Étude Topographique

Calcul de la Flèche d’un Câble Suspendu

Topographie : Calcul de la Flèche d'un Câble Suspendu

Calcul de la Flèche d'un Câble Suspendu

Contexte : Sécurité et Contrôle d'Ouvrages

La mesure de la flècheDistance verticale maximale entre un câble suspendu et la ligne droite (corde) qui relie ses deux points d'attache. d'un câble (ligne à haute tension, téléphérique, tyrolienne) est une opération de contrôle essentielle pour des raisons de sécurité. Il faut s'assurer que le câble, sous l'effet de son propre poids et des conditions climatiques (température, vent, givre), ne se rapproche pas dangereusement du sol ou d'autres obstacles. La topographie par rayonnement sans réflecteur est la méthode idéale pour mesurer à distance la position du câble et de ses supports afin de calculer cette flèche avec précision et en toute sécurité.

Remarque Pédagogique : Cet exercice combine plusieurs notions fondamentales : le calcul de points rayonnés en 3D et un calcul géométrique simple dans l'espace. Il illustre parfaitement comment la topographie permet de résoudre des problèmes pratiques de génie civil en modélisant la réalité du terrain et des ouvrages.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les coordonnées 3D de plusieurs points par rayonnement.
  • Déterminer l'altitude d'un point situé sur une ligne droite (la corde) définie par deux autres points.
  • Calculer une distance verticale entre un point et une ligne dans l'espace.
  • Appliquer ces calculs au cas concret de la détermination de la flèche d'un câble.
  • Comprendre l'importance du levé 3D pour le contrôle et la surveillance d'ouvrages.

Données de l'étude

Un topographe doit vérifier la flèche d'une ligne électrique qui traverse une route. Depuis une station S, il mesure sans réflecteur les deux points d'attache du câble sur les pylônes (P1 et P2) ainsi que le point le plus bas du câble (F).

Schéma de la Mesure de Flèche
P1 P2 F Flèche = ?

Données de la station S :

  • Coordonnées : \(X_{\text{S}} = 500.000 \, \text{m}\), \(Y_{\text{S}} = 100.000 \, \text{m}\), \(Z_{\text{S}} = 98.520 \, \text{m}\)
  • Hauteur de l'instrument : \(h_{\text{i}} = 1.615 \, \text{m}\)

Mesures réalisées (visées sans prisme, \(h_v=0\)) :

Point ViséAngle Horizontal (gon)Angle Vertical (gon)Distance Inclinée (m)
P1350.124092.4580125.482
P245.875094.1250138.951
F (câble)10.354098.852095.215

Questions à traiter

  1. Calculer les coordonnées 3D (\(X, Y, Z\)) des points P1, P2 et F.
  2. Calculer la distance horizontale (\(D_{\text{h, P1-P2}}\)) entre les deux points d'accroche P1 et P2.
  3. Déterminer l'altitude du point C, qui est le point sur la corde [P1P2] ayant la même planimétrie (X, Y) que le point F.
  4. En déduire la valeur de la flèche du câble.

