Calcul de la Hauteur d’un Bâtiment par Nivellement Indirect
Contexte : Le Nivellement Indirect TrigonométriqueTechnique topographique permettant de déterminer la dénivelée entre deux points grâce à la mesure d'angles verticaux et de distances..
Ce document vous guidera à travers un exercice complet sur le calcul de la hauteur d'une structure inaccessible, comme un bâtiment, en utilisant les principes du nivellement indirect. Cette méthode est fondamentale en topographie et en génie civil. Nous aborderons la théorie, la mise en application des calculs pas à pas, et la vérification de vos connaissances. L'objectif est de déterminer la hauteur d'un bâtiment en mesurant des angles et une distance depuis un point de station, sans avoir besoin d'accéder physiquement à sa base ou à son sommet.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est conçu pour vous familiariser avec l'utilisation pratique des formules trigonométriques dans un contexte topographique réel. Il met l'accent sur l'importance de la précision des mesures et de la rigueur dans les conversions d'unités d'angle.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le principe du nivellement indirect trigonométrique.
- Calculer des dénivelées à partir d'un angle vertical et d'une distance horizontale.
- Savoir convertir les angles en grades (ou gons) en radians pour les calculs.
- Déterminer la hauteur totale d'un objet en combinant plusieurs dénivelées.
Données de l'étude
Schéma de la situation
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance horizontale S-Bâtiment | \(D_h\) | 45.72 | \(\text{m}\) |
| Angle vertical vers le sommet A | \(\alpha\) | +32.155 | \(\text{gon}\) |
| Angle vertical vers la base B | \(\beta\) | -4.250 | \(\text{gon}\) |
| Hauteur des tourillons | \(h_t\) | 1.68 | \(\text{m}\) |
Questions à traiter
- Calculer la dénivelée \(\Delta H_{SA}\) entre l'axe des tourillons de l'instrument et le sommet du bâtiment (point A).
- Calculer la dénivelée \(\Delta H_{SB}\) entre l'axe des tourillons de l'instrument et la base du bâtiment (point B).
- En déduire la hauteur totale H du bâtiment.
- Calculer l'altitude du sommet A, sachant que l'altitude du point de station S est de \(Z_S = 152.45 \text{ m}\).
Les bases sur le Nivellement Indirect
Le nivellement indirect trigonométrique est une méthode fondamentale en topographie pour déterminer la différence d'altitude (dénivelée) entre deux points, surtout lorsque l'un d'eux est inaccessible.
1. Principe du calcul de dénivelée
La méthode repose sur la résolution d'un triangle rectangle formé par le point de station, le point visé et la projection horizontale de ce dernier. On mesure la distance horizontale (\(D_h\)) et l'angle verticalAngle mesuré dans un plan vertical entre une direction de référence (généralement l'horizontale) et une visée vers un point. (\(\alpha_v\)). La dénivelée (\(\Delta H\)) est alors le côté opposé de ce triangle.
2. Formule Fondamentale
La relation trigonométrique qui lie ces éléments est la tangente :
\[ \Delta H = D_h \times \tan(\alpha_v) \]
Il est crucial que les unités soient cohérentes. Si \(D_h\) est en mètres, \(\Delta H\) sera en mètres.
Attention aux unités d'angle !
Les angles peuvent être en degrés (°), en grades (gon)Unité de mesure d'angle où un tour complet est divisé en 400 grades. Un angle droit mesure 100 gon., ou en radians (rad). La plupart des calculatrices scientifiques travaillent en radians. Assurez-vous de faire la conversion nécessaire avant d'appliquer la fonction tangente.
\[ 180^\circ = 200 \text{ gon} = \pi \text{ rad} \]
Pour convertir des gons en radians : \(\text{Angle [rad]} = \text{Angle [gon]} \times \frac{\pi}{200}\)
Correction : Calcul de la Hauteur d’un Bâtiment par Nivellement Indirect
Question 1 : Calculer la dénivelée \(\Delta H_{SA}\)
Principe
On cherche à calculer la hauteur verticale (dénivelée) entre l'axe horizontal de l'instrument (axe des tourillons) et le sommet du bâtiment (point A). Physiquement, c'est la "hauteur" que l'on monte du regard depuis l'horizontale pour viser le sommet.
Mini-Cours
Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle est le rapport entre la longueur du côté opposé et la longueur du côté adjacent. Ici, le côté opposé est la dénivelée \(\Delta H_{SA}\) que nous cherchons, et le côté adjacent est la distance horizontale \(D_h\) que nous connaissons.
Remarque Pédagogique
La première étape est toujours d'identifier le triangle rectangle pertinent. Dans ce cas, les sommets sont l'axe des tourillons de l'instrument, le sommet du bâtiment A, et la projection verticale du sommet A sur le plan horizontal passant par l'instrument.
