Calcul de la Ligne de Passage (Déblai/Remblai)

Contexte : Projet Routier et Profil en Long

Dans le cadre d'un projet d'infrastructure (route, voie ferrée), le Profil en LongCoupe verticale longitudinale du terrain naturel et du projet. permet de visualiser les variations d'altitude. Un point crucial de l'étude est la détermination exacte de la Ligne de Zéro, c'est-à-dire l'endroit précis où le projet croise le terrain naturel, marquant la transition entre une zone de DéblaiEnlèvement de terres (Cote Projet < TN). et une zone de RemblaiApport de terres (Cote Projet > TN)..

Remarque Pédagogique : La précision de ce calcul conditionne directement l'équilibre des volumes de terre et donc le coût économique et écologique du chantier.

Objectifs Pédagogiques

Identifier les zones de Déblai et de Remblai sur un profil.
Appliquer la méthode de l'interpolation linéaire (Théorème de Thalès).
Calculer la distance précise du point de passage (ligne de zéro).
Déterminer l'altitude exacte de ce point d'intersection.

Données de l'étude

Nous étudions un segment de route compris entre deux profils successifs : le Profil 15 (P15) et le Profil 16 (P16). Le terrain naturel descend, tandis que la route projetée remonte, créant une intersection.

Fiche Technique / Données

Profil	Abscisse (cumulée)	Altitude TN (m)	Altitude Projet (m)
P15	150.00 m	102.50	101.80
P16	175.00 m	103.00	103.90

Schéma de Principe (Profil en Long)

Variable	Description	Unité
H_tn	Altitude du Terrain Naturel	m
H_proj	Altitude du Projet Routier	m
d	Distance entre les deux profils	m

Questions à traiter

Calculer les "écarts" (différences de hauteur) aux profils P15 et P16.
Identifier la nature des travaux (Déblai ou Remblai) pour chaque profil.
Calculer la distance \(x\) du point de passage par rapport à P15.
Déterminer l'abscisse absolue (cumulée) de ce point.
Calculer l'altitude exacte du point de passage (Ligne Zéro).

Les bases théoriques

Pour résoudre ce problème, nous considérons que la pente du terrain et celle du projet sont constantes entre les deux profils (approximation linéaire). C'est un cas classique d'application du Théorème de ThalèsThéorème de géométrie permettant de calculer des rapports de longueur dans des triangles semblables. (triangles semblables).

Calcul de l'Écart (Hauteur)
L'écart représente la hauteur de terre à bouger.

Formule de l'écart

E = H_{\text{projet}} - H_{\text{tn}}

Interprétation :

Si \(E < 0\) : Le projet est sous le terrain \(\rightarrow\) Déblai.
Si \(E > 0\) : Le projet est sur le terrain \(\rightarrow\) Remblai.

Interpolation Linéaire (Position du Zéro)
Pour trouver la distance \(x\) depuis le profil de départ, on utilise le rapport des hauteurs absolues.

Formule du Point de Passage

x = \frac{|E_1| \cdot D}{|E_1| + |E_2|}

Où :

\(|E_1|\) est la valeur absolue de l'écart au premier profil.
\(|E_2|\) est la valeur absolue de l'écart au second profil.
\(D\) est la distance totale entre les deux profils.

Correction : Calcul de la Ligne de Passage (Déblai/Remblai)

Question 1 : Calculer les "écarts" aux profils P15 et P16

Principe

L'écart est la différence algébrique entre l'altitude du projet fini et l'altitude du terrain naturel initial. C'est la valeur fondamentale pour savoir combien de terre il faut déplacer. Si l'altitude du projet est supérieure à celle du terrain, on doit ajouter de la terre. Si elle est inférieure, on doit en retirer.

Mini-Cours

En topographie routière, l'altitude du projet est souvent appelée "Cote Rouge" (même si elle est parfois noire sur les plans !). La différence \(Z_{\text{Projet}} - Z_{\text{TN}}\) donne directement la hauteur de terrassement à réaliser au droit du profil.

Remarque Pédagogique

Il est crucial de toujours respecter l'ordre de la soustraction : Projet moins Terrain. Inverser l'ordre inverserait le sens des travaux (déblai/remblai) et fausserait tout le métré.

