Calcul de la longueur sur un plan
Contexte : L'échelle d'un planLe rapport constant entre les longueurs mesurées sur le plan et les longueurs réelles sur le terrain..
En topographie, un plan est une représentation réduite et fidèle d'une portion de terrain. Pour passer des mesures du plan à la réalité (et inversement), on utilise un rapport de réduction appelé "échelle". La maîtrise de l'échelle et des calculs de base à partir de coordonnées est fondamentale pour tous les métiers de la construction, de l'aménagement et de la mesure.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à utiliser les coordonnées cartésiennes de deux points et l'échelle d'un plan pour déterminer une distance horizontale réelle, une compétence de base essentielle pour tout technicien ou ingénieur.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et appliquer la notion d'échelle numérique.
- Calculer une distance réelle à partir de coordonnées cartésiennes planes.
- Calculer les coordonnées d'un point par rayonnement (distance et gisement).
- Calculer la surface d'une parcelle à partir des coordonnées de ses sommets.
Données de l'étude
Représentation des bornes A et B dans un repère plan
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Coordonnées Borne A | \( (X_A ; Y_A) \) | (25.40 ; 15.20) | m |
| Coordonnées Borne B | \( (X_B ; Y_B) \) | (68.90 ; 37.50) | m |
| Échelle du plan | E | 1 / 500 | - |
Questions à traiter
- Calculer la distance horizontale réelle entre les bornes A et B.
- Calculer la longueur que cette distance représente sur le plan à l'échelle 1/500.
- Un troisième point, C, est situé depuis le point A avec un gisementAngle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord (axe Y). de 100 grades et à une distance horizontale de 35.00 mètres. Calculer les coordonnées \( (X_C ; Y_C) \) du point C.
- Calculer la surface réelle du triangle formé par les points A, B et C.
Les bases de la Topographie
Pour résoudre cet exercice, plusieurs concepts fondamentaux de la topographie sont nécessaires.
1. Distance entre deux points par coordonnées
Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points \(A(X_A, Y_A)\) et \(B(X_B, Y_B)\) est obtenue en appliquant le théorème de Pythagore.
\[ D_{AB} = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2} = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2} \]
2. Principe de l'échelle
L'échelle (E) est le rapport entre une distance sur le plan \((D_p)\) et la distance correspondante sur le terrain \((D_r)\). Pour une échelle de \(1/N\) :
\[ E = \frac{D_p}{D_r} \Rightarrow D_r = D_p \times N \quad \text{et} \quad D_p = \frac{D_r}{N} \]
3. Calcul de coordonnées par rayonnement
Les coordonnées d'un point C peuvent être calculées depuis un point connu A si l'on connaît la distance \(D_{AC}\) et le gisement \(G_{AC}\) :
\[ X_C = X_A + D_{AC} \cdot \sin(G_{AC}) \]
\[ Y_C = Y_A + D_{AC} \cdot \cos(G_{AC}) \]
4. Calcul de surface par les coordonnées
La surface d'un polygone peut être calculée avec la formule des lacets (méthode du déterminant) :
\[ S = \frac{1}{2} | \sum_{i=1}^{n} (X_i Y_{i+1} - X_{i+1} Y_i) | \]
(avec le point \(n+1\) étant le point 1 pour boucler le polygone).
Correction : Calcul de la longueur sur un plan
Question 1 : Calculer la distance horizontale réelle entre les bornes A et B.
Principe (le concept physique)
Pour trouver la distance réelle entre deux points dont on connaît les coordonnées, on utilise le théorème de Pythagore. On imagine un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l'angle droit sont les écarts en abscisse (\(\Delta X\)) et en ordonnée (\(\Delta Y\)). La distance recherchée est l'hypoténuse de ce triangle.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Ce calcul repose sur la notion de distance euclidienne dans un plan cartésien. Le système de coordonnées utilisé en topographie (comme le Lambert 93 en France) est une projection plane de la surface courbe de la Terre. Pour des distances courtes, on peut considérer le plan comme parfaitement plat, ce qui valide l'utilisation de la géométrie euclidienne simple.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La meilleure façon d'aborder ce calcul est de toujours commencer par calculer séparément \(\Delta X\) et \(\Delta Y\). Cela évite les erreurs de signe et simplifie la formule finale. Gardez à l'esprit que même si \((X_A - X_B)\) est négatif, le carré sera toujours positif, donc l'ordre de soustraction n'a pas d'impact sur le résultat final de la distance.
