Étude Topographique

Calcul de la Pente entre Deux Points Nivelés

Exercice : Calcul de Pente en Topographie

Calcul de la Pente entre Deux Points Nivelés

Contexte : La topographie appliquée au génie civil.

Le calcul de la penteRapport entre la différence d'altitude (dénivelée) et la distance horizontale entre deux points. Elle exprime l'inclinaison d'un terrain. est une opération courante et essentielle en topographie. Que ce soit pour la construction de routes, de voies ferrées, de canaux d'assainissement ou la préparation d'un terrain à bâtir, la maîtrise des pentes est cruciale pour garantir la sécurité, la fonctionnalité et la conformité des ouvrages. Cet exercice se concentre sur la méthode du nivellement directOpération qui consiste à déterminer la dénivelée entre deux points à l'aide d'un niveau (instrument optique) et d'une mire graduée., une technique fondamentale pour tout géomètre-topographe.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers les étapes de calcul de la dénivelée puis de la pente à partir de lectures de mire, une compétence fondamentale pour l'implantation et le contrôle de projets d'aménagement.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre et différencier les notions de dénivelée et de pente.
  • Savoir interpréter et utiliser les lectures de mire (lecture arrière, lecture avant).
  • Calculer la dénivelée entre deux points à partir des lectures.
  • Maîtriser la formule de calcul de la pente et l'exprimer en pourcentage (%).

Données de l'étude

Un géomètre-topographe doit déterminer avec précision la pente naturelle d'un terrain entre un point de départ A et un point d'arrivée B en vue d'un projet routier. Pour cela, il met en station un niveau optique entre les deux points.

Fiche Technique de l'instrument
Caractéristique Valeur
Type d'instrument Niveau optique de chantier
Précision ± 2 mm sur 1 km de nivellement double
Mire utilisée Mire en aluminium, graduée au centimètre
Schéma du Nivellement Direct
Point A Point B Plan de visée horizontal L-ar L-av
Paramètre Description Valeur Unité
\(L_{\text{ar}}\) Lecture arrière sur la mire positionnée au point A 1.855 m
\(L_{\text{av}}\) Lecture avant sur la mire positionnée au point B 1.230 m
\(D_{\text{h}}\) Distance horizontale entre A et B 45.00 m

Questions à traiter

  1. Calculer la dénivelée \(\Delta Z_{\text{AB}}\) entre les points A et B.
  2. Calculer la pente \(p_{\text{AB}}\) du terrain en pourcentage (%).
  3. Le projet routier impose une pente maximale de 8%. Le terrain naturel est-il conforme à cette exigence ? Justifiez votre réponse.

Les bases en Topographie de Nivellement

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser deux concepts clés du nivellement direct.

1. Calcul de la Dénivelée (\(\Delta Z\))
La dénivelée est la différence d'altitude entre deux points. En nivellement direct, elle est obtenue par la différence entre la lecture faite sur la mire positionnée sur le point arrière (point de départ) et la lecture sur la mire au point avant (point d'arrivée). \[ \Delta Z_{\text{AB}} = L_{\text{ar}} - L_{\text{av}} \] Où \(L_{\text{ar}}\) est la lecture arrière et \(L_{\text{av}}\) est la lecture avant.

2. Calcul de la Pente (\(p\))
La pente est l'inclinaison du terrain. Elle représente le rapport de la dénivelée sur la distance horizontale. Pour l'exprimer en pourcentage, on multiplie ce rapport par 100. \[ p (\text{%}) = \frac{\Delta Z}{D_{\text{h}}} \times 100 \] Où \(D_{\text{h}}\) est la distance horizontale.

Correction : Calcul de la Pente entre Deux Points Nivelés

Question 1 : Calculer la dénivelée \(\Delta Z_{\text{AB}}\) entre les points A et B.

Principe

Le principe du nivellement direct repose sur la création d'un plan de visée horizontal grâce au niveau. La différence des lectures sur les mires placées verticalement aux points A et B nous donne directement la différence de hauteur (dénivelée) entre ces deux points.

Mini-Cours

En nivellement direct, on détermine l'altitude d'un point B (\(Z_{\text{B}}\)) à partir de celle d'un point connu A (\(Z_{\text{A}}\)) via la relation \(Z_{\text{B}} = Z_{\text{A}} + \Delta Z_{\text{AB}}\). La dénivelée \(\Delta Z_{\text{AB}}\) est la clé de ce calcul. Elle est positive si B est plus haut que A (montée) et négative si B est plus bas (descente). La méthode consiste à viser un point de départ (lecture arrière \(L_{\text{ar}}\)) puis un point d'arrivée (lecture avant \(L_{\text{av}}\)) depuis la même position de l'instrument.