Normes

Les calculs d'altimétrie sont généralement arrondis au centimètre (0.01 m) pour les travaux de terrassement courants (normes voirie). Pour des ouvrages d'art (ponts), on travaillerait au millimètre.

Formule(s)

Formule de base

E = Z_{\text{Projet}} - Z_{\text{TN}}

Hypothèses

On considère les altitudes données comme étant celles de l'axe du projet, mesurées verticalement (selon la normale à l'ellipsoïde local).

Donnée(s)

Profil	H_tn (m)	H_proj (m)
P15	102.50	101.80
P16	103.00	103.90

Astuces

Calcul mental rapide : P15 (80 - 50 = -30 ? Non, attention aux retenues. 101.8 - 102.5 = -0.7). Vérifiez toujours à la calculatrice !

Schéma (Avant Calcul)

Calculs Détaillés

Calcul de l'écart à P15

On remplace par les valeurs du tableau pour le profil 15 :

\begin{aligned} E_{15} &= 101.80 \text{ (Projet)} - 102.50 \text{ (TN)} \\ &= -0.70 \text{ m} \end{aligned}

Le résultat est -0.70m. Le signe moins indique que le projet est en dessous du terrain naturel.

Calcul de l'écart à P16

De même pour le profil 16 :

\begin{aligned} E_{16} &= 103.90 \text{ (Projet)} - 103.00 \text{ (TN)} \\ &= +0.90 \text{ m} \end{aligned}

Le résultat est +0.90m. Le signe plus indique que le projet est au-dessus du terrain naturel.

Schéma (Après Calcul)

Réflexions

On observe un changement de signe entre les deux profils (-0.70 puis +0.90). Cela indique obligatoirement un passage par zéro entre les deux points, donc une intersection réelle des surfaces. C'est ce point que nous chercherons à la question 3.

Points de vigilance

Attention à ne pas inverser TN et Projet. Un signe faux faussera toute la suite de l'exercice (nature des travaux).

Points à Retenir

Ecart = Projet - TN
Le signe indique la position relative (dessus/dessous).

Le saviez-vous ?

Dans les logiciels de CAO comme Covadis ou Mensura, ces écarts sont calculés automatiquement des milliers de fois pour générer les métrés précis du chantier.

FAQ

Peut-on avoir un écart de zéro ?

Oui, cela signifie que le projet passe exactement au niveau du terrain naturel. On appelle cela un point de passage ou "point de changement". C'est rare de tomber pile dessus sur un profil tabulé.

E15 = -0.70 m ; E16 = +0.90 m

A vous de jouer
Si TN = 50.00 et Projet = 48.50, quel est l'écart ?

📝 Mémo
Signe (-) = trou. Signe (+) = bosse.

Question 2 : Identifier la nature des travaux

Principe

La nature des travaux (Déblai ou Remblai) est la traduction technique directe du signe algébrique de l'écart calculé précédemment. Cette étape est indispensable pour coloriser correctement les plans et planifier les engins.

Mini-Cours

Déblai (Dig) : Opération consistant à creuser le sol. Nécessaire quand le Projet est plus bas que le TN (Ecart négatif).
Remblai (Fill) : Opération consistant à apporter des matériaux. Nécessaire quand le Projet est plus haut que le TN (Ecart positif).

Remarque Pédagogique

Sur les plans, le Déblai est souvent représenté en Rouge (ou jaune) et le Remblai en Vert (ou rouge, selon les conventions locales). Vérifiez toujours la légende !

Normes

Conformément aux normes NF P 98-xxx, l'identification des zones est requise pour le calcul des mouvements de terres. Les pentes de talus diffèrent souvent : par exemple 1/1 ou 3/2 pour les remblais stables, et plus raides pour certains déblais rocheux.

Formule(s)

Règle des signes

\begin{aligned} E &< 0 \Rightarrow \text{Déblai} \\ E &> 0 \Rightarrow \text{Remblai} \end{aligned}

Hypothèses

On suppose que le sol est homogène et qu'il n'y a pas de purge (remplacement de mauvais sol) qui complexifierait le calcul des volumes bruts.

