Calcul de la Fermeture Planimétrique (fx, fy)
Contexte : Le cheminement polygonalEn topographie, un parcours composé d'une suite de points (stations) dont on mesure les angles et les distances pour déterminer les coordonnées..
En topographie, la précision est primordiale. Après avoir effectué des relevés sur le terrain (mesures d'angles et de distances), la première étape de contrôle au bureau consiste à "fermer" le polygone. Cela signifie vérifier que les mesures sont cohérentes et que l'erreur accumulée est acceptable. Cet exercice se concentre sur le calcul de la fermeture planimétrique (erreurs en X et Y), une compétence fondamentale pour tout géomètre-topographe.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à enchaîner les calculs topographiques de base (gisements, coordonnées partielles) pour aboutir à une vérification critique de la qualité d'un levé. C'est le fondement des calculs de compensation qui suivront.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer les gisements de chaque côté d'un cheminement fermé.
- Déterminer les coordonnées partielles (ΔX, ΔY) pour chaque segment.
- Calculer l'erreur de fermeture planimétrique (fx, fy).
- Calculer la fermeture totale (ft) et la comparer à une tolérance réglementaire.
Données de l'étude
Informations Initiales
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Coordonnées du Point A | X = 1000.00 m ; Y = 500.00 m |
| Gisement de départ GAB | 75.0000 gon |
| Tolérance (Classe Précision) | \( \text{Tolérance de chantier} = 0.08 \sqrt{L_{\text{km}}} \text{ m} \) |
Schéma du Cheminement Polygonal
Carnet de Levé sur Terrain
| Station | Angle à droite mesuré (gon) | Côté | Distance Horizontale (m) |
|---|---|---|---|
| A | 82.2800 | AB | 223.61 |
| B | 110.7400 | BC | 202.24 |
| C | 92.3900 | CD | 148.66 |
| D | 114.5900 | DA | 353.55 |
Questions à traiter
- Calculer le gisement de chaque côté du cheminement (GBC, GCD, GDA).
- Calculer les coordonnées partielles (ΔX, ΔY) pour chaque côté.
- Calculer l'erreur de fermeture planimétrique fx et fy.
- Calculer la fermeture totale ft et conclure sur la validité du levé.
Les bases du Calcul Planimétrique
Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser trois formules fondamentales en topographie.
1. Transmission de Gisement
Le gisement d'un côté se déduit du gisement du côté précédent et de l'angle mesuré entre les deux. La formule varie légèrement si l'on tourne à droite ou à gauche. Pour des angles à droite :
\[ G_{\text{nouveau}} = G_{\text{ancien}} + \text{Angle}_{\text{mesuré}} \pm 200 \text{ gon} \]
On ajoute ou soustrait 200 gon pour ramener le résultat dans l'intervalle [0, 400]. Si \( (G_{\text{anc}} + \alpha) < 200 \), on ajoute 200. Si \( (G_{\text{anc}} + \alpha) > 200 \), on soustrait 200.
2. Calcul des Coordonnées Partielles
Les deltas (ΔX, ΔY) représentent le déplacement sur chaque axe pour aller d'un point à l'autre. Ils se calculent à partir du gisement (G) et de la distance (D) du segment :
\[ \Delta X = D \times \sin(G) \]
\[ \Delta Y = D \times \cos(G) \]
3. Calcul de la Fermeture
Dans un polygone fermé, la somme théorique des ΔX et des ΔY doit être nulle. La différence observée est l'erreur de fermeture.
\[ f_x = \sum \Delta X \quad ; \quad f_y = \sum \Delta Y \]
L'erreur totale est la distance euclidienne : \( f_t = \sqrt{f_x^2 + f_y^2} \).
Correction : Calcul de la Fermeture Planimétrique (fx, fy)
Question 1 : Calcul des gisements
Principe
Le calcul des gisements se fait de proche en proche. En partant d'un gisement connu (GAB), qui représente l'orientation du premier côté par rapport au Nord, on "transporte" cette orientation à chaque sommet suivant en utilisant l'angle horizontal mesuré à ce sommet.