Normes
Il n'y a pas de norme de calcul (comme un Eurocode) pour cette opération de base, mais les levés topographiques sont régis par des classes de précision qui dictent la tolérance sur les mesures d'angles et de distances.
Formule(s)
Formule de la dénivelée
Hypothèses
Pour ce calcul, on pose les hypothèses suivantes :
- La Terre est considérée comme plate sur la courte distance du levé (on néglige la courbure terrestre).
- L'instrument est parfaitement calibré et sa mise en station est parfaite (l'axe vertical est bien vertical).
- La réfraction atmosphérique est négligée.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance horizontale | \(D_h\) | 45.72 | \(\text{m}\) |
| Angle vertical vers A | \(\alpha\) | +32.155 | \(\text{gon}\) |
Astuces
L'angle \(\alpha\) est positif, ce qui indique une visée montante ("vers le ciel"). Le résultat pour \(\Delta H_{SA}\) doit donc logiquement être positif. C'est un bon réflexe pour vérifier la cohérence du résultat.
Schéma (Avant les calculs)
On isole le triangle rectangle qui nous intéresse pour le calcul.
Triangle de calcul pour \(\Delta H_{SA}\)
Calcul(s)
Étape 1 : Conversion de l'angle \(\alpha\) en radians
Étape 2 : Calcul de la dénivelée \(\Delta H_{SA}\)
Schéma (Après les calculs)
Le schéma suivant illustre le résultat du calcul de la dénivelée montante.
Visualisation du résultat pour \(\Delta H_{SA}\)
Réflexions
Un résultat de 25.27 m signifie que le sommet du bâtiment est 25.27 mètres plus haut que l'axe de visée de notre instrument. C'est une valeur plausible pour un bâtiment de plusieurs étages vu à une distance de ~45 m.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est de se tromper dans le mode de la calculatrice (degrés, radians, grades). Toujours vérifier que la calculatrice est réglée sur le bon mode ou, mieux, faire la conversion manuellement pour être sûr du résultat.
Points à retenir
Pour une visée montante, la dénivelée est positive. La formule clé est \(\Delta H = D_h \times \tan(\alpha_v)\). La conversion d'angle est impérative.
Le saviez-vous ?
La méthode du nivellement indirect a été utilisée depuis l'Antiquité. Thalès de Milet (-625 à -547) aurait utilisé les ombres et les triangles semblables, un principe ancêtre de la trigonométrie, pour mesurer la hauteur des pyramides d'Égypte.
FAQ
Pour lever les doutes :
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'angle \(\alpha\) avait été de 45 gon, quelle aurait été la dénivelée ? (Réponse attendue en m)
Question 2 : Calculer la dénivelée \(\Delta H_{SB}\)
Principe
Le principe est identique à la question 1. On cherche la hauteur verticale entre l'axe de l'instrument et le point B (base du bâtiment). Comme on vise vers le bas, on s'attend à une valeur négative.
Mini-Cours
La trigonométrie s'applique de la même manière pour les angles négatifs. La fonction tangente est une fonction impaire, ce qui signifie que \(\tan(-x) = -\tan(x)\). C'est pourquoi un angle de visée négatif produira une dénivelée négative.
Remarque Pédagogique
Faites très attention au signe de l'angle fourni dans l'énoncé. C'est une information cruciale qui indique la direction de la visée. Un oubli du signe "-" faussera non seulement ce calcul, mais aussi le calcul final de la hauteur du bâtiment.
Normes
Les mêmes considérations que pour la question 1 s'appliquent. La cohérence des mesures et le respect des tolérances sont la clé de la fiabilité du résultat.
Formule(s)
Formule de la dénivelée
Hypothèses
Les hypothèses de calcul sont identiques à celles de la première question.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance horizontale | \(D_h\) | 45.72 | \(\text{m}\) |
| Angle vertical vers B | \(\beta\) | -4.250 | \(\text{gon}\) |
Astuces
Le calcul est le même que pour la question 1. Vous pouvez réutiliser la même méthode en changeant simplement la valeur de l'angle. L'automatisation des calculs (par exemple, avec un tableur) est une pratique courante chez les topographes pour éviter les erreurs de saisie répétitives.
Schéma (Avant les calculs)
On isole le second triangle rectangle, celui de la visée descendante.
Triangle de calcul pour \(\Delta H_{SB}\)
Calcul(s)
Étape 1 : Conversion de l'angle \(\beta\) en radians
Étape 2 : Calcul de la dénivelée \(\Delta H_{SB}\)
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma illustre le résultat du calcul de la dénivelée descendante.