Donnée(s)

Profil	Ecart (m)
P15	-0.70
P16	+0.90

Astuces

Moyen mnémotechnique : Déblai commence par D comme Descendre (creuser). Ou alors : "Moins c'est Moins de terre" (on enlève).

Schéma Avant (Symbolique)

Calculs Détaillés

Analyse P15

Nous avons calculé \(E_{15} = -0.70 \text{ m}\). Le signe est négatif.

-0.70 < 0 \Rightarrow \text{Projet sous TN} \Rightarrow \textbf{Déblai}

Analyse P16

Nous avons calculé \(E_{16} = +0.90 \text{ m}\). Le signe est positif.

+0.90 > 0 \Rightarrow \text{Projet sur TN} \Rightarrow \textbf{Remblai}

Schéma Après (Identification)

Réflexions

Le passage de Déblai à Remblai (profil mixte) implique des travaux complexes de compactage à la jonction pour éviter les tassements différentiels futurs de la chaussée.

Points de vigilance

Ne confondez pas la nature des travaux avec la pente de la route ! On peut être en déblai sur une route qui monte si le terrain monte encore plus vite.

Points à Retenir

Ecart Négatif = Déblai.
Ecart Positif = Remblai.

Le saviez-vous ?

Le volume de terre foisonne (augmente) quand on l'extrait. 1 m³ de déblai en place peut donner environ 1.2 m³ de remblai foisonné avant compactage.

FAQ

Et si l'écart est nul ?

C'est un point fictif parfait, ni déblai ni remblai. En pratique, on décape toujours un peu de terre végétale, donc on considère souvent un léger déblai technique.

P15 est en Déblai. P16 est en Remblai.

A vous de jouer
Un écart de +0.05m correspond à quoi ? (Tapez 1 pour Déblai, 2 pour Remblai)

📝 Mémo
Retenez le code couleur : Rouge = on saigne la terre (Déblai), Vert/Bleu = on construit dessus (Remblai).

Question 3 : Calculer la distance \(x\) du point de passage

Principe

Puisque l'on passe d'une valeur négative à une positive, il existe un point où l'écart est nul. Nous allons localiser ce point par interpolation linéaire (géométrie des triangles semblables).

Mini-Cours

La formule d'interpolation \( x = \frac{|E_1| \times D}{|E_1| + |E_2|} \) dérive du Théorème de Thalès appliqué à deux triangles rectangles opposés par leur sommet (le point zéro). Le rapport des hauteurs (Ecarts) est égal au rapport des bases (Distances).

Remarque Pédagogique

Cette méthode suppose que la pente du terrain et celle du projet sont constantes entre les deux profils. C'est une approximation suffisante pour des distances courtes (20-50m).

Normes

La précision requise pour la position longitudinale est généralement de l'ordre du décimètre ou du centimètre selon la phase du projet (APS, APD, PRO).

Formule(s)

Formule du Point de Passage

x = \frac{|E_1| \cdot D}{|E_1| + |E_2|}

Où \(D\) est la distance horizontale entre les deux profils et \(|E|\) la valeur absolue (toujours positive) des écarts.

Hypothèses

Variation linéaire des altitudes (pentes constantes) entre les profils P15 et P16.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur
Ecart P15 (abs)	\|E1\|	\|-0.70\| = 0.70 m
Ecart P16 (abs)	\|E2\|	\|+0.90\| = 0.90 m
Distance P15-P16	D	175 - 150 = 25 m

Astuces

Vérification de cohérence : Le point zéro se trouve toujours plus près du profil ayant la plus petite hauteur de terrassement (ici 0.70 < 0.90, donc x < 12.5m).

Schéma Avant (Géométrie)

Calculs Détaillés

1. Calcul du dénominateur (Somme des écarts absolus)

On additionne les hauteurs de terre "sans signe" pour obtenir l'amplitude totale de variation :

\begin{aligned} \text{Somme} &= |0.70| + |0.90| \\ &= 0.70 + 0.90 \\ &= 1.60 \text{ m} \end{aligned}

Cela représente le dénivelé relatif total entre le projet et le TN sur cette section.