Remarque Pédagogique

Imaginez que le niveau optique crée une ligne horizontale imaginaire dans les airs. La lecture arrière est la distance de cette ligne jusqu'au sol au point A, et la lecture avant est la distance de cette même ligne jusqu'au sol au point B. La différence entre ces deux "perches" de hauteur vous donne bien la différence de hauteur du sol lui-même.

Normes

Les opérations de nivellement sont encadrées par des tolérances définies par les normes en vigueur (par exemple, les normes de l'Ordre des Géomètres-Experts ou les cahiers des charges de projets). Ces normes garantissent la précision requise en fonction de la nature des travaux (routes, bâtiments, etc.).

Formule(s)

Formule de la dénivelée

\[ \Delta Z_{\text{AB}} = L_{\text{ar}} - L_{\text{av}} \]
Hypothèses

Pour que le calcul soit exact, on admet les hypothèses suivantes :

  • L'axe optique du niveau est parfaitement horizontal (l'instrument est bien réglé et calé).
  • Les mires sont tenues parfaitement verticales sur les points A et B.
  • Les lectures sur la mire sont exemptes d'erreur de parallaxe.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Lecture arrière\(L_{\text{ar}}\)1.855m
Lecture avant\(L_{\text{av}}\)1.230m
Astuces

Un moyen simple de vérifier le signe : si la lecture sur le point d'arrivée (\(L_{\text{av}}\)) est plus petite que celle sur le point de départ (\(L_{\text{ar}}\)), cela veut dire que le sol est "remonté" vers la ligne de visée. C'est donc une montée !

Schéma (Avant les calculs)
Schéma du Nivellement Direct
Point APoint BPlan de visée horizontalL-ar = 1.855mL-av = 1.230m
Calcul(s)

Application numérique

\[ \begin{aligned} \Delta Z_{\text{AB}} &= 1.855 \text{ m} - 1.230 \text{ m} \\ &= +0.625 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Représentation de la Dénivelée
Point APoint BDistance Horizontale = 45.00 mDénivelée = +0.625 m
Réflexions

Le résultat est positif (+0.625 m). En topographie, le signe est très important : un signe positif signifie que le point B est plus haut que le point A. Le terrain monte de A vers B. Si la lecture arrière est supérieure à la lecture avant, c'est toujours une montée.

Points de vigilance

Les erreurs de lecture ou de retranscription sont courantes. Une simple inversion de chiffres (par exemple, 1.855 noté 1.585) peut fausser entièrement le calcul. Une double lecture ou une vérification par un autre opérateur est une bonne pratique sur le terrain.

Points à retenir

La maîtrise de la formule \(\Delta Z_{\text{AB}} = L_{\text{ar}} - L_{\text{av}}\) est fondamentale. Retenez que l'ordre est toujours "point de départ MOINS point d'arrivée". Cette convention permet d'interpréter correctement le signe du résultat (montée/descente).

Le saviez-vous ?

Les Romains étaient de remarquables ingénieurs et utilisaient des instruments de nivellement comme le "chorobate" pour construire leurs célèbres aqueducs avec des pentes très faibles et constantes sur des dizaines de kilomètres, une prouesse technique pour l'époque.

FAQ
Que se passe-t-il si le niveau n'est pas exactement à mi-distance entre A et B ?

Pour une visée unique, cela n'a pas d'importance tant que les deux points sont visibles. Cependant, pour des nivellements de précision sur de longues distances (cheminement), placer le niveau à mi-distance permet de compenser automatiquement les erreurs instrumentales (défaut de parallélisme entre l'axe optique et l'axe de la nivelle).

Résultat Final
La dénivelée entre les points A et B est de +0.625 m.
A vous de jouer

Si la lecture arrière sur A avait été de 2.540 m et la lecture avant sur B de 3.125 m, quelle serait la nouvelle dénivelée ?

Question 2 : Calculer la pente \(p_{\text{AB}}\) du terrain en pourcentage (%).

Principe

La pente traduit l'inclinaison du terrain. Elle est définie comme le rapport entre la distance verticale (la dénivelée que nous venons de calculer) et la distance horizontale. On la multiplie par 100 pour obtenir une valeur en pourcentage, plus parlante pour les applications pratiques.

Mini-Cours

La pente peut s'exprimer de plusieurs manières : en ratio (ex: 1/100), en degrés (°) ou en pourcentage (%). Le pourcentage est le plus utilisé en génie civil car il est très intuitif : une pente de 5% signifie qu'on s'élève (ou descend) de 5 mètres pour chaque 100 mètres parcourus à l'horizontale. C'est une simple application du théorème de Thalès ou de la trigonométrie dans un triangle rectangle formé par la distance horizontale, la dénivelée et la ligne de pente.