Visualisation du résultat pour \(\Delta H_{SB}\)
Réflexions
Le résultat négatif de -3.06 m confirme que la base du bâtiment se situe 3.06 mètres plus bas que l'axe de l'instrument. C'est cohérent avec le fait que l'instrument est installé sur un trépied, donc surélevé par rapport au sol environnant.
Points de vigilance
Ne soyez pas surpris par une dénivelée négative. En topographie, le signe indique simplement la direction (montée ou descente) par rapport au point de départ. L'erreur serait de prendre la valeur absolue trop tôt dans les calculs.
Points à retenir
Une visée descendante est représentée par un angle négatif et donne une dénivelée négative. La méthode de calcul reste rigoureusement la même.
Le saviez-vous ?
Les instruments modernes, appelés stations totales, réalisent ces calculs de dénivelée automatiquement et en temps réel. Cependant, il est indispensable pour un topographe de maîtriser les calculs manuels pour vérifier l'instrument et comprendre les résultats.
FAQ
Pour lever les doutes :
Résultat Final
A vous de jouer
Si la distance horizontale était de 60 m, quelle serait la dénivelée \(\Delta H_{SB}\) ? (Réponse attendue en m)
Question 3 : En déduire la hauteur totale H du bâtiment
Principe
La hauteur totale du bâtiment est la distance verticale totale entre son point le plus haut (A) et son point le plus bas (B). Physiquement, cela correspond à la somme des deux "morceaux" de hauteur que nous avons calculés : celui au-dessus de l'horizon de l'instrument et celui en dessous.
Mini-Cours
Mathématiquement, la distance entre deux points sur un axe vertical est la différence de leurs coordonnées. Si on place l'origine (zéro) sur l'axe des tourillons, le point A a une altitude relative de \(+\Delta H_{SA}\) et le point B une altitude relative de \(-\Delta H_{SB}\). La distance H est donc \(Z_A - Z_B = (\Delta H_{SA}) - (\Delta H_{SB})\).
Remarque Pédagogique
Attention à la soustraction d'un nombre négatif ! Soustraire une valeur négative revient à additionner sa valeur positive. C'est pourquoi H = \(\Delta H_{SA} + |\Delta H_{SB}|\). Un schéma est le meilleur moyen de ne pas se tromper.
Normes
Pas de norme spécifique, mais le résultat final doit être présenté avec une précision cohérente par rapport aux données d'entrée (généralement au centimètre près en topographie de bâtiment).
Formule(s)
Formule de la hauteur totale
Hypothèses
On suppose que le mur du bâtiment est parfaitement vertical pour que la hauteur calculée représente bien la hauteur réelle de la structure.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Dénivelée vers A | \(\Delta H_{SA}\) | +25.274 | \(\text{m}\) |
| Dénivelée vers B | \(\Delta H_{SB}\) | -3.057 | \(\text{m}\) |
Astuces
Visualisez toujours la situation. La hauteur totale doit forcément être une valeur positive et supérieure à chacune des dénivelées (en valeur absolue). Si ce n'est pas le cas, vous avez probablement fait une erreur de signe.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma de composition des dénivelées est essentiel ici pour comprendre l'opération.
Composition des dénivelées
Calcul(s)
Calcul de la hauteur totale H
Schéma (Après les calculs)
Le schéma final illustre la hauteur totale calculée du bâtiment.
Hauteur Totale du Bâtiment
Réflexions
La hauteur de 28.33 mètres correspond environ à un immeuble de 8 à 9 étages (en comptant ~3m par étage), ce qui est une dimension tout à fait réaliste. L'ordre de grandeur du résultat est cohérent.
Points de vigilance
L'erreur fatale serait d'additionner les dénivelées sans tenir compte du signe : \(25.274 + (-3.057) = 22.217\) m, ce qui serait totalement faux. La hauteur totale est la différence d'altitude, donc la différence des dénivelées.
Points à retenir
La hauteur d'un objet inaccessible est la différence entre la dénivelée de son sommet et la dénivelée de sa base, mesurées depuis le même point de station. \(H = \Delta H_{\text{haut}} - \Delta H_{\text{bas}}\).
Le saviez-vous ?
Pour des mesures sur de très longues distances (plusieurs kilomètres), les topographes doivent appliquer des corrections pour prendre en compte la courbure de la Terre et la réfraction des rayons lumineux dans l'atmosphère, qui "courbe" la ligne de visée vers le bas.
