Étude Topographique

Calcul de la pente d’une route en pourcentage

Topographie : Calcul de la Pente d'une Route en Pourcentage

Calcul de la pente d'une route en pourcentage

Contexte : La sécurité et la conception routière

La pente d'une route est un paramètre crucial dans la conception des infrastructures de transport. Exprimée en pourcentage (%), elle représente le rapport entre le dénivelé vertical et la distance horizontale. Une pente de 10% signifie que l'on s'élève (ou descend) de 10 mètres pour chaque 100 mètres parcourus horizontalement. Ce calcul est essentiel pour garantir la sécurité des usagers (freinage, visibilité), pour la gestion des eaux de pluie, pour le dimensionnement des terrassements et pour évaluer l'impact environnemental d'un projet routier.

Remarque Pédagogique : Cet exercice, bien que simple, est à la base de tous les projets linéaires (routes, voies ferrées, canaux). Il permet de passer de données de levé brutes (altitudes de points) à une information directement exploitable par les ingénieurs et les concepteurs : la pente.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer une dénivelée entre deux points d'altitudes connues.
  • Comprendre la différence entre distance horizontale et distance sur le terrain.
  • Appliquer la formule de la pente en pourcentage.
  • Interpréter le signe d'une pente (montante ou descendante).
  • Visualiser l'impact de la dénivelée et de la distance sur la valeur de la pente.

Données de l'étude

Un géomètre a relevé l'altitude de deux points, A et B, situés sur l'axe d'une route droite. On cherche à déterminer la pente de cette route entre ces deux points.

Schéma du profil de la route
Point A Point B Dh = 125.50 m ΔH

Données connues :

  • Altitude du point A : \(Alt_A = 82.43 \, \text{m}\)
  • Altitude du point B : \(Alt_B = 87.18 \, \text{m}\)
  • Distance horizontale entre A et B : \(D_h = 125.50 \, \text{m}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la dénivelée (\(\Delta H\)) entre le point A et le point B.
  2. Calculer la pente de la route en pourcentage (\(p\%\)).

Correction : Calcul de la Pente d'une Route

Question 1 : Dénivelée (\(\Delta H\)) entre A et B

Principe :
Niveau 0 Alt_A Alt_B ΔH

La dénivelée est la différence d'altitude entre deux points. Par convention, on la calcule en soustrayant l'altitude du point de départ (A) de celle du point d'arrivée (B). Le signe du résultat indique si la pente est montante (positif) ou descendante (négatif).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La dénivelée est le "gain" ou la "perte" d'altitude sur un parcours. C'est la composante purement verticale du déplacement. Elle est indépendante de la distance parcourue.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta H = Alt_B - Alt_A \]
Donnée(s) :
  • Altitude de A : \(Alt_A = 82.43 \, \text{m}\)
  • Altitude de B : \(Alt_B = 87.18 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \Delta H &= 87.18 - 82.43 \\ &= +4.75 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Ordre de la soustraction : Inverser les termes (\(Alt_A - Alt_B\)) donnerait le bon chiffre mais avec le signe opposé. Il est crucial de respecter la convention "point d'arrivée moins point de départ" pour interpréter correctement le sens de la pente.

Le saviez-vous ?

En randonnée, on parle souvent de "dénivelé positif cumulé", qui est la somme de toutes les montées d'un parcours. Un trail de 1000 m de dénivelé positif peut être bien plus difficile qu'une simple montée de 1000 m, car il inclut de nombreuses descentes et remontées.

FAQ en rapport avec la question :
Le résultat serait-il différent si la route n'était pas droite ?

Non, la dénivelée entre deux points ne dépend que de leur altitude respective, pas du chemin parcouru pour aller de l'un à l'autre. Que la route soit droite ou sinueuse, si les points A et B ont les mêmes altitudes, la dénivelée est identique.

Résultat : La dénivelée entre A et B est de +4.75 m.

