Calcul de la Fermeture Planimétrique (fx, fy)
Contexte : La Vérification Finale
Après avoir calculé les coordonnées partielles (ΔX, ΔY) pour chaque côté du cheminement, nous arrivons à l'ultime test de cohérence. Dans un monde parfait, si l'on part d'un point et que l'on suit tous les vecteurs de déplacement (ΔX, ΔY), on devrait revenir exactement au point de départ. Cela signifie que la somme de tous les déplacements vers l'Est (ΔX positifs) devrait annuler la somme de tous les déplacements vers l'Ouest (ΔX négatifs), et de même pour les déplacements Nord/Sud. La somme totale des ΔX (\(\Sigma \Delta X\)) et des ΔY (\(\Sigma \Delta Y\)) devrait donc être nulle. L'écart par rapport à zéro est la fermeture planimétriqueVecteur d'erreur représentant l'écart entre le point de départ et le point d'arrivée d'un cheminement fermé. Il a deux composantes : fx et fy., avec ses composantes \(f_x\) et \(f_y\).
Remarque Pédagogique : La fermeture planimétrique est l'indicateur de qualité le plus important d'un levé. Elle cumule les erreurs provenant à la fois des mesures d'angles et des mesures de distances. La comparer à une tolérance réglementaire permet de valider ou d'invalider l'ensemble du travail de terrain avant de procéder aux derniers calculs de compensation.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la somme des coordonnées partielles en X et en Y.
- Déterminer les fermetures \(f_x\) et \(f_y\).
- Calculer la fermeture linéaire totale (\(f_T\)) en utilisant le théorème de Pythagore.
- Calculer la tolérance planimétrique et la comparer à la fermeture totale pour valider le levé.
Données de l'étude
Cheminement et Vecteur de Fermeture
| Côté | ΔX [m] | ΔY [m] | Distance (D) [m] |
|---|---|---|---|
| S1 → S2 | +84.93 | +92.83 | 125.45 |
| S2 → S3 | -61.64 | +77.58 | 98.72 |
| S3 → S4 | -93.18 | -58.87 | 110.15 |
| S4 → S1 | +90.01 | -55.48 | 105.80 |
- La tolérance planimétrique pour ce type de levé est de \(T_p = 0.04 \sqrt{\Sigma D}\) (en mètres), où \(\Sigma D\) est la longueur totale du cheminement.
Questions à traiter
- Calculer la somme des coordonnées partielles \(\Sigma \Delta X\) et \(\Sigma \Delta Y\) pour déterminer les fermetures \(f_x\) et \(f_y\).
- Calculer la fermeture linéaire totale \(f_T\).
- Calculer la tolérance planimétrique \(T_p\) et conclure sur la validité du levé.
Correction : Calcul de la Fermeture Planimétrique (fx, fy)
Question 1 : Calcul des Fermetures \(f_x\) et \(f_y\)
Principe :
On somme algébriquement (en tenant compte des signes + et -) toutes les coordonnées partielles en X pour obtenir la fermeture en X (\(f_x\)). On fait de même pour les coordonnées en Y pour obtenir la fermeture en Y (\(f_y\)). Ces valeurs représentent l'écart final entre le point de départ et le point d'arrivée du cheminement sur chaque axe.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Cette somme est la première fois où l'on confronte l'ensemble des mesures (angles et distances) à la réalité géométrique. Une grande fermeture indique un problème soit dans les mesures d'angles, soit dans les mesures de distances, soit les deux. C'est un diagnostic global de la qualité du levé.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
Les valeurs de ΔX et ΔY sont reprises du tableau de l'énoncé.
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Erreurs de signe : L'erreur la plus commune est une inversion de signe lors de la sommation. Il est recommandé de sommer d'abord tous les termes positifs, puis tous les termes négatifs, avant de faire la soustraction finale pour minimiser les risques d'erreur.
Le saviez-vous ?