Remarque Pédagogique

Ne confondez pas la distance horizontale (\(D_{\text{h}}\)) avec la distance réelle le long de la pente. Pour les faibles pentes rencontrées en génie civil, ces deux distances sont très proches, mais c'est bien la distance HORIZONTALE (mesurée sur un plan) qui sert de référence pour le calcul.

Normes

Les normes de construction routière (par exemple, les guides techniques du SETRA en France) ou d'assainissement définissent des pentes minimales (pour l'écoulement des eaux) et maximales (pour la sécurité des usagers ou les limites des engins de chantier).

Formule(s)

Formule de la pente

\[ p (\text{%}) = \frac{\Delta Z}{D_{\text{h}}} \times 100 \]
Hypothèses

On suppose que la pente est constante et uniforme entre les points A et B. En réalité, le terrain peut avoir des ondulations, mais le calcul nous donne la pente moyenne sur le segment.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Dénivelée\(\Delta Z_{\text{AB}}\)+0.625m
Distance horizontale\(D_{\text{h}}\)45.00m
Astuces

Le signe de la pente est le même que celui de la dénivelée. Une dénivelée positive (montée) donne une pente positive. Une dénivelée négative (descente) donne une pente négative. C'est un bon moyen de vérifier rapidement la cohérence de votre résultat.

Schéma (Avant les calculs)
Triangle de Pente
Distance Horizontale = 45.00 mDénivelée = 0.625 mPente p (%) ?
Calcul(s)

Calcul du rapport

\[ \begin{aligned} \frac{\Delta Z_{\text{AB}}}{D_{\text{h}}} &= \frac{+0.625 \text{ m}}{45.00 \text{ m}} \\ &= 0.01388... \end{aligned} \]

Conversion en pourcentage

\[ \begin{aligned} p_{\text{AB}} (\text{%}) &= 0.01388... \times 100 \\ &\approx +1.39 \text{ \%} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la Pente
100 m1.39 mPente = +1.39%
Réflexions

Une pente de +1.39% est une pente très faible, typique d'un terrain quasi plat. Elle assure un écoulement naturel des eaux de pluie, mais ne présente aucune difficulté pour la circulation des véhicules ou des piétons. C'est une pente idéale pour de nombreux types d'aménagements.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de multiplier par 100 pour passer en pourcentage, ou d'inverser la dénivelée et la distance horizontale. Assurez-vous toujours que le rapport est bien vertical / horizontal.

Points à retenir

La pente est le rapport de la dénivelée (vertical) sur la distance horizontale. Pour obtenir un pourcentage, on multiplie le résultat par 100. Cette relation est au cœur de tous les projets d'aménagement de terrain.

Le saviez-vous ?

La rue la plus pentue du monde, Baldwin Street en Nouvelle-Zélande, a une pente de 35%. Cela signifie qu'on s'élève de 35 mètres pour seulement 100 mètres parcourus à l'horizontale, ce qui la rend difficilement praticable en voiture par temps de pluie !

FAQ
Comment convertir une pente en pourcentage en degrés ?

La pente en pourcentage est la tangente de l'angle de pente (\(\alpha\)), multipliée par 100. Donc, \(\tan(\alpha) = p (\text{%}) / 100\). Pour trouver l'angle en degrés, on utilise la fonction arc tangente : \(\alpha (^{\circ}) = \arctan(p (\text{%}) / 100)\). Pour notre exercice, \(\alpha = \arctan(1.39 / 100) \approx 0.8^{\circ}\).

Résultat Final
La pente du terrain entre A et B est de +1.39 %.
A vous de jouer

Avec la dénivelée de la question 1 (+0.625 m), si la distance horizontale avait été de 25 m, quelle aurait été la pente ?

Question 3 : Le terrain est-il conforme à une pente maximale de 8% ?

Principe

Il s'agit d'une simple comparaison entre la valeur calculée et la valeur limite imposée par le cahier des charges du projet. C'est une étape de contrôle et de validation typique en ingénierie.

Mini-Cours

En gestion de projet, on travaille constamment avec des contraintes et des critères de performance. Une "exigence" comme une pente maximale est une contrainte de conception non négociable. L'un des rôles de l'ingénieur ou du technicien est de vérifier que la réalité du terrain ou que les solutions proposées respectent ces contraintes pour assurer la validité technique du projet.

Remarque Pédagogique

Dans la pratique, il est important de toujours comparer des valeurs de même nature. Ici, on compare un pourcentage à un pourcentage. Si la norme était donnée en degrés, il aurait fallu convertir l'une des deux valeurs avant de conclure.