Correction : Calcul de la Flèche d'un Câble Suspendu

Question 1 : Calcul des Coordonnées 3D des points

Principe :
S (Xs, Ys) P (Xp, Yp)=? Nord ΔY ΔX Hz

Pour chaque point visé (P1, P2, F), nous appliquons la méthode de calcul d'un point rayonné. On calcule d'abord la distance horizontale et la dénivelée instrumentale, puis on en déduit les coordonnées X, Y, et Z du point en se basant sur les coordonnées de la station S.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est l'application directe des formules de rayonnement. La rigueur dans la recopie des données et l'enchaînement des calculs est essentielle. Chaque point est calculé indépendamment des autres, à partir de la même station S.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ D_{\text{h}} = D_{\text{p}} \times \sin(V) \]
\[ \Delta H = D_{\text{p}} \times \cos(V) \]
\[ X_{\text{P}} = X_{\text{S}} + D_{\text{h}} \times \sin(Hz) \]
\[ Y_{\text{P}} = Y_{\text{S}} + D_{\text{h}} \times \cos(Hz) \]
\[ Z_{\text{P}} = Z_{\text{S}} + h_{\text{i}} + \Delta H \]
Calcul(s) pour P1 :
\[ D_{\text{h, P1}} = 125.482 \times \sin(92.4580 \, \text{gon}) = 125.341 \, \text{m} \]
\[ \Delta H_{\text{P1}} = 125.482 \times \cos(92.4580 \, \text{gon}) = 14.815 \, \text{m} \]
\[ \begin{aligned} X_{\text{P1}} &= 500.000 + 125.341 \times \sin(350.1240 \, \text{gon}) \\ &= 500.000 - 78.068 \\ &= 421.932 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{P1}} &= 100.000 + 125.341 \times \cos(350.1240 \, \text{gon}) \\ &= 100.000 + 98.421 \\ &= 198.421 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Z_{\text{P1}} &= 98.520 + 1.615 + 14.815 \\ &= 114.950 \, \text{m} \end{aligned} \]
Calcul(s) pour P2 :
\[ D_{\text{h, P2}} = 138.951 \times \sin(94.1250 \, \text{gon}) = 138.835 \, \text{m} \]
\[ \Delta H_{\text{P2}} = 138.951 \times \cos(94.1250 \, \text{gon}) = 13.242 \, \text{m} \]
\[ \begin{aligned} X_{\text{P2}} &= 500.000 + 138.835 \times \sin(45.8750 \, \text{gon}) \\ &= 500.000 + 91.018 \\ &= 591.018 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{P2}} &= 100.000 + 138.835 \times \cos(45.8750 \, \text{gon}) \\ &= 100.000 + 104.998 \\ &= 204.998 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Z_{\text{P2}} &= 98.520 + 1.615 + 13.242 \\ &= 113.377 \, \text{m} \end{aligned} \]
Calcul(s) pour F :
\[ D_{\text{h, F}} = 95.215 \times \sin(98.8520 \, \text{gon}) = 95.197 \, \text{m} \]
\[ \Delta H_{\text{F}} = 95.215 \times \cos(98.8520 \, \text{gon}) = 1.741 \, \text{m} \]
\[ \begin{aligned} X_{\text{F}} &= 500.000 + 95.197 \times \sin(10.3540 \, \text{gon}) \\ &= 500.000 + 15.319 \\ &= 515.319 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{F}} &= 100.000 + 95.197 \times \cos(10.3540 \, \text{gon}) \\ &= 100.000 + 93.916 \\ &= 193.916 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Z_{\text{F}} &= 98.520 + 1.615 + 1.741 \\ &= 101.876 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Visée sans réflecteur : La mesure a été faite sans prisme (\(h_v = 0\)). Il ne faut donc pas soustraire de hauteur de prisme dans le calcul de l'altitude Z. C'est une différence majeure par rapport à un levé sur prisme.

Le saviez-vous ?

Les lasers des stations totales modernes sont de "Classe 1" ou "Classe 2", ce qui signifie qu'ils sont sans danger pour l'œil humain dans des conditions normales d'utilisation. Cela permet de viser des objets sans se soucier de la sécurité des personnes, contrairement aux lasers de plus forte puissance.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi ne pas mesurer directement les coordonnées des points ?

C'est exactement ce que fait une station totale moderne ! Elle effectue ces calculs en interne et en temps réel. Comprendre le calcul manuel est cependant indispensable pour contrôler les résultats, résoudre des problèmes sur le terrain et comprendre les sources d'erreurs.

Résultats : P1(421.932, 198.421, 114.950), P2(591.018, 204.998, 113.377), F(515.319, 193.916, 101.876)

Question 2 : Distance Horizontale entre P1 et P2

Principe :

Maintenant que nous avons les coordonnées planimétriques des deux points d'accroche, nous pouvons calculer la distance horizontale qui les sépare en utilisant le théorème de Pythagore.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Ce calcul est une application directe du théorème de Pythagore dans le plan (X, Y). Il permet de connaître la portée horizontale du câble, une donnée essentielle pour les études d'ingénierie.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ D_{\text{h, P1-P2}} = \sqrt{(X_{\text{P2}} - X_{\text{P1}})^2 + (Y_{\text{P2}} - Y_{\text{P1}})^2} \]
Donnée(s) :
  • Coordonnées de P1 : \(X_{\text{P1}}=421.932, Y_{\text{P1}}=198.421\)
  • Coordonnées de P2 : \(X_{\text{P2}}=591.018, Y_{\text{P2}}=204.998\)
Calcul(s) :
\[ \Delta X_{\text{P1-P2}} = 591.018 - 421.932 = 169.086 \, \text{m} \]
\[ \Delta Y_{\text{P1-P2}} = 204.998 - 198.421 = 6.577 \, \text{m} \]
\[ \begin{aligned} D_{\text{h, P1-P2}} &= \sqrt{169.086^2 + 6.577^2} \\ &= \sqrt{28590.04 + 43.26} \\ &= 169.214 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Calcul des différences : Faites attention à l'ordre de la soustraction pour \(\Delta X\) et \(\Delta Y\). Bien que le carré annule l'effet du signe pour le calcul de distance, conserver un ordre cohérent (Point final - Point initial) est une bonne pratique pour d'autres calculs, comme celui du gisement.