Question 2 : Calcul de la Fermeture Linéaire Totale \(f_T\)
Principe :
Les fermetures \(f_x\) et \(f_y\) sont les deux côtés d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse est la fermeture linéaire totale \(f_T\). On utilise simplement le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de ce vecteur d'erreur total.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Alors que \(f_x\) et \(f_y\) nous donnent l'erreur décomposée sur les axes, \(f_T\) nous donne une valeur unique et tangible : la distance "à vol d'oiseau" entre le point où l'on aurait dû arriver (le départ) et le point où l'on est réellement arrivé. C'est cette distance totale que l'on compare à la tolérance.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- \(f_x = +20.12 \, \text{m}\)
- \(f_y = +56.06 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
Question 3 : Comparaison à la Tolérance Planimétrique
Principe :
On calcule d'abord la longueur totale du cheminement en sommant les longueurs de chaque côté. Ensuite, on applique la formule de tolérance fournie. Enfin, on compare la fermeture totale calculée (\(f_T\)) à cette tolérance (\(T_p\)) pour juger de la qualité du levé.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- Distances : 125.45, 98.72, 110.15, 105.80 m
- Fermeture totale calculée : \(f_T = 59.56 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Unités cohérentes : Assurez-vous que la tolérance est calculée dans la même unité que la fermeture totale (ici, les mètres). La formule de tolérance peut varier (parfois exprimée en cm ou mm), il faut donc être attentif.
Simulation : Calculateur de Fermeture Totale
Entrez les fermetures en X et Y pour calculer la fermeture totale et la visualiser.
Paramètres de Fermeture
Visualisation du Vecteur Fermeture
Pour Aller Plus Loin : Compensation Planimétrique
Puisque notre levé (fictif) est hors tolérances, il devrait être refait. Cependant, si la fermeture avait été acceptable (par exemple, 0.50 m < 0.84 m), l'étape suivante serait la compensation planimétrique. Elle consiste à répartir les erreurs \(f_x\) et \(f_y\) sur toutes les coordonnées partielles ΔX et ΔY, généralement proportionnellement à la longueur de chaque côté, pour que les sommes des nouvelles coordonnées partielles (corrigées) soient exactement nulles.
Le Saviez-Vous ?
La tolérance est souvent exprimée en "précision relative". Par exemple, une précision de 1/5000 signifie que l'erreur de fermeture totale (\(f_T\)) ne doit pas dépasser 1/5000ème de la longueur totale du parcours (\(\Sigma D\)). Pour notre cheminement de 440.12 m, une tolérance de 1/5000 correspondrait à \(440.12 / 5000 \approx 0.088\) m, soit 8.8 cm.
Foire Aux Questions (FAQ)
Une grande fermeture vient-elle plutôt des angles ou des distances ?
C'est difficile à dire sans analyse plus poussée. Cependant, on peut calculer le gisement du vecteur de fermeture lui-même (\(G_{erreur} = \arctan(f_x/f_y)\)). Si ce gisement est très proche de celui d'un des côtés du cheminement, il est probable qu'une erreur de distance importante ait été commise sur ce côté. Si le gisement de l'erreur ne correspond à rien, le problème vient plus probablement d'une ou plusieurs erreurs d'angle.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Un cheminement a une fermeture \(f_x = +3\) cm et \(f_y = -4\) cm. Quelle est sa fermeture totale \(f_T\) ?
2. Si la somme des ΔX est négative et la somme des ΔY est positive, le point d'arrivée se trouve au...
Glossaire
- Fermeture Planimétrique (\(f_x, f_y\))
- Écart entre le point de départ et le point d'arrivée d'un cheminement fermé, décomposé sur les axes X et Y. Idéalement, \(f_x = \Sigma \Delta X = 0\) et \(f_y = \Sigma \Delta Y = 0\).
- Fermeture Linéaire Totale (\(f_T\))
- Distance directe entre le point de départ et le point d'arrivée. C'est la longueur du vecteur d'erreur, calculée par \(f_T = \sqrt{f_x^2 + f_y^2}\).
- Tolérance Planimétrique (\(T_p\))
- Fermeture linéaire totale maximale admissible pour qu'un levé soit considéré comme valide.
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