Calcul de la pente d’une route en pourcentage
Contexte : L'AltimétriePartie de la topographie qui a pour objet la mesure des altitudes et la représentation du relief sur les plans et les cartes. est une compétence fondamentale pour tout technicien ou ingénieur en génie civil.
Le calcul de la pente est une application directe de l'altimétrie. Il est essentiel pour la conception des routes, des réseaux d'assainissement, ou pour l'étude de l'écoulement des eaux. Une pente incorrecte peut entraîner des problèmes de sécurité, de drainage ou d'usure prématurée des infrastructures. Cet exercice vous guidera à travers les étapes de calcul de la pente d'un futur tronçon de route à partir de relevés topographiques.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à manipuler les coordonnées cartésiennes (X, Y, Z) pour en déduire des informations pratiques comme la distance, le dénivelé et la pente, qui sont au cœur du métier de topographe.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et calculer le dénivelé et la distance horizontale entre deux points.
- Maîtriser la formule de calcul de la pente en pourcentage.
- Appliquer les calculs topographiques à un cas pratique de génie civil.
Données de l'étude
Fiche Technique du Projet
| Caractéristique | Description |
|---|---|
| Type de projet | Création d'une route départementale |
| Localisation | Zone rurale, terrain légèrement vallonné |
| Objectif | Relier les villages de "Haut-Vallon" et "Bas-Pré" |
Schéma de Principe du Profil en Long
| Point | X (m) | Y (m) | Z (m) |
|---|---|---|---|
| A | 150.00 | 200.00 | 125.50 |
| B | 350.00 | 250.00 | 131.75 |
Questions à traiter
- Calculer la distance horizontale (\(D_H\)) entre le point A et le point B.
- Calculer le dénivelé (\(\Delta Z\)) entre le point A et le point B.
- En déduire la pente de la route en pourcentage (%).
- Qualifier cette pente (est-elle faible, moyenne, forte pour une route ?).
- Calculer la longueur réelle de la rampe (la distance 3D).
Les bases des Calculs Altimétriques
Pour résoudre cet exercice, trois formules fondamentales de la topographie sont nécessaires. Elles permettent de passer des coordonnées 3D à des grandeurs physiques exploitables pour le projet.
1. Distance Horizontale (d'après Pythagore)
La distance horizontale entre deux points A et B est la distance "à vol d'oiseau" projetée sur un plan horizontal. On l'obtient avec les coordonnées planimétriques X et Y.
\[ D_H = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2} \]
2. Dénivelé (Différence d'altitude)
Le dénivelé est la différence verticale d'altitude entre deux points. Un résultat positif indique une montée de A vers B, un résultat négatif une descente.
\[ \Delta Z = Z_B - Z_A \]
3. Pente en Pourcentage
La pente est le rapport entre le dénivelé et la distance horizontale. On la multiplie par 100 pour l'exprimer en pourcentage (pour 100m parcourus à l'horizontale, de combien de mètres on monte ou descend).
\[ \text{Pente (%)} = \frac{\Delta Z}{D_H} \times 100 \]
Correction : Calcul de la pente d’une route en pourcentage
Question 1 : Calculer la distance horizontale (\(D_H\))
Principe
Il s'agit de calculer la distance entre les points A et B comme si on les voyait sur une carte, en ignorant l'altitude. C'est la base du triangle rectangle qui nous servira à calculer la pente. On utilise pour cela le théorème de Pythagore dans le plan (X, Y).
Mini-Cours
Dans un système de coordonnées cartésiennes à deux dimensions (X, Y), la distance entre deux points est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés adjacents sont les différences de coordonnées (\(\Delta X\) et \(\Delta Y\)). Le théorème de Pythagore stipule que le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Remarque Pédagogique
Visualisez toujours le problème. Imaginez que vous êtes au-dessus des points A et B avec un drone : la distance que vous voyez est la distance horizontale. C'est une étape fondamentale avant de considérer l'aspect vertical (le dénivelé).
Normes
Ce calcul est un principe de base de la géométrie euclidienne et n'est pas directement régi par une norme de construction. Cependant, les résultats de ce calcul sont la base de toutes les études de projets routiers, qui elles, sont soumises à des normes (par exemple, les guides techniques du CEREMA en France).
Formule(s)
Hypothèses
Pour ce calcul, on fait les hypothèses suivantes :
- Le système de coordonnées est un plan euclidien (plat).
- On néglige la courbure de la Terre, ce qui est tout à fait acceptable pour des distances de l'ordre de quelques centaines de mètres.