Mini-Cours
Le gisement est l'un des concepts clés de la topographie. Il définit l'orientation d'une direction. Le cercle est divisé en 400 grades (ou gons), où 0 gon est le Nord, 100 gon l'Est, 200 gon le Sud et 300 gon l'Ouest. La formule de transmission permet de passer de l'orientation d'un côté à l'autre de manière séquentielle.
Remarque Pédagogique
La meilleure façon d'aborder ce calcul est de le présenter sous forme de tableau, ligne par ligne, pour chaque nouveau gisement. Soyez méthodique et n'hésitez pas à dessiner un petit croquis pour chaque sommet afin de visualiser la relation entre l'ancien gisement, l'angle mesuré et le nouveau gisement.
Normes
Les méthodes de calcul de gisement et de coordonnées sont universelles en topographie et ne dépendent pas d'une norme spécifique, mais leur application et les tolérances associées sont souvent définies dans des cahiers des charges (comme le CCTG en France pour les marchés publics).
Formule(s)
Formule de Transmission de Gisement
Hypothèses
Pour cette étape, nous posons les hypothèses suivantes : le gisement de départ GAB est considéré comme exact et les angles internes ont été mesurés et leur somme est théoriquement correcte (pas de fermeture angulaire à compenser ici pour simplifier).
Donnée(s)
Les données d'entrée pour cette question sont :
- Gisement de départ GAB = 75.0000 gon
- Angle en B (αB) = 110.7400 gon
- Angle en C (αC) = 92.3900 gon
- Angle en D (αD) = 114.5900 gon
Astuces
Pour savoir s'il faut ajouter ou soustraire 200 gon, faites la somme \( G_{\text{ancien}} + \alpha \). Si le résultat est inférieur à 200, ajoutez 200. S'il est supérieur, soustrayez 200. L'objectif est de toujours rester dans un cercle de 400 gon.
Schéma (Avant les calculs)
Principe de la Transmission de Gisement à la station B
Calcul(s)
Somme intermédiaire pour Gisement BC
Calcul final du Gisement BC
Somme intermédiaire pour Gisement CD
Calcul final du Gisement CD
Somme intermédiaire pour Gisement DA
Calcul final du Gisement DA
Schéma (Après les calculs)
Orientations des Côtés (Gisements)
Réflexions
La vérification finale est cruciale. On recalcule le gisement de départ en utilisant le dernier gisement calculé (GDA) et le dernier angle (αA). Si on retombe sur GAB, nos calculs de transmission sont justes.
Somme intermédiaire pour la vérification
Comme la somme (275.0000 gon) est supérieure à 200, on soustrait 200 pour finaliser le calcul.
Calcul final du Gisement de vérification G'AB
Le gisement calculé G'AB est identique au gisement de départ. La cohérence angulaire est parfaite.
Points de vigilance
La principale source d'erreur est de se tromper dans l'addition ou la soustraction des 200 gon. Une autre erreur classique est d'utiliser un angle en degrés avec une calculatrice en grades, ou vice-versa.
Points à retenir
Maîtrisez la formule de transmission de gisement. Comprenez qu'elle permet de conserver une référence d'orientation (le Nord) tout au long du cheminement. La vérification finale "en refermant la boucle" est une étape non négociable.
Le saviez-vous ?
Le grade (ou gon) a été introduit en France lors de la Révolution française, en même temps que le système métrique. Il visait à décimaliser la mesure des angles (100 grades pour un angle droit) pour simplifier les calculs, mais le degré sexagésimal (base 60) d'origine babylonienne est resté majoritaire dans le monde.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
Les gisements calculés sont :
- GBC = 385.7400 gon
- GCD = 278.1300 gon
- GDA = 192.7200 gon
A vous de jouer
Si le gisement de départ GAB avait été de 100.0000 gon, quel aurait été le gisement GBC ?