Question 2 : Pente de la Route en Pourcentage (\(p\%\))

Principe :
Dh ΔH Pente (%)

La pente est le rapport de la distance verticale (dénivelée) sur la distance horizontale. On multiplie ce rapport par 100 pour l'exprimer en pourcentage. Le signe de la pente est le même que celui de la dénivelée.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le pourcentage est une manière très intuitive de représenter une pente. Une pente de 100% correspond à un angle de 45° (ou 50 gon), où la dénivelée est égale à la distance horizontale. Une pente de 0% est une surface parfaitement horizontale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ p(\%) = \frac{\Delta H}{D_h} \times 100 \]
Donnée(s) :
  • Dénivelée \(\Delta H = +4.75 \, \text{m}\)
  • Distance horizontale \(D_h = 125.50 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} p(\%) &= \frac{4.75}{125.50} \times 100 \\ &= 0.0378... \times 100 \\ &= +3.78 \, \% \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Distance horizontale vs. distance naturelle : Il faut impérativement utiliser la distance horizontale (\(D_h\)) et non la distance réelle parcourue sur la route (qui est l'hypoténuse du triangle). Utiliser la distance sur le terrain donnerait une pente légèrement plus faible et donc incorrecte.

Le saviez-vous ?

La route la plus pentue du monde se trouve à Harlech, au Pays de Galles, avec une pente de 37.45% enregistrée par le Livre Guinness des records. Cela correspond à une élévation de plus d'un mètre tous les trois mètres parcourus !

FAQ en rapport avec la question :
Comment convertir une pente en degrés ?

La pente est la tangente de l'angle (α) de la route avec l'horizontale. Pour trouver l'angle en degrés, on utilise la fonction arc tangente : \(\alpha (\text{deg}) = \arctan(\text{pente}/100)\). Pour une pente de 3.78%, l'angle serait \(\arctan(0.0378) \approx 2.16^\circ\).

Résultat : La pente de la route est de +3.78 %.

Simulation Interactive du Calcul de Pente

Faites varier les altitudes et la distance pour observer l'impact direct sur la pente de la route.

Paramètres du Profil
Dénivelée (ΔH)
Pente en %
Visualisation du Profil

Pour Aller Plus Loin : Les Courbes Verticales

Adoucir les angles : Les routes ne changent jamais de pente brusquement. Les changements de pente (par exemple, passer d'une montée à une descente) sont réalisés via des "raccordements paraboliques" ou courbes verticales. Ces courbes assurent une transition douce pour le confort des passagers et la sécurité (distance de visibilité). Le calcul de ces courbes est une application plus avancée du calcul de pente, essentielle dans la conception de routes modernes.

Le Saviez-Vous ?

Sur les routes, les panneaux de signalisation de pente indiquent la pente maximale sur la section à venir. Une pente de 10% est déjà considérée comme forte et nécessite une signalisation. Dans les chemins de fer, les pentes sont beaucoup plus faibles, rarement au-dessus de 2% ou 3%, car les trains ont une faible adhérence sur les rails.

Foire Aux Questions (FAQ)

La pente est-elle la même si je vais de B vers A ?

La valeur absolue de la pente est la même, mais son signe change. De B vers A, la dénivelée serait \(82.43 - 87.18 = -4.75 \, \text{m}\). La pente serait donc de -3.78%, indiquant une descente, ce qui est logique.

Peut-on calculer la pente si on n'a que la distance sur le terrain ?

Oui, mais il faut une étape de plus. Si on connaît la distance sur le terrain (\(D_t\), l'hypoténuse) et la dénivelée (\(\Delta H\)), on peut trouver la distance horizontale (\(D_h\)) avec le théorème de Pythagore : \(D_h = \sqrt{D_t^2 - \Delta H^2}\). Ensuite, on peut calculer la pente normalement avec \(D_h\).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Une route a une pente de 100%. Quel est l'angle de cette route avec l'horizontale ?

2. Si on double la distance horizontale tout en gardant la même dénivelée, la pente sera :

Glossaire

Pente
Rapport entre la distance verticale (dénivelée) et la distance horizontale entre deux points. Elle est souvent exprimée en pourcentage pour les applications routières.
Dénivelée (ΔH)
Différence d'altitude entre deux points. Elle est positive pour une montée et négative pour une descente.
Distance Horizontale (Dh)
Distance entre deux points projetée sur un plan horizontal. C'est la distance "à vol d'oiseau" vue de dessus.
Calcul de la pente d'une route en pourcentage

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