Donnée(s)
On extrait les coordonnées X et Y des points A et B de l'énoncé.
| Point | X (m) | Y (m) |
|---|---|---|
| A | 150.00 | 200.00 |
| B | 350.00 | 250.00 |
Astuces
Avant de vous lancer dans la racine carrée, vérifiez l'ordre de grandeur. Ici, \(\Delta X\) (200m) est beaucoup plus grand que \(\Delta Y\) (50m). Le résultat final sera donc logiquement un peu supérieur à 200m. Cela permet de détecter une erreur de calcul grossière.
Schéma (Avant les calculs)
Vue en plan et triangle de Pythagore
Calcul(s)
Calcul de l'écart en X (\(\Delta X\))
Calcul de l'écart en Y (\(\Delta Y\))
Application de la formule de Pythagore
Schéma (Après les calculs)
Vue en plan avec composantes
Réflexions
Cette distance de 206,16 m est la projection du segment de route sur une carte. C'est la valeur de référence sur laquelle toutes les pentes, dévers et profils en long seront basés. C'est la "base" de notre travail.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier de mettre les écarts au carré ou de ne pas prendre la racine carrée à la fin. Attention également aux erreurs de signe si les coordonnées sont négatives (même si le carré les annulera).
Points à retenir
Pour maîtriser cette question, retenez :
- La distance horizontale dépend uniquement des coordonnées X et Y.
- Elle se calcule via le théorème de Pythagore sur les écarts \(\Delta X\) et \(\Delta Y\).
- L'unité du résultat est celle des coordonnées d'entrée (ici, le mètre).
Le saviez-vous ?
Le théorème de Pythagore, connu depuis plus de 2500 ans, est un pilier de la géométrie. Il est utilisé quotidiennement dans des technologies modernes comme le GPS pour calculer les distances entre votre position et les satellites.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le point B avait pour coordonnées X=300 m et Y=220 m, quelle serait la nouvelle distance horizontale ?
Question 2 : Calculer le dénivelé (\(\Delta Z\))
Principe
Le dénivelé est le mouvement vertical pur entre le point de départ et le point d'arrivée. C'est la mesure de la "montée" ou de la "descente" entre A et B.
Mini-Cours
En topographie, l'altitude (Z) est la hauteur verticale d'un point par rapport à une surface de référence appelée le "datum". En France, le datum officiel est le niveau moyen de la mer mesuré au marégraphe de Marseille (système NGF-IGN69). Le dénivelé est donc une différence entre deux altitudes mesurées dans le même système de référence.
Remarque Pédagogique
Soyez très attentif au sens de la soustraction : c'est toujours "altitude du point final" moins "altitude du point initial". Le signe du résultat est crucial : positif pour une montée, négatif pour une descente.
Normes
Les mesures altimétriques sont rattachées à des réseaux géodésiques nationaux pour garantir leur cohérence sur tout le territoire. En France, c'est l'IGN (Institut national de l'information géographique et forestière) qui maintient ce réseau.
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que les deux altitudes Z_A et Z_B sont exprimées dans le même système de référence altimétrique (le même datum), ce qui est la base de tout travail topographique correct.
Donnée(s)
On extrait les altitudes Z des points A et B.
| Point | Z (m) |
|---|---|
| A | 125.50 |
| B | 131.75 |
Astuces
Le calcul est une simple soustraction. L'astuce est de prendre une seconde pour lire le résultat avec son signe et de le traduire en mots : "+6,25 m" signifie "une montée de 6,25 mètres".
Schéma (Avant les calculs)
Représentation du Dénivelé
Calcul(s)
Calcul du dénivelé
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du Dénivelé
Réflexions
Le résultat est positif (+6,25 m), ce qui signifie que le point B est plus haut que le point A. Il s'agit donc d'une montée, que l'on appelle une "rampe" en génie routier. Si le résultat avait été négatif, on aurait parlé d'une "pente" (dans le sens de descente).
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est d'inverser la soustraction (\(Z_A - Z_B\)). Cela donnerait -6,25 m, indiquant une descente, ce qui serait une erreur fondamentale d'interprétation du projet.
Points à retenir
Pour cette question, il faut maîtriser :
- Le dénivelé est une simple soustraction d'altitudes : Z(arrivée) - Z(départ).
- Le signe du résultat est primordial : + indique une montée, - une descente.
Le saviez-vous ?