Question 2 : Calcul des coordonnées partielles (ΔX, ΔY)
Principe
Chaque côté du polygone peut être vu comme un vecteur. Les coordonnées partielles (ΔX, ΔY) sont simplement les composantes de ce vecteur dans le système de coordonnées (X,Y). Elles représentent le déplacement sur l'axe des Est (X) et l'axe des Nord (Y) pour parcourir ce côté.
Mini-Cours
Cette étape est la transformation de mesures polaires (Distance, Gisement) en coordonnées cartésiennes (ΔX, ΔY). Le cercle trigonométrique topographique est la clé : le gisement 0 est sur l'axe Y (Nord), et les angles augmentent dans le sens horaire. Ainsi, la projection sur l'axe X (Est) est D × sin(G) et sur l'axe Y (Nord) est D × cos(G).
Remarque Pédagogique
Organisez vos calculs dans un tableau clair avec des colonnes pour Côté, Distance, Gisement, ΔX, et ΔY. Cette structure minimise les risques d'erreur et facilite la vérification. Faites attention aux signes : un gisement entre 100 et 300 gon donnera un ΔX négatif, et un gisement entre 200 et 400 gon donnera un ΔY négatif.
Normes
Ce sont des formules trigonométriques fondamentales et universelles, au cœur de tous les logiciels de calcul topographique.
Formule(s)
Formules des Coordonnées Partielles
Hypothèses
Nous supposons que les distances mesurées sur le terrain sont exactes et que les gisements calculés à l'étape précédente sont également exacts pour la suite des calculs.
Donnée(s)
On utilise les distances de l'énoncé et les gisements calculés à la question 1.
| Côté | Distance D (m) | Gisement G (gon) |
|---|---|---|
| AB | 223.61 | 75.0000 |
| BC | 202.24 | 385.7400 |
| CD | 148.66 | 278.1300 |
| DA | 353.55 | 192.7200 |
Astuces
Avant de calculer, estimez le signe de vos ΔX et ΔY en regardant le quadrant de votre gisement. Par exemple, pour GBC=385.74 gon (Quadrant 4, Nord-Ouest), on s'attend à un ΔX négatif et un ΔY positif. Cela constitue une excellente auto-vérification.
Schéma (Avant les calculs)
Relation Polaire-Cartésien
Calcul(s)
On applique les formules pour chaque côté. Attention, les calculatrices doivent être en mode "grades" ou "gons".
| Côté | Distance D (m) | Gisement G (gon) | ΔX = D.sin(G) (m) | ΔY = D.cos(G) (m) |
|---|---|---|---|---|
| AB | 223.61 | 75.0000 | 208.640 | 79.444 |
| BC | 202.24 | 385.7400 | -49.993 | 196.002 |
| CD | 148.66 | 278.1300 | -145.998 | -29.999 |
| DA | 353.55 | 192.7200 | -12.724 | -353.325 |
Schéma (Après les calculs)
Cheminement Calculé (A-B-C-D-A')
Réflexions
L'analyse du tableau montre bien la corrélation entre les gisements et les signes des deltas, confirmant notre compréhension du cercle trigonométrique topographique. Le schéma "Après les calculs" montre le polygone tel que calculé. On voit que le point d'arrivée, A', ne coïncide pas avec le point de départ A.
Points de vigilance
Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode GON (ou GRAD). C'est l'erreur la plus fréquente à ce stade. Une seconde vérification des signes de sinus et cosinus pour chaque quadrant est une bonne pratique.
Points à retenir
La transformation de coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes est une opération de base en topographie. Les deux formules pour ΔX et ΔY doivent être connues par cœur, ainsi que la convention de mesure des gisements depuis le Nord.
Le saviez-vous ?
Les termes "sinus" et "cosinus" proviennent de traductions successives. Le mot indien "jya-ardha" (demi-corde) a été arabisé en "jiba", puis traduit à tort en latin par "sinus" (baie, pli). "Cosinus" est simplement le "sinus du complémentaire".