Normes

Les exigences de pente maximale pour les routes dépendent de leur catégorie (autoroute, route nationale, voie de desserte) et de la vitesse maximale autorisée. Une pente de 8% est déjà considérée comme forte et est généralement réservée à des routes en relief montagneux ou à des voies urbaines à vitesse très limitée.

Formule(s)

Condition de conformité

\[ |p_{\text{calculée}}| \le p_{\text{max}} \]
Hypothèses

On suppose que le 8% est une limite stricte. Dans certains cas, des dérogations mineures peuvent être acceptées si elles sont justifiées techniquement.

Donnée(s)
ParamètreValeur
Pente calculée du terrain1.39 %
Pente maximale admissible8 %
Astuces

Quand vous validez une conformité, soyez clair et direct. La réponse doit être "Oui, c'est conforme car..." ou "Non, ce n'est pas conforme car...". L'ambiguïté n'a pas sa place dans un rapport technique.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des Pentes
Pente terrain = 1.39%Pente max = 8%Horizontale
Calcul(s)

Vérification de la conformité

\[ |+1.39 \%| \le 8 \% \Rightarrow 1.39 \le 8 \]
Réflexions

La pente naturelle du terrain est bien inférieure à la limite maximale autorisée. Cela signifie que pour construire la route, les travaux de terrassement (déblais/remblais) pour ajuster la pente seront potentiellement moins importants que si le terrain avait été plus pentu. C'est une information cruciale pour l'estimation des coûts du projet.

Points de vigilance

Attention à bien lire l'exigence. S'agit-il d'une pente "maximale" ou "minimale" ? Une pente minimale est souvent requise pour l'évacuation des eaux (par exemple, 0.5% pour un caniveau). Une erreur d'interprétation peut conduire à des contre-sens majeurs.

Points à retenir

L'étape de validation est aussi importante que le calcul lui-même. Un ingénieur ou un technicien doit non seulement savoir calculer, mais aussi et surtout savoir interpréter ses résultats par rapport à un cahier des charges ou une norme.

Le saviez-vous ?

Les rampes d'accès pour les personnes à mobilité réduite (PMR) sont réglementées très strictement. En France, la pente maximale autorisée est de 5% pour un cheminement courant, avec des paliers de repos obligatoires. La pente peut exceptionnellement atteindre 8% sur une courte distance.

FAQ
Que se passe-t-il si le terrain naturel n'est pas conforme ?

Si la pente naturelle est supérieure à la pente maximale autorisée, des travaux de terrassement sont nécessaires. Il faudra soit creuser dans le terrain (déblai) pour adoucir la pente, soit ajouter de la matière (remblai) pour créer une pente plus faible, soit une combinaison des deux. Cela a un impact direct sur le coût et la durée du chantier.

Résultat Final
Oui, le terrain est conforme car sa pente naturelle (1.39 %) est inférieure à la pente maximale admissible de 8 %.
A vous de jouer

Si une autre zone du projet présentait une pente de 9.2%, serait-elle conforme à la même exigence de 8% ?

Outil Interactif : Simulateur de Pente

Utilisez les curseurs ci-dessous pour faire varier les lectures de mire et la distance horizontale. Observez en temps réel l'impact sur la dénivelée et la pente du terrain. Le graphique montre l'évolution de la pente si la distance variait, pour la dénivelée que vous avez définie.

Paramètres d'Entrée
1.855 m
1.230 m
45 m
Résultats Clés
Dénivelée (\(\Delta Z\)) (m) -
Pente (\(p\)) (%) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. La dénivelée entre deux points représente :

2. Si la lecture arrière est de 2.100 m et la lecture avant est de 1.500 m, cela signifie que le terrain :

3. Une pente de 5% signifie que pour 100 mètres parcourus horizontalement, le terrain :

4. Quelle est la formule correcte pour la pente en pourcentage ?

5. Une dénivelée de -0.75 m sur une distance de 50 m correspond à une pente de :

Glossaire

Dénivelée
Différence d'altitude (distance verticale) entre deux points.
Lecture Mire
Valeur lue par un topographe sur une règle graduée (la mire) à travers la lunette d'un niveau. La lecture arrière (\(L_{\text{ar}}\)) se fait sur le point de départ et la lecture avant (\(L_{\text{av}}\)) sur le point d'arrivée.
Nivellement Direct
Ensemble des opérations topographiques permettant de déterminer des altitudes et des dénivelées à l'aide d'un instrument optique (niveau) générant un plan de visée horizontal.
Pente
Inclinaison d'une surface par rapport à l'horizontale. C'est le rapport entre la dénivelée et la distance horizontale, souvent exprimé en pourcentage.
Exercice : Calcul de Pente en Topographie

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