Le "niveau de la mer" n'est pas une surface plate. À cause des variations de la gravité terrestre, la surface de référence (le géoïde) a des ondulations. C'est pourquoi chaque pays définit un point fondamental pour son système d'altitude.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'altitude du point A était de 130,25 m, quel serait le nouveau dénivelé ?
Question 3 : En déduire la pente de la route en pourcentage (%)
Principe
La pente exprime le rapport entre l'élévation verticale (le dénivelé) et le parcours horizontal. La mettre en pourcentage permet de la standardiser et de la rendre facilement comparable : "de combien de mètres je monte si j'avance de 100 mètres à plat ?".
Mini-Cours
La pente est une mesure d'inclinaison. Un pourcentage est un rapport (ou une fraction) multiplié par 100. Une pente de 5% signifie un rapport de 5/100, soit 0.05. Cela veut dire qu'on s'élève de 5 mètres verticalement pour chaque 100 mètres parcourus horizontalement. On peut aussi l'exprimer en degrés (avec la fonction arc-tangente) ou en ratio (ex: 1/20), mais le pourcentage est le plus courant en génie civil.
Remarque Pédagogique
Pensez "Rise over Run" (montée sur parcours). La pente, c'est le rapport de ce que vous avez calculé en Q2 (Rise / Dénivelé) sur ce que vous avez calculé en Q1 (Run / Distance Horizontale). N'inversez jamais les deux !
Normes
Les guides de conception routière (comme l'ICTAAL en France) définissent des pentes maximales et minimales. Un minimum est souvent requis (ex: 0.5%) pour assurer l'évacuation des eaux de pluie, et un maximum est fixé pour la sécurité des usagers.
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que la pente est constante sur tout le tronçon entre A et B. En réalité, une route est une succession de pentes et de courbes verticales (arcs de cercle ou paraboles) pour assurer un confort de conduite.
Donnée(s)
On utilise la distance horizontale et le dénivelé calculés précédemment.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Dénivelé | \(\Delta Z\) | +6.25 | m |
| Distance Horizontale | \(D_H\) | 206.16 | m |
Astuces
Une pente de 100% correspond à un angle de 45° (on monte de 100m pour 100m à l'horizontale). Une pente de 3% est donc une inclinaison assez faible, ce qui est une bonne première vérification de l'ordre de grandeur.
Schéma (Avant les calculs)
Le Triangle de la Pente
Calcul(s)
Calcul de la pente en pourcentage
Schéma (Après les calculs)
Le Triangle de la Pente Visualisé
Réflexions
Une pente de 3,03% signifie que pour chaque 100 mètres parcourus à l'horizontale, la route s'élève de 3,03 mètres. C'est une pente douce, facile à gravir pour tous les véhicules.
Points de vigilance
L'erreur la plus courante est d'oublier de multiplier par 100, ce qui donne un résultat sous forme décimale (0,0303) et non en pourcentage. Une autre erreur est d'inverser le dénivelé et la distance.
Points à retenir
La maîtrise de cette question passe par :
- La formule Pente = (Dénivelé / Distance Horizontale) x 100.
- Le signe de la pente est le même que celui du dénivelé.
- La pente est un ratio sans unité, le pourcentage est une convention d'écriture.
Le saviez-vous ?
Dans le domaine ferroviaire, les pentes sont si faibles qu'on les exprime en "pour mille" (‰). Une pente de 1% (10m pour 1km) est déjà considérée comme une rampe très forte pour un train de marchandises.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Avec une distance horizontale de 150 m et un dénivelé de 9 m, quelle serait la pente ?
Question 4 : Qualifier cette pente
Principe
Il s'agit de comparer la valeur numérique obtenue à des standards ou des ordres de grandeur connus dans le domaine du génie routier pour lui donner un sens pratique.
Mini-Cours
En conception routière, les pentes sont réglementées pour garantir la sécurité et la performance des véhicules :
- < 4 % : Pente faible, idéale pour tous les types de routes.
- 5 % à 7 % : Pente courante, acceptable mais commence à ralentir les poids lourds.
- 8 % à 12 % : Pente forte, généralement utilisée sur des routes de montagne ou sur de courtes distances.
- > 12 % : Pente exceptionnelle, réservée à des cas très spécifiques avec signalisation adaptée.
Réflexions
Notre pente calculée de 3,03 % se situe dans la catégorie des pentes faibles. Elle ne posera aucun problème pour la circulation, y compris pour les camions ou les cyclistes, et assurera un bon drainage de l'eau si les accotements sont bien réalisés.
Le saviez-vous ?