Normes (la référence réglementaire)
Ce calcul n'est pas régi par une norme de construction (comme un Eurocode), mais par des principes mathématiques universels. Cependant, les méthodes de relevé des coordonnées et la précision requise sont, elles, encadrées par des cahiers des charges et des normes professionnelles pour les géomètres-topographes.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :
- Le repère de coordonnées est orthonormé (axes perpendiculaires et même unité de mesure sur les deux axes).
- La surface de la Terre est considérée comme plane sur la zone d'étude (projection plane).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Nous reprenons les coordonnées fournies dans l'énoncé de l'exercice.
- Coordonnées de A : \(X_A = 25.40 \text{ m}\) ; \(Y_A = 15.20 \text{ m}\)
- Coordonnées de B : \(X_B = 68.90 \text{ m}\) ; \(Y_B = 37.50 \text{ m}\)
Astuces (Pour aller plus vite)
La plupart des calculatrices scientifiques ont une fonction "P→R" (Polaire vers Rectangulaire) ou une fonction "hypot". En entrant \(\Delta X\) et \(\Delta Y\), vous pouvez obtenir la distance directement sans calculer les carrés et la racine carrée manuellement.
Schéma (Avant les calculs)
Triangle rectangle formé par \(\Delta X\) et \(\Delta Y\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Étape 1 : Calcul de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\)
Étape 2 : Application de la formule de distance
Schéma (Après les calculs)
Résultat du calcul de distance
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le résultat de 48.88 m est une distance horizontale. Cela signifie que si le terrain entre A et B monte ou descend, la distance réelle à parcourir en suivant la pente sera légèrement supérieure. En topographie, on travaille quasi exclusivement avec des distances horizontales.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est d'oublier de prendre la racine carrée à la fin du calcul. Assurez-vous également que les coordonnées sont dans la même unité (ici, les mètres) avant de commencer. Une autre erreur est de sommer \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) avant de les élever au carré, ce qui est incorrect.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Pour maîtriser ce calcul, retenez ces trois points :
- La distance entre deux points est l'hypoténuse d'un triangle formé par les \(\Delta X\) et \(\Delta Y\).
- La formule est \( D = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2} \).
- Le résultat est toujours positif et exprimé dans l'unité des coordonnées.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le calcul de distance entre deux points est la base du gisement, qui est l'angle que forme la direction AB avec l'axe des ordonnées (le Nord). Le gisement est une donnée fondamentale pour orienter les plans et les constructions. On le calcule avec la fonction \( \text{atan2}(\Delta X, \Delta Y) \).
FAQ (pour lever les doutes)
Voici quelques questions fréquentes sur ce calcul.
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Calculez la distance réelle entre un point C(10, 20) et un point D(40, 60).
Question 2 : Calculer la longueur que cette distance représente sur le plan à l'échelle 1/500.
Principe (le concept physique)
Pour trouver la distance sur le plan, il faut appliquer le rapport de réduction défini par l'échelle. L'échelle 1/500 signifie que la réalité est 500 fois plus grande que sa représentation sur le plan. On doit donc diviser la distance réelle par 500 pour obtenir la distance graphique.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'échelle est un rapport sans unité. Il est donc crucial que la distance plan et la distance réelle soient exprimées dans la même unité lors de l'utilisation de la formule. Si \(D_r\) est en mètres, \(D_p\) sera calculée en mètres. Il faut ensuite la convertir en une unité plus pratique (cm ou mm) pour la lecture de plan.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Une méthode simple pour ne pas se tromper est de se dire : "Pour aller du terrain au plan, je divise. Pour aller du plan au terrain, je multiplie." C'est un moyen mnémotechnique efficace pour appliquer correctement le dénominateur de l'échelle.