FAQ
Pour lever les doutes :
Résultat Final
A vous de jouer
Avec \(\Delta H_{SA} = 30.15 \text{ m}\) et \(\Delta H_{SB} = -2.50 \text{ m}\), quelle serait la hauteur H ? (Réponse attendue en m)
Question 4 : Calculer l'altitude du sommet A
Principe
L'altitude d'un point est sa hauteur par rapport à un niveau de référence (zéro). Pour la trouver, on part de l'altitude connue de la station au sol (\(Z_S\)), on "monte" jusqu'à l'instrument en ajoutant sa hauteur (\(h_t\)), puis on "monte" à nouveau en ajoutant la dénivelée jusqu'au point A (\(\Delta H_{SA}\)).
Mini-Cours
Le calcul d'altitude est une somme algébrique de dénivelées. Le cheminement est le suivant : Altitude Arrivée = Altitude Départ + Dénivelée. Ici, le départ est le point S au sol, et l'arrivée est le point A. La dénivelée totale est la somme de la hauteur de l'instrument et de la dénivelée de la visée.
Remarque Pédagogique
Ne jamais oublier la hauteur de l'instrument (\(h_t\)) lors d'un calcul d'altitude. C'est l'erreur la plus fréquente. L'instrument n'est pas au sol, il est à une hauteur \(h_t\) au-dessus du point de station S.
Normes
Les altitudes sont généralement rattachées à un système de référence national, comme le Nivellement Général de la France (NGF-IGN69) en France métropolitaine.
Formule(s)
Formule de l'altitude du point visé
Hypothèses
On suppose que le point S est un repère géodésique dont l'altitude est connue avec une grande précision.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Altitude de la station S | \(Z_S\) | 152.45 | \(\text{m}\) |
| Hauteur des tourillons | \(h_t\) | 1.68 | \(\text{m}\) |
| Dénivelée vers A | \(\Delta H_{SA}\) | +25.274 | \(\text{m}\) |
Astuces
Pour éviter les erreurs, décomposez le calcul. Calculez d'abord l'altitude de l'axe des tourillons (\(Z_{\text{tourillon}} = Z_S + h_t\)), puis ajoutez la dénivelée. Cela rend le calcul plus clair et plus facile à vérifier.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma illustre l'addition des hauteurs depuis le niveau de référence.
Cheminement du calcul d'altitude
Calcul(s)
Calcul de l'altitude du sommet A
Schéma (Après les calculs)
Le schéma suivant illustre l'altitude finale du point A par rapport au niveau de référence.
Altitude finale du sommet A
Réflexions
L'altitude finale de 179.40 m est cohérente, car elle est logiquement supérieure à l'altitude du point de station. Ce type de calcul est essentiel pour positionner un projet (comme un nouveau bâtiment) par rapport à son environnement.
Points de vigilance
Assurez-vous que toutes les données (\(Z_S\), \(h_t\), \(\Delta H\)) sont dans la même unité (ici, le mètre) avant de les additionner.
Points à retenir
L'altitude d'un point visé s'obtient en ajoutant à l'altitude de la station la hauteur de l'instrument et la dénivelée calculée. C'est une chaîne de calculs où chaque maillon est important.
Le saviez-vous ?
Le GPS donne aussi des altitudes, mais elles sont généralement moins précises que celles obtenues par nivellement topographique. L'altitude GPS est ellipsoïdale (par rapport à une forme mathématique de la Terre), alors que l'altitude topographique est orthométrique (par rapport au géoïde, une surface plus proche du vrai niveau moyen des mers).
FAQ
Pour lever les doutes :
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'altitude de la station S était de 200.00 m, quelle serait la nouvelle altitude du point A ? (Réponse attendue en m)
Outil Interactif : Simulateur de Dénivelée
Utilisez cet outil pour voir comment la dénivelée et la pente varient en fonction de la distance horizontale et de l'angle vertical de la visée.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la formule de base correcte pour calculer une dénivelée en nivellement indirect ?
2. Un angle droit (\(90^\circ\)) équivaut à combien de grades (gon) ?
3. Un angle vertical mesuré avec un signe négatif indique que le point visé est...
4. En topographie, que représente la "hauteur des tourillons" (\(h_t\)) ?
5. Si l'on double la distance horizontale (\(D_h\)) sans changer l'angle vertical, comment évolue la dénivelée (\(\Delta H\)) ?
Glossaire
- Nivellement Indirect Trigonométrique
- Technique de mesure des dénivelées basée sur la mesure d'angles verticaux et de distances, utilisant les relations de trigonométrie.
- Tachéomètre
- Instrument optique utilisé par les géomètres-topographes pour mesurer avec précision des angles horizontaux, verticaux et des distances.
- Grade (ou Gon)
- Unité de mesure d'angle où un cercle complet est divisé en 400 grades. Un angle droit mesure 100 gon. C'est l'unité la plus courante en topographie.
- Hauteur des Tourillons (\(h_t\))
- Hauteur de l'axe de rotation horizontal du tachéomètre au-dessus du point de station matérialisé au sol.
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