La rue la plus pentue du monde, Baldwin Street en Nouvelle-Zélande, a une pente moyenne de 35% ! Les voitures doivent s'y garer en travers pour ne pas glisser.
Résultat Final
Question 5 : Calculer la longueur réelle de la rampe
Principe
La longueur réelle, ou longueur suivant la pente, est la distance que parcourrait la roue d'une voiture en allant de A à B. C'est l'hypoténuse du triangle rectangle formé par la distance horizontale et le dénivelé.
Mini-Cours
On applique à nouveau le théorème de Pythagore, mais cette fois dans le plan vertical. Le triangle rectangle est composé de :
- Côté adjacent : la distance horizontale (\(D_H\)).
- Côté opposé : le dénivelé (\(\Delta Z\)).
- Hypoténuse : la longueur réelle (\(L_{\text{réelle}}\)).
Cette distance est toujours supérieure (ou égale si le terrain est plat) à la distance horizontale.
Remarque Pédagogique
Ce calcul est crucial pour estimer précisément les quantités de matériaux (enrobé, bordures, tuyaux) et donc le coût du projet. Sur de longues distances, la différence entre longueur réelle et horizontale peut devenir significative.
Normes
Dans les métrés de travaux (les documents qui quantifient les ouvrages à construire), c'est la longueur réelle qui est généralement utilisée pour facturer les éléments qui suivent le profil du terrain (comme les canalisations ou le revêtement).
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que la route est une ligne droite en 3D entre les points A et B. Toute courbe horizontale ou verticale ajouterait de la longueur supplémentaire.
Donnée(s)
On utilise la distance horizontale et le dénivelé calculés précédemment.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance Horizontale | \(D_H\) | 206.16 | m |
| Dénivelé | \(\Delta Z\) | 6.25 | m |
Astuces
Pour les pentes faibles (<10%), la longueur réelle est très proche de la distance horizontale. Un résultat très différent doit vous alerter sur une possible erreur de calcul. Ici, on s'attend à un résultat juste un peu au-dessus de 206,16 m.
Schéma (Avant les calculs)
Profil en Long - Le Triangle 3D
Calcul(s)
Calcul de la longueur réelle
Schéma (Après les calculs)
Profil en Long - Visualisation 3D
Réflexions
La longueur réelle (206,25 m) est très proche de la distance horizontale (206,16 m). La différence n'est que de 9 cm. Cela illustre bien que pour les faibles pentes, la différence entre la distance projetée et la distance réelle est minime, mais elle doit être calculée pour des chantiers de précision (pose de canalisations, etc.).
Points de vigilance
Assurez-vous d'utiliser la distance horizontale (\(D_H\)) et non une des composantes (\(\Delta X\) ou \(\Delta Y\)) dans le calcul de Pythagore avec le dénivelé (\(\Delta Z\)).
Points à retenir
Ce qu'il faut absolument maîtriser :
- La longueur réelle est l'hypoténuse du triangle formé par Dₕ et ΔZ.
- Elle est toujours la distance la plus longue (sauf si ΔZ=0).
- Sa formule est une application directe de Pythagore.
Le saviez-vous ?
Les tachéomètres modernes (les appareils que les géomètres utilisent sur le terrain) mesurent directement la longueur réelle (distance inclinée) et un angle vertical. Ils calculent ensuite instantanément la distance horizontale et le dénivelé par trigonométrie (sinus et cosinus).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Pour une distance horizontale de 500 m et un dénivelé de 40 m, quelle serait la longueur réelle ?
Outil Interactif : Simulateur de Pente
Utilisez les curseurs pour faire varier la distance horizontale et le dénivelé, et observez en temps réel l'impact sur la pente et la longueur de la route.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Un dénivelé positif entre un point A et un point B signifie que :
2. Quelle est la formule correcte pour calculer la pente en pourcentage ?
3. Pour une distance horizontale de 100 m et un dénivelé de 5 m, la pente est de :
4. La distance horizontale est toujours...
5. Quel instrument est principalement utilisé par un géomètre pour mesurer des altitudes avec précision ?
- Altimétrie
- Partie de la topographie qui traite de la mesure des altitudes et de la représentation du relief (les formes de la surface terrestre).
- Dénivelé
- Différence d'altitude entre deux points. Il peut être positif (montée) ou négatif (descente).
- Distance Horizontale
- Distance entre deux points projetée sur un plan parfaitement horizontal. C'est la distance que l'on lirait sur une carte.
- Pente
- Rapport de l'élévation verticale (dénivelé) sur la distance horizontale. Elle exprime l'inclinaison d'une surface.
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