2. Calcul du numérateur

On pondère la distance totale par la hauteur du premier profil (P15) :

\begin{aligned} |E_1| \times D &= 0.70 \times 25.00 \\ &= 17.50 \end{aligned}

3. Division finale

On divise le tout pour obtenir la distance x depuis P15 :

\begin{aligned} x &= \frac{17.50}{1.60} \\ &= 10.9375 \text{ m} \end{aligned}

On arrondit au centimètre : x = 10.94 m.

Schéma Après (Résultat)

Réflexions

La valeur de 10.94 m est inférieure à la moitié de la distance (12.50 m), ce qui confirme notre astuce : le point zéro est bien "attiré" par la plus petite hauteur.

Points de vigilance

N'oubliez pas les valeurs absolues ! Si vous faites (-0.70 * 25) / (-0.70 + 0.90), vous obtiendrez un résultat incohérent ou négatif. Les distances sont toujours positives.

Points à Retenir

La formule fonctionne quel que soit le sens (Déblai vers Remblai ou inversement), tant qu'on utilise les valeurs absolues pour les hauteurs.

Le saviez-vous ?

Cette méthode est aussi utilisée pour interpoler des courbes de niveau entre deux points connus sur un plan (semis de points) pour dessiner le MNT (Modèle Numérique de Terrain).

FAQ

Doit-on calculer x depuis P16 ?

C'est possible et c'est une bonne vérification. La formule serait \( x' = \frac{|E_2| \cdot D}{|E_1| + |E_2|} \). On trouverait \( 25 - 10.94 = 14.06 \) m.

La distance x est de 10.94 m.

A vous de jouer
Si E1=1m, E2=1m et D=20m, où est le zéro ?

📝 Mémo
Thalès : Petite hauteur sur Hauteur Totale fois Distance.

Question 4 : Déterminer l'abscisse absolue de ce point

Principe

L'abscisse (ou cumulée) est la distance mesurée le long de l'axe du projet depuis son origine. Pour trouver l'abscisse du point zéro, on ajoute la distance partielle \(x\) calculée à l'abscisse du profil de départ.

Mini-Cours

En topographie, on note souvent les abscisses sous la forme "PK" (Point Kilométrique). Exemple : PK 0+150.00. C'est l'identifiant géographique unique d'un point sur le tracé.

Remarque Pédagogique

C'est une étape simple mathématiquement (une addition), mais c'est une source d'erreurs fréquentes d'inattention (ajout à la mauvaise abscisse ou erreur de saisie).

Normes

L'abscisse est donnée au millimètre ou au centimètre selon la précision du levé. Elle suit l'axe horizontal du projet (abscisse curviligne).

Formule(s)

Calcul de l'abscisse

\text{Abscisse}_{\text{Zéro}} = \text{Abscisse}_{\text{P15}} + x

Hypothèses

On se déplace dans le sens croissant des profils (de P15 vers P16). L'axe est supposé rectiligne ou la distance D est mesurée le long de l'axe courbe.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
Abscisse P15	150.00 m
Distance x	10.94 m

Astuces

Vérifiez que le résultat est bien compris entre l'abscisse de P15 (150) et celle de P16 (175). Si vous trouvez 180, c'est impossible !

Schéma Avant (Axe)

Calculs Détaillés

On ajoute simplement la distance calculée à l'abscisse de départ :

\begin{aligned} \text{Abs} &= 150.00 \text{ (départ)} + 10.9375 \text{ (x)} \\ &= 160.9375 \text{ m} \end{aligned}

Arrondi au standard (2 décimales) : 160.94 m.

Schéma Après (Positionnement)

Réflexions

160.94 est bien compris entre 150 et 175. Le calcul est cohérent. C'est l'endroit précis où l'on plantera le piquet "Zéro" sur le chantier.

Points de vigilance

Si vous aviez calculé x depuis P16, il aurait fallu faire une soustraction : 175.00 - 14.06 = 160.94. Vérifiez toujours votre point de référence.

Points à Retenir

Abscisse finale = Abscisse départ + distance partielle.