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la distance du côté DA était de 350.00 m (au lieu de 353.55 m), quelles seraient les nouvelles valeurs de ΔX et ΔY pour ce côté ?
Question 3 : Calcul de l'erreur de fermeture planimétrique (fx, fy)
Principe
Physiquement, si l'on parcourt un chemin fermé, le point d'arrivée doit coïncider avec le point de départ. La somme de tous les déplacements vers l'Est/Ouest (les ΔX) et vers le Nord/Sud (les ΔY) devrait donc être nulle. La somme réelle que l'on obtient représente l'écart, c'est-à-dire l'erreur de fermeture.
Mini-Cours
Toute mesure physique comporte des erreurs. En topographie, on distingue les fautes (grossières, ex: erreur de lecture), les erreurs systématiques (liées à l'instrument, ex: défaut d'étalonnage) et les erreurs accidentelles (aléatoires, inévitables). La fermeture planimétrique est la manifestation combinée de toutes ces erreurs sur le résultat final des coordonnées.
Formule(s)
Formules de Fermeture
Donnée(s)
Nous utilisons les valeurs de ΔX et ΔY calculées à la question précédente.
| Côté | ΔX (m) | ΔY (m) |
|---|---|---|
| AB | +208.640 | +79.444 |
| BC | -49.993 | +196.002 |
| CD | -145.998 | -29.999 |
| DA | -12.724 | -353.325 |
Astuces
Pour éviter les erreurs de calcul lors de la somme, additionnez d'abord tous les termes positifs, puis tous les termes négatifs, et enfin faites la différence. Re-calculez une deuxième fois pour confirmer.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la Fermeture
Calcul(s)
Erreur sur l'axe X (fx)
Erreur sur l'axe Y (fy)
Schéma (Après les calculs)
Vecteur Erreur de Fermeture
Réflexions
Le résultat montre une erreur très faible sur l'axe X (-7.5 cm) mais une erreur très importante sur l'axe Y (-7.88 m). Cette disproportion est un indice majeur : l'erreur provient probablement d'une mesure affectant principalement la coordonnée Y, comme la distance d'un côté orienté Nord-Sud.
Points de vigilance
Attention aux signes ! Une erreur de signe sur une seule valeur de ΔX ou ΔY peut changer radicalement le résultat final de la fermeture. La rigueur est ici essentielle.
Points à retenir
La somme des coordonnées partielles dans un polygone fermé doit théoriquement être nulle. L'écart par rapport à zéro quantifie la qualité du levé.
Le saviez-vous ?
Dans les logiciels de calcul, les erreurs de fermeture sont utilisées pour "compenser" le cheminement, c'est-à-dire répartir l'erreur sur l'ensemble des mesures (généralement proportionnellement à la longueur des côtés) pour forcer une fermeture parfaite.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
Question 4 : Calcul de la fermeture totale et conclusion
Principe
fx et fy représentent l'erreur sur chaque axe. La fermeture totale, ft, est la distance directe entre le point de départ et le point d'arrivée calculé. On utilise le théorème de Pythagore sur le triangle formé par fx et fy pour trouver cette distance. On compare ensuite cette erreur réelle à l'erreur maximale autorisée (la tolérance).
Mini-Cours
La tolérance est un concept statistique et réglementaire. Elle définit le seuil au-delà duquel il est très improbable qu'une erreur soit due uniquement au hasard des petites erreurs accidentelles. Une erreur dépassant la tolérance signale presque certainement une faute (ex: erreur de 1m sur une lecture de distance) ou une erreur systématique importante. La formule de tolérance dépend souvent de la longueur du parcours, car les erreurs accidentelles s'accumulent.
Remarque Pédagogique
La conclusion n'est pas juste "accepté" ou "rejeté". Un bon professionnel analyse le résultat. Une erreur importante comme ici (7.88 m) est une "faute". La valeur de fy étant très grande et négative, on pourrait suspecter une erreur de lecture sur une distance d'un côté orienté principalement Nord-Sud, comme le côté DA.