Normes (la référence réglementaire)
La représentation graphique et l'utilisation des échelles dans les dessins techniques et les plans topographiques sont standardisées (par exemple par les normes ISO) pour garantir une lecture et une interprétation uniformes par tous les intervenants d'un projet.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
Nous supposons que le plan a été réalisé rigoureusement à l'échelle indiquée et que le support papier n'a pas subi de déformation (dilatation, etc.) qui pourrait fausser les mesures.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Nous utilisons le résultat de la question précédente et l'échelle du plan.
- Distance réelle (\(D_r\)) = 48.88 m
- Échelle = 1/500 (Dénominateur \(N = 500\))
Astuces (Pour aller plus vite)
Pour obtenir un résultat plus parlant, il est courant de convertir la distance plan (qui sera en mètres) en centimètres ou en millimètres, car ce sont les unités que l'on manipule sur un plan papier. (Rappel : \(1 \text{ m} = 100 \text{ cm}\)).
Schéma (Avant les calculs)
Mesure à déterminer sur le plan
Calcul(s) (l'application numérique)
Étape 1 : Application de la formule de l'échelle
Étape 2 : Conversion en centimètres
Schéma (Après les calculs)
Mesure sur le plan
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Une distance de près de 49 mètres sur le terrain est représentée par un segment d'un peu moins de 10 cm sur le plan. Cela semble cohérent pour une échelle de 1/500, qui est une échelle courante pour les plans de masse de projets de construction.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur classique est de multiplier au lieu de diviser (ou vice-versa). Utilisez le moyen mnémotechnique de la remarque pédagogique. Attention aussi aux conversions : si vous convertissez la distance réelle en cm avant de diviser, le résultat sera directement en cm, ce qui peut être plus simple.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Pour cette question, retenez :
- Distance Plan = Distance Réelle / Dénominateur de l'échelle.
- Soyez très attentif aux unités (m, cm, mm) lors des conversions.
- Une grande échelle (ex: 1/200) montre plus de détails qu'une petite échelle (ex: 1/2000).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les topographes utilisent des règles spéciales appelées "kutch" ou "échelle de réduction". Elles possèdent plusieurs graduations correspondant aux échelles les plus courantes (1/100, 1/200, 1/500, etc.), ce qui permet de lire directement une distance réelle sur un plan sans avoir à faire de calcul.
FAQ (pour lever les doutes)
Voici quelques questions fréquentes sur ce calcul.
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Maintenant, si le plan avait été dessiné à une échelle de 1/200, quelle aurait été la distance graphique en cm ?
Question 3 : Calculer les coordonnées \( (X_C ; Y_C) \) du point C.
Principe (le concept physique)
Ce calcul, appelé "rayonnement", consiste à déterminer la position d'un nouveau point C à partir d'un point connu A en utilisant un angle (le gisement) et une distance. On utilise la trigonométrie pour décomposer la distance (qui est l'hypoténuse) en deux composantes : un déplacement sur l'axe des X (\(\Delta X\)) et un déplacement sur l'axe des Y (\(\Delta Y\)).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le gisement est l'angle fondamental en topographie. Il est mesuré depuis l'axe Y (le Nord) dans le sens horaire. L'unité utilisée ici est le grade (gon), où un tour complet fait 400 grades. Cette unité est pratique car un angle droit mesure exactement 100 grades. Les formules de projection sont : \( \Delta X = D \cdot \sin(G) \) et \( \Delta Y = D \cdot \cos(G) \).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Avant tout calcul, faites un schéma rapide pour visualiser la direction. Un gisement de 0 gon va vers le Nord (+Y), 100 gon vers l'Est (+X), 200 gon vers le Sud (-Y), et 300 gon vers l'Ouest (-X). Cela vous donnera un ordre de grandeur et le signe attendu pour vos \(\Delta X\) et \(\Delta Y\).