Le saviez-vous ?

Sur les autoroutes, ces points sont matérialisés physiquement pour guider les engins de terrassement et éviter de creuser là où il faut remblayer.

FAQ

Pourquoi arrondir à 2 décimales ?

C'est la convention standard en génie civil (cm). Au-delà, la précision n'a pas de sens physique sur de la terre brute.

Abscisse du Point Zéro = 160.94 m

A vous de jouer
Départ à 100m, x=5.5m. Abscisse ?

📝 Mémo
Toujours vérifier que le point est "dedans" le segment.

Question 5 : Calculer l'altitude exacte de la Ligne Zéro

Principe

Le point zéro appartient à la fois au Terrain Naturel et au Projet. On peut donc calculer son altitude Z en interpolant sur la ligne rouge (projet) ou sur la ligne verte (TN). Le résultat doit être identique.

Mini-Cours

L'altitude d'un point intermédiaire se calcule via la pente \(p\) : \( Z_B = Z_A + p \times \text{dist}_{AB} \). La pente est positive si ça monte, négative si ça descend. La pente est le rapport dénivelée/distance.

Remarque Pédagogique

Calculer Z par les deux méthodes (Projet et TN) est le meilleur moyen de vérifier l'intégralité de votre exercice. Si les résultats diffèrent, il y a une erreur !

Normes

Altitude exprimée en mètres NGF (Nivellement Général de la France) ou système local, au cm près.

Formule(s)

Calcul de Pente et d'Altitude

\begin{aligned} p &= \frac{\Delta Z}{\Delta D} = \frac{Z_{\text{fin}} - Z_{\text{début}}}{D} \end{aligned}

\begin{aligned} Z_{x} &= Z_{\text{début}} + (p \times x) \end{aligned}

Hypothèses

Pente constante entre les profils pour le Projet comme pour le TN.

Donnée(s)

Ligne	H_P15	H_P16	Dist D	Dist x
Projet	101.80	103.90	25.00	10.9375
TN	102.50	103.00	25.00	10.9375

Astuces

Utilisez la valeur non arrondie de x (10.9375...) pour le calcul intermédiaire afin d'éviter les erreurs d'arrondi final qui pourraient créer un écart d'un centimètre.

Schéma Avant (Pente)

Calculs Détaillés

1. Calcul de la pente du Projet (p)

On calcule d'abord la dénivelée totale sur le segment :

\begin{aligned} \Delta Z &= 103.90 - 101.80 \\ &= +2.10 \text{ m} \end{aligned}

On divise par la distance totale pour obtenir la pente par mètre :

\begin{aligned} p &= \frac{2.10}{25.00} \\ &= 0.084 \text{ (soit +8.4%)} \end{aligned}

2. Calcul de l'altitude Z (Interpolation)

On applique la pente sur la distance \(x\). Calculons d'abord la montée sur cette distance :

\begin{aligned} \text{Montée} &= p \times x \\ &= 0.084 \times 10.9375 \\ &= 0.91875 \text{ m} \end{aligned}

On ajoute cette montée à l'altitude de départ pour obtenir l'altitude finale :

\begin{aligned} Z &= 101.80 + 0.91875 \\ &= 102.71875 \text{ m} \end{aligned}

Arrondi final au centimètre : 102.72 m.

3. Vérification par le TN (Preuve par 9)

Même démarche avec les données du terrain naturel pour vérifier :

\begin{aligned} p_{\text{TN}} &= \frac{103.00 - 102.50}{25.00} \\ &= 0.02 \text{ (2%)} \end{aligned}

\begin{aligned} Z &= 102.50 + (0.02 \times 10.9375) \\ &= 102.50 + 0.21875 \\ &= 102.71875 \text{ m} \end{aligned}

Les deux méthodes donnent exactement le même résultat (102.72). Le calcul est validé.

Schéma Après (Zéro validé)

Réflexions

L'altitude trouvée (102.72) est bien comprise entre les altitudes de départ et d'arrivée, tant pour le projet (101.80 < 102.72 < 103.90) que pour le TN (102.50 < 102.72 < 103.00). C'est cohérent.