Normes
La tolérance utilisée ici (\( 0.08 \sqrt{L_{\text{km}}} \)) est un exemple typique pour des travaux de chantier courants. Pour des travaux fonciers ou de haute précision, les tolérances sont beaucoup plus strictes et définies par des arrêtés ou des normes professionnelles.
Formule(s)
Formule de la Fermeture Totale
Formule de Tolérance
Donnée(s)
Les données d'entrée sont les erreurs fx et fy calculées, et la longueur totale du cheminement.
- Erreur en X (fx) = -0.075 m
- Erreur en Y (fy) = -7.878 m
- Périmètre (L) = 928.06 m
Schéma (Avant les calculs)
Théorème de Pythagore appliqué à la fermeture
Calcul(s)
Calcul du périmètre (L)
Calcul de la tolérance
Calcul de la fermeture totale (ft)
Schéma (Après les calculs)
Comparaison Erreur / Tolérance
Le schéma montre que le vecteur de l'erreur de fermeture (ft) est bien plus grand que le cercle représentant la zone de tolérance autorisée autour du point de départ.
Réflexions
La comparaison est sans appel. L'erreur commise sur le terrain (7.878 m) est plus de 100 fois supérieure à l'erreur maximale qui aurait été tolérée (0.077 m). Cela indique une faute humaine ou instrumentale majeure. Le travail doit impérativement être vérifié sur le terrain.
Comparaison : Nous avons \( f_t = 7.878 \text{ m} \) et \( \text{Tol} = 0.077 \text{ m} \).
Clairement, \( f_t \gg \text{Tol} \).
Points de vigilance
Une erreur fréquente est d'oublier de convertir le périmètre L en kilomètres pour la formule de tolérance, ce qui fausserait complètement la comparaison finale.
Points à retenir
Le contrôle final d'un cheminement se résume toujours à la comparaison entre l'erreur commise (ft) et l'erreur admise (Tolérance). C'est le juge de paix qui valide ou invalide la qualité du levé.
Le saviez-vous ?
Les satellites du système GPS et de ses équivalents (Galileo, GLONASS) sont constamment surveillés depuis des stations au sol. Les calculs de leurs orbites sont en quelque sorte des cheminements en 3D à l'échelle planétaire, où les "fermetures" doivent être infiniment petites pour garantir notre précision de positionnement.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si le levé avait été fait pour un travail de moindre précision, avec une tolérance de \( 0.15 \sqrt{L_{\text{km}}} \), la conclusion aurait-elle changé ? Calculez la nouvelle tolérance.
Outil Interactif : Influence d'une erreur de mesure
Utilisez les curseurs pour simuler une erreur sur la distance du côté BC et sur l'angle au sommet C. Observez en temps réel l'impact sur l'erreur de fermeture planimétrique fx et fy.
Paramètres d'Entrée
Erreurs de Fermeture
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. À quoi sert principalement le calcul de la fermeture planimétrique ?
2. Laquelle de ces formules est correcte pour calculer ΔY ?
3. Un gisement de 300 gon correspond à une direction...
4. Si l'erreur de fermeture (ft) est plus grande que la tolérance (Tol), que doit-on faire ?
5. L'erreur de fermeture fy représente...
- Cheminement Polygonal
- Suite de points (stations) reliés par des segments de ligne dont les longueurs et les orientations sont mesurées pour déterminer les coordonnées des stations.
- Gisement
- Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord (Y) jusqu'à une direction donnée. Il est généralement exprimé en grades ou gons (0 à 400).
- Coordonnées Partielles (ΔX, ΔY)
- Projection d'un segment sur les axes X (Est) et Y (Nord). Elles représentent la différence de coordonnées entre le début et la fin du segment.
- Fermeture Planimétrique (fx, fy)
- Dans un cheminement fermé, c'est l'écart entre le point de départ et le point d'arrivée calculé. Idéalement, cet écart devrait être nul. fx est l'erreur sur l'axe X, fy est l'erreur sur l'axe Y.
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