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul par rayonnement est une méthode de base du levé topographique, décrite dans tous les manuels de la profession et les guides de bonnes pratiques. La précision de l'angle et de la distance mesurés sur le terrain doit respecter les tolérances définies pour le type de travail à réaliser.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le gisement est mesuré par rapport à l'axe Y du système de coordonnées plan et que la distance est bien la distance horizontale.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
On utilise les coordonnées du point de départ et les mesures de rayonnement.
- Coordonnées de A : \(X_A = 25.40 \text{ m}\) ; \(Y_A = 15.20 \text{ m}\)
- Distance A vers C : \(D_{AC} = 35.00 \text{ m}\)
- Gisement A vers C : \(G_{AC} = 100 \text{ gon}\)
Astuces (Pour aller plus vite)
La plus grande source d'erreur est le mode de votre calculatrice ! Assurez-vous qu'elle est bien en mode GRAD avant de calculer le sinus et le cosinus. Si vous n'avez pas ce mode, vous pouvez convertir les grades en degrés : \(\text{Degrés} = \text{Grades} \times (360 / 400)\).
Schéma (Avant les calculs)
Rayonnement du point C depuis A
Calcul(s) (l'application numérique)
Étape 1 : Calcul de \(\Delta X\) (avec la calculatrice en mode Grades)
Étape 2 : Calcul de \(\Delta Y\) (avec la calculatrice en mode Grades)
Étape 3 : Calcul des coordonnées de C
Schéma (Après les calculs)
Position du point C calculé
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le résultat est logique : un gisement de 100 grades correspond à la direction de l'Est. Le déplacement se fait donc uniquement sur l'axe des X, sans changer de coordonnée Y. Le calcul confirme cette intuition géométrique.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Le piège N°1 est le mode de la calculatrice (Degrés, Radians, Grades). Le N°2 est d'inverser sinus et cosinus. Retenez : Sinus est lié à l'Est (X), Cosinus est lié au Nord (Y).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Pour implanter un point par rayonnement, il faut :
- Connaître les coordonnées d'un point de départ.
- Connaître la distance et le gisement vers le nouveau point.
- Appliquer les formules \( X_{\text{fin}} = X_{\text{dep}} + D \cdot \sin(G) \) et \( Y_{\text{fin}} = Y_{\text{dep}} + D \cdot \cos(G) \).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La division du cercle en 400 grades a été promue en France après la Révolution, en même temps que le système métrique, dans une logique de simplification décimale. Bien que le degré reste plus utilisé mondialement, le grade est encore très présent en topographie en Europe.
FAQ (pour lever les doutes)
Voici quelques questions fréquentes sur ce calcul.
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Depuis le point B(68.90, 37.50), on vise un point D avec un gisement de 200 gon et une distance de 20m. Quelles sont ses coordonnées ?
Question 4 : Calculer la surface réelle du triangle formé par les points A, B et C.
Principe (le concept physique)
Pour calculer la surface d'une figure géométrique à partir des coordonnées de ses sommets, on utilise une méthode basée sur la décomposition de la figure en trapèzes par rapport aux axes de coordonnées. La somme algébrique des aires de ces trapèzes donne l'aire de la figure.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La "formule des lacets" ou méthode du déterminant est une application de ce principe. Pour un triangle ABC, la formule se simplifie : \( S = \frac{1}{2} |(X_A Y_B + X_B Y_C + X_C Y_A) - (Y_A X_B + Y_B X_C + Y_C X_A)| \). La valeur absolue garantit que la surface est toujours positive.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pour éviter les erreurs, listez vos points dans un tableau en colonne (Point, X, Y). Parcourez les points dans un sens (par ex. A -> B -> C -> A). Calculez la somme des produits "en descendant" (\(X_A Y_B\), etc.) puis soustrayez la somme des produits "en remontant" (\(Y_A X_B\), etc.). C'est une méthode visuelle et robuste.