Points de vigilance

Attention si la pente est négative (descente) : il faudra soustraire la dénivelée ! (ex: p = -0.05). Ici tout monte, donc tout s'ajoute.

Points à Retenir

Altitude Point = Altitude Départ + (Pente × Distance).

Le saviez-vous ?

Ce point Zéro est l'endroit exact où l'engin de terrassement (bulldozer ou décapeuse) passe de la fonction "creuser" à la fonction "déposer".

FAQ

Pourquoi ma vérification ne tombe pas juste ?

Souvent à cause des arrondis intermédiaires sur la distance x ou la pente p. Gardez un maximum de décimales dans votre calculatrice jusqu'à la fin.

Altitude du Point Zéro = 102.72 m

A vous de jouer
Départ 100m, Pente +5% (0.05), dist 10m. Z = ?

📝 Mémo
La vérification par le TN est votre assurance vie contre les erreurs de calcul.

Schéma Bilan de l'Exercice

Ce schéma résume l'ensemble des grandeurs calculées : position x, abscisse absolue et altitude Z.

📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument

Voici la synthèse pour réussir vos calculs de profils en long :

🔑
Point Clé 1 : Signe des Écarts
Projet < TN = Déblai (-). Projet > TN = Remblai (+).
📐
Point Clé 2 : La Formule Magique
\(x = \frac{|E_1| \times D}{|E_1| + |E_2|}\) (Somme des valeurs absolues au dénominateur !).
⚠️
Point Clé 3 : Cohérence
Le point zéro est toujours du côté de la plus petite hauteur de terrassement.
✅
Point Clé 4 : Vérification
Calculez Z par le Projet ET par le TN. Si ça matche, c'est gagné.

🎛️ Simulateur de Ligne de Passage

Faites varier les hauteurs de déblai (P1) et de remblai (P2) pour voir comment se déplace la ligne zéro.

Paramètres

Hauteur Déblai P1 (m) : 1.00

Hauteur Remblai P2 (m) : 1.00

Distance entre profils (m) : 25

Position x (depuis P1) : -

Position (depuis P2) : -

📝 Quiz final : Maîtrisez-vous le profil en long ?

1. Si l'altitude Projet est inférieure à l'altitude TN, nous sommes en :

Remblai
Déblai
Profil mixte

2. Pour calculer la position du point zéro, quelle méthode géométrique utilise-t-on ?

Théorème de Thalès (Triangles semblables)
Théorème de Pythagore
Calcul de dérivée

3. Si E1 (Déblai) = -2m et E2 (Remblai) = +2m. Où se trouve le point zéro ?

Plus près de E1
Exactement au milieu
Plus près de E2

📚 Glossaire Topographique

TN (Terrain Naturel): Surface du sol existant avant tous travaux.
Ligne Rouge: Ligne représentant l'altitude du projet fini (route, plateforme).
Déblai: Action de creuser le sol pour atteindre la cote projet.
Remblai: Action d'apporter de la terre pour surélever le sol.
Profil en Long: Représentation graphique d'une coupe verticale suivant l'axe du projet.

Calcul de la Ligne de Passage (Déblai/Remblai)

BOÎTE À OUTILS

Titre Outil

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique / Données

Schéma de Principe (Profil en Long)

Questions à traiter

Les bases théoriques

Correction : Calcul de la Ligne de Passage (Déblai/Remblai)

Question 1 : Calculer les "écarts" aux profils P15 et P16

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant Calcul)

Calculs Détaillés

Calcul de l'écart à P15

Calcul de l'écart à P16

Schéma (Après Calcul)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 2 : Identifier la nature des travaux

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma Avant (Symbolique)

Calculs Détaillés

Analyse P15

Analyse P16

Schéma Après (Identification)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 3 : Calculer la distance \(x\) du point de passage

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma Avant (Géométrie)

Calculs Détaillés

1. Calcul du dénominateur (Somme des écarts absolus)

2. Calcul du numérateur

3. Division finale

Schéma Après (Résultat)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 4 : Déterminer l'abscisse absolue de ce point

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma Avant (Axe)

Calculs Détaillés