en décomposant le polygone en trapèzes. -
📐
Point Clé 2 : Formule
2S = Somme(X * (Ysuiv - Yprec)). C'est la base de tout calcul topographique de surface. -
⚠️
Point Clé 3 : Piège
Ne jamais oublier de diviser par 2 le résultat de la somme algébrique pour obtenir la surface réelle. -
💡
Point Clé 4 : Unités
1 ha = 10 000 m². Le cadastre exige une notation précise en ha, a, ca.
🎛️ Simulateur interactif
Modifiez les coordonnées du Point C pour voir l'impact sur la surface.
Paramètres (Point C)
📝 Quiz final : Testez vos connaissances
1. Si j'inverse le sens de parcours du polygone, que se passe-t-il pour 2S ?
2. Combien d'ares dans 15 000 m² ?
📚 Glossaire
- Gisement
- Angle horizontal par rapport au Nord.
- Système Local
- Repère arbitraire lié au chantier.
- Planimétrie
- Mesure en 2D (X, Y) sans l'altitude.
- Polygone
- Surface fermée par plusieurs segments.
- Hectare
- Unité de surface valant 10 000 m².
Le Saviez-vous ?
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