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul de contenance (surface) d'une parcelle est un acte juridique fondamental. Les résultats de ces calculs, effectués par un géomètre-expert, sont utilisés pour les documents cadastraux, les actes de vente et les permis de construire. La précision de ce calcul est donc primordiale.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les points A, B et C définissent un triangle dans un plan euclidien. La surface calculée est une surface projetée horizontalement.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
On utilise les coordonnées des trois sommets du triangle.
- Point A : (25.40 ; 15.20)
- Point B : (68.90 ; 37.50)
- Point C : (60.40 ; 15.20)
Astuces (Pour aller plus vite)
Dans notre cas, on remarque que les points A et C ont la même ordonnée Y (15.20). Le segment [AC] est donc horizontal ! On peut utiliser la formule bien plus simple de l'aire d'un triangle : \( S = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \). La base est la distance AC, et la hauteur est la différence des ordonnées entre B et la droite (AC).
Schéma (Avant les calculs)
Parcelle Triangulaire ABC
Calcul(s) (l'application numérique)
Étape 1 : Calcul avec la méthode simple (base x hauteur)
Étape 2 : Calcul de la surface
Schéma (Après les calculs)
Surface de la parcelle ABC
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La parcelle a une surface de 380.25 mètres carrés. Cette valeur est fondamentale pour les documents d'urbanisme, la valeur du terrain ou le calcul des droits à construire.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Si vous utilisez la formule du déterminant, une erreur de saisie sur une seule coordonnée faussera tout le calcul. Soyez méthodique. N'oubliez pas de diviser par 2 à la fin ! C'est un oubli fréquent.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Retenez la formule du déterminant car elle est universelle pour tous les polygones. Mais n'oubliez jamais de chercher des cas simples (côtés horizontaux ou verticaux) qui permettent d'utiliser la formule de base \( \frac{1}{2} \times b \times h \), beaucoup plus rapide et moins sujette aux erreurs.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Pour des parcelles aux formes très complexes (avec des bords courbes), les géomètres utilisent des méthodes d'intégration numérique (comme la méthode des trapèzes ou de Simpson) pour approcher la surface avec une grande précision.
FAQ (pour lever les doutes)
Voici une question fréquente sur ce calcul.
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Calculez la surface du triangle formé par les points P(0,0), Q(50,0) et R(20,30).
Outil Interactif : Simulateur d'Échelle
Cet outil vous permet de voir instantanément l'impact du changement d'échelle sur la représentation d'une distance réelle sur un plan.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Une échelle de 1/1000 signifie que :
2. Deux points sont distants de 5 cm sur un plan au 1/200. Quelle est la distance réelle ?
3. Quel théorème mathématique est au cœur du calcul de distance par coordonnées ?
4. Sur un plan, quel dénominateur d'échelle représente le plus de détails (le plus "zoomé") ?
5. Si \(\Delta X = 30 \text{ m}\) et \(\Delta Y = 40 \text{ m}\), quelle est la distance réelle D ?
Glossaire
- Échelle
- Rapport mathématique entre la dimension d'un objet sur un plan et sa dimension réelle. Elle est généralement exprimée sous forme de fraction (ex: 1/500).
- Coordonnées Cartésiennes
- Système permettant de déterminer la position d'un point dans un plan (2D) ou l'espace (3D) à l'aide de valeurs numériques sur des axes perpendiculaires (X, Y, Z).
- Distance Horizontale
- Distance entre deux points projetée sur un plan horizontal. C'est la distance que l'on mesure sur une carte ou un plan topographique, ignorant les dénivelés.
- Gisement
- Angle horizontal mesuré dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre) à partir de la direction du Nord (axe des Y).
- Grade (gon)
- Unité d'angle où le cercle complet est divisé en 400 grades. Un angle droit mesure 100 grades.
D’autres exercices de Fondamentaux de la topographie:
0 commentaires