Le saviez-vous ?

La distance 3D entre P1 et P2, qui correspond à la longueur de la "corde" (le segment [P1P2]), se calculerait de la même manière en ajoutant le carré de la différence d'altitude : \(D_{3D} = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2 + \Delta Z^2}\).

FAQ en rapport avec la question :
Cette distance est-elle la longueur du câble ?

Non, absolument pas. C'est la distance en ligne droite entre les deux points d'accroche. La longueur réelle du câble est supérieure car elle suit une courbe (la chaînette). Le calcul de la longueur développée du câble est plus complexe.

Résultat : La distance horizontale entre P1 et P2 est de 169.214 m.

Question 3 : Altitude du point C sur la corde

Principe :

Le point C est l'image projetée verticalement du point F sur la corde [P1P2]. Son altitude se trouve par interpolation linéaire entre les altitudes de P1 et P2, en fonction de sa position le long du segment. On calcule d'abord la distance horizontale de P1 à la projection de F (F'), puis on applique une simple règle de trois.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : L'interpolation linéaire suppose que la pente de la corde est constante. On calcule la proportion de la distance parcourue horizontalement de P1 vers F', et on applique cette même proportion à la différence d'altitude totale entre P1 et P2.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ D_{\text{h, P1-F'}} = \sqrt{(X_{\text{F}} - X_{\text{P1}})^2 + (Y_{\text{F}} - Y_{\text{P1}})^2} \]
\[ Z_{\text{C}} = Z_{\text{P1}} + (Z_{\text{P2}} - Z_{\text{P1}}) \times \frac{D_{\text{h, P1-F'}}}{D_{\text{h, P1-P2}}} \]
Donnée(s) :
  • Coordonnées de P1, P2, F
  • Distance horizontale \(D_{\text{h, P1-P2}} = 169.214 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \Delta X_{\text{P1-F}} = 515.319 - 421.932 = 93.387 \, \text{m} \]
\[ \Delta Y_{\text{P1-F}} = 193.916 - 198.421 = -4.505 \, \text{m} \]
\[ D_{\text{h, P1-F'}} = \sqrt{93.387^2 + (-4.505)^2} = 93.495 \, \text{m} \]
\[ \Delta Z_{\text{P1-P2}} = 113.377 - 114.950 = -1.573 \, \text{m} \]
\[ \begin{aligned} Z_{\text{C}} &= 114.950 + (-1.573) \times \frac{93.495}{169.214} \\ &= 114.950 - 0.869 \\ &= 114.081 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Signe de la dénivelée : Il faut être très attentif au signe de la dénivelée entre P1 et P2 (\(Z_{P2} - Z_{P1}\)). Ici, elle est négative car le câble descend de P1 vers P2. Une erreur de signe conduirait à une altitude de C erronée.

Le saviez-vous ?

Cette méthode d'interpolation est utilisée dans tous les logiciels de modélisation de terrain (MNT). Pour trouver l'altitude d'un point quelconque, le logiciel le projette sur le triangle de la modélisation le plus proche et interpole son altitude à partir des altitudes des trois sommets du triangle.

FAQ en rapport avec la question :
Le point F est-il forcément à la verticale sous la corde [P1P2] ?

Pas nécessairement. S'il y a un vent latéral fort, le câble peut être déporté et son point le plus bas (F) ne sera pas exactement à la verticale de la corde. Dans ce cas, le calcul de la flèche est plus complexe car il faut calculer la plus courte distance 3D entre le point F et la droite (P1, P2), et non plus une simple différence d'altitude.

Résultat : L'altitude du point C sur la corde est \(Z_{\text{C}} = 114.081 \, \text{m}\).

Question 4 : Calcul de la Flèche

Principe :
F C Flèche

La flèche est la différence d'altitude entre le point C (sur la corde) et le point F (le point le plus bas du câble). C'est la distance verticale qui les sépare.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est l'aboutissement de tous les calculs précédents. Chaque étape était nécessaire pour obtenir les deux altitudes dont la simple soustraction donne le résultat final recherché. Cela montre comment des calculs intermédiaires complexes s'enchaînent pour répondre à une question pratique simple.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{Flèche} = Z_{\text{C}} - Z_{\text{F}} \]
Donnée(s) :
  • \(Z_{\text{C}} = 114.081 \, \text{m}\)
  • \(Z_{\text{F}} = 101.876 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \text{Flèche} &= 114.081 - 101.876 \\ &= 12.205 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Le point le plus bas : La méthode n'est valide que si le point F mesuré est bien le point le plus bas du câble. Une erreur de visée sur le terrain (viser un point quelconque du câble au lieu du plus bas) conduirait à sous-estimer la flèche réelle.

Le saviez-vous ?

Les données issues de levés similaires peuvent être entrées dans des logiciels de "Building Information Modeling" (BIM) pour créer une maquette numérique 3D complète d'un site, incluant le terrain, les bâtiments et les réseaux. Cette maquette sert ensuite à la conception, la construction et la maintenance des infrastructures.

FAQ en rapport avec la question :
Que faire si le point le plus bas n'est pas accessible à la visée ?

Si le point le plus bas est masqué, on peut mesurer plusieurs autres points visibles sur le câble. En utilisant ces points, on peut modéliser mathématiquement la courbe du câble (parabole ou chaînette) et en déduire par le calcul la position et l'altitude du véritable point bas, et donc la flèche.

Résultat : La flèche du câble est de 12.205 m.

Pour Aller Plus Loin : La Chaînette vs. la Parabole

La vraie forme d'un câble : Pour simplifier, on modélise souvent la forme d'un câble suspendu par une parabole. C'est une bonne approximation pour les câbles très tendus avec une faible flèche. Cependant, la forme mathématique exacte d'un câble flexible suspendu par ses deux extrémités et soumis à son propre poids n'est pas une parabole, mais une chaînette, dont l'équation fait intervenir la fonction cosinus hyperbolique. Pour des calculs de très haute précision, notamment pour les ponts suspendus, les ingénieurs utilisent le modèle de la chaînette.

Le Saviez-Vous ?

La température a un impact majeur sur la flèche d'un câble. En été, le métal se dilate, le câble s'allonge et la flèche augmente. En hiver, il se contracte, le câble se tend et la flèche diminue. Les gestionnaires de réseaux électriques doivent calculer la flèche maximale en été pour garantir les distances de sécurité, et la tension maximale en hiver pour s'assurer que les pylônes résisteront.

Foire Aux Questions (FAQ)

Comment trouver le point le plus bas du câble sur le terrain ?

L'opérateur balaye le câble avec la lunette de sa station totale en mode "tracking" (mesure continue). Il cherche l'angle vertical le plus grand (si le point bas est plus bas que l'instrument) ou le plus petit (s'il est plus haut). Ce point correspond au point le plus bas du câble, c'est celui qu'il faut mesurer.

Cette méthode est-elle applicable à un téléphérique ?

Oui, absolument. Le principe est exactement le même pour vérifier la hauteur de survol d'un câble de téléphérique au-dessus d'une piste de ski, d'une route ou d'une autre infrastructure. C'est une mesure de contrôle et de sécurité standard.

Glossaire

Flèche
Distance verticale maximale entre un câble suspendu et la ligne droite (appelée "corde") qui relie ses deux points d'attache. C'est une mesure clé de la courbure du câble.
Corde
Segment de droite imaginaire qui relie les deux points de suspension (P1 et P2) d'un câble.
Chaînette
Courbe mathématique décrivant la forme que prend un fil ou une chaîne flexible suspendu par ses extrémités et soumis uniquement à son propre poids.
Levé sans réflecteur
Technique de mesure de distance avec une station totale qui ne nécessite pas de prisme. Le laser de l'instrument est capable de mesurer la distance directement sur la surface de l'objet visé (mur, sol, câble...).
Calcul de la Flèche d'un Câble Suspendu

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